7.E: Momenergy (Ejercicios)

PRÁCTICA

7-1 momenergia 4-vector

Para cada uno de los siguientes casos, anote los cuatro componentes del vector 4 momento-energía (momenergía) en el marco dado en la forma\(\left[E, p_{x}, p_{y}\right.\),\(p_{z}\)]. Supongamos que cada partícula tiene masa\(m\). Puedes usar raíces cuadradas en tu respuesta.

a Una partícula se mueve en la\(x\) dirección positiva en el laboratorio con energía total igual a cinco veces su energía de reposo.

b Misma partícula que se observa en un marco en el que se encuentra en reposo.

c Otra partícula se mueve en la\(z\) dirección -con un impulso igual a tres veces su masa.

d Otra partícula se mueve en la\(y\) dirección negativa con energía cinética igual a cuatro veces su masa.

e Todavía otra partícula se mueve con energía total igual a diez veces su masa y\(x-, y\) -, y\(z\) -componentes de impulso en la relación 1 a 2 a\(3 .\)

7-2 masa del sistema

Determinar la masa del sistema de partículas mostrado en la Figura 7-6. ¿Esta masa del sistema es igual a la suma de las masas de las partículas individuales en el sistema? ¿La masa de este sistema cambia como resultado de la interacción? ¿El vector momenergy 4 del sistema cambia como resultado de la interacción? (En el Capítulo 8 hay mucha más discusión sobre la masa de un sistema de partículas.)

7-3 mucho ado sobre liftle

Dos trenes de carga, cada uno de\(5 \times 10^{6}\) kilogramos masivos (5000 toneladas métricas) viajan en direcciones opuestas por la misma vía con velocidades iguales de 42 metros/segundo (aproximadamente 100 millas/hora). Chocan de frente y vienen a descansar.

a Calcular en miligramos la energía cinética para cada tren\((1 / 2) m v^{2}\) antes de la colisión. (Expresión newtoniana OK para\(100 \mathrm{mph} !\)) (1 miligramo\(=10^{-3}\) gramo\(=10^{-6}\) kilogramo)

b Después de la colisión, la masa de los trenes más la masa de la vía más la masa del lecho de carretera se ha incrementado en qué número de miligramos? Descuidar la energía perdida en las formas de sonido y luz.

7-4 profones rápidos

Cada uno de los protones descritos en la mesa emite un destello de luz cada metro de su propio tiempo (propio)\(d \tau\). Entre las sucesivas emisiones flash, cada protón recorre una distancia dada en la columna izquierda. Completa la tabla. Toma la energía de descanso del protón para que sea igual\(1 \mathrm{GeV}=10^{9} \mathrm{eV}\) y exprese impulso en las mismas unidades. Consejos: Evite calcular o usar la velocidad\(v\) en problemas relativistas de partículas; está demasiado cerca de la unidad para distinguir entre protones de energías radicalmente diferentes. Una precisión de dos cifras significativas de fig-

EJERCICIO 7-4

PROTONES RÁPIDOS

Distancia de laboratorio\(\Delta x\) recorrida entre destellos (metros)

0	Tiempo de laboratorio entre destellos (metros)
\(0.1\)	Temporizadores (GeV)
1
10
\(10^{3}\)
\(10^{6}\)
factor\(\gamma\)

ures está bien; no des más. Recordemos:\(E^{2}-p^{2}=m^{2}\) y\(E=m d t / d \tau=m \gamma\) [¡nota tau!].

PROBLEMAS 7-5 Fransformation Lorenfz para componenfs de momenergy

El observador de cohetes mide los componentes de energía e impulso de una partícula para tener los valores\(E^{\prime}\) y\(p_{x}{ }^{\prime}\),\(p_{y}^{\prime}\), y\(p_{z}^{\prime}\). ¿Cuáles son los valores correspondientes de energía e impulso medidos por el observador de laboratorio? La respuesta proviene de la transformación de Lorentz, ecuación (L-10) en el Tema Especial que sigue al Capítulo 3.

