8.6: Fuentes en la Relatividad General (Parte 3)

Movimiento geodésico de partículas de prueba

La pregunta 1 era: “¿Un objeto físico lo suficientemente pequeño siempre tiene una línea mundial que es aproximadamente geodésica?” En otras palabras, ¿los experimentos de Eötvös dan resultados nulos cuando se llevan a cabo en laboratorios que utilizan aparatos del mundo real de tamaño suficientemente pequeño? Nos gustaría que algo de este tipo fuera cierto, ya que la relatividad general se basa en el principio de equivalencia, y el principio de equivalencia está motivado por los resultados nulos de los experimentos de Eötvös. Sin embargo, es bastante fácil demostrar que la respuesta a la pregunta es no, a menos que hagamos alguna suposición más específica, como una condición energética, sobre el sistema que se está modelando.

Antes de preocuparnos por las condiciones energéticas, consideremos por qué es relevante el pequeño tamaño del aparato. Esencialmente esto se debe a la radiación gravitacional. En un sistema gravitacionalmente radiante como el púlsar binario de Hulse-Taylor (sección 6.2), los cuerpos materiales pierden energía, y como con cualquier proceso de radiación, la potencia radiada depende del cuadrado de la fuerza de la fuente. Por lo tanto, la línea mundial de tal cuerpo depende de su masa, y esto demuestra que su línea mundial no puede ser una geodésica exacta, ya que las líneas mundiales inicialmente tangentes de dos masas diferentes divergen entre sí, y estas dos líneas mundiales no pueden ser geodésicas.

Procedamos a dar un argumento rudo a favor del movimiento geodésico y luego tratar de hacer agujeros en él. Cuando probamos el movimiento geodésico, hacemos un experimento de Eötvös que está restringido a cierta pequeña región del espacio-tiempo S. La línea mundial de nuestro cuerpo de prueba entra en S con un cierto vector de energía-impulso p y sale con p'. Si el espacio-tiempo fuera plano, entonces el teorema de Gauss se mantendría exactamente, y la divergencia desaparecida\(\nabla_{b}\) T ^ab del tensor de tensión-energía requeriría que el flujo entrante representado por p sea cancelado exactamente por el flujo saliente debido a p'. En realidad, el espacio-tiempo no es plano, y ni siquiera es posible comparar p y p' excepto transportando en paralelo uno a la misma ubicación que el otro. El transporte paralelo depende de la ruta, pero si hacemos la restricción razonable a los caminos que permanecen dentro de S, esperamos que la ambigüedad debida a la dependencia de la ruta sea proporcional al área encerrada por dos caminos cualesquiera, de modo que si S es lo suficientemente pequeña, la ambigüedad se puede hacer pequeña. Ignorando esta pequeña ambigüedad, podemos ver que una forma de cancelar los flujos sería que la partícula viajara a lo largo de un geodésico, ya que tanto p como p' son tangentes a la línea mundial del cuerpo de prueba, y un geodésico es una curva que transporta en paralelo su propio vector tangente. Por lo tanto, el movimiento geodésico es una solución, y esperamos que la solución sea casi única cuando S es pequeña.

Si bien este argumento es casi correcto, tiene algunos problemas. Primero tenemos que preguntarnos si “geodésico” significa un geodésico del espacio-tiempo completo incluyendo los propios campos del objeto, o del espacio-tiempo de fondo B que habría existido sin el objeto. Esta última es la interpretación más sensata, ya que la pregunta es básicamente preguntar si un espacio-tiempo realmente puede definirse geométricamente, como afirma el principio de equivalencia, basado en el movimiento de las partículas de prueba insertadas en él. También tenemos que definir palabras como “lo suficientemente pequeño” y “aproximadamente”; para ello, imaginamos una secuencia de objetos On que se hacen cada vez más pequeños a medida que n aumenta. Luego formamos la siguiente conjetura, que pretende formular la pregunta 1 más exactamente: Dado un fondo vacío espacio-tiempo B, y una línea mundial similar al tiempo\(\ell\) en B, consideramos una secuencia de espacio-tiempos Sn, formada insertando el On en B, de tal manera que: (i) la métrica de _Sn se define en el mismos puntos que la métrica de B; (ii) On se mueve a lo largo\(\ell\), y para cualquier r > 0, existe algún n tal que para m ≥ n, O _m es menor que r; ⁹ (iii) la métrica de Sn se acerca a la métrica de B como n → ∞. Entonces\(\ell\) es un geodésico de B.

