8.2: Fuentes en la Relatividad General (Parte 2)

Energía de los campos gravitacionales no incluidos en el tensor de energía de estrés

Resumiendo la historia de los resultados de Kreuzer y Bartlett-van Buren, encontramos que las observaciones verifican con alta precisión una de las propiedades definitorias de la relatividad general, que es que todas las formas de energía son equivalentes a la masa. Es decir, el famoso E = mc ² de Einstein se puede extender a los efectos gravitacionales, con la condición de que la fuente de los campos gravitacionales no sea realmente un escalar m sino el tensor estresenergia T.

Pero hay una excepción a este tratamiento igualitario de todo tipo de energía, que es que la energía del campo gravitacional en sí no está incluida en T, y ni siquiera es generalmente un concepto bien definido localmente. En la gravedad newtoniana, podemos tener conservación de energía si atribuimos al campo gravitacional una densidad de energía potencial negativa\(− \frac{\textbf{g}^{2}}{8 \pi}\). Pero el principio de equivalencia nos dice que g no es un tensor, pues siempre podemos hacer que g desaparezca localmente entrando en el marco de un observador de caída libre, y sin embargo las leyes de transformación del tensor nunca cambiarán un tensor distinto de cero a un tensor cero bajo un cambio de coordenadas. Dado que el campo gravitacional no es un tensor, no hay forma de agregar un término para ello a la definición de la energía-estrés, que es un tensor. La gramática y el vocabulario de la notación tensora están diseñados específicamente para evitar escribir tal cosa, de manera que el lenguaje de la relatividad general ni siquiera sea capaz de expresar la idea de que los campos gravitacionales contribuirían a T.

ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Autocomprobación: (1) Convénzase de que el signo negativo en la expresión tiene\(− \frac{\textbf{g}^{2}}{8 \pi}\) sentido, al considerar el caso en el que dos masas iguales comienzan muy separadas y luego caen juntas y se combinan para hacer un solo cuerpo con el doble de masa. (2) El campo gravitacional newtoniano es el gradiente del potencial gravitacional\(\phi\), que corresponde en el límite newtoniano al componente tiempo-tiempo de la métrica. Con esta motivación, supongamos que alguien propone generalizar la densidad energética newtoniana\(− \frac{(\nabla \phi)^{2}}{8 \pi}\) a una expresión similar como\(−(\nabla_{a} g^{a}_{b})(\nabla_{c} g^{b}_{c})\), donde ahora\(\nabla\) está la derivada covariante, y g es la métrica, no la fuerza de campo newtoniana. ¿Qué sale mal?

Como ejemplo concreto, observamos que el sistema púlsar binario de Hulse-Taylor (sección 6.2) está perdiendo gradualmente energía orbital, y que la tasa de pérdida de energía coincide exactamente con la predicción de la relatividad general de la tasa de radiación gravitacional. Hay una disminución neta en las formas de energía, como la masa de reposo y la energía cinética, que se contabilizan en el tensor de energía de estrés T. Podemos dar cuenta de la energía faltante atribuyéndola a las ondas gravitacionales salientes, pero esa energía no está incluida en T, y tenemos que desarrollar técnicas especiales para evaluar esa energía. Esas técnicas sólo resultan aplicarse a ciertos tipos especiales de espacio-tiempos, como las asintóticamente planas, y no permiten atribuir una densidad de energía definida de manera única a una pequeña región particular del espacio (porque si lo hicieran, eso violaría el principio de equivalencia).

Ejemplo 3: La energía gravitacional es localmente inconmensurable

Cuando se descubre una nueva forma de energía, la forma en que establecemos que es una forma de energía es que puede transformarse hacia o desde otras formas de energía. Por ejemplo, Becquerel descubrió la radiactividad al notar que las placas fotográficas dejadas en el cajón de un escritorio junto con sales de radio se nublaron: alguna nueva forma de energía se había convertido en formas previamente conocidas como la energía química. Es sólo en este sentido limitado que la energía es siempre observable localmente, y esta limitación nos impide definir de manera significativa ciertas medidas de energía. Por ejemplo, nunca podemos medir el potencial eléctrico local en el mismo sentido que podemos medir la presión barométrica local; un potencial de 137 voltios solo tiene significado relativo a alguna otra región del espacio tomada para estar en tierra. Usemos el acrónimo MELT para referirnos a la medición de energía por la transformación local de esa energía de una forma a otra.