La partícula en movimiento emite un par de chispas muy espaciadas en el tiempo según se mide en su reloj de pulsera. La celosía de cohetes de los relojes registra estos eventos de emisión; también lo hace la celosía de laboratorio de los relojes. El observador de cohetes construye componentes de impulso y energía de partículas, ecuación\((7-2)\), a partir del conocimiento de la masa de partículas\(m\), los desplazamientos espacio-tiempo\(d t^{\prime}, d x^{\prime}, d y^{\prime}\), y\(d z^{\prime}\) derivados de las grabaciones de eventos, y el tiempo adecuado \(d \tau\)calculado a partir de estos componentes de espacio-tiempo. Los componentes de la momenergía de laboratorio provienen de la transformación de los desplazamientos espacio-tiempo. La transformación de Lorentz, ecuación (L-10), para desplazamientos incrementales da

\ [\ begin {alineado} d t &=v\ gamma d x^ {\ prime} +\ gamma d t^ {\ prime}\\ d x &=\ gamma d x^ {\ prime} +v\ gamma d t^ {\ prime}\\ d y &=d y^ {\ prime}\ d z &=d z &=d z^ {\ prime} \ end {alineado}\]

a Multiplique ambos lados de cada ecuación por la masa invariante\(m\) y divídalos por el tiempo apropiado invariante\(d \tau\). Reconocer los componentes del vector momenergy 4 en la ecuación (7-2), muestran que las ecuaciones de transformación para momenergy son

\ [\ begin {alineado} &e=v\ gamma p^ {\ prime} {} _ {x} +\ gamma E^ {\ prime}\\ &p_ {x} =\ gamma p^ {\ prime} {} _ _ {x} +v\ gamma E ^ {\ prime}\\ &p_ {y} =p^ {\ prime} {} _ _ {y}\ &p_ {z} =p_ {z} ^ {\ prime} \ final {alineado}\]

\(\mathbf{b}\)Repita el proceso para los desplazamientos de partículas\(d t, d x, d y\), y\(d z\) se registra en el marco de laboratorio para derivar las transformaciones inversas de laboratorio a cohete.

\ [\ begin {alineado} &E^ {\ prime} =-v\ gamma p_ {x} +\ gamma E\\ &p_ {x_ {x}} ^ {\ prime} =\ gamma p_ {x} -v\ gamma E\\ &p^ {\ prime} {} ^ {\ prime} =p_ {y}\\ &p_ {z} ^ {prime\} =p_ {y}\\ &p_ {z} ^ {prime\} = p_ {z} \ final {alineado}\]

7-6 electrones rápidos

El Acelerador Lineal Stanford de Dos Millas acelera los electrones a una energía cinética final de\(47 \mathrm{GeV}(47 \times\)\(10^{9}\) electrón-voltios; un\(=1.6 \times 10^{-19}\) electrón-voltio julio). Los electrones de alta energía resultantes se utilizan para experimentos con partículas elementales. Las ondas electromagnéticas producidas en grandes tubos de vacío (“tubos klystron”) aceleran los electrones a lo largo de una estructura recta similar a una tubería de 10,000 pies de largo (aproximadamente 3000 metros de largo). Tomar el resto de energía de un electrón para ser\(m \approx 0.5 \mathrm{MeV}=0.5 \times 10^{6}\) electronvoltios.

a Los electrones aumentan su energía cinética en cantidades aproximadamente iguales por cada metro recorrido a lo largo de la tubería del acelerador como se observa en el marco del laboratorio. ¿Cuál es esta ganancia de energía en\(\mathrm{MeV} /\) metro? Supongamos que la expresión newtoniana de energía cinética era correcta. En este caso, ¿hasta dónde viajaría el electrón a lo largo del acelerador antes de que su velocidad fuera igual a la velocidad de la luz?

b En realidad, por supuesto, incluso los electrones 47-GeV que emergen del extremo del acelerador tienen una velocidad\(v\) que es menor que la velocidad de la luz. ¿Cuál es el valor de la diferencia\((1-v)\) entre la velocidad de la luz y la velocidad de estos electrones medida en el marco de laboratorio? [Pista: Por\(v\) muy cerca de la unidad de valor,\(\left.1-v^{2}=(1+v)(1-v) \approx 2(1-v) .\right]\) Que un electrón 47-GeV de este acelerador corra un destello de luz a lo largo de un tubo evacuado recto a través de la Tierra de un lado a otro (diámetro de la Tierra 12,740 kilómetros). ¿Qué tan lejos del electrón está el destello de luz al final de esta carrera? Expresa tu respuesta en milímetros.

c ¿Cuánto tiempo dura el tubo acelerador de "3000 metros” registrado en la celosía de los relojes de cohetes moviéndose junto con un\(47-\mathrm{GeV}\) electrón que emerge del acelerador?

