8.5: Soluciones Cosmológicas (Parte 3)

La solución dominada por el vacío

Durante 70 años después del descubrimiento de Hubble de la expansión cosmológica, la imagen estándar fue aquella en la que el universo se expandió, pero la expansión debe estar desacelerando. La desaceleración es pronosticada por los casos especiales de la cosmología FRW que se consideraban aplicables, y aunque no supiéramos nada sobre la relatividad general, sería razonable esperar una desaceleración debido a la mutua atracción gravitacional newtoniana de toda la masa en el universo.

Pero las observaciones de supernovas distantes a partir de 1998 introdujeron un giro adicional en la trama. En un sistema estelar binario que consiste en una enana blanca y una estrella no degenerada, a medida que la estrella no degenerada evoluciona en un gigante rojo, su tamaño aumenta y puede comenzar a arrojar masa sobre la enana blanca. Esto puede hacer que la enana blanca supere el límite de Chandrasekhar (Sección 4.4), resultando en una explosión conocida como supernova tipo Ia. Debido a que el límite de Chandrasekhar proporciona un conjunto uniforme de condiciones iniciales, el comportamiento de las supernovas de tipo Ia es bastante predecible, y en particular sus luminosidades son aproximadamente iguales. Por lo tanto, proporcionan una especie de vela estándar: dado que se conoce el brillo intrínseco, la distancia se puede inferir del brillo aparente. Dada la distancia, podemos inferir el tiempo que pasó en tránsito por la luz en su camino hacia nosotros, es decir, el tiempo retrospectivo. A partir de las mediciones de los desplazamientos Doppler de las líneas espectrales, también podemos encontrar la velocidad a la que la supernova retrocedía de nosotros. El resultado es que podemos medir la tasa de expansión del universo en función del tiempo. Las observaciones muestran que esta tasa de expansión se ha ido acelerando. Las ecuaciones de Friedmann muestran que esto sólo puede ocurrir para\(\Lambda \gtrsim 4 \rho\). Esta imagen ha sido verificada independientemente mediante mediciones de la radiación cósmica de fondo de microondas (CMB). Una discusión más detallada de los datos de supernova y CMB se da en la Sección 8.2.

En retrospectiva, podemos ver que en un contexto cuántico-mecánico, es natural esperar que las fluctuaciones del vacío, requeridas por el principio de incertidumbre de Heisenberg, contribuyan a la constante cosmológica, ¡y de hecho los modelos tienden a sobrepredecir\(\Lambda\) por un factor de alrededor de 10 ¹²⁰! Desde este punto de vista, el misterio es por qué estos efectos se cancelan con tanta precisión. Una correcta comprensión de la constante cosmológica presumiblemente requiere una teoría completa de la gravedad cuántica, que actualmente está lejos de nuestro alcance.

Los últimos datos muestran que nuestro universo, en la época actual, está dominado por la constante cosmológica, por lo que como aproximación podemos escribir las ecuaciones de Friedmann como

\[\begin{split} \frac{\ddot{a}}{a} &= \frac{1}{3} \Lambda \\ \left(\dfrac{\dot{a}}{a}\right)^{2} &= \frac{1}{3} \Lambda \ldotp \end{split}\]

Esto se conoce como un universo dominado por el vacío o el espacio-tiempo de Sitter. La solución es

\[a = e^{\sqrt{\frac{\Lambda}{3}} t}, \tag{8.2.5} \]

donde las observaciones muestran que\(\Lambda\) ∼ 10 ⁻²⁶ kg/m ³, dando\(\sqrt{\frac{3}{\Lambda}}\) ∼ 10 ¹¹ años.

Las implicaciones para el destino del universo son deprimentes. Todas las partes del universo se acelerarán alejándose unas de otras cada vez más rápido a medida que pase el tiempo. La separación relativa entre dos objetos, digamos la galaxia A y la galaxia B, eventualmente irá aumentando más rápido que la velocidad de la luz. (El carácter lorentziano del espacio-tiempo es local, por lo que el movimiento relativo más rápido que c solo está prohibido entre objetos que pasan uno junto al otro). En este punto, un observador en cualquiera de las dos galaxias dirá que la otra ha pasado por detrás de un horizonte de eventos. Si los observadores inteligentes realmente existen en un futuro lejano, es posible que no tengan forma de decir que el cosmos existe incluso. Se percibirán a sí mismos como viviendo en universos insulares, tal como creíamos que era nuestra propia galaxia hace cien años.