La razón por la que funciona MELT es que la energía (o en realidad el cuatro vector de impulso) se conserva localmente, como se expresa por la propiedad de cero-divergencia del tensor de energía de estrés. Sin conservación, no hay noción de transformación. Las ecuaciones de campo de Einstein implican esta propiedad de divergencia cero, y las ecuaciones de campo han sido bien verificadas por una variedad de observaciones, incluyendo muchas observaciones (como pruebas del sistema solar y observación del sistema Hulse-Taylor) que en términos newtonianos serían descritas como implicantes (no locales) transformaciones entre la energía cinética y la energía del campo gravitacional. Esta concordancia con la observación se logra tomando T = 0 en vacío, independientemente del campo gravitacional. Por lo tanto, cualquier transformación local de la energía del campo gravitacional en otra forma de energía sería inconsistente con la observación previa. Esto implica que MELT es imposible para la energía de campo gravitacional.

En particular, supongamos que el observador A realiza un MELIDO local de energía de campo gravitacional, y que A ve esto como un proceso en el que el campo gravitacional se reduce en intensidad, provocando la liberación de alguna otra forma de energía como el calor. Consideremos ahora la situación como la ve el observador B, quien se encuentra en caída libre en la misma región local. B dice que nunca hubo ningún campo gravitacional en primer lugar, y por lo tanto ve al calor como una violación de la conservación local de la energía. En el marco de B, esta es una divergencia distinta de cero del tensor de tensión-energía, que falsifica las ecuaciones de campo de Einstein.

Algunos Ejemplos

Concluimos esta introducción al tensor estres-energía con algunos ejemplos ilustrativos.

Ejemplo 4: Un fluido perfecto

Para un fluido perfecto, tenemos $$T_ {ab} = (\ rho + P) v_ {a} v_ {b} - SPg_ {ab},\ tag {8.1.11}\]

donde s = 1 para nuestra firma + − −− o −1 para la firma − + ++, y v representa la velocidad de coordenadas del marco de reposo del fluido.

Supongamos que la métrica es diagonal, pero sus componentes son variables, g _{\(\alpha \beta\)}= diag (A ², −B ²,.). El vector de velocidad correctamente normalizado de un observador en (coordenada-) reposo es v ^\(\alpha\)= (A ⁻¹, 0, 0, 0). Bajando el índice da v _\(\alpha\)= (sA, 0, 0, 0). Las diversas formas del tensor de estrés y energía se ven entonces como las siguientes:

\[\begin{split} T_{00} &= A^{2} \rho \qquad \; \; \; T_{11} = B^{2} P \\ T^{0}_{0} &= s \rho \qquad \quad \; \; T^{1}_{1} = -sP \\ T^{00} &= A^{-2} \rho \qquad T^{11} = B^{-2} P \ldotp \end{split}\]

Ejemplo 5: Una cuerda colgando en un espacio-tiempo Schwarzschild

Supongamos que queremos bajar un cubo sobre una cuerda hacia el horizonte de eventos de un agujero negro. Ya hemos hecho algunas observaciones cualitativas sobre esta idea en el ejemplo 14 en la p. 64. Este ejemplo aparentemente caprichoso resulta ser una buena demostración de algunas técnicas, y también puede ser utilizado en experimentos de pensamiento que ilustran la definición de masa en la relatividad general y que sondean algunas ideas sobre la gravedad cuántica. ⁵

La métrica Schwarzschild (sección 6.2) es

\[ds^{2} = t^{2} dt^{2} - t^{-2} dr^{2} + \ldots, \tag{8.1.12}\]

donde f = (1 −\ f (\ frac {2m} {r}\)) ^1/2, y.. representa términos angulares. Terminaremos necesitando los siguientes símbolos de Christoffel:

\[\begin{split} \Gamma^{t}_{tr} &= \frac{f'}{f} \\ \Gamma^{\theta}_{\theta r} &= \Gamma^{\phi}_{\phi r} = r^{-1} \end{split}\]

