7.2: Momenergy Flecha

una flecha espacio-tiempo apuntando a lo largo de la línea del mundo

¿Qué hay detrás del nombre momento-energía (momenergía)? Lo que cuenta son sus propiedades. Lo más fácil es descubrir tres propiedades centrales de la energía de la mamá al combinar la observación diaria con la característica esencial de la momenergía: La energía total de la mamá se conserva en cualquier colisión.

Primero, piense en dos guijarros de diferentes tamaños que se mueven con la misma velocidad hacia el parabrisas de un automóvil a toda velocidad. Uno rebota en el parabrisas sin que nadie se dé cuenta; el otro asusta a los ocupantes y deja un rasguño. ¿Cinco veces la misa? Cinco

Momenergy de partículas multiplican la capacidad de entrega de punzones! Cinco veces la momenergia. Momenergy, en otras palabras, es proporcional a la masa.

Segundo, la energía momentánea de una partícula depende de su dirección de desplazamiento. Un guijarro que viene de la parte delantera saca un chip más grande del parabrisas que un guijarro de igual masa y velocidad idéntica que mira desde el parabrisas desde un lado. Por lo tanto mo-

Momenergy una menergía de cantidad dirigida no es medible por un mero número. Es una cantidad dirigida. Como una flecha de cierta longitud, tiene magnitud y dirección.

Nuestra experiencia con la unidad del espacio-tiempo nos lleva a esperar que la flecha de momenergia tenga tres partes, correspondientes a tres dimensiones espaciales, más una cuarta parte correspondiente al tiempo. En lo que sigue encontramos que la momenergia es efectivamente una flecha de cuatro dimensiones en el espacio-tiempo, el momenergy 4-vector (Recuadro 7-1). Sus tres Momenergy a 4 vectores “partes espaciales” representan el impulso del objeto en las tres direcciones espaciales elegidas. Su “parte del tiempo” representa la energía. La unidad de impulso y energía brota de la unidad del espacio y el tiempo.

¿En qué dirección apunta el momenergy 4-vector de una partícula? Señala en la “misma dirección en el espacio-tiempo” que la línea del mundo de la propia partícula (Figura 7-1). Ahí Partícula momenergy apunta a lo largo de su línea del mundo no es otra dirección natural en la que pueda apuntar! El espacio-tiempo en sí no tiene una estructura que indique o favorezca una dirección y no otra. Sólo el movimiento de la propia partícula da una dirección preferida en el espacio-tiempo. La partícula se mueve de un evento a un evento cercano a lo largo de su línea del mundo. Al hacerlo, sufre un desplazamiento espacio-tiempo, pequeños cambios en las tres posiciones espaciales junto con un pequeño avance acompañante en el tiempo. El desplazamiento espacio-tiempo tiene cuatro partes: es un vector 4. La flecha momenergy apunta en la dirección de otra flecha, la flecha del desplazamiento espacio-tiempo de 4 vectores de la partícula. ¡Momenergy corre paralelo a worldline!

Compara la línea del mundo de una partícula individual en el espacio-tiempo con una sola paja en un granero lleno de heno. Esta paja en particular tiene una dirección, una existencia y un significado independiente de cualquier método de medición imaginado por humanos que apilan el heno o por ratones que viven en él. Del mismo modo, en el rico enrejado de las líneas del mundo que discurren a través del espacio-tiempo, la momenergia tipo flecha de la partícula tiene una existencia y definición independientes de la elección -o incluso del uso- de cualquier marco de referencia de flotación libre (Sección 5.9).

¿Sin marco de referencia? Entonces no hay reloj disponible para movimiento de tiempo de aquí para allá! O más bien ningún reloj excepto uno que lleva la partícula misma, su propio reloj de pulsera que registra el tiempo adecuado. ¿El momento adecuado para qué? Tiempo adecuado para el desplazamiento espacio-tiempo entre dos eventos adyacentes en la línea del mundo de la partícula. El tiempo adecuado proporciona el Momenergy independiente del marco de referencia

El reloj de pulsera de partículas registra el tiempo para momenergy solo de manera natural de registrar la velocidad de movimiento de la partícula; esa es la tercera y última característica de momenergy.

