8.4: Soluciones Cosmológicas (Parte 2)

Una singularidad en el Big Bang

Las ecuaciones de Friedmann solo permiten una constante a en el caso en el que\(\Lambda\) está perfectamente afinado en relación con los otros parámetros, e incluso este equilibrio afinado artificialmente resulta inestable. Estas consideraciones hacen inverosímil una cosmología estática por razones teóricas, y también son consistentes con la expansión observada del Hubble (sección 8.2).

Como el universo no es estático, ¿qué sucede si usamos la relatividad general para extrapolar cada vez más atrás en el tiempo?

Si extrapolamos las ecuaciones de Friedmann hacia atrás en el tiempo, nos encontramos con que siempre tienen a = 0 en algún momento del pasado, y esto ocurre independientemente de los detalles de lo que supongamos sobre la materia y la radiación que llena el universo. Para ver esto, note que, como se discute en el ejemplo 14, se espera que la radiación domine el universo temprano, por razones genéricas que no son sensibles a las incertidumbres observacionales (sustanciales) sobre la mezcla actual de ingredientes del universo. Bajo condiciones dominadas por radiación, podemos aproximar\(\Lambda\) = 0 y P =\(\frac{\rho}{3}\) (ejemplo 14) en la primera ecuación de Friedmann, encontrando

\[\frac{\ddot{a}}{a} = - \frac{8 \pi}{3} \rho \tag{8.2.4}\]

donde\(\rho\) está la densidad de masa-energía debida a la radiación. Dado que siempre\(\frac{\ddot{a}}{a}\) es negativo, la gráfica de a (t) siempre es cóncava hacia abajo, y como a está aumentando actualmente, debe haber algún tiempo en el pasado cuando a = 0. ^{_{Se puede verificar fácilmente que esto no es solo una singularidad de coordenadas; la curvatura escalar de Ricci R a diverge, y la singularidad ocurre en un momento adecuado finito en el pasado.}}

En la sección 6.3, vimos que un agujero negro contiene una singularidad, pero parece que tales singularidades siempre se esconden detrás de los horizontes de eventos, de manera que nunca podremos observarlas desde el exterior. La singularidad de FRW, sin embargo, no se esconde detrás de un horizonte de eventos. Se encuentra en nuestro cono de luz pasado, y nuestras propias líneas mundiales surgieron de él. El universo, al parecer, se originó en un Big Bang, concepto que se originó con el sacerdote católico romano belga Georges Lemaître.

Figura\(\PageIndex{5}\) - Georges Lemaître (1894- 1966) propuso en 1927 que nuestro universo se modelara en la relatividad general como un espacio-tiempo en el que el espacio se expandió con el tiempo. Las ideas de Lemaître fueron tratadas inicialmente con escepticismo por Eddington y Einstein, quienes le dijeron: “Tus cálculos son correctos, pero tu física es abominable”. Más tarde, a medida que la evidencia observacional de Hubble para la expansión cosmológica se hizo ampliamente aceptada, tanto Einstein como Eddington se convirtieron, ayudando a atraer las ideas de Lemátre a la atención de la comunidad. En 1931, un Lemátre envalentonado describió la idea de que el universo comenzaba a partir de un “Átomo Primeval” o “Huevo Cósmico”. El nombre que finalmente se quedó fue “Big Bang”, acuñado por Fred Hoyle como un término burlador.

ejercicio\(\PageIndex{1}\):

Autocomprobación: ¿Por qué no es correcto pensar en el Big Bang como una explosión que ocurrió en un punto específico del espacio?

¿La singularidad de FRW representa algo real sobre nuestro universo?