Dado que el espacio-tiempo tiene simetría esférica, termina siendo más conveniente considerar una cuerda cuya forma, en lugar de ser cilíndrica, es un cono definido por algún conjunto de\((\theta, \phi)\). Para mayor comodidad tomamos este conjunto para cubrir la unidad de ángulo sólido. Los resultados finales obtenidos de esta manera se pueden convertir fácilmente en declaraciones sobre una cuerda cilíndrica. Dejamos que µ sea la masa por unidad de longitud de la cuerda, y T la tensión. Ambos pueden depender de r. La densidad de energía y el esfuerzo de tracción correspondientes son\(\rho = \frac{\mu}{A} = \frac{\mu}{r^{2}}\) y S =\(\frac{T}{A}\). Para conectar esto al tensor de tensión-energía, comenzamos comparando con el caso de un fluido perfecto del ejemplo 4. Debido a que la cuerda está hecha de fibras que tienen resistencia solo en la dirección radial, tendremos T ^{\(\theta \theta\)}= T ^{\(\phi \phi\)}= 0. Además, el esfuerzo es de tracción en lugar de compresión, lo que corresponde a una presión negativa. Las coordenadas de Schwarzschild son ortogonales pero no ortonormales, por lo que la velocidad correctamente normalizada de un observador estático tiene un factor de f en ella: v ^\(\alpha\)= (f ⁻¹, 0, 0, 0), o, bajando un índice, v _\(\alpha\)= (f, 0, 0, 0). Los resultados del ejemplo 4 muestran que la forma de índice mixto de T será la más conveniente, ya que se puede expresar sin factores desordenados de f.

\[T^{\kappa}_{\nu} = diag(\rho, S, 0, 0) = r^{-2} diag(\mu, T, 0, 0) \ldotp \tag{8.1.13}\]

Al escribir el tensor estres-energía en esta forma, que es independiente de t, hemos asumido el equilibrio estático fuera del horizonte de eventos. Dentro del horizonte, la coordenada r es la de tiempo, el espacio-tiempo en sí no es estático, y no esperamos encontrar soluciones estáticas, por las razones dadas en el ejemplo 14.

La conservación de la energía se satisface automáticamente, ya que no hay dependencia del tiempo. La conservación del momento radial se expresa por

\[\nabla_{\kappa} T^{\kappa}_{r} = 0, \tag{8.1.14}\]

o

\[0 = \nabla_{r} T^{r}_{r} + \nabla_{t} T^{t}_{r} + \nabla_{\theta} T^{\theta}_{r} + \nabla_{\phi} T^{\phi}_{r} \ldotp \tag{8.1.15}\]

Sería tentador tirar todo menos el primer término, ya que T es diagonal, y por lo tanto\(T^{t}_{r} = T^{\theta}_{r} = T^{\phi}_{r} = 0\). Sin embargo, una derivada covariante puede ser distinta de cero incluso cuando el símbolo que se está diferenciando se desvanece de manera idéntica. Escribiendo estos cuatro términos, tenemos

\[\begin{split} 0 &= \partial_{r} T^{r}_{r} + \Gamma^{r}_{rr} T^{r}_{r} - \Gamma^{r}_{rr} T^{r}_{r} \\ &+ \Gamma^{t}_{tr} T^{r}_{r} - \Gamma^{t}_{tr} T^{t}_{t} \\ &+ \Gamma^{\theta}_{\theta r} T^{r}_{r} \\ &+ \Gamma^{\phi}_{\phi r} T^{r}_{r}, \end{split}\]

donde cada línea corresponde a una derivada covariante. Evaluando esto, tenemos

\[0 = T' + \frac{f'}{f} T - \frac{f'}{f} \mu, \tag{8.1.16}\]

donde primos denotan diferenciación con respecto a r. Obsérvese que dado que no\(\partial_{r} T^{t}_{t}\) se dan términos de la forma, esta expresión es válida independientemente de que tomemos µ para ser constante o variable. Así somos libres de tomar\(\rho \propto r^{−2}\), así que eso\(\mu\) es constante, y esto quiere decir que nuestro resultado es igualmente aplicable a una cuerda cilíndrica uniforme. Este resultado se verifica usando software de computadora en el ejemplo 6.