En resumen, la momenergía de una partícula es un vector 4: Su magnitud es proporcional a su masa, apunta en la dirección del desplazamiento espacio-tiempo de la partícula, y se calcula utilizando el tiempo adecuado para ese desplazamiento. ¿Cómo se combinan estas propiedades para formar momenergy? ¡Sencillo! Usa la receta del impulso newtoniano: masa por desplazamiento dividido por lapso de tiempo para ese desplazamiento. En lugar de

CAJA\(7-1\)

Un vector es un objeto matemático que tiene tanto magnitud como dirección. Los significados de los términos magnitud y dirección, sin embargo, difieren entre una geometría y otra. Las matemáticas ofrecen muchas geometrías. Las dos geometrías importantes para nosotros en este libro son la geometría euclidiana y la geometría de Lorentz.

La geometría euclidiana define 3 vectores ubicados en el espacio tridimensional. Deja que una partícula acelerada emita dos chispas. El desplazamiento espacial de la partícula de la primera chispa a la segunda chispa es un vector 3. Cada uno de los tres componentes (hacia el norte, este y hacia arriba) de este desplazamiento de 3 vectores tiene un valor mayor o menor, dependiendo de la orientación del sistema de coordenadas elegido. En contraste, la magnitud del desplazamiento -la distancia recorrida (calculada como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los tres componentes del desplazamiento) - tiene el mismo valor en todos los sistemas de coordenadas.

La geometría de Lorentz define 4 vectores ubicados en espacio-tiempo de 4 dimensiones. Construir el desplazamiento espacio-tiempo de 4 vectores a partir de los tres componentes espaciales complementados por el componente de tiempo, el tiempo entre chispas emitidas por la partícula acelerada. Cada uno de estos cuatro componentes (incluido el tiempo) tiene un valor mayor o menor, dependiendo de la elección del marco de referencia de flotación libre a partir del cual se mide. El cuadrado de la separación en el tiempo entre las dos chispas tal como se mide, disminuido por el cuadrado de la separación en el espacio en el marco elegido, produce el cuadrado del intervalo espacio-tiempo entre los dos eventos. Este intervalo tiene el mismo valor en todos los fotogramas de flotación libre. También es el momento adecuado, el tiempo entre las dos chispas leído directamente en el reloj de pulsera de la partícula.

La mecánica newtoniana combina (de varias maneras) el tiempo y la masa de la partícula con el desplazamiento euclidiana de 3 vectores de la partícula para producir 3 vectores adicionales que describen el movimiento de la partícula: velocidad, impulso, aceleración. Cada vector 3 tiene magnitud y dirección. Los valores de los tres componentes de cada 3-vector dependen de la orientación del sistema de coordenadas elegido. Pero por cada cantidad de 3 vectores, el 3-vector en sí es el mismo, tanto en magnitud como en dirección en el espacio, sin importar qué sistema de coordenadas euclidianas elijamos. ¡Cada 3-vector existe incluso en ausencia de cualquier sistema de coordenadas en absoluto! Es por ello que el análisis de la mecánica newtoniana puede proceder en todas sus aplicaciones cotidianas independientemente de la elección del sistema de coordenadas.

La mecánica relativista combina (de varias maneras) el tiempo y la masa adecuados de la partícula con el desplazamiento de 4 vectores de Lorentz de la partícula para producir 4 vectores adicionales que describen el movimiento de la partícula. El centro de estos es el vector 4 de energía momentánea de la partícula, o momenergía. Los valores de los cuatro componentes del vector momenergy 4 difieren según se mide en diferentes fotogramas de fondo libre en movimiento relativo. Pero el momenergy 4-vector en sí es el mismo, tanto en magnitud (¡masa!) y dirección en el espacio-tiempo, sin importar cuál sea el marco. ¡El momenergy 4-vector de una partícula existe incluso en ausencia de cualquier marco de referencia en absoluto! Es por ello que el análisis de la mecánica relativista puede proceder en toda su potencia independientemente de la elección del marco de referencia de flotación libre.

FIGURA 7-1. Movimiento y momenergia vistos como flechas dirigidas idénticamente. La flecha Momenergy se lleva a lo largo de la línea del mundo con la partícula. Bajo la acción de una fuerza, la partícula traza una línea del mundo curva. La flecha de la energía mom-su magnitud constante igual a la masa de la partícula- altera continuamente su inclinación para apuntar en la misma dirección en el espacio-tiempo que la línea del mundo. (Para el caso especial que se muestra bere, la partícula se mueve hacia adentro\(\mathrm{x}\) y\(\mathrm{t}\), pero no en\(\mathrm{y}\) o\(\mathrm{z}\).)

