4.5.2: Cálculo de ϵgen
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Vamos a tener en cuenta por separado las cargas ligadas y libres. Si ϵ=ϵ0(1+χe) :
ϵgen=ϵ+iωσ
Contribución de las cargas ligadas: ϵ
Nos vemos obligados a recuperar el subíndice mac :
P=ϵ0χeEmac
es por definición el momento dipolar por unidad de volumen
P=1ΔV∑j∈ΔVqjrj
Ahora vamos a calcular la constante de proporcionalidad ϵ0χe, en lugar de limitarnos a decir que como rj∝Emic entonces P∝Emic , es decir P=ϵ0χeEmac . La ecuación de la trayectoria de la carga ligada era
r(t)=qmω20−ω2−iγωEmic
y se puede escribir como
r=1qαEmic
donde α se llama polarizabilidad,
α=q2mω20−ω2−iγω
Ahora estamos preparados para escribir la polarización como suma sobre todos los átomos
P=1ΔV∑j∈ΔVαjEmic,j
De momento vamos a suponer que todos los átomos son iguales, lo que implica que tienen la misma polarizabilidad
P=1ΔVα∑j∈ΔVEmic,j
Aquí llegamos a la dificultad de este cálculo: ¿cuánto vale Emic,j ? Para calcularlo introducimos N, el número de átomos en ΔV.
P=αNΔV1NN∑j=1Emic,j⏟
la cantidad señalada por una llave se parece mucho al campo macroscópico, pero en general no coincide con él. Eso es porque el campo macroscópico lo definíamos como integral a un volumen, y el promedio que hacemos aquí es sólo sobre los átomos contenidos en el volumen. El campo macroscópico se calcula también sobre los espacios entre átomos. Hay dos expresiones que relacionan Emic y Emac .
- La que vamos a utilizar efectivamente da1
P=αNVEmac
(es decir, no hacer caso de la distinción entre integrar al volumen y sumar sobre los átomos del volumen). Esta expresión será buena en gases a baja presión y en general en medios que no tienen ninguna estructura ordenada. Es válida cuando
NVαϵ0≪1
- Si se hicieran los cálculos, se encontraría esta expresión
P=αNV(Emac−13ϵ0P)
que es de validez más general.
Salvo en los problemas usaremos la primera expresión, que es una aproximación de la segunda, pero que nos dará los mismos resultados cualitativos. Los aspectos fenomenológicos están recogidos en ambas ecuaciones.
Proseguimos el trabajo. Como
P=ϵ0χeEmacϵ=ϵ0(1+χe)
se puede escribir, al ser ϵ0χe=NVα
ϵ=ϵ0(1+NVαϵ0)=ϵ0(1+NVq2mϵ0ω20−ω2−iγω)
esta expresión relaciona la constante dieléctrica con los parámetros microscópicos del medio, y admite una generalización si consideramos que los átomos son de diferente tipo ( ω0j,γj varían de átomo a átomo). Volviendo al sumatorio que es la definición de P y reconstruyendo los cálculos se obtiene
ϵ=ϵ0(1+∑jNVjq2mϵ0ω20j−ω2−iγjω)
En la bibliografía encontraremos otra escritura, que se apoya en definir la magnitud fuerza del oscilador 3
fj=NVjNV
que representa la proporción de átomos de la especie j(∑fj=1). La expresión final adopta la forma
ϵ=ϵ0(1+NVq2mϵ0∑jfjω02−ω2−iγjω)
q y m son comunes a todos los átomos, y para nosotros serán en general la carga y masa del electrón.
Contribución de las cargas libres: σ
Para obtener el término con que contribuyen las cargas libres a la constante dieléctrica generalizada necesitamos calcular la conductividad.
⟨jlib⟩=σEmac
nuestro objetivo es escribir la conductividad en función de la dinámica microscópica de las cargas. Promediamos a un volumen pequeño frente a la longitud de onda pero lo suficientemente grande como para contener un alto número de cargas
3 En un tratamiento cuántico en el que se consideren varias frecuencias de transición, la fuerza del oscilador se interpreta como una magnitud que cuantifica lo predominante que es una transición (una frecuencia de resonancia).
⟨jlib⟩=1ΔV∑j∈ΔVqj˙rj
Derivando la posición rj (ecuación 4.1),
⟨jibi⟩=σEmac=1ΔV∑j∈ΔVq2miω+iγEmic,j
q aparece sin índice alguno porque se trata siempre de la misma carga libre: los electrones. Al igual que para las cargas ligadas, introducimos un número de cargas libres en ΔV, N′V
⟨jlib⟩=q2miω+iγN′ΔV1N′N′∑j=1Emic,j⏟
La cantidad señalada, por razones ya discutidas, no es el campo macroscópico estrictamente, pero nosotros lo utilizaremos para los problemas que nos interesan, pues constituye una aproximación razonable (las cargas libres están tan dispersas que el sumatorio es buena aproximación numérica de la integral que se debería hacer en su lugar. No hay otras fórmulas de aproximación para las cargas libres, a diferencia de lo que ocurre para las cargas ligadas, donde hemos presentado una que será utilizada en los problemas). Por ello
⟨jlibre ⟩=iN′q2m1ω+iγEmac
con lo que
σ=iN′Vq2m1ω+iγ
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1. NV=NΔV es el número de átomos por unidad de volumen. Parecido a la densidad.