7-7 súper rayos cósmicos

El extenso conjunto de duchas de aire Haverah Park cerca de Leeds, Inglaterra, detecta la energía de las partículas individuales de rayos cósmicos indirectamente por la lluvia resultante de partículas que este rayo cósmico crea en la atmósfera. Entre 1968 y 1987 la matriz de Haverah Park detectó más de 25.000 rayos cósmicos con energías mayores que los\(4 \times 10^{17}\) electrón-voltios, incluyendo 5 con una energía de aproximadamente\(10^{20}\) electrón-voltios. (energía de reposo del\(\approx 10^{9}\) electrón-voltios\(=\)\(1.6 \times 10^{-10}\) protón julio)

a Supongamos que un rayo cósmico es un protón de energía\(10^{20}\) electrón-voltios. ¿Cuánto tardaría este protón en cruzar nuestra galaxia tal como se mide en el reloj de pulsera del protón? El diámetro de nuestra galaxia es aproximadamente

EJERCICIO 7-8 NÚCLEO DE COHETE

\(10^{5}\)años luz. ¿Cuántos siglos tomarían como se observa en nuestro marco vinculado a la Tierra?

b Los investigadores del Parque Haverah no encuentran evidencia de un límite superior a las energías de los rayos cósmicos. Un protón debe tener una energía de cuántas veces su energía de reposo para que el diámetro de nuestra galaxia le aparezca Lorentz-contraído al diámetro del protón (aproximadamente 1 femtómetro, que es igual a\(10^{-15}\) metros)? Cuántas toneladas métricas de masa tendrían que convertirse en energía con una eficiencia del 100 por ciento equivale a 1000 kilogramos.

Referencia: M. A. Lawrence, R. J. O. Reid, y A. A. Watson, Revista de Física G: Física Nuclear y de Partículas, Volumen 17, páginas\(733-757\) (1991).

7-8 núcleo Rockef

Se observa una desintegración radiactiva o “colisión inversa” en el marco del laboratorio, como se muestra en la figura.

Supongamos que\(m_{C}=2\) las\(m_{A}=20\) unidades,\(E_{C}=5\) unidades y unidades.

a ¿Cuál es la energía total\(E_{A}\) de las partículas\(A\)?

b A partir de la conservación de la energía, encontrar la energía total\(E_{D}\) (descanso más cinética) de la partícula\(D\).

c Usando la expresión\(E^{2}-p^{2}=m^{2}\) encontrar el momento\(p_{C}\) de la partícula\(C\).

d De la conservación del impulso\(p_{D}\) de la partícula\(D\)

e ¿Cuál es la masa\(m_{D}\) de partícula\(D\)?

f ¿\(m_{C}+m_{D}\)Después de la colisión es igual\(m_{A}\) antes de la colisión? Explica tu respuesta.

\(\mathbf{9}\)Dibuja tres diagramas de momenergia para esta reacción similares a los de la Figura 7-6: ANTES, SISTEMA y DESPUÉS. Trazar el impulso positivo y negativo a lo largo de la dirección horizontal positiva y negativa, respectivamente, y la energía a lo largo de la dirección vertical. En el diagrama AFTER dibuje los vectores momenergy para partículas\(C\) y\(D\) cabeza a cola para que se sumen al vector momenergy para el sistema. Coloque los manejadores de masa etiquetados en las flechas de los tres diagramas, incluida la flecha del sistema.

ANTES

DESPUÉS DEL EJERCICIO 7-8. Desintegración radiactiva de un tícula de partícula\(B\).

partícula\(A\)

Partícula B

ANTES

DESPUÉS

EJERCICIO 7-9. Dos partículas chocan para formar una tercera en reposo en el marco del laboratorio.

Colisión pegajosa 7-9

Se observa una colisión inelástica en el marco de laboratorio, como se muestra en la figura. Supongamos que\(m_{A}=2\) unidades,\(E_{A}=6\) unidades,\(m_{C}=15\) unidades.

a A partir de la conservación de la energía, ¿cuál es la energía\(E_{B}\) de las partículas\(B\)?

\(\mathbf{b}\)¿Cuál es el impulso\(p_{A}\) de la partícula\(A\)? Por lo tanto, ¿cuál es el impulso\(p_{B}\) de la partícula\(B\)?

c De\(m^{2}=E^{2}-p^{2}\) encontrar la masa\(m_{B}\) de par-

d Adivinación rápida: ¿La masa de partícula\(C\) después de la colisión es menor o mayor que la suma de las masas de partículas\(A\) y\(B\) antes de la colisión? Valida tu conjetura de la respuesta a la parte\(\mathbf{c}\).