Esta es una ecuación diferencial que nos dice cómo la tensión de tracción en la cuerda varía a lo largo de su longitud. El coeficiente\(\frac{f'}{f} = \frac{m}{r(r −2m)}\) explota en el horizonte de eventos, que es como se esperaba, ya que no esperamos poder bajar la cuerda hasta o por debajo del horizonte.

Comprobemos el límite newtoniano, donde el campo gravitacional es g y el potencial es\(\Phi\). En este límite, tenemos f ≈ 1 −\(\Phi\),\(\frac{f'}{f}\) ≈ g (con g > 0), y\(\mu\) >> T, resultando en

\[0 = T' - g \mu \ldotp \tag{8.1.17}\]

que es la esperada relación newtoniana.

Volviendo al resultado general-relativista completo, se puede demostrar que para una cuerda cargada sin masa propia, tenemos un resultado finito para\(lim_{r \rightarrow \infty}\) T, incluso cuando el cubo se acerca arbitrariamente al horizonte. (La solución en este caso es solo T =\(\frac{T_{\infty}}{f}\), donde T _∞ es la tensión a r = ∞.) Sin embargo, esto es engañoso sin la salvedad de que para\(\mu\) < T, la velocidad de las ondas transversales en la cuerda es mayor que c, lo cual no es posible para ninguna forma conocida de materia —violaría la condición de energía nula, discutida en la siguiente sección.

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⁵ Marrón, “Resistencia a la Tensión y la Minería de Agujeros Negros”, arxiv.org/abs/ 1207.3342

Ejemplo 6: La cuerda, usando álgebra de computadora

El resultado del ejemplo 5 se puede verificar con el siguiente código Maxima:

Condiciones Energéticas

Se supone que las teorías físicas responden preguntas. Por ejemplo:

1. ¿Un objeto físico lo suficientemente pequeño siempre tiene una línea mundial que es aproximadamente geodésica?
2. ¿Las estrellas masivas colapsan para formar singularidades de agujeros negros?
3. ¿Nuestro universo se originó en una singularidad del Big Bang?
4. Si nuestro universo no tiene actualmente violaciones de causalidad como las curvas cerradas tipo tiempo exhibidas por la métrica Petrov (sección 7.5), ¿podemos estar seguros de que nunca desarrollará violación de causalidad en el futuro?

Nos gustaría “probar” si las respuestas a preguntas como estas son sí o no, pero las teorías físicas no son sistemas matemáticos formales en los que los resultados puedan ser “probados” absolutamente. Por ejemplo, la estructura básica de la relatividad general no es un conjunto de axiomas sino una lista de ingredientes como el principio de equivalencia, que ha evadido la definición formal. ⁶

Incluso las ecuaciones de campo de Einstein, que parecen estar completamente bien definidas, no son predicciones matemáticamente formales del comportamiento de un sistema físico. Las ecuaciones de campo son agnósticas sobre la cuestión de qué tipos de campos de materia contribuyen al tensor estres-energía. De hecho, cualquier espacio-tiempo en absoluto es una solución a las ecuaciones de campo de Einstein, siempre que estemos dispuestos a admitir el tensor de tensión-energía correspondiente. Nunca podremos responder preguntas como las anteriores sin asumir algo sobre el tensor estres-energía.

En el ejemplo 14, vimos que la radiación tiene P =\(\frac{\rho}{3}\) y el polvo tiene P = 0. Ambos tienen\(\rho\) ≥ 0. Si el universo está hecho de nada más que polvo y radiación, entonces podemos obtener las siguientes cuatro restricciones en el tensor energía-impulso:

condición de energía traza	\(\rho - 3P \geq 0\)
fuerte condición de energía	\(\rho + 3P \geq 0\; and\; \rho + P \geq 0\)
condición energética dominante	\(\rho \geq 0\; and\; |P| \leq \rho\)
condición de energía débil	\(\rho \geq 0\; and\; \rho + P \geq 0\)
condición de energía nula	\(\rho + P \geq 0\)

