8.3: Soluciones Cosmológicas (Parte I)

Por lo tanto, nos llevan a plantear dos preguntas interrelacionadas. Primero, ¿qué pueden decirnos las observaciones empíricas sobre el universo sobre las leyes de la física, como el valor cero o distinto de cero de la constante cosmológica? Segundo, ¿qué pueden decirnos las leyes de la física, combinadas con la observación, sobre la estructura a gran escala del universo, su origen y su destino?

Evidencia de la Era Finita del Universo

Tenemos una variedad de pruebas de que la existencia del universo no se extiende por un tiempo ilimitado hacia el pasado.

Cuando los astrónomos ven la luz desde el cielo profundo que ha estado viajando por el espacio durante miles de millones de años, observan un universo que se ve diferente al actual Por ejemplo, los cuásares eran comunes en el universo temprano pero son poco comunes hoy en día.

En el universo actual, las estrellas agotan núcleos de deuterio, pero no se conocen procesos que puedan reponer su suministro. Por lo tanto, esperamos que la abundancia de deuterio en el universo disminuya con el tiempo. Si el universo hubiera existido por un tiempo infinito, esperaríamos que se hubiera perdido todo su deuterio, y sin embargo observamos que el deuterio sí existe en las estrellas y en el medio interestelar.

La segunda ley de la termodinámica predice que cualquier sistema debe acercarse a un estado de equilibrio termodinámico, y sin embargo nuestro universo está muy lejos del equilibrio térmico, como lo demuestra el hecho de que nuestro sol es más caliente que el espacio interestelar, o por la existencia de motores térmicos en funcionamiento como su cuerpo o un motor de automóvil.

En retrospectiva, estas observaciones sugieren que no debemos buscar modelos cosmológicos que persistan por un tiempo infinito en el pasado.

Evidencia para la expansión del universo

No solo vemos variación temporal en cantidades observables localmente como abundancia de cuásar, abundancia de deuterio y entropía. Además, encontramos evidencia empírica de cambios globales en el universo. Para 1929, Edwin Hubble en Mount Wilson había determinado que el universo se estaba expandiendo, e históricamente esta era la primera evidencia convincente de que el objetivo original de Einstein de modelar una cosmología estática había sido un error. Einstein más tarde se refirió a la constante cosmológica como el “mayor error de mi vida”, y durante los siguientes 70 años se asumió comúnmente que\(\Lambda\) era exactamente cero.

Ya que observamos que el universo se está expandiendo, las leyes de la termodinámica requieren que también se esté enfriando, así como la explosión de la mezcla aire-gas en el cilindro del motor de un automóvil se enfría a medida que se expande. Si el universo actualmente se está expandiendo y enfriando, es natural imaginar que en el pasado pudo haber sido muy denso y muy caluroso. Esto se confirma directamente al mirar hacia el cielo y ver la radiación del cálido universo temprano. En 1964, Penzias y Wilson en Bell Laboratories en Nueva Jersey detectaron un misterioso fondo de radiación de microondas usando una antena de bocina direccional. Como ocurre con muchos descubrimientos accidentales en la ciencia, lo importante era prestar atención a la sorprendente observación en lugar de darse por vencida y seguir adelante cuando confundió los intentos de entenderla. Señalaron la antena a la ciudad de Nueva York, pero la señal no aumentó. La radiación no mostraba una periodicidad de 24 horas, por lo que no podía ser de una fuente en cierta dirección en el cielo. Incluso llegaron a barrer los excrementos de las palomas en su interior. Finalmente se estableció que la radiación venía uniformemente de todas las direcciones en el cielo y tenía un espectro de cuerpo negro con una temperatura de aproximadamente 3 K.

Figura\(\PageIndex{1}\) - La antena de bocina utilizada por Penzias y Wilson.

Esto se interpreta ahora de la siguiente manera. En un momento, el universo estaba lo suficientemente caliente como para ionizar la materia. Un gas ionizado es opaco a la luz, ya que los campos oscilantes de una onda electromagnética aceleran las partículas cargadas, depositando energía cinética en ellas. Sin embargo, una vez que el universo se volvió lo suficientemente frío, la materia se volvió eléctricamente neutra y el universo se volvió transparente. La luz de esta época es la luz de más larga duración que podemos detectar ahora. Los últimos datos muestran que la transparencia se estableció cuando la temperatura era de aproximadamente 3000 K. La superficie que vemos, que data de esta época, se conoce como la superficie de la última dispersión. Desde entonces, el universo se ha expandido en aproximadamente un factor de 1000, haciendo que las longitudes de onda de los fotones se estiren en la misma cantidad debido a la expansión del espacio subyacente. Esto equivale a un desplazamiento Doppler debido al movimiento de la fuente lejos de nosotros; las dos explicaciones son equivalentes. Por lo tanto, vemos la radiación óptica de cuerpo negro de 3000 K desplazada al rojo a 3 K, en la región de microondas.

