1.4: Movimiento armónico simple

Tutorial 1.4: Movimiento armónico simple I

A continuación se presenta una simulación de una masa en un muelle. La gráfica muestra la\(y\) ubicación de la masa. La fuerza que actúa sobre la masa en este caso se denomina fuerza de la Ley de Hooke:\(F=-\kappa y\) donde\(\kappa\) se llama la constante de resorte, al\(\text{N/m}\) indicar la rigidez del resorte y\(y\) es la ubicación de la masa desde alguna posición de equilibrio. (¡Cuidado! \(\kappa\)no es lo mismo que el número de onda,\(k=2\pi /\lambda\).)

Movimiento armónico simple

Preguntas:

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Arrastre la masa a alguna ubicación inicial usando el mouse. Haga clic en el botón 'play' (abajo a la izquierda) para ver el movimiento y la gráfica de la ubicación de la masa. ¿Cómo es la gráfica que ves aquí similar a la gráfica que viste para el movimiento del círculo rojo en el caso de onda transversal?

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Al hacer clic en la gráfica se muestran las coordenadas del ratón en un cuadro amarillo en la parte inferior izquierda. Determinar el período, frecuencia y frecuencia angular de este movimiento a partir de los valores en la gráfica (Pista: La frecuencia en\(\text{Hz}\) es la inversa del período; la frecuencia angular es\(\omega =2\pi f\)).

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Marque la casilla 'mostrar velocidad' para ver gráficas tanto de posición como de velocidad. ¿Dónde está la masa cuando la velocidad es máxima? ¿Dónde está la masa cuando la velocidad se vuelve cero?

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Pruebe diferentes valores constantes de resorte\(\kappa\), entre\(0.5\text{ N/m}\) a\(5.0\text{ N/m}\), reiniciando y liberando la masa en el mismo punto cada vez. ¿Cuál es la relación entre la constante de resorte y la frecuencia?

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Para la misma constante de resorte intenta soltar la pelota a varias amplitudes diferentes. ¿Cuál es la relación entre amplitud y frecuencia?

Para un resorte dado la frecuencia está determinada por la masa que cuelga de él y la rigidez del resorte;\(f=(\kappa /m)^{1/2} /2\pi\).

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Mida la frecuencia para el caso de una constante elástica,\(\kappa\) igual a\(2.0\). ¿Cuál debe ser la masa al final de esta primavera? Verifique que obtenga la misma masa midiendo la fequencia para varias constantes de resorte diferentes (esto equivale a colgar la misma masa en varios resortes diferentes).

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

¿Qué sucede con el período de oscilación de un sistema de masa de resorte si la masa se duplica?

En la simulación anterior (1.3: Ondas Transversales) el círculo rojo se movió hacia arriba y hacia abajo como resultado de una onda transversal que viajaba horizontalmente a lo largo de la cadena de partículas. La ecuación para el movimiento de toda la cuerda es\(y(x,t)=A\sin (kx-\omega t+\varphi)\). Si tuviéramos que suponer que la partícula roja estaba ubicada en\(x=0\) la ecuación que describe el movimiento de solo el círculo rojo sería\(y(t)=A\sin (-\omega t+\varphi)\) donde\(A\) está la amplitud máxima,\(\omega\) es la velocidad angular y\(\varphi\) es la fase. Esta es también la fórmula para el movimiento armónico simple que describe la ubicación de una masa en un resorte en función del tiempo. En otras palabras, el movimiento de cada punto sobre una onda transversal es exactamente el mismo que si cada uno de esos puntos estuviera experimentando un simple movimiento armónico pero con una fase ligeramente diferente a la de su vecino.

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Usando\(y(t)=A\sin (-\omega t+\varphi)\) y una calculadora, ¿cuál es la ubicación de la masa cuando\(t=0\) y\(\varphi =0\)? ¿Cuál es la ubicación de la masa cuando\(t=0\) y\(\varphi =\pi\) (no olvides que estamos en modo radián)? Explique lo que el ángulo de fase,\(\varphi\) le dice acerca de la posición inicial (\(t=0\)) de la masa en el resorte.

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Si\(y(t)=A\sin (-\omega t+\varphi)\) es la ubicación de la masa en el resorte y la derivada temporal de la ubicación es la velocidad, entonces la velocidad de la masa viene dada por\(v(t)=A\omega\cos (-\omega t+\varphi)\). Marque la casilla 'mostrar velocidad' y ejecute una simulación con una amplitud inicial de\(6.0\text{ m}\) y una constante elástica de\(2\). De la gráfica encuentra la frecuencia angular y calcula la amplitud máxima\(v_{\text{max}}=A\omega\). ¿Cómo se compara este número con el valor máximo en la gráfica de velocidad? ¿Son iguales?

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Anote una expresión para la aceleración de una masa sobre un resorte, basada en la posición dada por\(y(t)=A\sin (-\omega t+\varphi)\) y en el hecho de que la aceleración es la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo.