4.2: Solución

Vamos a aplicar las ecMm en secuencia.

1. $\epsilon_{g e n} \nabla \cdot \mathbf{E}=0$, pero si $\epsilon_{g e n} \neq 0$ (que es el caso que vamos a considerar en todo lo sucesivo) entonces se tiene $\nabla \cdot \mathbf{E}=0$. Lo aplicamos al campo de onda plana de la sección anterior y obtenemos

$$\mathbf{k}_{c} \cdot \mathbf{E}_{0}=0 \notag$$

2. La siguiente ecuación es lo mismo que decir $\nabla \cdot \mathbf{H}=0$, y por lo tanto,

$$\mathbf{k}_{c} \cdot \mathbf{H}_{0}=0 \notag$$

3. Un rotacional da

$$\mathbf{H}_{0}=\frac{1}{\mu \omega} \mathbf{k}_{c} \wedge \mathbf{E}_{0} \notag$$

4. $\mathrm{Y}$ el otro:

$$\mathbf{E}_{0}=-\frac{1}{\epsilon_{g e n} \omega} \mathbf{k}_{c} \wedge \mathbf{H}_{0} \notag$$

Ahora sólo tenemos que leer las ecuaciones. Esta va a ser la estrategia para afrontar todos los problemas de propagación del curso. Combinando las (3) y (4):

$$\begin{aligned} \mathbf{E}_{0} &=-\frac{1}{\epsilon_{g e n} \omega} \mathbf{k}_{c} \wedge \frac{1}{\mu \omega} \mathbf{k}_{c} \wedge \mathbf{E}_{0} \\ &=-\frac{1}{\mu \epsilon_{g e n} \omega^{2}}\left(\mathbf{k}_{c} \wedge \mathbf{k}_{c} \wedge \mathbf{E}_{0}\right) \\ &=-\frac{1}{\mu \epsilon_{g e n} \omega^{2}}\left[\mathbf{k}_{c}\left(\mathbf{k}_{c} \cdot \mathbf{E}_{0}\right)-\mathbf{E}_{0}\left(\mathbf{k}_{c} \cdot \mathbf{k}_{c}\right)\right] \\ &=\frac{1}{\mu \epsilon_{g e n} \omega^{2}} \mathbf{E}_{0} \mathbf{k}_{c}^{2} \end{aligned}$$

de donde

$$\mathbf{k}_{c}^{2}=\omega^{2} \mu \epsilon_{g e n}=\frac{\omega^{2}}{c^{2}} n_{c}^{2} \notag$$

esto se utiliza más habitualmente en la forma

$$n_{c}^{2}=c^{2} \mu \epsilon_{g e n}=\frac{\mu \epsilon_{g e n}}{\mu_{0} \epsilon_{0}} \notag$$

este parámetro es el indice de refracción complejo. Cuando la constante dieléctrica sea compleja (medios absorbentes) el índice de refracción será complejo. Lo mismo ocurrirá al vector de onda, y ésta es la razón por la que hemos venido usando el subíndice $c$.

Descomponemos el vector de onda y el índice de refracción en

$$\begin{aligned} &\mathbf{k}_{c}=\mathbf{k}+i \mathbf{a} \\ &n_{c}=n+i \kappa \end{aligned}$$

con $\mathbf{k}, \mathbf{a}, n, \kappa$ cantidades reales, que reciben los nombres respectivos de vector de ondas, vector de atenuación, indice de refracción e indice de absorción. Entonces la expresión de la oap es

$$\mathbf{E}(\mathbf{r}, t)=\mathbf{E}_{0} e^{-\mathbf{a} \cdot \mathbf{r}} e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}-\omega t)} \notag$$

La constante $\mathbf{E}_{0} e^{-\mathbf{a} \cdot \mathbf{r}}$ disminuye con la propagación, y tanto más cuanto mayor es el vector de atenuación a. Las partes imaginarias del vector de onda y del índice de refracción vienen de las pérdidas por fricción en el proceso de absorción-reemisión.

De la relación

$$\mathbf{k}_{c}^{2}=\frac{\omega^{2}}{c^{2}} n_{c}^{2} \notag$$

se pasa fácilmente (raíz cuadrada compleja) a

$$\begin{aligned} \mathbf{k}^{2}-\mathbf{a}^{2} &=\frac{\omega^{2}}{c^{2}}\left(n^{2}-\kappa^{2}\right) \\ \mathbf{k} \cdot \mathbf{a} &=\frac{\omega^{2}}{c^{2}} n \kappa \end{aligned}$$

que forman las condiciones que buscábamos.

Dos comentarios importantes (mucho cuidado)

• No deberíamos llamar ondas planas a

$$\begin{aligned} \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) &=\mathbf{E}_{0} e^{i\left(\mathbf{k}_{c} \cdot \mathbf{r}-\omega t\right)} \\ \mathbf{H}(\mathbf{r}, t) &=\mathbf{H}_{0} e^{i\left(\mathbf{k}_{c} \cdot \mathbf{r}-\omega t\right)} \end{aligned}$$

porque no lo son (en general $\mathbf{k}$ y a no son paralelos y por lo tanto, $\mathbf{E} \neq \mathbf{E}(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}, t))$. Deberíamos llamarlas ondas planas inhomogéneas: los planos de amplitud constante no coinciden con los planos de fase constante. Por lo tanto, cuando las llamemos oap, estamos abusando del lenguaje (y lo haremos).

• A partir de las estructura de la onda que hemos encontrado al principio del capítulo, es tentador pensar que $\left(\mathbf{E}_{0}, \mathbf{H}_{0}, \mathbf{k}_{c}\right)$ forman un triedro ortogonal. No es así, ya que intervienen vectores complejos (v. ejercicio 18).