Estos están dispuestos aproximadamente en orden de más fuertes a más débiles. Todos ellos tienen que ver con la idea de que la energía masiva negativa no parece existir en nuestro universo, es decir, que la gravedad siempre es atractiva más que repulsiva. Con esta motivación, parecería que sólo debería haber una manera de exponer una condición energética:\(\rho\) > 0. Pero los símbolos\(\rho\) y P se refieren a la forma del tensor de tensión-energía en un marco especial de referencia, interpretado como el que está en reposo relativo al movimiento promedio de la materia ambiental. (Ni siquiera se garantiza que exista tal marco a menos que la materia actúe como un fluido perfecto). En este marco, el tensor es diagonal. Al cambiar a algún otro marco de referencia, las partes\(\rho\) y P del tensor se mezclarían, y podría ser posible terminar con una densidad de energía negativa. La condición de energía débil es la restricción que necesitamos para asegurarnos de que la densidad de energía nunca sea negativa en ningún marco.

La condición energética dominante es como la condición de energía débil, pero también garantiza que ningún observador verá un flujo de energía fluyendo a velocidades mayores que c.

La condición energética fuerte establece esencialmente que la gravedad nunca es repulsiva; es violada por la constante cosmológica (ver sección 8.2).

Ejemplo 7: Una onda electromagnética

En el ejemplo 1, vimos que el polvo potenciado a lo largo del eje x daba un tensor de tensión-energía

\[T_{\mu \nu} = \gamma^{2} \rho \begin{pmatrix} 1 & v \\ v & v^{2} \end{pmatrix}, \tag{8.1.18}\]

donde ahora suprimimos las partes y y z, que desaparecen. Para v → 1, esto se convierte

\[T_{\mu \nu} = \rho' \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \tag{8.1.19}\]

donde\(\rho'\) está la densidad de energía medida en el nuevo cuadro. Como fuente de campos gravitacionales, este polvo ultrarelativista es indistinguible de cualquier otra forma de materia con v = 1 a lo largo del eje x, por lo que este es también el tensor de tensión-energía de una onda electromagnética con densidad de energía local ρ 0, propagándose a lo largo del eje x. (Para la expresión completa del tensor de tensión-energía de un campo electromagnético arbitrario, vea el artículo de Wikipedia “Tensor electromagnético de tensión-energía”).

Se trata de un tensor de tensión-energía que representa un flujo de energía a una velocidad igual a c, por lo que esperamos que se encuentre exactamente en el límite impuesto por la condición energética dominante (DEC). Nuestra declaración del DEC, sin embargo, se hizo para un tensor diagonal de tensión-energía, que es lo que ve un observador en reposo relativo a la materia. Pero sabemos que es imposible tener un observador que, como imaginó el adolescente Einstein, cabalgue junto a una onda electromagnética en una motocicleta. Una forma de manejar esto es generalizar nuestra definición de la condición energética. Para el DEC, resulta que esto se puede hacer requiriendo que la matriz T, cuando se multiplica por un vector sobre o dentro del futuro cono de luz, dé otro vector sobre o dentro del cono.

Una solución menos elegante pero más concreta es la siguiente. Volviendo a la expresión original para la T de polvo potenciado a velocidad v, dejamos v = 1 +\(\epsilon\), donde |\(\epsilon\) | << 1. Esto da un tensor de tensión-energía que (ignorando las constantes multiplicativas) se ve así:

\[\begin{pmatrix} 1 & 1 + \epsilon \\ 1 + \epsilon & 1 + 2 \epsilon \end{pmatrix} \ldotp \tag{8.1.20}\]

Si\(\epsilon\) es negativo, tenemos polvo ultrarelativista, y podemos verificar que satisface el DEC desaumentando de nuevo al marco de descanso. Para hacer esto explícitamente, podemos encontrar los vectores propios de la matriz, que (ignorando términos de orden\(\epsilon^{2}\)) son (1, 1 +\(\epsilon\)) y (1, 1 −\(\epsilon\)), con valores propios 2 + 2\(\epsilon\) y 0, respectivamente. Para\(\epsilon\) < 0, el primero de ellos es timelike, el segundo spacelike. Los interpretamos simplemente como los vectores base t y x del resto frame en el que originalmente describimos el polvo. Empleándolos como base, el tensor de tensión-energía toma la forma diag (2 + 2\(\epsilon\), 0). Excepto por un factor constante del que no nos molestamos en hacer un seguimiento, esta es la forma original de la T en el marco de reposo del polvo, y claramente satisface el DEC, ya que P = 0.