7-10 bolas putfy colisionantes

Una bola de masilla de masa\(m\) y energía\(K\) cinética atraviesa el hielo congelado de un estanque y golpea una segunda bola idéntica de masilla inicialmente en reposo sobre el hielo. Los dos se pegan juntos y skitter hacia adelante como una sola unidad. Haciendo referencia a la figura, encuentra la masa de la partícula combinada usando las partes a-e o algún otro método.

a ¿Cuál es la energía total del sistema antes de la colisión? Mantenga la energía cinética\(K\) explícitamente, y no olvide el resto de las energías de ambas partículas\(A\) y\(B\). Por lo tanto, ¿cuál es la energía total\(E_{C}\) de las partículas\(C\) después de la colisión?

b Usando la ecuación\(m^{2}=E^{2}-p^{2}=(m+\)\(K)^{2}-p^{2}\) encontrar el momento\(p_{A}\) de la partícula\(A\) antes de la colisión. ¿Cuál es el impulso total del sistema antes de la colisión? Por lo tanto, ¿cuál es el impulso\(p_{C}\) de la partícula\(C\) después de la colisión?

EJERCICIO 7-10. Dos bolas de masilla se pegan juntas. c Nuevamente use la ecuación\(m^{2}=E^{2}-p^{2}\) para encontrar la masa\(m_{C}\) de partícula\(C\). Demostrar que el resultado satisface la ecuación

\[m_{C}^{2}=(2 m)^{2}+2 m K=(2 m)^{2}\left(1+\frac{K}{2 m}\right)\]

d Examinar el resultado de parte\(c\) en dos casos limitantes. (1) El valor de\(m_{C}\) en el límite newtoniano de baja velocidad en el que la energía cinética es mucho menor que la masa:\(K / m<<1\). ¿Es esto lo que uno espera de la vida cotidiana? (2) ¿Cuál es el valor de\(m_{C}\) en el límite altamente relativista en el cual\(K / m>>1\)? ¿Cuál es el límite superior en el valor de\(m_{C}\)? Discusión: Las partículas submicroscópicas que se mueven a velocidades relativistas extremas rara vez se unen cuando chocan. Más bien, su colisión a menudo conduce a la creación de partículas adicionales. Consulte el Capítulo 8 para ver ejemplos.

e Pregunta de discusión: ¿Se modifican los resultados de la parte c si la mancha resultante de masilla gira, dando vueltas como una mancuerna alrededor de su centro a medida que avanza?

7-11 límites de la mecánica newtoniana

a Un electrón-voltio\((\mathrm{eV})\) es igual al aumento de la energía cinética que experimenta una partícula cargada individualmente cuando se acelera a través de una diferencia de potencial de un voltio. Un electrón-voltio es igual a\(1.60 X\)\(10^{-19}\) julios. Verificar las energías de reposo del electrón y del protón (masas listadas dentro de la contraportada) en unidades de millones de electrón-voltios (\(\mathrm{MeV}\)).

\(\mathbf{b}\)La energía cinética de una partícula de una velocidad dada no\(v\) está dada correctamente por la expresión\(1 / 2 m v^{2}\). El error

es uno por ciento cuando la energía cinética newtoniana ha subido a cierta fracción de la energía de reposo. ¿Qué fracción? Pista: Aplicar los tres primeros términos de la expansión binomial

\[(1+z)^{n}=1+n z+\frac{1}{2} n(n-1) z^{2}+\ldots\]

a la expresión relativista para la energía cinética, una aproximación lo suficientemente precisa si\(|z|<<1\). Que este punto -donde el error es del uno por ciento- se llame arbitrariamente el “límite de la mecánica newtoniana”. ¿Cuál es la velocidad de la partícula en este límite? ¿A qué energía cinética llega un protón a este límite (¿la energía en\(\mathrm{MeV}\)? ¿Un electrón?

c Un electrón en un tubo moderno de televisión en color se acelera a través de un voltaje de hasta 25,000 voltios y luego se dirige por un campo magnético a un píxel particular de material luminiscente en la cara interna del tubo. ¿Debe el diseñador de tubos de televisión en color utilizar una relatividad especial para predecir las trayectorias de estos electrones?

7-12 derivación de la expresión relativista para momenfum - un ejemplo trabajado

Una partícula muy rápida interactúa con una partícula muy lenta. Si la colisión es una colisión que mira, la partícula lenta puede moverse tan lentamente después de la colisión como antes. Calcular el momento de la partícula de movimiento lento usando la expresión newtoniana. Ahora exigen que se conserve el impulso en la colisión. De esto deriva la expresión relativista para el impulso de la partícula de movimiento rápido.