Cuando introduje anteriormente las coordenadas cosmológicas estándar, las describí como coordenadas en las que los eventos que son simultáneos según esta t son eventos en los que las propiedades locales del universo son las mismas. En el caso de un universo perfectamente dominado por el vacío, sin embargo, esta noción pierde su significado. La única propiedad local observable de tal universo es la energía de vacío descrita por la constante cosmológica, y su densidad es siempre la misma, porque está integrada en la estructura del vacío. Así, la cosmología dominada por el vacío es una especial que máximamente simétrica, en el sentido de que no solo tiene las simetrías de homogeneidad e isotropía que venimos asumiendo todo el tiempo, sino también una simetría con respecto al tiempo: es una cosmología sin historia, en la que todos los tiempos parecen idénticos a un observador local. Una forma de verificar esta afirmación es calculando los escalares de curvatura, y encontramos, por ejemplo, que el escalar de Ricci es una constante R = −12\(\Lambda\) (con el signo dependiendo de la firma + − −−, ejemplo 25).

En el caso especial de esta cosmología, la variación temporal del factor de escala a (t) es inobservable, y puede pensarse como el desafortunado resultado de elegir un conjunto inapropiado de coordenadas, que oscurecen la simetría subyacente. Cuando argumenté en la sección 8.2 a favor de la observabilidad de la expansión del universo, tenga en cuenta que todos mis argumentos asumieron la presencia de materia o radiación. Estos están completamente ausentes en una cosmología perfectamente dominada por el vacío.

Por estas razones de Sitter propuso originalmente esta solución como un universo estático en 1927. Pero para 1920 se dio cuenta de que esto era una simplificación en exceso. El argumento anterior sólo muestra que la variación temporal de a (t) no nos permite distinguir una época del universo de otra. Es decir, no podemos mirar por la ventana e inferir la fecha (por ejemplo, a partir de la temperatura de la radiación cósmica de fondo de microondas). No implica, sin embargo, que el universo sea estático en el sentido que se había asumido hasta las observaciones del Hubble. La parte r-t de la métrica es

\[ds^{2} = dt^{2} - a^{2} dr^{2}, \tag{8.2.6} \]

donde a explota exponencialmente con el tiempo, y se ha descuidado la dependencia k, como lo fue en la aproximación a las ecuaciones de Friedmann utilizadas para derivar\(a(t)\). ²¹ Dejar que una partícula de prueba viaje en la dirección radial, comenzando en el evento A = (0, 0) y terminando en B = (t', r'). En el espacio plano, una línea mundial de la forma lineal r = vt sería una geodésica que conecta A y B; maximizaría el tiempo adecuado de la partícula. Pero en la esta métrica, no puede ser una geodésica. La curvatura de la geodésica relativa a una línea en una gráfica r-t se entiende más fácilmente en el límite donde t 0 p es bastante larga en comparación con la escala de tiempo T =\(\sqrt{\frac{3}{\Lambda}}\) del exponencial, de manera que a (t') es enorme. La mejor estrategia de la partícula para maximizar su tiempo adecuado es asegurarse de que su dr sea extremadamente pequeño cuando a es extremadamente grande. Por lo tanto, el geodésico debe tener r casi constante al final. Esto hace que suene como si la partícula estuviera desacelerando, pero de hecho es cierto lo contrario. Si r es constante, entonces la distancia espacial de la partícula desde el origen es solo ra (t), que sopla exponencialmente. La casi constancia de la coordenada r en general t realmente significa que el movimiento de la partícula en general t no se debe realmente a la memoria inercial de la partícula de su movimiento original, como en la primera ley de Newton. Lo que sucede en cambio es que el movimiento inicial de la partícula le permite alejarse cierta distancia del origen durante un tiempo del orden de T, pero después de eso, la expansión del universo se ha vuelto tan rápida que el movimiento de la partícula simplemente se desvía hacia afuera debido a la expansión del espacio mismo. Su movimiento inicial solo importaba porque determinaba qué tan lejos llegaba la partícula antes de ser barrida por la expansión exponencial.

Nota

Un cálculo del tensor de Einstein con ds ² = d\(\bar{t^{2}}\) − a ² (1 − kr ²) ⁻¹ dr ² muestra que k ingresa solo a través de un factor la forma (..) e ^{(...) t} + (.) k. Para t grande, el término k se vuelve insignificante, y el tensor de Einstein ^{se convierte en G a _b = g a _b\(\Lambda\), Esto es consistente con la aproximación que utilizamos para derivar la solución, que fue ignorar tanto los términos fuente como el término k en las ecuaciones de Friedmann.} Las soluciones exactas con\(\Lambda\) > 0 y k = −1, 0 y 1 resultan de hecho ser equivalentes excepto por un cambio de coordenadas.

Ejemplo 19: Geodésicas en un universo dominado por el vacío

En este ejemplo confirmamos la interpretación anterior en el caso especial donde la partícula, en lugar de ser liberada en movimiento en el origen, se libera en algún radio r distinto de cero, con\(\frac{dr}{dt}\) = 0 inicialmente. Primero recordamos la ecuación geodésica

\[\frac{d^{2} x^{i}}{d \lambda^{2}} = \Gamma^{i}_{jk} \frac{dx^{j}}{d \lambda} \frac{dx^{k}}{d \lambda} \ldotp \tag{8.2.7} \]

de la sección 5.7. Los símbolos de Christoffel que no se desvanecen para la métrica 1+1- dimensional ds ² = dt ² − a ² dr ² son\(\Gamma^{r}_{tr} = \frac{\dot{a}}{a}\) y\(\Gamma^{t}_{rr} = \dot{a} a\). Ajuste T = 1 para mayor comodidad, tenemos\(\Gamma^{r}_{tr}\) = 1 y\(\Gamma^{t}_{rr} = e^{−2t}\).

Conjeturamos que la partícula permanece en el mismo valor de r. Dada esta conjetura, el tiempo adecuado de la partícula\(\int\) ds es simplemente el mismo que su coordenada de tiempo t, y por lo tanto podemos usar t como coordenada afín. Dejando\(\lambda\) = t, tenemos

\[\frac{d^{2} t}{dt^{2}} - \Gamma^{t}_{rr} \left(\dfrac{dr}{dt}\right)^{2} = 0 \tag{8.2.8} \]

\[0 - \Gamma^{t}_{rr} \dot{r}^{2} = 0 \tag{8.2.9} \]

\[\dot{r} = 0 \tag{8.2.10} \]

\[r = constant \tag{8.2.11} \]

Esto confirma la autoconsistencia de la conjetura de que r = constante es una geodésica.

Tenga en cuenta que nunca tuvimos que usar las expresiones reales para los símbolos de Christoffel; solo necesitábamos saber cuál de ellos desapareció y cuál no. La conclusión dependía solo del hecho de que la métrica tenía la forma ds ² = dt ² − a ² dr ² para algunos función a (t). Esto proporciona una justificación rigurosa para la interpretación del factor de escala cosmológica a como dar una variación de tiempo universal en todas las escalas de distancia.

El cálculo también confirma que no hay nada especial sobre r = 0. Una partícula liberada con r = 0 y\(\dot{r}\) = 0 inicialmente permanece en r = 0, pero una partícula liberada en cualquier otro valor de r también permanece en ese r Esta cosmología es homogénea, por lo que cualquier punto podría haber sido elegido como r = 0. Si rociamos partículas de prueba, todas en reposo, a través de la superficie de una esfera centrada en este punto elegido arbitrariamente, entonces todas acelerarán hacia afuera una respecto a la otra, y el volumen de la esfera aumentará. Esto es exactamente lo que esperamos. La curvatura de Ricci se interpreta como la segunda derivada del volumen de una región de espacio definida por las partículas de prueba de esta manera. El hecho de que la segunda derivada sea positiva más que negativa nos dice que estamos observando el tipo de repulsión que proporciona la constante cosmológica, no la atracción que resulta de la existencia de fuentes materiales.

Ejemplo 20: Espacio Schwarzschild de Sitter

La métrica

\[ds^{2} = \left(1 - \dfrac{2m}{r} - \dfrac{1}{3} \Lambda r^{2} \right) dt^{2} - \frac{dr^{2}}{1 - \frac{2m}{r} - \frac{1}{3} \Lambda r^{2}} - r^{2} d \theta^{2} - r^{2} \sin^{2} \theta d \phi^{2} \tag{8.2.12} \]

es una solución exacta a las ecuaciones de campo de Einstein con constante cosmológica\(\Lambda\), y puede interpretarse como un universo en el que la única masa es un agujero negro de masa m localizado en r = 0. Cerca del agujero negro, los\(\Lambda\) términos se vuelven insignificantes, y esto es simplemente la métrica Schwarzschild. Como se argumenta en la sección 8.2, este es un ejemplo sencillo de cómo la expansión cosmológica no provoca que todas las estructuras del universo crezcan al mismo ritmo.

Ejemplo 21: Conservación del impulso energético

Supongamos que asumimos la geometría de Sitter, y preguntamos qué tipo de campos de materia son necesarios para crearla. Sabemos que una constante cosmológica hará el trabajo, pero ¿podríamos tener algún otro campo de la materia que también funcionaría? Supongamos que el campo de materia está limitado a ser un fluido perfecto. La tensión-energía total es entonces de la forma\(T^{\mu}_{\nu}\) = diag (\(\rho\), −P, −P, −P) en coordenadas cartesianas. (Ver ejemplo 4 para los signos, algunos de los cuales dependen de nuestro uso de la firma + − −−.) La divergencia\(\nabla_{\mu} T^{\mu}_{t}\) mide la velocidad a la que un observador dice que se está creando energía, y necesitamos que esto sea cero. Esta expresión es uno de esos ejemplos complicados donde la derivada covariante puede ser distinta de cero incluso cuando la cosa que se está diferenciando se desvanece de manera idéntica. La divergencia es\(\nabla_{t} T^{t}_{t} + \nabla_{x} T^{x}_{t}\), y el término que no desaparece es el segundo, aunque T ^x _t = 0. Usando los símbolos de Christoffel que no se desvanecen esto se convierte en esto\(\Gamma^{x}_{xt} T^{t}_{t} − \Gamma^{x}_{tx} T^{x}_{x} = \frac{\dot{a}}{a} (\rho + P)\), de manera que\(\rho\) + P = 0. Esta condición es satisfecha por una constante cosmológica. Nuestro resultado es que la única manera de obtener una geometría de Sitter es con campos de materia que imiten exactamente una constante cosmológica. Esto es de cierto interés histórico en el contexto de las cosmologías de estado estacionario, sección 8.4. Puede parecer misterioso que hayamos obtenido este resultado al requerir la conservación del impulso energético, pero también podríamos haberlo hecho usando las ecuaciones de campo de Einstein. De hecho estos no son dos requisitos separados, ya que las ecuaciones de campo requieren la conservación del impulso energético para ser consistentes.

La singularidad del Big Bang en un universo con una constante cosmológica

Anteriormente discutimos la posibilidad de que la singularidad del Big Bang fuera un artefacto de la simetría irrealista perfecta asumida por nuestros modelos cosmológicos, y encontramos que este no era el caso: los teoremas de singularidad de Penrose-Hawking demuestran que la singularidad es real, siempre que el La constante cosmológica es cero. Sin embargo, la constante cosmológica no es cero. Los modelos con una constante cosmológica positiva muy grande también pueden mostrar un Big Bounce en lugar de un Big Bang. Si imaginamos usar las ecuaciones de Friedmann para evolucionar el universo hacia atrás en el tiempo desde su estado actual, los argumentos de escalado del ejemplo 14 sugieren que en tiempos suficientemente tempranos, la radiación y la materia deben dominar sobre la constante cosmológica. Por un valor suficientemente grande de la constante cosmológica, sin embargo, puede suceder que este cambio nunca ocurra. En tal modelo, el universo está y siempre ha estado dominado por la constante cosmológica, y conseguimos un Gran Rebote en el pasado por la repulsión de la constante cosmológica. En este libro solo desarrollaré modelos cosmológicos simples en los que el universo esté dominado por un solo componente; para una discusión de modelos que rebotan tanto con materia como con una constante cosmológica, ver Carroll, “La constante cosmológica”, http://www.livingreviews.org/lrr-2001-1. Para 2008, una variedad de datos observacionales habían fijado la constante cosmológica lo suficientemente bien como para descartar la posibilidad de un rebote causado por una constante cosmológica muy fuerte.

