7.4: Resumen de las leyes de transformación

Objetivos de aprendizaje

• Leyes de transformación resumidas

Habiendo trabajado a través de un ejemplo en detalle, pasemos de lo específico a lo general. En la notación de índice concreto de Einstein, deje que las coordenadas\((x^0,x^1,x^2,x^3)\) se transformen en nuevas coordenadas\((x^{'0},x^{'1},x^{'2},x^{'3})\). Luego los vectores se transforman de acuerdo con la regla

\[v^{'\mu } = v^\kappa \frac{\partial x^{'\mu }}{\partial x^\kappa }\]

donde la convención de suma de Einstein implica una suma sobre el índice repetido\(κ\). Por el mismo razonamiento que en la sección 6.4, la transformación para un covector\(ω\) es

\[\omega _{\mu }^{'} = \omega _\kappa \frac{\partial x^\kappa }{\partial x^{'\mu }}\]

Obsérvese la inversión de la derivada parcial en una ecuación comparada con la otra. Debido a que estas ecuaciones describen un cambio de un sistema de coordenadas a otro, claramente dependen del sistema de coordenadas, por lo que usamos índices griegos en lugar de los latinos que indicarían una ecuación de índice abstracto independiente de coordenadas.

La letra\(µ\) en estas ecuaciones siempre aparece como un índice refiriéndose a las nuevas coordenadas,\(\kappa\) a las antiguas. Por esta razón, podemos salirnos con la suya dejando caer los primos y escribir, por ejemplo,

\[v^{\mu } = v^{\kappa }\frac{\partial x^{'\mu }}{\partial x^{\kappa }}\]

más que\(v'\), contando con contexto para mostrar que\(v^µ\) es el vector expresado en las nuevas coordenadas,\(v^{\kappa }\) en las antiguas. Esto se vuelve especialmente natural si comenzamos a trabajar en un sistema de coordenadas específico donde las coordenadas tienen nombres. Por ejemplo, si transformamos de coordenadas\((t,x,y,z)\) a\((a,b,c,d)\), entonces es claro que\(v^t\) se expresa en un sistema y\(v^c\) en el otro.

En Ecuación\(\PageIndex{2}\),\(µ\) aparece como un subíndice en el lado izquierdo de la ecuación, pero como un superíndice a la derecha. Esto parecería violar las reglas gramaticales dadas en la sección 6.7, pero la interpretación aquí es que en expresiones de la forma\(∂/∂x^i\) y\(∂/∂x_i\), los superíndices y subíndices deben entenderse como volteados. Del mismo modo, Ecuación\(\PageIndex{1}\) parece tener la suma implícita sobre\(\kappa\) escrito sin gramaticalmente, con ambos\(\kappa\) apareciendo como superíndices. Normalmente sólo tenemos sumas implícitas en las que el índice aparece una vez como superíndice y una vez como subíndice. Con nuestra nueva regla para interpretar índices en la parte inferior de los derivados, se ve que la suma implícita está escrita correctamente. Esta regla es similar a la de analizar las unidades de derivadas escritas en notación Leibniz, con, por ejemplo,\(d^2 x/dt^2\) tener unidades de metros por segundo al cuadrado. Es decir, el flipping de los índices como este se requiere para la consistencia para que todo funcione correctamente cuando cambiemos nuestras unidades de medida, haciendo que todos nuestros componentes vectoriales sean reescalados.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): The identity transformation

En el caso de la transformación de identidad\(x^{'µ} = x^µ\), Ecuación da\(\PageIndex{1}\) claramente\(v^{'} = v\), ya que todas las derivadas parciales mixtas\(∂x^{'µ}/∂x^κ\) con\(\mu \neq \kappa\) son cero, y todas las derivadas para\(κ = µ\) iguales\(1\).

En Ecuación\(\PageIndex{2}\), es tentador escribir

\[\frac{\partial ^{\kappa }}{\partial x^{'\mu }} = \frac{1}{\frac{\partial x^{'\mu }}{\partial x^{\kappa }}}\; \; \; \; \text{wrong!}\]

¡pero esto daría infinitos resultados para los términos mixtos! Solo en el caso de funciones de una sola variable es posible flip derivadas de esta manera; no funciona para derivadas parciales. Para evaluar estas derivadas parciales, tenemos que invertir la transformación (que en este ejemplo es trivial de lograr) y luego tomar las derivadas parciales.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Polar coordinates

Ninguna de las técnicas aquí discutidas son particulares de la relatividad. Por ejemplo, considere la transformación de coordenadas polares\((r,θ)\) en el plano a coordenadas cartesianas

\[x = r cosθ\]

\[y = r sinθ\]

Un bicho se sienta en el borde de un tocadiscos de fonógrafo, a\((r,θ) = (1,0)\). El plato giratorio gira en sentido horario, dando al insecto un vector de velocidad\(v^κ = (v^r,v^θ) = (0,-1)\), es decir, la velocidad angular es de un radián por segundo en la dirección negativa (en sentido contrario a las agujas del reloj). Encontremos el vector de velocidad del error en coordenadas cartesianas. La ley de transformación para vectores da:

\[v^x = v^{\kappa } \frac{\partial x}{\partial x^{\kappa }}\]

Ampliando la suma implícita sobre el índice repetido\(κ\), tenemos

\[\begin{align*} v^x &= v^r \frac{\partial x}{\partial r} + v^{\theta } \frac{\partial x}{\partial \theta }\\ &= (0) \frac{\partial x}{\partial r} + (-1)\frac{\partial x}{\partial \theta }\\ &= -r\sin \theta \\ &= 0 \end{align*}\]

Para el\(y\) componente,

\[\begin{align*} v^y &= v^r \frac{\partial y}{\partial r} + v^{\theta } \frac{\partial y}{\partial \theta }\\ &= (0) \frac{\partial y}{\partial r} + (-1)\frac{\partial y}{\partial \theta }\\ &= -r\sin \theta \\ &= -1 \end{align*}\]