3: Geometría Diferencial

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La geometría diferencial utiliza las técnicas de cálculo diferencial, cálculo integral, álgebra lineal y álgebra multilineal para estudiar problemas en geometría.

3.1: Introducción a la Geometría Diferencial
La relatividad general se describe matemáticamente en el lenguaje de la geometría diferencial. Tomemos esos dos términos en orden inverso. La geometría del espacio-tiempo no es euclidiana.
3.2: Vectores tangentes
La noción física de primer año de un vector lleva todo tipo de bagaje, incluyendo ideas como la rotación de vectores y una magnitud que es positiva para vectores distintos de cero. También se solía asumir la capacidad de representar vectores como flechas, es decir, figuras geométricas de tamaño finito que podrían transportarse a otros lugares —pero en una geometría curva, en general no es posible transportar una figura a otra ubicación sin distorsionar su forma, por lo que no hay noción de congruencia.
3.3: Nociones afines y transporte paralelo
Queremos poder medir las cosas en el espacio-tiempo curvo. Resulta que existen dos sistemas complementarios de medición que podemos aplicar: medida afín y medida métrica.
3.4: Modelos
Una primera reacción típica a la frase “espacio-tiempo curvo” —o incluso “espacio curvo”, para el caso— es que suena como una tontería. ¿Cómo se puede curvar o distorsionar el espacio vacío sin rasgos?
3.5: Cantidades intrínsecas
Los modelos pueden ser peligrosos, porque pueden tentarnos a imputar la realidad física a rasgos que son puramente extrínsecos, es decir, que sólo están presentes en ese modelo en particular. Esto se opone a las características intrínsecas, que están presentes en todos los modelos, y que por lo tanto están implícitas lógicamente por los axiomas del propio sistema. La existencia del lunes es claramente una característica intrínseca de las geometrías no euclidianas, ya que la intersección de líneas se definió antes de que se hubiera propuesto algún modelo.
3.6: La Métrica (Parte 1)
La noción puramente afín de vectores y sus duales no es suficiente para definir la longitud de un vector en general; sólo es suficiente definir una longitud relativa a otras longitudes a lo largo de una misma geodésica. Cuando los vectores se encuentran a lo largo de diferentes geodésicas, necesitamos poder especificar el factor de conversión adicional que nos permita comparar uno con otro. A la pieza de maquinaria que nos permite hacer esto se le llama métrica.
3.7: La Métrica (Parte 2)
El conjunto de todas las transformaciones que se pueden construir a partir de sucesivas traslaciones, rotaciones y reflexiones se llama el grupo de isometrías. También se puede definir como el grupo que conserva los productos punteados, o el grupo que conserva la congruencia de triángulos.
3.8: La Métrica en la Relatividad General
Cuando hay masas presentes, encontrar la métrica es análogo a encontrar el campo eléctrico hecho por cargas, pero la interpretación es más difícil. En el caso electromagnético, el campo se encuentra sobre un fondo preexistente de espacio y tiempo. En la relatividad general, no hay geometría preexistente del espacio-tiempo. La métrica nos dice cómo encontrar distancias en términos de nuestras coordenadas, pero las coordenadas en sí mismas son completamente arbitrarias.
3.9: Interpretación de la Independencia Coordinada
En esta sección se discuten algunas de las cuestiones que surgen en la interpretación de la independencia coordinada. Se puede omitir en una primera lectura.
3.E: Geometría Diferencial (Ejercicios)

Miniaturas: Un triángulo inmerso en un plano en forma de silla de montar (un paraboloide hiperbólico), así como dos líneas ultraparallel divergentes. (Dominio Público; LucasVB).