Una cosa de la que preocuparse es la precisión de nuestro modelado físico del universo dominado por la radiación. La presencia de una singularidad inicial en las soluciones de FRW no depende sensiblemente de supuestos como P =\(\frac{\rho}{3}\), pero sigue siendo inquietante que ningún experimento de laboratorio se haya acercado jamás a alcanzar las condiciones en las que podríamos probar si un gas de fotones produce campos gravitacionales según lo predicho por la relatividad general. Vimos en la sección 8.1 que los campos eléctricos estáticos producen campos gravitacionales como se predijo, pero esto no es lo mismo que una confirmación empírica de que las ondas electromagnéticas también actúan como fuentes gravitacionales exactamente de la manera que afirma la relatividad general. Sin embargo, tenemos un control de consistencia en forma de abundancias de núcleos. Los cálculos de las reacciones nucleares en el universo temprano dominado por la radiación predicen ciertas abundancias de hidrógeno, helio y deuterio. En particular, la abundancia relativa de helio y deuterio es una prueba sensible de las relaciones entre a\(\dot{a}\), y\(\ddot{a}\) predichas por las ecuaciones FRW, y confirman estas relaciones con una precisión de aproximadamente 5 ± 4%. ¹⁵

Nota

Steigman, Ann. Rev. Nucl. Parte. Sci. 57 (2007) 463. Estas pruebas se expresan en términos de la “constante” del Hubble H =\(\frac{\dot{a}}{a}\), que en realidad está variando en escalas de tiempo cosmológicas. La relación nuclear helio-deuterio es sensible a\(\frac{\dot{H}}{H}\).

Una preocupación adicional es si la singularidad del Big Bang es solo producto de la suposición poco realista de simetría perfecta que entró en la cosmología FRW. Uno de los teoremas de singularidad de Penrose-Hawking demuestra que no lo es. ¹⁶ Este teorema de singularidad particular requiere tres condiciones: (1) se mantiene la condición de energía fuerte; (2) no hay curvas cerradas similares al tiempo; y (3) existe una superficie atrapada en el pasado geodésicas parecidas al tiempo originadas en algún momento. El requisito de una superficie atrapada puede fallar si el universo no es homogéneo a\(\gtrsim\) 10 ⁻⁴, pero las observaciones del fondo cósmico de microondas descartan cualquier inhomogeneidad tan grande (ver sección 8.2). El otro posible fracaso de los supuestos es que si la constante cosmológica es lo suficientemente grande, viola la ecuación energética fuerte, y podemos tener un Big Bounce en lugar de un Big Bang (ver sección 8.2).

Un caso excepcional: el universo Milne

Todavía hay una tercera laguna en nuestra conclusión de que la singularidad del Big Bang debió haber existido. Consideremos el caso especial del análisis FRW, encontrado por Milne en 1932 (mucho antes de FRW), en el que el universo está completamente vacío, con\(\rho\) = 0 y\(\Lambda\) = 0. Esto, por supuesto, no es consistente con el hecho de que el universo contiene estrellas y galaxias, pero podríamos preguntarnos si podría decirnos algo interesante como una aproximación simplificada a un universo muy diluido. El resultado es que el factor de escala a varía linealmente con el tiempo (problema 3). Si a no es constante, entonces existe un tiempo en el que a = 0, pero esto no resulta ser una verdadera singularidad (lo cual no es sorprendente, ya que no hay materia para crear campos gravitacionales). Que este universo tenga una dispersión de partículas de prueba cuyas masas son demasiado pequeñas para invalidar la aproximación de\(\rho\) = 0, y dejar que las partículas de prueba estén en reposo en las coordenadas (r,\(\theta, \phi\)). La dependencia lineal de a sobre t significa que estas partículas simplemente se mueven inercialmente y sin ninguna interacción gravitacional, separándose unas de otras a una velocidad constante como las pasas en una barra ascendente de pan de pasas. Las ecuaciones de Friedmann requieren k = −1, por lo que la geometría espacial es una de curvatura negativa constante.