Nota

es decir, en cualquier punto P encendido\(\ell\), un observador que se mueve\(\ell\) a lo largo en P define una superficie de simultaneidad K que pasa a través de P, y ve el tensor de tensión-energía de On como desapareciendo fuera de una tres esferas de radio r dentro de K y centrado en P

Esto es casi correcto pero no del todo, como lo demuestra el siguiente contraejemplo. Papapetrou ¹⁰ ha demostrado que un cuerpo giratorio en un fondo curvo espacio-tiempo se desvía de un geodésico con una aceleración que es proporcional a LR, donde L es su momento angular y R es la curvatura de Riemann. Deje que todos los O _n tengan un valor fijo de L, pero que la masa de hilado se concentre en una región cada vez más pequeña a medida que n aumente, para satisfacer (ii). A medida que el radio r disminuye, el movimiento de las partículas que componen un On finalmente tiene que volverse ultrarelativista, de modo que la principal contribución al campo gravitacional es de la energía cinética de las partículas en lugar de su masa de reposo. Entonces tenemos L ∼ pr ∼ Er, de manera que para mantener L constante, debemos tener\(\propto \frac{1}{r}\) E. Esto provoca dos problemas. Primero, hace que el campo gravitacional explote a pequeñas distancias, violando (iii). Además, esperamos que para cualquier forma conocida de materia, llegue un punto (probablemente el límite Tolman-Oppenheimer-Volkoff) en el que obtengamos un agujero negro; la singularidad entonces no es parte del espacio-tiempo S _n, violando (i). Pero nuestro contraejemplo fallido puede ser parcheado. Obtenemos un suministro de materia exótica, cuya masa gravitacional es negativa, y mezclamos suficiente de estas cosas misteriosas en cada O _n para que el campo gravitacional se encoja en lugar de crecer a medida que n aumenta, y nunca se forma ningún agujero negro.

Ehlers y Geroch ¹¹ han demostrado que basta con exigir una condición adicional: (iv) El O _n satisface la condición energética dominante. Esto descarta nuestro contraejemplo.

El límite newtoniano

En unidades con c ≠ 1, una cantidad como\(\rho\) + P se expresa como\(\frac{\rho + P}{c^{2}}\). El límite newtoniano se recupera como c → ∞, lo que hace que el término de presión sea insignificante, de manera que todas las condiciones energéticas se reducen a\(\rho\) ≥ 0. ¿Qué significaría si esto fuera violado? ¿Describiría ρ < 0 un objeto con masa inercial negativa, que aceleraría hacia el este cuando lo empujes hacia el oeste? ¿O describiría algo con masa gravitacional negativa, que repelería la materia ordinaria? Podemos imaginar diversas posibilidades, como se muestra en la Figura 8.1.5. Cualquier cosa que no estuviera en la diagonal principal violaría el principio de equivalencia y, por lo tanto, sería imposible de acomodar dentro de la descripción geométrica de la gravedad de la relatividad general. Si tuviéramos materia “upsidasium” como la descrita por el segundo cuadrante de la figura (ejemplo 2), la gravedad sería como la electricidad, salvo que como masas se atraerían y los opuestos se repelerían; podríamos tener dieléctricos gravitacionales y jaulas gravitacionales de Faraday. El cuarto cuadrante conduce a divertidas posibilidades como la Figura 8.1.6.