Lógicamente es posible tener un universo que se está expandiendo pero cuyas propiedades locales son, sin embargo, estáticas, como en el modelo de estado estacionario de Fred Hoyle, en el que algún proceso físico novedoso crea espontáneamente nuevos átomos de hidrógeno, impidiendo la dilución infinita de la materia a lo largo de la historia del universo, que en este modelo se extiende infinitamente lejos en el pasado. Pero ya hemos visto fuertes evidencias empíricas de que las propiedades locales del universo (abundancia de cuásar, etc.) están cambiando con el tiempo. El CMB es un ejemplo aún más extremo y directo de esto; el universo lleno de gas caliente y denso que emitía el CMB claramente no se parece en nada al universo actual. En la sección 8.4 se presenta una breve discusión sobre el modelo de estado estacionario.

Evidencia de Homogeneidad e Isotropía

Estas observaciones demuestran que el universo no es homogéneo en el tiempo, es decir, que se pueden observar las condiciones actuales del universo (como su temperatura y densidad), e inferir qué época de la evolución del universo habitamos. Una pregunta diferente es la copernicana de si el universo es homogéneo en el espacio. Encuestas de cuásares distantes muestran que el universo tiene muy poca estructura a escalas mayores que algunas veces 10 ²⁵ m. (Esto se puede ver en un notable mapa logarítmico construido por Gott et al., astro.princeton.edu/universe.) Esto sugiere que podemos, a una buena aproximación, modelar el universo como isotrópico (lo mismo en todas las direcciones espaciales) y homogéneo (lo mismo en todas las ubicaciones en el espacio). (La isotropía no se deriva de la homogeneidad. Ejemplos de cosmologías homogéneas pero anisotrópicas incluyen cosmologías rotativas y la métrica Kantowsky-Sachs, problema 13.)

Otra evidencia proviene de la extrema uniformidad de la radiación cósmica de fondo de microondas, una vez que se resta la anisotropía dipolar debido al desplazamiento Doppler derivado del movimiento de nuestra galaxia en relación con el CMB. Cuando se descubrió por primera vez el CMB, hubo dudas sobre si era de origen cosmológico (más que, digamos, estar asociado con nuestra galaxia), y se esperaba que su isotropía fuera de hasta el 10%. A medida que los físicos comenzaron a convencerse de que realmente era una reliquia del universo primitivo, el interés se centró en medir esta anisotropía, y una serie de medidas le ponían límites superiores cada vez más apretados. Aparte del término dipolo, hay dos formas en las que uno podría esperar naturalmente que ocurra la anisotropía. Podría haber habido algunos bultos en el universo primitivo, lo que podría haber servido como semillas para la condensación de cúmulos de galaxias fuera del medio cósmico. Además, podríamos preguntarnos si el universo en su conjunto está rotando. La noción general-relativista de rotación es muy diferente a la newtoniana, y en particular, es posible tener una cosmología que esté rotando sin tener ningún centro de rotación (ver problema 5). De hecho, una de las primeras soluciones exactas descubiertas para las ecuaciones de campo de Einstein fue la métrica de Gödel, que describía un extraño universo giratorio con curvas cerradas similares al tiempo, es decir, una en la que se violó la causalidad. En un universo giratorio, se espera que la radiación recibida desde grandes distancias cosmológicas tenga un desplazamiento Doppler transversal, es decir, un desplazamiento que se origina a partir de la dilatación del tiempo debido al movimiento de la materia distante a través del cielo. Este desplazamiento sería mayor para las fuentes que se encuentran en el plano de rotación relativo a nosotros, y desaparecería para las fuentes que se encuentran a lo largo del eje de rotación. Por lo tanto, el CMB mostraría variación con la forma de un término cuadrupolo, 3 cos ²\(\theta\) − 1. En 1977 un aviador U-2 (el mismo tipo involucrado en el incidente de 1960 entre Estados Unidos y la Unión Soviética) fue utilizado por Smoot et al. ¹⁴ para buscar anisotropías en el CMB. Este experimento fue el primero en lograr definitivamente detectar la anisotropía del dipolo. Después de la resta del componente dipolo, se encontró que el CMB era uniforme en el nivel de ∼ 3 × 10 ⁻⁴. Esto proporcionó un fuerte soporte para modelos cosmológicos homogéneos, y descartó la rotación del universo con\(\omega \gtrsim\) 10 ⁻²² Hz.