El universo Milne es, de hecho, el espacio-tiempo plano descrito en coordenadas complicadas. La conexión se puede hacer de la siguiente manera. Dejar que una nube esféricamente simétrica de partículas de prueba sea emitida por una explosión que ocurre en algún evento arbitrariamente elegido en el espacio-tiempo plano. Hacer que la densidad de la nube no sea uniforme de cierta manera específica, de modo que cada observador que se mueva junto con una partícula de prueba (llamada observador comoving) vea las mismas condiciones locales en su propio marco; debido a la contracción de Lorentz por un factor\(\gamma\), esto requiere que la densidad sea proporcional a\(\gamma\) según lo describió el observador O quien permaneció en el origen. Este escenario resulta ser idéntico al universo Milne bajo el cambio de coordenadas de coordenadas espacialmente planas (T, R) a coordenadas FRW (t, r), donde t =\(\frac{T}{\gamma}\) es el tiempo apropiado y r = v\(\gamma\). (Cf. problema 12)

El universo Milne puede ser útil como inoculación contra la idea errónea común de que el Big Bang era una explosión de materia que se extendió a un vacío preexistente. Tal descripción parece obviamente incompatible con la homogeneidad, ya que, por ejemplo, un observador al borde de la nube ve la nube llenando sólo la mitad del cielo. Pero, ¿no es esto una contradicción lógica, ya que el universo Milne tiene una explosión al vacío, y sin embargo se derivó como un caso especial del análisis FRW, que asumió explícitamente la homogeneidad? No es una contradicción, porque un observador comoving nunca ve realmente una ventaja. En el límite a medida que nos acercamos al borde, la densidad de la nube (vista por el observador que se quedó en el origen) se acerca al infinito, y la contracción de Lorentz también se acerca al infinito, de modo que O los considera como Hamlet diciendo: “Podría estar acotado en pocas palabras, y considerarme rey del infinito espacio.” Esta lógica sólo funciona en el caso del universo Milne. La interpretación de explosión en vacío preexistente falla en las cosmologías del Big Bang con\(\rho \neq 0\).

Observabilidad de Expansión

¡Brooklyn no se está expandiendo!

La interpretación adecuada de la expansión del universo, tal y como describen las ecuaciones de Friedmann, puede ser complicada. El ejemplo del universo Milne nos anima a imaginar que la expansión sería indetectable, ya que el universo Milne puede describirse como expandiéndose o no expandiéndose, dependiendo de la elección de las coordenadas. Una consecuencia más general de la independencia de coordenadas es que la relatividad no elige ninguna escala de distancia preferida. Es decir, si todas nuestras varitas métricas se expanden, y el resto del universo también se expande, no tendríamos forma de detectar la expansión. La falla en este razonamiento es que las ecuaciones de Friedmann solo describen el comportamiento promedio del espacio-tiempo. Como se dramatizó en la clásica película de Woody Allen “Annie Hall”: “Bueno, el universo lo es todo, y si se está expandiendo, algún día se romperá y ese sería el final de todo!” “¿Qué tiene que ver el universo con ello? ¡Estás aquí en Brooklyn! ¡Brooklyn no se está expandiendo!”

Para organizar nuestros pensamientos, consideremos las siguientes hipótesis:

1. La distancia entre una galaxia y otra aumenta a la velocidad dada por a (t) (suponiendo que las galaxias estén suficientemente distantes entre sí que no estén gravitacionalmente unidas dentro del mismo cúmulo galáctico, supercúmulo, etc.).
2. La longitud de onda de un fotón aumenta según a (t) a medida que recorre distancias cosmológicas.
3. El tamaño del sistema solar también aumenta a este ritmo (es decir, los sistemas ligados gravitacionalmente se hacen más grandes, incluyendo la Tierra y la Vía Láctea).
4. El tamaño de Brooklyn aumenta a esta velocidad (es decir, los sistemas ligados electromagnéticamente se hacen más grandes). 5. El tamaño de un núcleo de helio aumenta a esta velocidad (es decir, los sistemas unidos por la fuerte fuerza nuclear se hacen más grandes).

Podemos imaginar que:

• Todas las hipótesis anteriores son ciertas.
• Todas las hipótesis anteriores son falsas, y de hecho ninguno de estos tamaños aumenta en absoluto.
• Algunos son verdaderos y otros falsos

Si las cinco hipótesis fueran ciertas, la expansión sería indetectable, porque todas las barras métricas disponibles se estarían expandiendo juntas. De igual manera si no aumentaran los tamaños, no habría nada que detectar. Estas dos posibilidades son realmente la misma cosmología, descrita en dos sistemas de coordenadas diferentes. Pero los tensores Ricci y Einstein fueron cuidadosamente construidos para ser intrínsecos. El hecho de que la expansión afecte al tensor de Einstein demuestra que no puede interpretarse como una mera expansión de coordenadas. Específicamente, supongamos que alguien le dice que la métrica FRW se puede convertir en una métrica plana mediante un cambio de coordenadas. (Me he encontrado con esta afirmación en foros de internet.) La estructura lineal de las ecuaciones de transformación del tensor garantiza que un tensor distinto de cero nunca se puede convertir en un tensor cero por un cambio de coordenadas. Dado que el tensor de Einstein es distinto de cero para una métrica FRW y cero para una métrica plana, la afirmación es falsa.

ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Autocomprobación: El razonamiento anterior asumía implícitamente un universo no vacío. Convénzate de que falla en el caso especial del universo Milne.

Ahora podemos ver algunas de las limitaciones de una metáfora común utilizada para explicar la expansión cósmica, en la que el universo se visualiza como la superficie de un globo en expansión. La metáfora cruza correctamente varias ideas: que el Big Bang no es una explosión que ocurrió en un punto preexistente en el espacio vacío; que se sostiene la hipótesis 1 anterior; y que la tasa de recesión de una galaxia respecto a otra es proporcional a la distancia entre ellas. Sin embargo, la metáfora puede ser engañosa, porque si tomamos un marcador de lavandería y dibujamos cualquier estructura en el globo, esa estructura se expandirá al mismo ritmo. Pero esto implica que todas las hipótesis 1-5 se sostienen, lo cual no puede ser cierto.

Ya que algunas de las cinco hipótesis deben ser verdaderas y otras falsas, y nos gustaría resolver cuáles son cuáles. También debería quedar claro a estas alturas que no se trata de cinco hipótesis independientes. Por ejemplo, podemos probar empíricamente si la relación entre el tamaño de Brooklyn y las distancias entre galaxias cambia como a (t), permanece constante, o cambia con alguna otra dependencia del tiempo, pero es solo la relación la que en realidad es observable.

Empíricamente, encontramos que las hipótesis 1 y 2 son verdaderas (es decir, la longitud de onda del fotón mantiene una relación constante con la escala de distancia intergaláctica), mientras que 3, 4 y 5 son falsas. Por ejemplo, las órbitas de los planetas en nuestro sistema solar se han medido de manera extremadamente precisa mediante la reflexión del radar y por los tiempos de propagación de la señal a las sondas espaciales, y no se detecta ninguna tendencia de expansión.

Predicciones general-relativistas

¿La relatividad general reproduce correctamente estas observaciones? La relatividad general es principalmente una teoría de la gravedad, por lo que debería estar dentro de su dominio para explicar por qué el sistema solar no se expande de manera detectable mientras que las distancias intergalácticas sí lo hacen. No es práctico resolver exactamente las ecuaciones de campo de Einstein para describir la estructura interna de todos los cuerpos que ocupan el universo: galaxias, supercúmulos, etc. Podemos, sin embargo, manejar casos simples, como en el ejemplo 20, donde mostramos una solución exacta para el caso de un universo que contiene sólo dos cosas: un agujero negro aislado, y una densidad de energía descrita por una constante cosmológica. Encontramos que la escala característica del agujero negro, es decir, el radio de su horizonte de eventos, no aumenta con el tiempo. Posteriormente se da un tratamiento más completo de estos temas, luego de que se hayan establecido algunos datos sobre cosmologías realistas. El resultado es que aunque en algunos casos se predice que los sistemas vinculados como el sistema solar se expandirán, la expansión es absurdamente pequeña, demasiado pequeña para medirla y mucho más pequeña que la tasa de expansión del universo en general representada por el factor de escala a (t). Esto concuerda con la observación.