Figura\(\PageIndex{6}\) - Masa Negativa.

Figura\(\PageIndex{7}\) - La esfera negra está hecha de materia ordinaria. La esfera rayada tiene masa gravitacional positiva y masa inercial negativa. Si los dos se colocan uno al lado del otro en espacio vacío, ambos acelerarán de manera constante hacia la derecha, acercándose gradualmente a la velocidad de la luz. Se conserva la conservación del impulso, porque la esfera exótica tiene impulso hacia la izquierda cuando se mueve hacia la derecha, por lo que el impulso total es siempre cero.

Ejemplo 10: sin blindaje gravitacional

Los campos eléctricos pueden excluirse completamente de una jaula de Faraday, y los campos magnéticos pueden bloquearse muy fuertemente con materiales de alta permeabilidad como mu-metal. Sería divertido si pudiéramos hacer lo mismo con los campos gravitacionales, para que pudiéramos tener partidos de gravedad cero o gravedad cercana a cero en una habitación especialmente blindada. Sería una forma de antigravedad, pero distinta a la del tipo “upsidasium”. Desafortunadamente esto es difícil de hacer, y la razón por la que es difícil resulta estar relacionada con la indisponibilidad de materiales que violan las condiciones energéticas.

Primero necesitamos definir a qué nos referimos con blindaje. Nos limitamos al límite newtoniano, y a una dimensión, de manera que un campo gravitacional es especificado por una función de una variable g (x). El mejor tipo de blindaje sería alguna sustancia que pudiéramos cortar con tijeras y formar en una caja, y que excluiría los campos gravitacionales del interior de la caja. Esto sería análogo a una jaula de Faraday; no importa en qué campo externo estuviera incrustado, se ajustaría espontáneamente para que se cancelara el campo interno. Un tipo de blindaje menos deseable sería aquel que pudiéramos establecer de manera ad hoc para anular un campo específico, dado, impuesto externamente. Una vez que sabemos cuál es el campo externo, tratamos de elegir algún arreglo de masas tal que el campo quede anulado. Demostraremos que incluso este tipo de blindaje es inalcanzable, si anular el campo se interpreta en el sentido de esto: en algún momento, que por conveniencia tomamos para ser el origen, deseamos tener un campo gravitacional tal que g (0)\(\frac{dg}{dx(0)}\) = 0, = 0,. \(\frac{d^{n} g}{dx^{n} (0)}\)= 0, donde n se especifica arbitrariamente. Para comparación, los campos magnéticos pueden anularse de acuerdo con esta definición construyendo una configuración apropiadamente elegida de bobinas como una bobina Helmholtz.

Como solo estamos haciendo el límite newtoniano, el campo gravitacional es la suma de los campos hechos por todas las fuentes, y podemos tomar esto como una suma sobre fuentes puntuales. Para una fuente puntual m colocada en x ₀, el campo g (x) es impar bajo reflexión alrededor de x ₀. La derivada del campo g' (x) es par. Como g' es par, no podemos controlar su signo en x = 0 eligiendo x ₀ > 0 o x ₀ < 0. La única manera de controlar el signo de g' es eligiendo el signo de m. Por lo tanto, si el signo de la derivada del campo impuesto externamente es erróneo, nunca podremos anularlo. La Figura 8.1.8 muestra un caso especial de este teorema. El teorema no se aplica a tres dimensiones, y no prueba que todos los campos sean imposibles de anular, sólo que algunos lo son. Por ejemplo, el campo dentro de un caparazón hemisférico puede anularse agregando otro caparazón hemisférico para completar la esfera. Agradezco a P. Allen la útil discusión de este tema.