La solución dominada por la materia

Nuestro universo no está perfectamente dominado por el vacío, y en el pasado lo era aún menos. Consideremos la época dominada por la materia, en la que la constante cosmológica fue insignificante comparada con las fuentes materiales. La ecuación de estado para la materia no relativista (ejemplo 4) es

\[P = 0 \ldotp \tag{8.2.13} \]

La dilución del polvo con expansión cosmológica da

\[\rho \propto a^{-3} \tag{8.2.14} \]

(ver ejemplo 23). Las ecuaciones de Friedmann se convierten

\[\begin{split} \frac{\ddot{a}}{a} &= - \frac{4 \pi}{3} \rho \\ \left(\dfrac{\dot{a}}{a}\right)^{2} &= \frac{8 \pi}{3} \rho - ka^{-2}, \end{split}\]

donde por compacidad la dependencia\(\rho\) de a, con alguna constante de proporcionalidad, no se muestra explícitamente. Una solución estática, con a constante, es imposible, y\(\ddot{a}\) es negativa, lo que podemos interpretar en términos newtonianos como la desaceleración de la materia en el universo debido a la atracción gravitacional. Hay tres casos a considerar, según el valor de k.

El Universo Cerrado

Hemos visto que k = +1 describe un universo en el que la curvatura espacial es positiva, es decir, la circunferencia de un círculo es menor que su valor euclidiano. Por analogía con una esfera, que es la superficie bidimensional de curvatura positiva constante, esperamos que el volumen total de este universo sea finito.

La segunda ecuación de Friedmann también nos muestra que a algún valor de a, tendremos\(\dot{a}\) = 0. El universo se expandirá, se detendrá y luego se volverá a colapsar, eventualmente volviendo a estar juntos en un “Big Crunch” que es la versión invertida en el tiempo del Big Bang.

Supongamos que deberíamos describir un problema de valor inicial en esta cosmología, en la que se dan las condiciones iniciales para todos los puntos del universo en alguna superficie espacial, digamos t = constante. Dado que se supone que el universo es homogéneo en todo momento, en realidad solo hay tres números para especificar, a\(\dot{a}\), y\(\rho\): ¿qué tan grande es el universo, qué tan rápido se expande y cuánta materia hay en él? Pero estos tres datos pueden o no ser consistentes con la segunda ecuación de Friedmann. Es decir, el problema está sobredeterminado. En particular, podemos ver que para valores lo suficientemente pequeños de\(\rho\), no tenemos una solución válida, ya que el cuadrado de\(\frac{\dot{a}}{a}\) tendría que ser negativo. Así, un universo cerrado requiere de cierta cantidad de materia en él. La presente evidencia observacional (de supernovas y el fondo cósmico de microondas, como se describió anteriormente) es suficiente para mostrar que nuestro universo no contiene tanta materia.

El Universo Plano

El caso de k = 0 describe un universo espacialmente plano. Representa una caja de filo de navaja que se encuentra entre los universos cerrado y abierto. En una analogía newtoniana, representa el caso en el que el universo se mueve exactamente a velocidad de escape; a medida que t se acerca al infinito, tenemos un → ∞,\(\rho\) → 0, y\(\dot{a}\) → 0. Este caso, a diferencia de los demás, permite una solución fácil de forma cerrada al movimiento. Deje que la constante de proporcionalidad en la ecuación de estado\(\rho \propto a^{−3}\) se fije estableciendo\(\frac{−4 \pi \rho}{3}\) = −ca ⁻³. Las ecuaciones de Friedmann son

\[\begin{split} \ddot{a} &= -ca^{-2} \\ \dot{a} &= \sqrt{2c} a^{-1/2} \ldotp \end{split}\]

Buscando una solución de la forma a\(\propto\) t ^p, encontramos que al elegir p = 2/3 podemos satisfacer simultáneamente ambas ecuaciones. La constante c también es fija, y podemos investigar esto de manera más transparente reconociendo que\(\frac{\dot{a}}{a}\) se interpreta como la constante del Hubble, H, que es la constante de proporcionalidad que relaciona la velocidad de una galaxia lejana con su distancia. Obsérvese que H es una “constante” en el sentido de que es igual para todas las galaxias, en este modelo particular con una constante cosmológica que desaparece; no se mantiene constante con el paso del tiempo cosmológico. Volviendo a la forma original de las ecuaciones de Friedmann, encontramos que el universo plano solo puede existir si la densidad de la materia satisface\(\rho = \rho_{crit} = \frac{3H^{2}}{8 \pi} = \frac{3H^{2}}{8 \pi G}\). El valor observado de la constante de Hubble es de aproximadamente 1/ (14 × 10 ⁹ años), lo que se interpreta aproximadamente como la edad del universo, es decir, el tiempo adecuado que experimenta una partícula de prueba desde el Big Bang. Esto da\(\rho_{crit}\) ∼ 10 ⁻²⁶ kg/m ³.

Como se discute en la sección 8.2, nuestro universo resulta ser casi exactamente plano espacialmente. Aunque actualmente está dominada por el vacío, la cosmología de FRW plana y dominada por la materia es una descripción útil de su época dominada por la materia.

El Universo Abierto

El caso k = −1 representa un universo que tiene una curvatura espacial negativa, es espacialmente infinito, y también es infinito en el tiempo, es decir, aunque la constante cosmológica hubiera sido cero, la expansión del universo habría tenido muy poca materia en él para hacer que se recontrajera y terminara en un Big Crunch.

La simetría de reversión temporal de la relatividad general se discutió en la sección 6.2 en relación con la métrica Schwarzschild. ²² Debido a esta simetría, esperamos que las soluciones a las ecuaciones de campo sean simétricas bajo inversión de tiempo (a menos que se impongan condiciones de límite asimétricas). El universo cerrado tiene exactamente este tipo de simetría de inversión de tiempo. Pero el universo abierto claramente rompe esta simetría, y por eso hablamos del Big Bang como mentido en el pasado, no en el futuro. Este es un ejemplo de ruptura espontánea de simetría. La ruptura espontánea de simetría ocurre cuando tratamos de equilibrar un lápiz en su punta, y también es un fenómeno importante en la física de partículas. La versión invertida en el tiempo del universo abierto es una solución igualmente válida de las ecuaciones de campo. Otro ejemplo de ruptura espontánea de simetría en soluciones cosmológicas es que las soluciones tienen un marco de referencia preferido, que es el que está en reposo en relación con el fondo cósmico de microondas y el movimiento promedio de las galaxias. A esto se le conoce como el flujo del Hubble.

Nota

El problema 5 muestra que esta simetría también es exhibida por las ecuaciones de Friedmann.

Ejemplo 22: Tamaño y edad del universo observable

El universo observable se define por la región desde la que la luz ha tenido tiempo de alcanzarnos desde el Big Bang. Muchas personas se inclinan a asumir que su radio en unidades de años luz, por lo tanto, debe ser igual a la edad del universo expresada en años. Esto no es cierto. Distancias cosmológicas como estas ni siquiera están definidas de manera única, porque la relatividad general solo tiene marcos de referencia locales, no globales.

Supongamos que adoptamos la distancia adecuada L definida en la sección 8.2 como nuestra medida de radio. Por esta medida, modelos cosmológicos realistas dicen que nuestro universo de 14 mil millones de años tiene un radio de 46 mil millones de años luz.