Es fácil demostrar que los átomos y núcleos no se expanden de manera constante con el tiempo. porque tal expansión violaría ya sea el principio de equivalencia o las propiedades básicas de la mecánica cuántica. Una forma de afirmar el principio de equivalencia es que la geometría local del espacio-tiempo es siempre aproximadamente lorentziana, de manera que las leyes de la física no dependen de la posición o estado de movimiento de uno. Entre estas leyes de la física se encuentran los principios de la mecánica cuántica, que implican que un átomo o un núcleo tiene un estado fundamental bien definido, con un cierto tamaño que depende únicamente de constantes fundamentales como la constante de Planck y las masas de las partículas involucradas. Los átomos y núcleos sí experimentan deformación debido a tensiones gravitacionales (ejemplos 24-25), pero estas deformaciones no aumentan con el tiempo, y solo serían detectables si la expansión cosmológica se acelerara radicalmente (ejemplo 26).

Esto es diferente al caso de un fotón viajando por el universo. El argumento dado anteriormente falla, porque el fotón no tiene un estado fundamental. El fotón sí se expande, y esto es requerido por el principio de correspondencia. Si el fotón no se expandiera, entonces su longitud de onda permanecería constante, y esto sería inconsistente con la teoría clásica del electromagnetismo, que predice un desplazamiento Doppler debido al movimiento relativo de la fuente y el observador. Se puede optar por describir los desplazamientos al rojo cosmológicos ya sea como desplazamientos Doppler o como expansiones de longitud de onda debido a la expansión cosmológica.

Una buena manera de discutir los átomos, núcleos, fotones y sistemas solares, todos en pie de igualdad es señalar que en las unidades geométricas, las unidades de masa y longitud son las mismas. Por lo tanto, la existencia de cualquier partícula masiva fundamental establece una escala de longitud universal, una que será conocida por cualquier especie inteligente en cualquier parte del universo. Dado que los fotones son sin masa, no pueden ser utilizados para establecer una escala universal de esta manera; un fotón tiene cierta masa-energía, pero esa masa-energía puede tomar cualquier valor. De igual manera, un sistema solar establece una escala de longitud, pero no universal; el radio de la órbita de un planeta puede tomar cualquier valor. Un universo sin partículas fundamentales masivas sería un universo sin medición de longitud. Obedecería las leyes de la geometría conforme, en las que los ángulos y los conos de luz eran las únicas medidas. Esta es la razón por la que los átomos y núcleos, que están hechos de partículas fundamentales masivas, no se expanden.

Se requiere más de una dimensión

Otra buena manera de entender por qué un fotón se expande, mientras que un átomo no lo hace, es recordar que un espacio unidimensional nunca puede tener ninguna curvatura intrínseca. Si la expansión de los átomos fuera a ser detectable, necesitaríamos detectarla comparándola con algún otro medidor de barra. Supongamos que un átomo de hidrógeno se expande más, mientras que un átomo de uranio más estrechamente unido se expande menos, para que con el tiempo, podamos detectar un cambio en la relación de los tamaños de los dos átomos. Las líneas mundiales de los dos átomos son curvas unidimensionales en el espacio-tiempo. Están alojados en un laboratorio, y aunque el laboratorio sí tiene cierta extensión espacial, el principio de equivalencia garantiza que a una buena aproximación, esta pequeña extensión espacial no importa. Esto implica una curvatura intrínseca en un espacio unidimensional, lo cual es matemáticamente imposible, por lo que tenemos una prueba por contradicción de que los átomos no se expanden de manera constante.

Ahora bien, ¿por qué falla este argumento de unidimensionalidad para fotones y galaxias? Para un par de galaxias, falla porque las galaxias no están lo suficientemente cercanas entre sí como para permitir que ambas sean cubiertas por un solo marco de Lorentz, y por lo tanto el conjunto de líneas mundiales que comprende la observación no se puede aproximar así como estar dentro de un espacio unidimensional. Razonamiento similar se aplica para corrimientos al rojo cosmológicos de fotones recibidos de galaxias distantes. En cambio, uno podría proponer volar en una nave espacial junto a una onda electromagnética, y monitorear el cambio en su longitud de onda mientras está en vuelo. Todas las líneas mundiales involucradas en tal experimento se limitarían de hecho a un espacio unidimensional. El experimento es imposible, sin embargo, porque el aparato de medición no puede acelerarse a la velocidad de la luz. En realidad, la velocidad de la onda de luz en relación con el aparato de medición siempre será igual a c, por lo que las dos líneas mundiales involucradas en el experimento divergirán, y no se limitarán a una región unidimensional del espacio-tiempo.

Ejemplo 16: Una faja cósmica

Dado que la expansión cósmica no tiene un efecto significativo en Brooklyn, los núcleos y los sistemas solares, podríamos estar tentados a inferir que su efecto sobre cualquier cuerpo sólido también sería insignificante. Para ver que esto no es cierto, imagina que vivimos en un universo cerrado, y el universo tiene un cinturón de cuero envolviéndolo alrededor en un espacio cerrado geodésico. Todas las partes del cinturón están inicialmente en reposo en relación con las galaxias locales, y la tensión es inicialmente cero en todas partes. El cinturón debe estirarse y eventualmente romperse: porque si no, entonces no podría quedarse en todas partes en reposo con respecto a las galaxias locales, y esto violaría la simetría de las condiciones iniciales, ya que no habría forma de escoger la dirección en la que una cierta parte del cinturón debería comenzar a acelerarse.

Ejemplo 17: La relatividad cuasimétrica de Østvang

A lo largo de los años, se han propuesto diversas teorías de la gravedad como alternativas a la relatividad general. Algunos de estos, como la teoría de Brans-Dicke, siguen siendo viables, es decir, son consistentes con todos los datos experimentales disponibles que han sido utilizados para probar la relatividad general. Una de las razones más importantes para intentar construir tales teorías es que puede ser imposible interpretar pruebas de las predicciones de la relatividad general a menos que se posea también una teoría que prediga algo diferente. Este tema, por ejemplo, ha hecho imposible probar la predicción centenaria de Einstein de que los efectos gravitacionales se propagan en c, ya que no existe una teoría viable disponible que prediga cualquier otra velocidad para ellos (ver sección 9.1).

Østvang (arxiv.org/abs/gr-qc/0112025v6) ha propuesto una teoría alternativa de la gravedad, llamada relatividad cuasimétrica, que, a diferencia de la relatividad general, predice una expansión cosmológica significativa del sistema solar, y que se afirma que es capaz de explicar la observación de pequeñas aceleraciones inexplicables de las sondas espaciales Pioneer que permanecen después de que se hayan restado todas las aceleraciones debidas a efectos conocidos (la “anomalía Pioneer”). Hemos visto anteriormente que hay una variedad de argumentos en contra de tal expansión del sistema solar, y que muchos de estos argumentos no requieren cálculos técnicos detallados sino solo conocimiento de ciertos principios fundamentales, como la estructura de la geometría diferencial (sin curvatura intrínseca en uno dimensión), el principio de equivalencia y la existencia de estados básicos en la mecánica cuántica. Por lo tanto, esperamos que la teoría de Østvang, si es lógicamente autoconsistente, probablemente infrinja estos supuestos, pero que las violaciones deben ser relativamente pequeñas si se afirma que la teoría es consistente con las observaciones existentes. De hecho, este es el caso. La teoría viola la forma más estricta del principio de equivalencia.

A lo largo de los años, se han propuesto diversas explicaciones para la anomalía Pioneer, incluyendo tanto las glamorosas (una modificación de la\(\frac{1}{r^{2}}\) ley de las fuerzas gravitacionales) como otras más peatonales (efectos por desgasificación del combustible, presión de radiación de la luz solar, o radiación infrarroja originada del generador termoeléctrico radioisótopo de las naves espaciales). Los cálculos de Iorio ¹⁷ en 2006-2009 muestran que si se modifica la ley de fuerza para la gravedad para explicar las anomalías Pioneer, y si la gravedad obedece al principio de equivalencia, entonces los resultados son inconsistentes con el movimiento orbital observado de los satélites de Neptuno. Esto hace que las explicaciones gravitacionales sean poco probables, pero obviamente no descarta la teoría de Østvang, ya que se supone que la teoría no debe obedecer el principio de equivalencia. Østvang dice ¹⁸ que su teoría predice una expansión de ∼ 1m/año en la órbita de la luna de Tritón Nereid, lo cual es consistente con la observación. En diciembre de 2010, los descubridores originales del efecto hicieron una declaración en la prensa popular que tenían un nuevo análisis, el cual estaban preparando para publicar en un artículo científico, en el que el tamaño de la anomalía se revisaría drásticamente a la baja, siendo una proporción mucho mayor de la aceleración contabilizados por los efectos térmicos. En mi opinión esta revisión, combinada con la violación del principio de equivalencia por parte del supuesto efecto, dejan claro que la anomalía no es gravitacional.

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¹⁷ http://arxiv.org/abs/0912.2947v1

¹⁸ comunicación privada, 4 de enero de 2010

¿Se expande el espacio?

Finalmente, la metáfora del globo nos anima a interpretar la expansión cosmológica como un fenómeno en el que el espacio mismo se expande, o tal vez uno en el que se produce un nuevo espacio. ¿Realmente se expande el espacio? Sin plantear la cuestión en términos de cantidades más rigurosamente definidas, observables empíricamente, no podemos decir sí o no. No es más que una cuestión de qué definiciones se elige y qué marco conceptual uno encuentra más fácil y natural trabajar dentro. Bunn y Hogg han expresado la opinión minoritaria contra la expansión del espacio ¹⁹, mientras que la opinión opuesta la dan Francis et al. ²⁰

Como ejemplo de un conjunto de definiciones autoconsistentes que llevan a la conclusión de que el espacio sí se expande, Francis et al. dan lo siguiente. Definir ocho observadores posicionados en las esquinas de un cubo, a distancias cosmológicas entre sí. Que cada observador esté en reposo en relación con la materia local y la radiación que se utilizaron como ingredientes en la cosmología FRW. (Por ejemplo, sabemos que nuestro propio sistema solar no está en reposo en este sentido, porque observamos que la radiación cósmica de fondo de microondas está ligeramente desplazada Doppler en nuestro marco de referencia.) Entonces estos ocho observadores observarán que, con el tiempo, el volumen del cubo crece como se esperaba según el cubo de la función a (t) en el modelo FRW.

Esto establece que la expansión del espacio es una interpretación plausible. Para ver que no es la única interpretación posible, considere el siguiente ejemplo. Se observa un fotón después de haber viajado a la tierra desde una galaxia distante G, y se encuentra que está desplazado al rojo. Alice, a quien le gusta la expansión, explicará esto diciendo que mientras el fotón estaba en vuelo, el espacio que ocupaba se expandió, alargando su longitud de onda. Betty, a quien no le gusta la expansión, quiere interpretarla como un desplazamiento al rojo cinemático, derivado del movimiento de la galaxia G relativa a la Malaxia de la Vía Láctea, M. Si el desacuerdo de Alice y Betty se va a decidir como cuestión de verdad absoluta, entonces necesitamos algún método objetivo para resolver un desplazamiento al rojo observado en dos términos, uno cinemático y otro gravitacional. Pero hemos visto en la sección 7.4 que esto sólo es posible para un espacio-tiempo estacionario, y los espacio-tiempos cosmológicos no son estacionarios: independientemente del estado de movimiento de un observador, ve un cambio con el tiempo en observables como la densidad de la materia y la curvatura del espacio-tiempo. Como ejemplo extremo, supongamos que Betty, en la galaxia M, recibe un fotón sin darse cuenta de que vive en un universo cerrado, y el fotón ha hecho un circuito del cosmos, habiendo sido emitido desde su propia galaxia en el pasado distante. Si insiste en interpretar esto como un desplazamiento al rojo cinemático, debe concluir que su galaxia M se mueve a una velocidad extremadamente alta relativa a sí misma. De hecho, esta no es una interpretación imposible, si decimos que la alta velocidad de M es relativa a sí misma en el pasado. Un observador que establezca un marco de referencia con su origen fijado en la galaxia G confirmará felizmente que M se ha ido acelerando a lo largo de los eones. Lo que esto demuestra es que podemos dividir un desplazamiento al rojo cosmológico en partes cinemáticas y gravitacionales de la manera que queramos, dependiendo de nuestra elección del sistema de coordenadas (ver también la sección 7.5).