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Figura\(\PageIndex{8}\) - La anulación de un campo gravitacional es imposible en una dimensión sin materia exótica. 1. El planeta impone un campo gravitacional que no se desvanece con un gradiente que no se desvanece. 2. Podemos anular el campo en un punto del espacio, colocando una esfera de materia muy densa, pero por lo demás normal, sobre la cabeza. La figura de palo aún experimenta una fuerza de marea, g' ≠ 0. 3. Para cambiar la derivada del campo sin cambiar el campo, podemos colocar dos masas adicionales por encima y por debajo del punto dado. Pero para cambiar su derivada en la dirección deseada —hacia cero— tendríamos que hacer que estas masas fueran negativas.

Teoremas de Singularidad

Un ejemplo importante del uso de las condiciones energéticas es que Hawking y Ellis han demostrado que bajo el supuesto de la condición energética fuerte, cualquier cuerpo que se vuelva suficientemente compacto terminará formando una singularidad. Podríamos imaginar que la formación de un agujero negro sería algo delicado, requiriendo condiciones iniciales perfectamente simétricas para terminar con la métrica Schwarzschild perfectamente simétrica. Muchos relativistas tempranos lo pensaron, por buenas razones. Si miramos alrededor del universo a diversas escalas, encontramos que las colisiones entre cuerpos astronómicos son extremadamente raras. Esto se debe en parte a que las distancias son vastas en comparación con los tamaños de los objetos, pero también porque la conservación del momento angular tiene una tendencia a hacer que los objetos se balanceen entre sí en lugar de colisionar de frente. Comenzando con una nube de objetos, por ejemplo, un cúmulo globular, las leyes de Newton hacen que sea extremadamente difícil, independientemente de la naturaleza atractiva de la gravedad, escoger las condiciones iniciales que harán que todas choquen con el futuro. Por un lado, tendrían que tener exactamente cero impulso angular total.

La mayoría de los relativistas creen ahora que no es así. La relatividad general describe la gravedad en términos de la inclinación de los conos de luz. Cuando el campo es lo suficientemente fuerte, hay una tendencia a que los conos de luz se vuelquen hasta el punto que todo el futuro cono de luz apunta a la fuente del campo. Si esto ocurre en toda una superficie que rodea la fuente, se le conoce como una superficie atrapada.

Para que esta noción de conos de luz “apuntando a la fuente” sea más rigurosa, necesitamos definir la expansión del volumen\(\Theta\). Que el conjunto de todos los puntos en un espacio-tiempo (o algún subconjunto abierto del mismo) se exprese como la unión de geodésicas. Esto se conoce como una foliación en geodésicas, o una congruencia. Deje que el vector de velocidad tangente a dicha curva sea u ^a. Entonces definimos\(\Theta = \nabla_{a} u^{a}\). Esto es exactamente análogo a la noción clásica de la divergencia del campo de velocidad de un fluido, que es una medida de compresión o expansión. Ya que\(\Theta\) es un escalar, es independiente de la coordinación. Los valores negativos de\(\Theta\) indican que las geodésicas están convergiendo, por lo que los volúmenes de espacio se contraen. Una superficie atrapada es aquella en la que\(\Theta\) es negativa cuando foliamos con geodésicas ligeras orientadas hacia afuera a lo largo de normales a la superficie.

Cuando se forma una superficie atrapada, cualquier abultamiento o rotación en las condiciones iniciales se vuelve irrelevante, porque toda la línea mundial futura de cada partícula se encuentra hacia adentro y no hacia afuera. Una posible laguna en este argumento es la cuestión de si los conos de luz realmente se volcarán lo suficientemente lejos. Podríamos imaginar que bajo condiciones extremas de alta densidad y temperatura, la materia podría demostrar un comportamiento inusual, tal vez incluyendo una densidad de energía negativa, que luego daría lugar a una repulsión gravitacional. La repulsión gravitacional tendería a hacer que los conos de luz se inclinaran hacia afuera en lugar de hacia adentro, posiblemente impidiendo el colapso a una singularidad. Podemos cerrar esta laguna asumiendo una condición energética apropiada. Penrose y Hawking han formalizado el argumento anterior en forma de un par de teoremas, conocidos como los teoremas de la singularidad. Una de ellas se aplica a la formación de agujeros negros, y otra a singularidades cosmológicas como el Big Bang.

