1.4: La transformación de Lorentz
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Objetivos de aprendizaje
- Estudio de la transformación de Lorentz
Filosóficamente, las coordenadas son innecesarias, pero son convenientes. Son arbitrarios, por lo que podemos cambiar de un conjunto a otro. Por ejemplo, podemos cambiar las unidades utilizadas para medir el tiempo y la posición, como en el primer y segundo paneles de figura\(\PageIndex{1}\). Nada cambia sobre los eventos subyacentes; solo las etiquetas son diferentes. El tercer panel muestra una convención conveniente que usaremos para representar dichos cambios visualmente. El rectángulo gris representa la cuadrícula original desde el primer panel, mientras que la cuadrícula de líneas negras representa la nueva versión del segundo panel. Omitir la cuadrícula del rectángulo gris hace que el diagrama sea más fácil de decodificar visualmente.
En relatividad especial es de interés convertir entre las coordenadas Minkowski de observadores que están en movimiento relativos entre sí. El resultado, mostrado en la figura\(\PageIndex{1}\), es una especie de estiramiento y alisado de las diagonales. Dado que el área es invariante, una diagonal crece por el mismo factor por el cual la otra se contrae. Este cambio de coordenadas se llama la transformación de Lorentz.
La figura\(\PageIndex{3}\) muestra cómo se producen la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud en esta imagen. Se debe enfatizar aquí que la transformación de Lorentz incluye más efectos que solo la contracción de longitud y la dilatación del tiempo. Muchos principiantes en la relatividad se confunden y llegan a conclusiones erróneas al tratar de reducir todo a una cuestión de insertar factores de\(\gamma\) en diversas ecuaciones. Si la transformación de Lorentz no equivalía a nada más que contracción de longitud y dilatación de tiempo, sería meramente un cambio de unidades como la que se muestra en la figura\(\PageIndex{1}\).
La transformación de Lorentz puede ser anotada algebraicamente:
\[t' = \gamma t - \nu\gamma x \\ x' = -\nu\gamma t + \gamma x \label{\(\PageIndex{1}\)}\]
El hecho de que esta sea la correcta transformación relativista se puede verificar señalando que
- se conservan las líneas de velocidad\(x = \pm t\) de la luz, y
- el determinante es igual\(1\).
para que se conserven las áreas. Alternativamente, es suficiente verificar la invarianza del intervalo espacio-tiempo bajo esta transformación.
Las ecuaciones\(\PageIndex{1}\) tratan el espacio y el tiempo de una manera perfectamente simétrica, pero esto no debe tomarse como implicando que la relatividad especial encarna a la perfección tal simetría. Por ejemplo, puedo volver a visitar fácilmente un lugar en el que he estado antes, pero no puedo retroceder en el tiempo. Y por supuesto tenemos tres dimensiones de espacio; nuestro uso de\(1+1\) las dimensiones más que\(3+1\) es solo una cuestión de conveniencia por el momento. Tenga en cuenta también que no existe una analogía exacta entre la figura\(\PageIndex{3}\) (1), donde el reloj es un objeto puntual que traza una línea a través del espacio-tiempo, y la figura\(\PageIndex{3}\) (2), donde la regla es un cuerpo extendido que barre una cinta de lados paralelos.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Observers agree on their relative speeds
\(B\)El observador\(A\) dice que el observador se aleja de ella a\(v\) gran velocidad; ¿es cierto, como en la relatividad galilea, que\(B\) mide la misma velocidad para\(A\)?