Nota

G. F. Smoot, M. V. Gorenstein, y R. A. Muller, “Detección de anisotropía en la radiación cósmica de cuerpo negro”, Phys. Rev. Lett. 39 (1977) 898. La interpretación de las mediciones de CMB es algo dependiente del modelo; en los primeros años de la cosmología observacional, ni siquiera se aceptó universalmente que el CMB tuviera un origen cosmológico. El mejor límite independiente del modelo en la rotación del universo proviene de observaciones del sistema solar, Clemence, “Tiempo Astronómico”, Rev. Mod. Phys. 29 (1957) 2.

Las cosmologías de FRW

La métrica FRW y las coordenadas estándar

Motivados por la observación del Hubble de que el universo se está expandiendo, planteamos la hipótesis de la existencia de soluciones de la ecuación de campo en las que las propiedades del espacio son homogéneas e isotrópicas, pero la escala global del espacio va en aumento como se describe por alguna función de escala a (t). Debido a la invarianza de coordenadas, la métrica aún se puede escribir en una variedad de formas. Una de esas formas es

\[ds^{2} = dt^{2} - a(t)^{2} d \ell^{2},\]

donde se encuentra la parte espacial

\[d \ell^{2} = f(r) dr^{2} + r^{2} d \theta^{2} + r^{2} \sin^{2} \theta d \phi^{2} \ldotp\]

Para interpretar las coordenadas, observamos que si un observador es capaz de determinar las funciones a y f para su universo, entonces siempre puede medir alguna curvatura escalar como el escalar de Ricci o la invariante de Kretchmann, y como éstas son proporcionales a un elevado a algún poder, puede determinar a y t. muestra que t es un tiempo de “mirar hacia fuera de la ventana”, es decir, una coordenada de tiempo que podemos determinar mirando por la ventana y observando las condiciones presentes en el universo. Debido a que la cantidad que se mide directamente es un escalar, el resultado es independiente del estado de movimiento del observador. (En la práctica, estas curvaturas escalares son difíciles de medir directamente, por lo que medimos otra cosa, como la temperatura promedio del fondo cósmico de microondas en todo el cielo). Se supone que la simultaneidad está mal definida en la relatividad, pero el tiempo de vigilancia define una noción de simultaneidad que es la más naturalmente interesante en este espacio-tiempo. Con esta definición particular de simultaneidad, también podemos definir un estado preferido de descanso en cualquier lugar del espacio-tiempo, que es aquel en el que t cambia lo más lentamente posible en relación con el propio reloj. Este marco de descanso local, que se determina más fácilmente en la práctica como aquel en el que el fondo de microondas es más uniforme a través del cielo, también puede interpretarse como el que se mueve junto con el flujo del Hubble, es decir, el movimiento promedio de las galaxias, fotones, o cualquier otra cosa que habita en el espacio-tiempo. El tiempo t se interpreta como el tiempo adecuado de una partícula que siempre ha estado localmente en reposo. La distancia espacial medida por L =\(\int\) a d\(\ell\) se denomina distancia adecuada. Es la distancia que mediría una cadena de gobernantes, cada uno de ellos “en reposo” en el sentido anterior.

Estas coordenadas son referidas como las coordenadas cosmológicas “estándar”; también se encontrarán otras opciones, como las coordenadas comoving y conformes, que son más convenientes para ciertos fines. Históricamente, la solución para las funciones a y f fue encontrada por de Sitter en 1917.

La métrica espacial

La función desconocida f (r) tiene que dar una métrica de 3 espacios d\(\ell^{2}\) con un tensor de curvatura de Einstein constante. El siguiente programa Maxima calcula la curvatura.

La línea 2 le dice a Maxima que estamos trabajando en un espacio con tres dimensiones en lugar de su defecto de cuatro. La línea 4 le dice que f es una función del tiempo. La línea 9 utiliza su función incorporada para computar el tensor Einstein G ^a _b. El resultado tiene solo un componente que no se desvanece,\(G^{t}_{t} = \frac{1 − \frac{1}{f}}{r^{2}}\). Esto tiene que ser constante, y dado que el escalado puede ser absorbido en el factor a (t) en la métrica 3+1-dimensional, podemos simplemente establecer el valor de G _tt más o menos arbitrariamente, excepto por su signo. El resultado es f =\(\frac{1}{1 − kr^{2}}\), donde k = −1, 0 o 1.

La métrica resultante, llamada métrica Robertson-Walker, es

\[ds^{2} = dt^{2} - a^{2} \left(\dfrac{dr^{2}}{1 - kr^{2}} + r^{2} d \theta^{2} + r^{2} \sin^{2} \theta d \phi^{2} \right) \ldotp\]

La forma de d nos\(\ell^{2}\) muestra que k puede interpretarse en términos del signo de la curvatura espacial. Reconocemos la métrica k = 0 como un espacio-tiempo plano descrito en coordenadas esféricas. Para interpretar los casos k ≠ 0, observamos que un círculo en la coordenada r tiene una circunferencia apropiada C = 2\(\pi\) ar y un radio apropiado R =\(a \int_{0}^{r} \sqrt{f(r')}\) dr'. Para k < 0, tenemos f < 1 and C > 2\(\pi\) R, lo que indica curvatura espacial negativa. Para k > 0 hay curvatura positiva.

Examinemos más de cerca el caso de curvatura positiva. Supongamos que seleccionamos un plano particular de simultaneidad definido por t = constante y\(\phi = \frac{\pi}{2}\), y comenzamos a hacer geometría en este plano. En dos dimensiones espaciales, el tensor Riemann solo tiene un único componente independiente, el cual puede identificarse con la curvatura gaussiana (sec. 5.4), y cuando esta curvatura gaussiana es positiva y constante, puede interpretarse como el defecto angular de un triángulo por unidad de área (sec. 5. 3). Dado que la suma de los ángulos interiores de un triángulo nunca puede ser mayor que 3\(\pi\), tenemos un límite superior en el área de cualquier triángulo. Esto sucede porque la métrica Robertson-Walker de curvatura positiva representa una cosmología espacialmente finita. A una t dada, es el análogo tridimensional de una dos esferas. En una dos esferas, si configuramos coordenadas polares con un punto dado elegido arbitrariamente como origen, entonces sabemos que la coordenada r debe “envolverse” cuando lleguemos a las antípodas. Es decir, ahí hay una singularidad de coordenadas. (Sabemos que solo puede ser una singularidad de coordenadas, porque si no lo fuera, entonces las antípodas tendrían características físicas especiales, pero el modelo FRW se construyó para que fuera espacialmente homogéneo). Este comportamiento “envolvente” se describe diciendo que el modelo está cerrado.

Figura\(\PageIndex{2}\) - 1. En el plano euclidiano, este triángulo se puede escalar por cualquier factor sin dejar de ser similar a sí mismo. 2. En un plano con curvatura positiva, las figuras geométricas tienen un área máxima y dimensiones lineales máximas. Este triángulo tiene casi el área máxima, debido a que la suma de sus ángulos es de casi 3\(\pi\). 3. En un plano con curvatura negativa, las cifras tienen un área máxima pero no dimensiones lineales máximas. Este triángulo tiene casi el área máxima, debido a que la suma de sus ángulos es casi cero. Sus vértices, sin embargo, aún pueden separarse entre sí sin límite.

En el caso de curvatura negativa, no hay límite de distancias, Figura 8.2.2 (3). Tal universo se llama abierto. En el caso de un universo abierto, es particularmente fácil demostrar un hecho que molesta a muchos estudiantes, que es que las distancias adecuadas pueden crecer a tasas superiores a c. Dejar que las partículas A y B estén ambas en reposo en relación con el flujo del Hubble. La distancia adecuada entre ellos viene dada entonces por L = a\(\ell\), donde\(\ell = \int_{A}^{B} d\ell\) es constante. Entonces diferenciando L con respecto al tiempo de vigía a la ventana t da\(\frac{dL}{dt} = \dot{a} \ell\). En un universo abierto, no hay límite en el tamaño de\(\ell\), así que en un momento dado, podemos hacer\(\frac{dL}{dt}\) lo más grande que queramos. Esto no viola la relatividad especial, ya que es sólo localmente que la relatividad especial es una aproximación válida a la relatividad general. Debido a que GR solo nos proporciona marcos de referencia que son locales, la velocidad de dos objetos en relación entre sí ni siquiera está definida de manera única; nuestra elección de\(\frac{dL}{dt}\) fue solo una de infinitamente muchas definiciones posibles.

La distinción entre universos cerrados y abiertos no es solo una cuestión de geometría, es también una cuestión de topología. Así como una dos esferas no se puede convertir en un plano euclidiano sin cortar o desgarrarse, un universo cerrado no es topológicamente equivalente a uno abierto. La correlación entre las propiedades locales (curvatura) y las globales (topología) es un tema general en geometría diferencial. Un universo abierto está abierto para siempre, y de manera similar para uno cerrado.

Las ecuaciones de Friedmann

Habiendo fijado f (r), ahora podemos ver lo que nos dice la ecuación de campo sobre a (t). El siguiente programa calcula el tensor Einstein para el espacio-tiempo completo de cuatro dimensiones:

El resultado es

\[\begin{split} G^{t}_{t} &= 3 \left(\dfrac{\dot{a}}{a}\right)^{2} + 3ka^{-2} \\ G^{r}_{r} = G^{\theta}_{\theta} = G^{\phi}_{\phi} &= 2 \frac{\ddot{a}}{a} + \left(\dfrac{\dot{a}}{a}\right)^{2} + ka^{-2}, \end{split}\]

donde los puntos indican diferenciación con respecto al tiempo.

Como tenemos G ^a _b con índices mixtos superior e inferior, o tenemos que convertirlo en G _ab, o escribir las ecuaciones de campo en esta forma mixta. Este último resulta ser más sencillo. En términos de índices mixtos, g ^a _b siempre es simplemente diag (1, 1, 1, 1). Señalando arbitrariamente r = 0 por simplicidad, tenemos g = diag (1, −a ², 0, 0). El tensor de tensión-energía es\(T^{\mu}_{\nu}\) = diag (\(\rho\), −P, −P, −P). (Ver ejemplo 4 para las señales.) Sustituyendo en G ^a _b = 8\(\pi\) T ^a _b +\(\Lambda\) g ^a _b, encontramos

\[\begin{split} 3 \left(\dfrac{\dot{a}}{a}\right)^{2} + 3ka^{-2} - \Lambda &= 8 \pi \rho \\ 2 \frac{\ddot{a}}{a} + \left(\dfrac{\dot{a}}{a}\right)^{2} + ka^{-2} - \Lambda &= -8 \pi P \ldotp \end{split}\]

Reordenando un poco, tenemos un conjunto de ecuaciones diferenciales conocidas como las ecuaciones de Friedmann,

\[\begin{split} \frac{\ddot{a}}{a} &= \frac{1}{3} \Lambda - \frac{4 \pi}{3} \Lambda - \frac{4 \pi}{3} (\rho + 3P) \\ \left(\dfrac{\dot{a}}{a}\right)^{2} &= \frac{1}{3} \Lambda + \frac{8 \pi}{3} \rho - ka^{-2} \ldotp \end{split}\]

La cosmología que resulta de una solución de estas ecuaciones diferenciales se conoce como la cosmología Friedmann-Robertson-Walker (FRW) o Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW).

Figura\(\PageIndex{3}\) - Alexander Friedmann (1888- 1925)

La primera ecuación de Friedmann describe la velocidad a la que la expansión cosmológica acelera o desacelera. Vamos a referirnos a ella como la ecuación de aceleración. Expresa la idea básica de las ecuaciones de campo, que es que la curvatura no mareal (lado izquierdo) es causada por la materia que está presente localmente (lado derecho). El ejemplo 15 ilustra esto en un caso sencillo.

La segunda ecuación de Friedmann nos dice la magnitud de la tasa de expansión o contracción. Llámalo la ecuación de velocidad. La cantidad\(\frac{\dot{a}}{a}\), evaluada en el presente tiempo cosmológico, es la constante de Hubble H _o (la cual es constante solo en el sentido de que en un tiempo fijo, es una constante de proporcionalidad entre distancia y velocidad de recesión).

Para el ojo practicado, parece extraño tener dos leyes dinámicas, una que predice la velocidad y otra aceleración. Las leyes análogas en la mecánica de primer año serían la segunda ley de Newton, que predice la aceleración, y la conservación de la energía, que predice la velocidad. Las leyes de Newton y la conservación de la energía no son independientes, y para los sistemas mecánicos cualquiera puede derivarse del otro. Las ecuaciones de Friedmann, sin embargo, no son sobredeterminadas ni redundantes. Están subdeterminados, porque queremos predecir tres funciones desconocidas del tiempo: a,\(\rho\), y P. Dado que solo hay dos ecuaciones, no son suficientes para determinar de manera única una solución para las tres funciones. La tercera restricción viene en forma de algún tipo de ecuación de estado para la materia descrita por\(\rho\) y P, que en modelos simples a menudo se puede escribir en la forma P = w\(\rho\). Por ejemplo, el polvo tiene w = 0.

A diferencia de a\(\rho\),, y P, la constante cosmológica no\(\Lambda\) es libre de variar con el tiempo; si lo hiciera, entonces el tensor de tensión-energía tendría una divergencia que no se desvanece, lo que no es consistente con las ecuaciones de campo de Einstein (ver sección 8.1).

Aunque la relatividad general no proporciona ninguna medida escalar, conservada globalmente de masa-energía que se conserva en todos los espacio-tiempos, la ecuación de velocidad de Friedmann puede interpretarse vagamente como una declaración de conservación de la masa-energía en un FRW espacio-tiempo. El lado izquierdo actúa como energía cinética. En una cosmología que se expande y luego se recontrae en un Big Crunch, el punto de giro se define por el tiempo en el que el lado derecho es igual a cero. El origen de la ecuación de velocidad es, de hecho, la parte tiempo-tiempo de las ecuaciones de campo, cuyo término fuente es el componente masa-energía del tensor de tensión-energía.

Ejemplo 15: sacar un agujero

Figura\(\PageIndex{4}\)

Este ejemplo ilustra la conexión entre la aceleración cosmológica y la densidad local de la materia dada por la ecuación de aceleración de Friedmann. Considera dos cosmologías, cada una con\(\Lambda\) = 0. La cosmología 1 es un espacio-tiempo FRW en el que toda la materia está en forma de partículas no relativistas como átomos o galaxias. 2 es idéntica a 1, excepto que toda la materia ha sido sacada de una pequeña región esférica S, dejando un vacío. (“Pequeño” significa pequeño comparado con la escala del Hubble\(\frac{1}{H_{o}}\).) Dentro de S, introducimos las partículas de prueba A y B. Debido a que un espacio-tiempo FRW es homogéneo e isotrópico, la cosmología 2 conserva la simetría esférica alrededor del centro de S. Dado que\(\Lambda\) = 0, el teorema de Birkhoff se aplica a 2, por lo que 2 es plano dentro de S. Por lo tanto, en 2, la aceleración relativa a de la prueba partículas es igual a cero.

Debido a que S es pequeño en comparación con las distancias cosmológicas, y debido a que el polvo es no relativista, los observadores locales pueden attibutar con precisión la diferencia de comportamiento entre 1 y 2 a la fuerza gravitacional newtoniana del polvo que estuvo presente en 1 pero no en 2. Para mayor comodidad, deje que A y B estén inicialmente en reposo en relación con el polvo local (es decir, tener\(\dot{\theta} = \dot{\phi} = 0\)). Por la definición del factor de escala (es decir, por inspección de la métrica FRW), la distancia entre ellos varía como const × a (t). Si una de estas partículas es observadora, ve una “fuerza” que actúa sobre la otra partícula que provoca una aceleración (a¨ /a) r, donde r es el desplazamiento entre las partículas.

Dado que a = 0 en 2, se deduce que la aceleración en 1 se puede calcular con precisión al encontrar la fuerza gravitacional newtoniana debida al polvo agregado. Esto da como resultado una conexión entre\(\frac{\ddot{a}}{a}\), en el lado izquierdo de la ecuación de aceleración de Friedmann, y\(\rho\), en el lado derecho.

Para mayor consistencia, podemos verificar que la fuerza gravitacional newtoniana ejercida por una esfera uniforme, en un punto de su interior, es proporcional a r. Este es un resultado clásico que se deriva fácilmente del teorema de concha de Newton.