Para un universo plano, f = 1, así al inspeccionar la métrica FRW encontramos que un fotón que se mueve radialmente con ds = 0 tiene |\(\frac{dr}{dt}\) | = a ⁻¹, dando\(r = \pm \int^{t_{2}}_{t_{1}} \frac{dt}{a}\). Suprimiendo signos, la distancia adecuada que atraviesa el fotón comenzando poco después del Big Bang es L = a (t ₂)\(\int\) d\(\ell\) = a (t 2)\(\int\) dr = a (t ₂) r = a (t ₂) r = a (t ₂)\(\int^{t_{2}}_{t_{1}} \frac{dt}{a}\). En el caso dominado por la materia, a\(\propto\) t ^2/3, por lo que esto da como resultado L = 3t ₂ en el límite donde t1 es pequeño. Nuestro universo ha pasado la mayor parte de su historia dominado por la materia, por lo que es alentador que el cálculo dominado por la materia parezca hacer un trabajo bastante bueno al reproducir la relación real de\(\frac{46}{14}\) = 3.3 entre L y t ₂.

Mientras estamos en ello, podemos ver qué sucede en el caso puramente dominado por el vacío, que tiene una\(\propto\) e ^t/T, donde T =\(\sqrt{\frac{3}{\Lambda}}\). Esta cosmología no tiene un Big Bang, pero podemos pensarlo como una aproximación a la historia más reciente del universo, pegada a una solución anterior dominada por la materia. Aquí encontramos L = [e ^{(t ₂ −t ₁) /T} − 1] T, donde t ₁ es el momento en que ocurrió el cambio a la dominación del vacío. Esta función crece más rápidamente con t ₂ que la obtenida en el caso dominado por la materia, por lo que tiene sentido que la relación del mundo real de\(\frac{L}{t_{2}}\) sea algo mayor que el valor dominado por la materia de 3.

La versión dominada por radiación se maneja en el problema 12.

Ejemplo 23: Conservación local de energía masiva

Cualquier solución a las ecuaciones de Friedmann es una solución de las ecuaciones de campo, y por lo tanto conserva localmente la masa-energía. Guardamos el trabajo anterior aplicando esta condición de antemano en la forma\(\rho \propto\) a ⁻³ para hacer que el polvo se diluya adecuadamente con expansión cosmológica. En este ejemplo probamos la misma proporcionalidad por cálculo explícito.

La conservación local de la masa-energía se expresa por la divergencia cero del tensor de tensión-energía,\(\nabla_{j}\) T ^jb = 0. La definición de la derivada covariante da

\[\nabla_{j} T^{bc} = \partial_{j} T^{bc} + \Gamma^{b}_{jd} T^{dc} + \Gamma^{c}_{jd} T^{bd} \ldotp \tag{8.2.15} \]

Por conveniencia, realizamos el cálculo a r = 0; si la conservación se mantiene aquí, entonces se mantiene en todas partes por homogeneidad.

En un marco cartesiano local (t', x', y', z') en reposo relativo al polvo, el tensor de tensión-energía es diagonal con T ^t't' =\(\rho\). A r = 0, la transformación de las coordenadas FLRW en estas coordenadas no mezcla t o t' con las otras coordenadas, por lo que por la ley de transformación del tensor todavía tenemos T ^tt =\(\rho\).

Hay una serie de símbolos de Christoffel involucrados, pero los únicos tres de relevancia que no desaparecen a r = 0 resultan serlo\(\Gamma^{r}_{rt} = \Gamma^{\theta}_{\theta t} = \Gamma^{\phi}_{\phi t} = \frac{\dot{a}}{a}\). El resultado es

\[\nabla_{\mu} T^{t \mu} = \partial_{t} T^{tt} + 3 \frac{\dot{a}}{a} T^{tt}, \tag{8.2.16} \]

o\(\frac{\dot{\rho}}{\rho} = −3 \frac{\dot{a}}{a}\), que puede ser reescrito como

\[\frac{d}{dt} \ln \rho = −3 \frac{d}{dt} \ln a, \tag{8.2.17} \]

produciendo la proporcionalidad originalmente reclamada.