Para\(\epsilon\) > 0, v = 1 +\(\epsilon\) es una velocidad mayor que la velocidad de la luz, y no hay forma de construir un impulso correspondiente a −v. Sin embargo, podemos encontrar un marco de referencia en el que el tensor de estrés sea diagonal, lo que nos permite verificar el DEC. Las expresiones encontradas anteriormente para los vectores propios y los valores propios siguen siendo válidas, pero ahora se han intercambiado los caracteres timelike y space like de los dos vectores base. El tensor tensión-energía tiene la forma diag (0, 2 + 2\(\epsilon\)), con\(\rho\) = 0 y P > 0, lo que viola el DEC. Como en este ejemplo, cualquier flujo de masa-energía a velocidades mayores que c violará el DEC.

El DEC es obedecido por\(\epsilon\) < 0 y violado por\(\epsilon\) > 0, y dado que\(\epsilon\) = 0 da un tensor de tensión-energía igual al de una onda electromagnética, podemos decir que la luz está exactamente en la frontera entre las formas de materia que cumplen con el DEC y las que no. como desigualdad no estricta, se deduce que la luz obedece al DEC.

Ejemplo 8: Sin “velocidad de flujo”

La discusión anterior puede haber alentado al lector a creer que es posible en general leer una “velocidad de flujo de energía” del valor de T en un punto. Esto no es cierto.

La dificultad radica en la distinción entre flujo con y sin acumulación, que a veces es válido y a veces no. En primavera en Sierra Nevada, el deshielo agrega agua a los lagos alpinos más rápidamente de lo que puede fluir y el nivel del agua aumenta. Esto es flujo con acumulación. En la caída, sucede lo contrario, y tenemos flujo con agotamiento (acumulación negativa).

La figura 8.1.5 (1) muestra un segundo ejemplo en el que la distinción parece válida. La carga fluye a través de la bombilla, pero debido a que no hay acumulación de carga en el circuito de CC, no podemos detectar el flujo mediante una medición electrostática; el cable no atrae los diminutos trozos de papel debajo de él sobre la mesa.

Pero sabemos que con diferentes mediciones, podríamos detectar el flujo de carga en la Figura 8.1.5 (1). Por ejemplo, el campo magnético del cable desviaría una brújula magnética cercana. Esto demuestra que la distinción entre flujo con y sin acumulación puede ser a veces válida y a veces inválida. El flujo sin acumulación puede o no ser detectable; depende del contexto físico.

En la Figura 8.1.5 (2), una carga eléctrica y un dipolo magnético se superponen en un punto. El vector Poynting P definido como E × B se utiliza en el electromagnetismo como medida del flujo de energía, y dice la verdad, por ejemplo, cuando el sol calienta tu sol en un día caluroso. En la Figura 8.1.5 (2), sin embargo, todos los campos son estáticos. Parece que no puede haber flujo de energía. Pero eso no quiere decir que el vector Poynting nos esté mintiendo. Nos dice que hay un patrón de flujo, pero es flujo sin acumulación; el vector Poynting forma bucles circulares que se cierran sobre sí mismos, y la energía electromagnética es transportada dentro y fuera de cualquier volumen a la misma velocidad. Quizás preferiríamos tener una regla matemática que diera cero para el flujo en esta situación, pero es aceptable que nuestra regla P = E × B dé un resultado distinto de cero, ya que no predice incorrectamente una acumulación, que es lo que sería detectable.