Sí, es cierto, pero no del todo obvio. Una forma de verificar este hecho es comprobar que Lorentz transforma con velocidades\(v\) y\(-v\) son inversas. En la figura se muestra una justificación más transparente físicamente\(\PageIndex{4}\). En la figura\(\PageIndex{4}\) (1),\(A\) determina la\(B’s\) velocidad relativa a ella enviando dos señales de ida y vuelta a la velocidad de la luz, y midiendo la diferencia entre los dos tiempos de ida y vuelta. Debido a que el espacio es el mismo en todas las direcciones, los datos experimentales son exactamente los mismos cuando se\(B\) realiza la medición, figura\(\PageIndex{4}\) (2), y por lo tanto\(B\) infiere la misma velocidad.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Motion in the opposite direction
La figura\(\PageIndex{5}\) muestra el caso en el que el observador cuyo marco está representado por la cuadrícula se mueve hacia la izquierda con relación a aquel cuyo marco está representado por el cuadrado gris.
Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Other quadrants
Hasta ahora he estado eligiendo arbitrariamente dibujar solo el primer cuatriciclo de cada sistema de coordenadas. La figura\(\PageIndex{6}\) muestra una región que incluye los cuatro cuadrantes.
Ejemplo\(\PageIndex{4}\): A numerical example of invariance
La figura\(\PageIndex{7}\) muestra dos fotogramas de referencia en movimiento uno con respecto al otro en\(v = \frac{3}{5}\). (Para esta velocidad, el estiramiento y el estrujado de las diagonales principales son ambos por un factor de\(2\)). Los eventos se marcan en coordenadas que en el marco representado por el cuadrado son
\[(t,x) = (0,0) \\ (t,x) = (13,11)\]
El intervalo entre estos eventos es\(13^2 - 11^2 = 48\). En el marco representado por el paralelogramo, los mismos dos eventos se encuentran en las coordenadas
\[(t',x') = (0,0) \\ (t',x') = (8,4)\]
Calculando el intervalo usando estos valores, el resultado es\(8^2 - 4^2 = 48\), que sale igual que en el otro fotograma.
Ejemplo\(\PageIndex{5}\): The garage paradox
Una de las más famosas de todas las llamadas paradojas de la relatividad tiene que ver con nuestro sentimiento incorrecto de que la simultaneidad está bien definida. La idea es que uno pueda tomar un autobús escolar y conducirlo a velocidades relativistas a un garaje de tamaño ordinario, en el que normalmente no cabría. Debido a la contracción de longitud, el autobús supuestamente cabría en la cochera. El chofer, sin embargo, percibirá la cochera como contratada y por lo tanto aún menos capaz de contener el autobús.
La paradoja se resuelve cuando reconocemos que el concepto de encajar el autobús en el garaje “todo a la vez” contiene una suposición oculta, la suposición de que tiene sentido preguntar si la parte delantera y trasera del autobús pueden estar simultáneamente en la cochera. Los observadores en diferentes marcos de referencia que se mueven a altas velocidades relativas no necesariamente están de acuerdo sobre si las cosas suceden simultáneamente. Como se muestra en la figura aw. la persona en el marco del garaje puede cerrar la puerta en un instante B percibe que es simultánea con la llegada del parachoques delantero A a la pared trasera del garaje, pero el conductor no estaría de acuerdo sobre la simultaneidad de estos dos eventos, y percibiría que la puerta se había cerrado por mucho tiempo después de que atravesara la pared posterior.
Ejemplo\(\PageIndex{6}\): Shifting clocks
La fila superior de relojes en la figura\(\PageIndex{9}\) se encuentran en tres lugares diferentes. Se han sincronizado en el marco de referencia de la tierra, representado por el papel. Esta sincronización se lleva a cabo mediante el intercambio de señales de luz (sincronización de Einstein). Por ejemplo, si ambos relojes delantero y trasero envían destellos de luz cuando piensan que es en\(2\) punto, el del medio los recibirá a ambos al mismo tiempo. El evento\(A\) es aquel en el que el reloj trasero\(A\) lee\(2\) en punto, etc.
La fila inferior de relojes se encuentra a bordo del tren, y se han sincronizado de manera similar. Por las razones discutidas en el ejemplo 1.1.4 en la sección 1.1, su sincronización difiere de la de los relojes terrestres. Al hacer referencia al diagrama de la transformación de Lorentz que se muestra a la derecha, vemos que en el marco del tren,\(2\),\(C\) sucede primero, luego\(B\), después\(A\).
