1.2: Velocidad de una ola

Tutorial 1.2: Velocidad de una ola

Hay tres velocidades diferentes involucradas con la descripción de una ola, una de las cuales se presentará aquí. La velocidad de la onda,\(v\), es una constante determinada por las propiedades del medio en el que se mueve la onda. La velocidad es un vector que da la velocidad de avance de la ola y la dirección en la que viaja la ola. Por ahora no nos preocuparemos por la dirección ya que se asumirá que las olas que se están discutiendo viajarán a lo largo del\(x\) eje -eje. La velocidad de una onda sinusoidal viene dada por\(v=\lambda /T\) en metros por segundo donde se definieron la longitud de onda y el periodo para una onda sinusoidal en el ejercicio anterior.

En esta simulación la onda original permanecerá en la ventana para que a medida que hagas cambios en\(f(x,t)\) puedas ver cómo se compara la nueva ola (en rojo) con la original (\(g(x,t)\), en azul).

Simulación de velocidad de onda

Preguntas:

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Determine la velocidad de la onda en la simulación usando\(v=\lambda /T\) dónde se determinan la longitud de onda y el período a partir de la simulación como lo hizo en el ejercicio anterior usando el mouse para encontrar la longitud de onda y el tiempo para encontrar el período. ¿Cuál es la velocidad de avance de esta ola?

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

La velocidad de esta ola también viene dada matemáticamente por\(v=\omega /k\) since\(\omega =2\pi f =2\pi /T\) y\(k=2\pi / \lambda\). ¿Cuál es la velocidad de esta ola basada en los valores de\(\omega\) y\(k\) en la ecuación? ¿Esto coincide con la velocidad que obtuviste de la simulación?

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Recargar las condiciones iniciales y experimentar con valores del número de onda tanto más pequeños como mayores que\(2.0\text{ rad/m}\) mantener fija la frecuencia angular. ¿Cómo cambia el número de onda la velocidad de la ola?

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Recargar las condiciones iniciales y experimentar con valores de la frecuencia angular tanto menores como mayores que\(0.8\text{ rad/s}\) mantener el número de onda fijo. ¿Cómo cambia la frecuencia angular la velocidad de la onda?

Esta simulación es engañosa de una manera importante. En la simulación se puede establecer cualquier combinación de frecuencia angular y número de onda que elija y así tener cualquier velocidad que desee para la onda. Pero para las ondas mecánicas y acústicas la velocidad está determinada por el medio en el que viaja la onda. Como veremos, para estas ondas suele darse el caso que para\(v=\omega /k\) que la frecuencia angular y el número de onda sean inversamente proporcionales con\(v\) una constante. Ejemplos:

• Para las ondas sonoras en un fluido (por ejemplo aire) la velocidad está determinada por\(v=(B/\rho )^{1/2}\) donde\(B\) está el módulo volumétrico o compresibilidad del fluido en newtons por metro cuadrado y\(\rho\) es la densidad en kilogramos por metro cúbico.
• Para las olas en un sólido la velocidad está determinada por\(v=(Y/\rho )^{1/2}\) dónde\(Y\) está el módulo o rigidez de Young en newtons por metro cuadrado y y\(\rho\) es la densidad en kilogramos por metro cúbico.
• Para las olas en una cuerda la velocidad está determinada por\(v=(T/\mu )^{1/2}\) dónde\(T\) está la tensión en la cuerda en newtons y\(\mu\) es la masa por longitud en kilogramos por metro.
• Aunque las ondas electromagnéticas no necesitan un medio para viajar (pueden viajar a través de un vacío) su velocidad en un vacío,\(c=(1/\mu_{0}\varepsilon_{0})^{1/2}\) se rige por dos constantes físicas, la permeabilidad\(\mu_{0}\) y la permitividad,\(\varepsilon_{0}\).
• Si una onda electromagnética entra en un medio (como la luz que pasa a través del aire, o agua o vidrio) la velocidad cambia debido a que la permitividad y/o permeabilidad puede ser diferente. La cantidad que cambia la velocidad viene dada por el índice de refracción\(n=c/v\) donde\(c\) está la velocidad de la luz y\(v\) es la velocidad en el medio.

Como veremos más adelante, es el caso de que la velocidad a veces puede depender de la frecuencia de la onda, fenómeno conocido como dispersión.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

¿El sonido viaja un poco más rápido en un día caluroso o en un día fresco? ¿El sonido viaja más rápido o más lento si la humedad es alta?

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

La densidad es relativamente fácil de medir. ¿Cuál sería una forma inteligente de medir el módulo de Young,\(Y\) para un sólido?

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

¿Las ondas en una cuerda viajan más rápido o más lento si la cuerda está más apretada? ¿Las ondas en una cuerda viajan más rápido o más lento si la cuerda es más gruesa?

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

En general el índice de refracción es mayor que uno. ¿Qué te dice esto sobre la velocidad de la luz en el vidrio?

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Recargar las condiciones iniciales con el botón 'recargar'. Para un número de onda de\(4.0\text{ rad/m}\) experimento para encontrar la frecuencia angular correcta que da la velocidad original de la onda que encontraste en Ejercicios\(\PageIndex{1}\) y\(\PageIndex{2}\) (deberías poder ver en la simulación cuando la nueva ola está viajando a la misma velocidad que la original).

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Calcular el número de onda que da la velocidad de la onda original para frecuencias angulares de\(0.4,\: 0.6,\: 1.0,\) y\(1.2\text{ rad/s}\) usando la relación en Ejercicio\(\PageIndex{2}\). Consulta tus respuestas con la simulación si tienes dudas.