La figura superior muestra tal colisión de mirada. Después de la colisión cada partícula tiene la misma velocidad que antes de la colisión, pero cada partícula ha cambiado su dirección de movimiento.

Detrás de esta figura hay una historia. Hace diez millones de años, y en otra galaxia a casi diez millones de años luz de distancia, una explosión de supernova lanzó un protón hacia la Tierra. La energía de este protón superó con creces cualquier cosa que podamos darle a los protones en nuestros aceleradores de partículas terrestres. En efecto, la velocidad del protón se acercaba tanto a la de la luz que el reloj de pulsera del protón leía un lapso de tiempo de sólo un segundo entre el lanzamiento y la llegada a la Tierra.

Nosotros en la Tierra no prestamos atención al reloj de pulsera del protón. Para nuestra celosía de observadores vinculados a la Tierra, las edades han pasado desde que se lanzó el protón. Hoy nuestros puestos remotos nos advierten que el protón rayado se acerca a la Tierra. Exactamente un segundo en nuestros relojes antes de que llegue el protón, lanzamos nuestro propio protón a la velocidad lenta un metro/segundo casi perpendicular a la dirección del protón entrante (ANTES parte de la figura superior). Nuestro protón recorre el metro hasta el punto de impacto. Los dos protones se encuentran. Tan perfecto es nuestro objetivo y tiempo que después del encuentro nuestro protón simplemente invierte dirección y regresa con la misma velocidad que le dimos originalmente (DESPUÉS parte de la figura superior). El protón entrante tampoco cambia de velocidad, pero se desvía hacia arriba en el mismo ángulo en el que originalmente se inclinaba hacia abajo.

ANTES ¿Cuánto cambia\(y\) -momentum de nuestro protón de movimiento lento durante este encuentro? Newton puede decirnos. A una velocidad de partícula de un metro/segundo, su expresión de impulso,\(m v\), es precisa. Nuestro protón simplemente invierte su dirección. Por lo tanto, el cambio en su impulso es justo\(2 m v\), el doble de su impulso original en la\(y\) dirección -dirección.

¿Cuál es el cambio en el\(y\) impulso del protón entrante, moviéndose a una velocidad relativista extrema? Exigimos que el cambio en\(y\) -momentum del protón rápido sea igual en magnitud y opuesto en dirección al cambio en\(y\) -momentum de nuestro protón lento. En resumen, se conserva\(y\) -impulso. Esta demanda, más un argumento de simetría, conduce a la expresión relativista de impulso.

Los eventos clave de nuestra historia están contados en la figura central. El Evento 1 es el lanzamiento del protón de la supernova diez millones de años (en nuestro marco) antes del impacto. El evento 2 es el lanzamiento silencioso de nuestro protón local un segundo (en nuestro marco) antes del impacto. El evento 0 es el impacto en sí mismo. Se elige la\(x\) -dirección para que\(y\) -los desplazamientos de ambos protones tengan igual magnitud entre lanzamiento e impacto, es decir, un metro.

Ahora vea los mismos eventos de un cohete que se mueve a lo largo del\(x\) eje a una velocidad tal que los eventos 1 y 0 son

Marco de tierra: ANTES

EJERCICIO 7-12. Arriba: Una colisión elástica simétrica entre un protón rápido y un protón lento en el que cada protón cambia de dirección pero no velocidad como resultado del encuentro. Centro: Eventos y separaciones observadas en el marco terrestre antes de la colisión. Aquí\(\mathrm{x}=10\) millones de años luz y\(\mathrm{y}=1\) metro, ¡así que estos frgures no están a escala! Abajo: Eventos y separaciones observadas en el marco del cohete antes de la colisión.

verticalmente uno encima del otro (figura inferior). Para el observador de cohetes\(y\) las separaciones transversales son las mismas que para el observador de la Tierra (Sección 3.6), por lo que\(y=1\) metro en ambos marcos. El orden de los eventos 1 y 2, sin embargo, se invierte exactamente en el tiempo: Para la observadora de cohetes, liberamos nuestro protón a alta velocidad diez millones de años antes del impacto y ella libera el suyo un segundo antes de la colisión. De lo contrario los diagramas son simétricos: Para que la figura inferior se vea como la central, intercambia los números de evento 1 y 2, ¡luego ponte de pie sobre tu cabeza!