Ejemplo 18: Un látigo cósmico

La faja cósmica del ejemplo 16 no transmite ninguna información de una parte del universo a otra, pues su estado es el mismo en todas partes por simetría, y por lo tanto un observador cercano a una parte del cinturón no obtiene ninguna información que sea diferente a la que estaría disponible para un observador en cualquier otro lugar.

Ahora supongamos que el universo está abierto en lugar de cerrado, pero tenemos una cuerda que, al igual que el cinturón, se extiende a lo largo de distancias cósmicas a lo largo de una geodésica espacial. Si la cuerda está inicialmente en reposo con respecto a una galaxia G en particular (o, más estrictamente hablando, con respecto al medio cósmico promediado localmente), entonces por simetría la cuerda siempre permanecerá en reposo con respecto a G, ya que no hay forma de que las leyes de la física elijan una dirección en la que deba acelerar. Ahora los residentes de G cortaron la cuerda, soltaron la mitad de ella y atan la otra mitad de manera segura a uno de los brazos espirales de G usando un nudo cuadrado. Si hacen esto suavemente, sin variar la tensión de la cuerda, entonces no se propagarán vibraciones, y todo quedará como antes en esa mitad de la cuerda. (Suponemos que G es tan masivo en relación con la cuerda que la cuerda no hace que se acelere significativamente).

¿Pueden los observadores en puntos distantes observar la cola de la cuerda azotando a cierta velocidad, y con ello inferir la velocidad de G relativa a ellos? Esto produciría todo tipo de conclusiones extrañas. Por un lado, la ley del Hubble dice que esta velocidad es directamente proporcional a la longitud de la cuerda, por lo que al hacer que la cuerda sea lo suficientemente larga podríamos hacer que esta velocidad supere la velocidad de la luz. También nos hemos convencido de que la velocidad relativa de los objetos cosmológicamente distantes ni siquiera está bien definida en la relatividad general, por lo que claramente no tiene sentido interpretar la velocidad del extremo de la cuerda de esa manera.

La salida de la paradoja es reconocer que las perturbaciones sólo pueden propagarse a lo largo de la cuerda a cierta velocidad v. Digamos que la información se transmite en forma de vibraciones longitudinales, en cuyo caso se propaga a la velocidad del sonido. Para una cuerda hecha de cualquier material conocido, esto es mucho menor que la velocidad de la luz, y también hemos visto en el ejemplo 14 y en el problema 4 que la relatividad pone límites fundamentales a las propiedades de todos los materiales posibles, garantizando v < c. Ahora podemos ver que todo lo que tenemos logrado con la cuerda es recapitular usando ondas sonoras más lentas la discusión que se llevó a cabo antes usando ondas de luz. Las ondas sonoras quizás conserven alguna información sobre el estado de movimiento de la galaxia G hace mucho tiempo, pero todas las mismas ambigüedades se aplican a su interpretación como en el caso de las ondas de luz —y además, sospechamos que la cuerda hace tiempo que se ha separado en algún lugar a lo largo de su longitud.

Referencias

¹⁶ Hawking y Ellis, “La radiación cósmica de cuerpo negro y la existencia de singularidades en nuestro universo”, Revista Astrofísica, 152 (1968) 25. Disponible en línea en articles.adsabs.harvard.edu.

¹⁹ http://arxiv.org/abs/0808.1081v2

²⁰ http://arxiv.org/abs/0707.0380v1