Este es un ejemplo de la interpretación del término\(t' = \dots - \nu\gamma x\) en la transformación de Lorentz (eq. \(\PageIndex{1}\)). Debido a que los eventos ocurren en diferentes\(x’s\), cada uno se desplaza en el tiempo relativo al siguiente, de acuerdo con los relojes sincronizados en el cuadro 2 (\(t'\), el tren).
Ejemplo\(\PageIndex{7}\): Deja vu?
Las cuadrículas que venimos dibujando son meras convenciones, tan elaboradas y arbitrarias como el vestido en la corte de Luis XIV. Vienen de un proceso de topografía, que tal vez deba planificarse con anticipación y cuyos resultados quizás no podamos ver hasta más tarde. La línea oscura en la figura\(\PageIndex{10}\) es la línea mundial de un observador\(O\), que se mueve inercialmente por un tiempo, acelera hacia la izquierda, y luego vuelve a moverse inercialmente. A la derecha se pegan dos cuadrículas de coordenadas adaptadas a los dos segmentos inerciales. En el evento\(E\), Bush roba las elecciones del 2000, y esto se representa como simultáneo tanto con el evento\(A\) como con el evento\(B\). ¿Pobre O ve que pase dos veces? No, aunque la mala noticia sea transmitida por una señal que se mueve a la velocidad de la luz (línea discontinua), la\(O\) recibe sólo una vez, en el evento\(C\).
El único problema aquí es una mala elección de etiquetas, lo que hace\(E\) que tengan más de una etiqueta. Algo similar ocurre en un cuadro de aceleración constante, sección 7.1,
Muchos errores de los principiantes en la relatividad giran en torno a un conjunto de ideas preconcebidas no examinadas sobre lo que significa observar las cosas. Uno imagina que efectos como la contracción de la longitud y la dilatación del tiempo son lo que realmente ve un observador, y tal vez que este proceso de ver es instantáneo. O se piensa en las coordenadas de Minkowski como si fueran el resultado de un proceso simple y automático de percepción por parte de un observador. Este es el tipo de pensamiento que llevará a uno a creer que el ejemplo\(\PageIndex{7}\) es una locura o paradójico.
Como otro ejemplo, no se debe imaginar que la contracción de longitud de un palo por\(\frac{1}{\gamma}\) es lo que un observador realmente ve al mirar el palo. Las observaciones ópticas están influenciadas, por ejemplo, por los tiempos desiguales que se toman para que la luz se propague desde los extremos del palo hasta el ojo. En el ejemplo 1.3.3 se dibuja una simulación de este tipo de efecto.
La contracción de la longitud, la dilatación del tiempo, la dependencia del observador de la simultaneidad y las coordenadas de Minkowski son todos resultados sofisticados de un laborioso proceso de recolección y análisis de datos obtenidos por técnicas como la sincronización de Einstein, que requieren acciones como consultar relojes atómicos o intercambiar señales entre diferentes puntos a la velocidad de la luz. La figura\(\PageIndex{11}\) describe dicho proceso de una manera caricaturesca. Una flota de cohetes, transportando topógrafos, es enviada desde la Tierra y dispersa por una vasta región del espacio. Los topógrafos miran a través de sus teodolitos las imágenes, las cuales están formadas por rayos de luz (líneas discontinuas) que han llegado después de viajar a la velocidad finita c. Dichos rayos de luz llevan información vieja y viciada sobre diversos eventos. Ha estallado una guerra nuclear. La música rock and roll ha llegado a Saturno. Los datos resultantes son luego transmitidos por diversos medios (paloma pasajera, radio codificada por Morse, correo en papel) y se consolidan en la oficina de topografía. En la oficina, los trabajadores de una larga fila de escritorios crujen los números y producen un gráfico de las coordenadas de Minkowski con los eventos marcados en.