El desplazamiento newtoniano en el espacio, usa el desplazamiento de Einstein en el espacio-tiempo; en lugar del “tiempo universal” de Newton, usa el tiempo propio de Einstein.

El resultado expresa el vector momenergy 4 en términos del desplazamiento espacio-tiempo 4-vector:

\[(\text { momenergy })=\text { (mass) } \times \frac{\text { (spacetime displacement) }}{\text { (proper time for that displacement) }}\]

En cualquier marco de flotación libre dado, el impulso de la partícula son las tres “partes espaciales” de la energía momy la energía de la partícula es la “parte del tiempo”. Esta expresión para momenergia es simple, y funciona -funciona como se emplea en la ley de conservación de la momenergia: Total momenergía antes de la reacción equivale a momenergía total tras reacción. Los investigadores han observado y analizado más de un millón de colisiones, creaciones, transformaciones, desintegraciones y aniquilaciones de partículas y radiación. No han podido descubrir una sola violación a la ley relativista de conservación de la momenergia.

Llegar a una fórmula tan importante como (7-1) de manera tan indolora puede a primera vista crear dudas. Estas dudas tienen que ser desestimadas. El hecho es que no hay espacio para ninguna alternativa -como vemos yendo paso a paso a través de los factores en esta ecuación.

• \(1: m\)Las unidades de declaración de masa que persiguen un movimiento dado llevan\(m\) veces la momenergia de una unidad de masa. Razonamiento: objetos\(m\) idénticos que corren uno al lado del otro llevan\(m\) veces el impulso y los\(m\) tiempos de la energía -y por lo tanto\(m\) veces la momenergia- de un objeto de masa unitaria.
• Declaración 2: Momenergy apunta en la misma dirección en el espacio-tiempo que la línea mundial. Razonamiento: ¿Dónde más puede apuntar? Incluso la más mínima diferencia de dirección entre la energía mamá y la dirección del movimiento a lo largo de la línea del mundo sería testigo de una alocada asimetría en el espacio-tiempo, de la que ningún experimento en el espacio libre de campo ha dado jamás la más mínima evidencia.
• Declaración 3: El desplazamiento espacio-tiempo entre un evento en la línea del mundo y un evento cercano en él especifica la dirección de esa línea del mundo. Razonamiento: El concepto mismo de dirección implica que existe un segmento\(A B\),
• Momenergy fórmula justificada de la línea del mundo lo suficientemente corta como para ser considerada recta. Y para fijar la dirección de este desplazamiento espacio-tiempo\(A B\), basta con conocer la ubicación de dos eventos cualesquiera,\(A\) y\(B\), en este segmento corto.
• Declaración 4: La dirección de la línea del mundo -y por lo tanto la energía de mamá- es independiente de la magnitud del desplazamiento espacio-tiempo. Razonamiento: Elegir un evento\(B^{\prime}\) en la mitad de la línea del mundo tan lejos\(A\) como\(B\) a lo largo del segmento recto corto - así cortar a la mitad el desplazamiento espacio-tiempo - no hace ningún cambio en la dirección de la línea del mundo, por lo tanto, ningún cambio en la dirección de la momenergia, por lo tanto ningún cambio en la momenergia misma.
• Declaración 5: La unidad 4 -vector (desplazamiento espacio-tiempo)/(tiempo propio para ese desplazamiento) define y mide la dirección del desplazamiento de la línea del mundo y por lo tanto la dirección del momenergia 4-vector. Razonamiento: Lo que importa no es el desplazamiento espacio-tiempo individualmente, no el tiempo propio individualmente, sino solo su proporción. Esta relación es la única cantidad dirigida disponible para describir la velocidad de movimiento de la partícula a través del espacio-tiempo.

El desplazamiento espacio-tiempo,\(A B\), tiene una magnitud igual al intervalo (o tiempo apropiado o tiempo de reloj de pulsera) que la partícula requiere para pasar de\(A\) a\(B\). Es por ello que la relación en cuestión es una unidad 4-vector.