El observador de cohetes y el observador de la Tierra no coinciden en el tiempo entre los eventos 1 y 0, sino que coinciden en el tiempo adecuado\(\tau_{10}\) entre ellos, es decir, un segundo. También coinciden en el tiempo adecuado\(\tau_{20}\) entre los eventos 2 y 0. Además, debido a la simetría entre las figuras central e inferior, estos dos tiempos propios tienen el mismo valor: Para el caso que hemos elegido, el tiempo del reloj de pulsera (propio) para cada protón es de un segundo entre el lanzamiento y el impacto.

\[\tau_{10}=\tau_{20}\]

Podemos usar estas cantidades para construir expresiones para los\(y\) -momenta de los dos protones. Ambos son protones, por lo que sus masas\(m\) son las mismas y tienen el mismo valor invariante para ambos observadores. Por la igualdad en magnitud de los\(y\) -desplazamientos y la igualdad de\(\tau_{20}\) y\(\tau_{10}\), podemos escribir

\[m \frac{y}{\tau_{10}}=-m \frac{y}{\tau_{20}}\]

[ambos marcos]

La idea clave final en la derivación de la expresión relativista para el impulso es que el protón de movimiento lento viaja entre los eventos 2 y 0 en un tiempo medido por la Tierra que es muy cercano en valor al tiempo adecuado entre estos eventos. La separación vertical\(y\) entre los eventos 2 y 0 es bastante pequeña: un metro. En las mismas unidades, el tiempo entre ellas tiene un gran valor en el marco de la Tierra: un segundo, o 300 millones de metros de tiempo de recorrido ligero. Por lo tanto, para un protón de movimiento tan lento, el tiempo adecuado\(\tau_{20}\) entre los eventos 2 y 0 está muy cerca del tiempo de la Tierra\(t_{20}\) entre estos eventos:

\[\tau_{20} \approx t_{20} \quad \text { [Earth frame only] }\]

De ahí reescribir la ecuación de ambos marcos para el marco de la Tierra:

\[m \frac{y}{\tau_{10}}=-m \frac{y}{t_{20}} \quad \text { [Earth frame only] }\]

El lado derecho de esta ecuación da el\(y\) -momentum del protón lento antes de la colisión, calculado correctamente usando la fórmula newtoniana. El cambio en el impulso del protón lento durante la colisión es el doble de esta magnitud. Ahora mira el lado izquierdo. Afirmamos que la expresión del lado izquierdo es el\(y\) -momentum del protón muy rápido. El\(y\) -momentum del protón rápido también se invierte en la colisión, por lo que el cambio es apenas el doble del valor del lado izquierdo. En resumen, esta ecuación encarna la conservación del\(y\) componente de impulso total en la colisión. Conclusión: El lado izquierdo de esta ecuación arroja la expresión relativista para\(y\) -momentum: masa por desplazamiento dividido por tiempo apropiado para este desplazamiento.

¿Qué tendría de malo usar la expresión newtoniana para el impulso tanto en el lado izquierdo como en el derecho? Eso significaría usar el tiempo de la tierra en\(t_{10}\) lugar del tiempo apropiado\(\tau_{10}\) en el denominador del lado izquierdo. Pero\(t_{10}\) es el tiempo que tardó el rápido protón en llegar a la Tierra desde la galaxia distante como se registra en el marco de la Tierra: ¡diez millones de años o 320 millones de segundos! Con esta sustitución, la ecuación ya no sería una igualdad; el lado izquierdo sería 320 millones de veces menor en valor que el lado derecho (menor porque\(t_{10}\) aparecería en el denominador). Nada muestra más dramáticamente que esto la diferencia radical entre expresiones newtonianas y relativistas para el impulso -y la corrección de la expresión relativista que tiene tiempo propio en el denominador.

Esta derivación de la expresión relativista para momentum se ocupa únicamente de su\(y\) -componente. Pero la elección de\(y\) -dirección es arbitraria. Podríamos haber intercambiado\(y\) y\(x\) ejes. También se ha derivado la expresión para partículas que se mueven a velocidad constante antes y después de la colisión. Cuando la velocidad varía con el tiempo, el impulso se expresa mejor en términos de cambios incrementales en el espacio y el tiempo. Para un desplazamiento de partículas\(d r\) entre dos eventos con un tiempo adecuado de\(d \tau\) separación, la expresión de la magnitud del impulso es

\[p=m \frac{d r}{d \tau}\]

Resumen de una frase: Para preservar la conservación del impulso para colisiones relativistas, simplemente reemplace el “tiempo universal” de Newton\(t\) en la expresión de impulso con el tiempo propio invariante de Einstein\(\tau\).