2.E: Geometría del espacio-tiempo plano (Ejercicios)

1. Supongamos que aún no conocemos la forma exacta de la transformación de Lorentz, pero sabemos a partir del experimento de Michelson-Morley que la velocidad de la luz es la misma en todos los fotogramas inerciales, y ya hemos determinado, por ejemplo, por argumentos como los anteriores, que no puede haber contracción de longitud en la dirección perpendicular al movimiento. Construimos un “reloj de luz”, que consiste simplemente en dos espejos uno frente al otro, con un pulso de luz que rebota de un lado a otro entre ellos.
   1. Supongamos que este reloj de luz se mueve a una velocidad constante v en la dirección perpendicular a su propio brazo óptico, que es de longitud L. Utilice el teorema de Pitágoras para demostrar que el reloj experimenta una dilatación de tiempo dada por\(\gamma = 1/ \sqrt{1 − v^{2}}\), fijando así la porción tiempo-tiempo de la transformación de Lorentz.
   2. ¿Por qué es significativo para la interpretación de la relatividad especial que el resultado de la parte a sea independiente de L?
   3. Realizar un cálculo similar en el caso en que el reloj se mueva con aceleración constante a medida en algún cuadro inercial. Si bien el resultado depende de L, demostrar que en el límite de L pequeña, recuperamos el resultado anterior de velocidad constante, sin dependencia explícita de a.

Nota

Algunos autores afirman un “postulado de reloj” para la relatividad especial, que dice que para un reloj que es suficientemente pequeño, la velocidad a la que corre depende únicamente de v, no de a (excepto en el sentido trivial que v y a están relacionados por cálculo). El resultado de la parte c muestra que el reloj “postulado” es realmente un teorema, no una afirmación que es lógicamente independiente de los otros postulados de relatividad especial. Si bien este argumento solo se aplica a una familia particular de relojes de luz de varios tamaños, también se puede convertir cualquier reloj pequeño en un reloj insensible a la aceleración, adjuntando un acelerómetro al mismo y aplicando una corrección adecuada para compensar la sensibilidad observada del reloj a la aceleración. (Todavía es necesario que el reloj sea pequeño, ya que de lo contrario la falta de simultaneidad en la relatividad hace imposible describir a todo el reloj como teniendo una cierta aceleración en un instante determinado.) Farley en al. ²² han verificado el “postulado de reloj” dentro de 2% para la desintegración radiactiva de muones con\(\gamma\) ∼ 12 siendo acelerada por campos magnéticos a 5 × 10 ¹⁸ m/s ². Algunas personas se confunden con esta propiedad independiente de la aceleración de los relojes pequeños y piensan que contradice el principio de equivalencia. Para una buena explicación, consulte http://math.ucr.edu/home/baez/physics/Relativity/SR/clock.html.

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²² Nuevo Cimento 45 (1966) 281

2. Algunas de las pruebas más conceptualmente directas de dilatación relativista del tiempo se llevaron a cabo comparando las tasas de relojes atómicos gemelos, uno dejado en la cima de una montaña durante cierto tiempo y el otro en un valle cercano debajo. ²³ A diferencia de los relojes del experimento Hafele-Keating, estos son estacionarios durante casi toda la duración del experimento, por lo que cualquier dilatación temporal es puramente gravitacional, no cinemática. Uno podría objetar, sin embargo, que los relojes no están realmente en reposo uno respecto al otro, debido a la rotación de la tierra. Este es un ejemplo de cómo la distinción entre las dilataciones de tiempo gravitacionales y cinemáticas depende del marco, ya que el efecto es puramente gravitacional en el marco giratorio, donde el campo gravitacional es reducido por la fuerza centrífuga ficticia. Demostrar que, en el marco no giratorio, la relación entre el efecto cinemático y el gravitacional resulta ser 2.8 × 10 ⁻³ en la latitud de Tokio. Este pequeño valor indica que el experimento puede interpretarse como una prueba muy pura del efecto gravitacional de dilatación del tiempo. Para calcular el efecto, será necesario utilizar el hecho de que, como se discutió anteriormente, los desplazamientos al rojo gravitacionales pueden interpretarse como dilataciones gravitacionales del tiempo.

Un gráfico del papel de Iijima, que muestra la diferencia horaria entre los dos relojes. Un reloj se mantuvo en el Observatorio Mitaka, a 58 m sobre el nivel del mar. El otro se movió de un lado a otro entre un segundo observatorio, la estación Norikura Corona, y el pico del volcán Norikura, a 2876 m sobre el nivel del mar. Las mesetas en la gráfica son datos de los periodos en los que se compararon los relojes uno al lado del otro en Mitaka. La diferencia entre una meseta y la siguiente es la dilatación gravitacional del tiempo acumulada durante el período en que el reloj móvil estuvo en la cima de Norikura.

Nota

L. Briatore y S. Leschiutta, “Evidencia del desplazamiento gravitacional terrestre por comparación directa atómica-escala de tiempo”, Il Nuovo Cimento B, 37B (2): 219 (1977). Iijima et al., “Un experimento para el posible cambio azul en la estación Norikura Corona”, Anales del Observatorio Astronómico de Tokio, Segunda Serie, Vol. XVII, 2 (1978) 68.

3. (a) En la Figura 2.5.10, se demostró que la precesión de Thomas es proporcional al área en el disco de velocidad. Utilice un argumento similar para mostrar que el efecto Sagnac es proporcional al área encerrada por el bucle. b) Verificar esto de manera más directa en el caso especial de un bucle circular. (c) Demostrar que un reloj de luz del tipo descrito en el problema 1 es insensible a la rotación con velocidad angular constante. (d) Conectar estos resultados con los supuestos de conmutatividad y transitividad en el procedimiento de sincronización de reloj de Einstein descrito más adelante.
4. El Ejemplo 14 discute los límites relativistas sobre las propiedades de la materia, utilizando el ejemplo de sacar un cubo de un agujero negro. Derivar un límite similar al considerar la posibilidad de enviar señales fuera del agujero negro mediante vibraciones longitudinales de un cable, como en el teléfono del niño hecho de dos latas conectadas por un trozo de cuerda.

Nota

Sorprendentemente pueden surgir cuestiones sutiles en tales cálculos; véase A.Y. Shiekh, Can. J. Phys. 70, 458 (1992). Para un tratamiento cuantitativo de una cuerda colgante en relatividad, véase Greg Egan, “The Rindler Horizon”, http://gregegan.customer.netspace.net.au/SCIENCE/Rindler/RindlerHorizon.html.

5. El programa Maxima demuestra cómo multiplicar matrices y encontrar series Taylor. Aplica esta técnica al siguiente problema. Para sucesivos Lorentz impulsa a lo largo del mismo eje con rapididades\(\eta_{1}\) y\(\eta_{2}\), encontrar la matriz que representa la transformación combinada de Lorentz, en una serie de Taylor hasta los primeros términos no clásicos en cada elemento de la matriz. Una serie mixta de Taylor en dos variables se puede obtener simplemente anidando funciones taylor. La función taylor trabajará felizmente en matrices, no solo en escalares.