El tiempo adecuado proporciona la única forma natural, el único medio independiente de fotogramas, de cronometrar la partícula. Si por el contrario pusiéramos incorrectamente el tiempo de fotograma en el denominador, el tiempo de fotograma medido por la matriz de relojes en un fotograma de flotación libre particular, el valor de este tiempo diferiría de un fotograma a otro. Dividido en el desplazamiento espacio-tiempo, normalmente no produciría un vector unitario. La magnitud del vector diferiría de un fotograma a otro. Por lo tanto debemos usar en el denominador el tiempo adecuado para pasar de\(A\) a\(B\), un tiempo propio idéntico a la magnitud del desplazamiento espacio-tiempo\(A B\) en el numerador.

Declaración 6: El vector momenergy 4 de la partícula es

\[(\text { momenergy })=\text { (mass) } \times \frac{\text { (spacetime displacement) }}{\text { (proper time for that displacement) }}\]

Razonamiento: No hay otra forma independiente del marco para construir un vector 4 que se encuentre a lo largo de la línea del mundo y tenga una magnitud igual a la masa.

Unidades: En este libro, como en cada vez más la escritura actual, el espacio y el tiempo aparecen en la misma unidad: metro. Numerador y denominador en el lado derecho de la ecuación (7-1) tienen la unidad de metro. Por lo tanto, su cociente está libre de unidades. Como resultado,

Unidad de momenergia: masa el lado derecho de la ecuación tiene la misma unidad que el primer factor: masa. Entonces el lado izquierdo, la flecha momenergy, también debe tener la unidad de masa. Como se enfatiza la unicidad del espacio-tiempo midiendo el espacio y el tiempo en la misma unidad, así se aclara la unidad de la momenergía midiendo el impulso y la energía en la misma unidad: la masa. El cuadro 7-1 al final del capítulo compara las expresiones de impulso y energía en unidades de masa con expresiones en unidades convencionales. Dices que la ecuación para momenergia es

\[(\text { momenergy })=(\text { mass }) \times \frac{\text { (spacetime displacement) }}{\text { (proper time for that displacement) }}\]

Pensé que el “desplazamiento espacio-tiempo” era el intervalo, que es el tiempo adecuado. Sé, bowever, que me equivoco, porque si el desplazamiento espacio-tiempo y el tiempo propio fueran lo mismo, entonces el numerador y denominador de la fracción cancelarían, y la momenergia simplemente equivaldría a masa. Seguramente nos habrías dicho de tanta sencillez. ¿Qué bave me perdí?

\(2=\)Es fácil confundir un vector -o un 4-vector- con su magnitud.

En la expresión para momenergy, el desplazamiento espacio-tiempo es un vector 4 (Recuadro 7-1). En el marco de laboratorio este desplazamiento 4-vector tiene cuatro componentes,\(\{d t\),\(d x, d y, d z\}\). En un cohete de flotación libre que se mueve en una dirección arbitraria, el vector 4 de desplazamiento tiene cuatro componentes\(\left\{d t^{\prime}, d x^{\prime}, d y^{\prime}, d z^{\prime}\right\}\), típicamente diferentes, respectivamente, de los que se encuentran en el marco del laboratorio.

Un vector en el espacio (un vector 3) no solo tiene una magnitud sino también una dirección independiente de cualquier sistema de coordenadas. (“¿Qué camino fueron?” “¡De esa manera!” - apuntando.) De manera similar, el desplazamiento espacio-tiempo tiene una magnitud y dirección en espacio-tiempo independiente de cualquier marco de referencia. Esta dirección espacio-tiempo distingue el desplazamiento de 4 vectores (el numerador anterior) de su magnitud, que es el tiempo adecuado para ese desplazamiento (el denominador). Este tiempo adecuado (intervalo) se puede observar directamente: es el lapso de tiempo leído del reloj de pulsera que lleva la partícula mientras sufre el desplazamiento espacio-tiempo.

En resumen la fracción

\[\frac{\text { (spacetime displacement) }}{\text { (proper time for that displacement) }}\]

Unidad 4-vector a lo largo de worldline

tiene un numerador que es un vector 4. Este numerador de 4 vectores tiene la misma magnitud que el denominador. La fracción resultante es por lo tanto una unidad de 4 vectores que apunta a lo largo de la línea del mundo de la partícula. Esta unidad 4-vector determina la dirección de la momenergía de la partícula en el espacio-tiempo. Y la magnitud de la momenergia? Es la masa de la partícula, el primer término a la derecha de la expresión en la parte superior de esta página. En resumen, la momenergía de una partícula es de 4 vectores de magnitud\(m\) apuntando a lo largo de su línea del mundo en el espacio-tiempo. Esta descripción es independiente del marco de referencia.