Figura_8.1.5b.png” />

Figura\(\PageIndex{5}\)

Ahora supongamos que se nos presenta este tensor de tensión-energía, medido en un solo punto y expresado en algunas unidades:

\[T^{\mu \nu} = \begin{pmatrix} 4.037 \pm 0.002 & 4.038 \pm 0.002 \\ 4.036 \pm 0.002 & 4.036 \pm 0.002 \end{pmatrix} \ldotp \tag{8.1.21}\]

A dentro de las barras de error experimentales, tiene la forma correcta para ser muchas cosas diferentes: (1) Podríamos tener un universo lleno de polvo perfectamente uniforme, moviéndose a lo largo del eje x a alguna velocidad ultrarelativista v tan grande que el\(\epsilon\) in v = 1 −\(\epsilon\), como en el ejemplo 7, no es detectablemente diferente desde cero. (2) Esto podría ser un punto muestreado de una onda electromagnética que viaja a lo largo del eje x. (3) Podría ser un punto tomado de la Figura 8.1.5 (2). (En los casos 2 y 3, los elementos fuera de la diagonal son simplemente el vector Poynting).

En los casos 1 y 2, estaríamos inclinados a interpretar este tensor de tensión-energía diciendo que su parte fuera de la diagonal mide el flujo de masa-energía a lo largo del eje x, mientras que en el caso 3 rechazaríamos tal interpretación. El problema aquí no está tanto en nuestra interpretación de T como en nuestras expectativas newtonianas sobre lo que es o no es observable sobre los flujos que fluyen sin acumulación. En la mecánica newtoniana, un flujo de masa es observable, independientemente de que haya acumulación, porque lleva impulso con él; un flujo de energía, sin embargo, es indetectable si no hay acumulación. El problema aquí es que relativisticamente, no podemos mantener esta distinción entre masa y energía. Las ecuaciones de campo de Einstein nos dicen que un flujo de cualquiera contribuirá por igual a la energía-estrés, y por lo tanto al campo gravitacional circundante.

El flujo de energía en la Figura 8.1.5 (2) contribuye al campo gravitacional, y su contribución se cambia, por ejemplo, si se invierte el campo magnético. De hecho, la figura no es una mala representación cualitativa del espacio-tiempo alrededor de un agujero negro giratorio cargado. A grandes distancias, sin embargo, el efecto gravitacional de los términos fuera de diagonal en T se vuelve pequeño, ya que promedian casi cero sobre una región esférica suficientemente grande. El campo gravitacional distante se aproxima al de una masa puntual con la misma masa-energía

Ejemplo 9: Momentum en campos estáticos

Continuando con el tren de pensamiento descrito en el ejemplo 8, podemos llegar a situaciones que parecen aún más paradójicas. En la Figura 8.1.5 (2), el impulso total de los campos desaparece por simetría. Esta simetría puede, sin embargo, romperse desplazando la carga eléctrica por □ R perpendicular al vector dipolo magnético D. El impulso total ya no desaparece, y ahora se encuentra en la dirección de D × ∆R. Pero hemos demostrado en el ejemplo 2 que el centro de masa-energía de un sistema está en reposo si y sólo si su impulso total es cero. Dado que el centro de masa-energía de este sistema ciertamente está en reposo, ¿dónde está el otro impulso que cancela el de los campos eléctrico y magnético?

Supongamos, por ejemplo, que el dipolo magnético consiste en un bucle de alambre de cobre con una corriente que corre a su alrededor. Si abrimos un interruptor y apagamos el dipolo, ¡parece que el sistema debe retroceder! Esto parece imposible, ya que los campos son estáticos, y una carga eléctrica no interactúa con un dipolo magnético.

Babson et al. ⁷ han analizado una serie de ejemplos de este tipo. En el presente, el misterioso “otro impulso” puede atribuirse a un desequilibrio relativista entre los momentos de los electrones en las diferentes partes del cable. Un punto sutil sobre estos ejemplos es que incluso en el caso de un dipolo idealizado de tamaño esfumantemente pequeño, marca la diferencia qué estructura asumimos para el dipolo. En particular, el impulso del campo es distinto de cero para un dipolo hecho de un bucle de corriente de tamaño infinitesimal, pero cero para un dipolo hecho de dos monopolos magnéticos. ⁸

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⁷ de la mañana. J. Phys. 77 (2009) 826

⁸ Milton y Meille, arxiv.org/abs/1208.4826

Referencias

⁶ “Teoría de las teorías de la gravitación: un informe sin progreso”, Sotiriou, Faraoni y Liberati, http://arxiv.org/abs/0707.2748