En un modelo cosmológico, es natural foliar utilizando líneas del mundo que están en reposo en relación con el flujo del Hubble (o, equivalentemente, las líneas mundiales de observadores que ven un momento dipolar de fuga en el fondo cósmico de microondas). El\(\Theta\) que entonces obtenemos es positivo, porque el universo se está expandiendo. La expansión de volumen es\(\Theta\) = 3H ₀, donde H ₀ ≈ 2.3 × 10 ⁻¹⁸ s ⁻¹ es la constante de Hubble (la tasa fraccionaria de cambio del factor de escala de distancias cosmológicas). El factor de tres ocurre porque el volumen es proporcional al cubo de las dimensiones lineales.

Estado actual

El estado actual de las condiciones energéticas es invariable. Si bien es claro que todos ellos se mantienen en una variedad de situaciones, existen fuertes razones para creer que se violan tanto a escala microscópica como cosmológica, por razones tanto clásicas como cuánticamecánicas. ¹² Veremos tal violación en el siguiente apartado.

La constante cosmológica

Habiendo incluido el término fuente en las ecuaciones de campo de Einstein, nuestra aplicación más importante será la cosmología. Algunas de las ideas relevantes se originan mucho antes que Einstein. Una vez que Newton había formulado una teoría de la gravedad como una fuerza atractiva universal, se dio cuenta de que habría una tendencia al colapso del universo. Resolvió esta dificultad asumiendo que el universo era infinito en extensión espacial, de manera que no tendría centro de simetría, y por lo tanto ningún punto preferido hacia el que colapsar. El problema con este argumento es que el equilibrio que describe es inestable. Cualquier perturbación de la densidad uniforme de la materia rompe la simetría, conduciendo al colapso de algún bolsillo del universo. Si el radio de tal región colapsada es r, entonces su gravedad es proporcional a r ³, y su campo gravitacional es proporcional a\(\frac{r^{3}}{r^{2}}\) = r Dado que su aceleración es proporcional a su propio tamaño, el tiempo que tarda en colapsar es independiente de su tamaño. La predicción es que el universo tendrá una estructura autosimilar, en la que el agrupamiento en pequeñas escalas se comporta de la misma manera que el agrupamiento en escalas grandes; acercar o alejar en tal imagen da un paisaje que aparece igual. Con la retrospectiva moderna, esto en realidad no está mal de acuerdo con la realidad. Observamos que el universo tiene una estructura jerárquica que consiste en sistemas solares, galaxias, cúmulos de galaxias, supercúmulos, etc. Una vez que tal estructura comienza a condensarse, el colapso tiende a detenerse en algún momento debido a la conservación del momento angular. Esto es lo que sucedió, por ejemplo, cuando nuestro propio sistema solar se formó a partir de una nube de gas y polvo.

Einstein enfrentó problemas similares, pero en una forma más aguda. El argumento de simetría de Newton, que fracasó sólo por su inestabilidad, falla aún más mal en la relatividad: todo el espacio-tiempo puede simplemente contraerse uniformemente a lo largo del tiempo, sin señalar ningún punto en particular como centro. Además, no es obvio que el momento angular impida el colapso total en la relatividad de la misma manera que lo hace clásicamente, y aunque lo hiciera, ¿cómo se aplicaría eso al universo en su conjunto? La orientación maquiana de Einstein le habría llevado a rechazar la idea de que el universo en su conjunto podría estar en un estado de rotación, y en todo caso era sensato iniciar el estudio de la cosmología relativista con los modelos más simples y simétricos posibles, que no tendrían eje de rotación preferido.

Debido a estas cuestiones, Einstein decidió tratar de parchear su ecuación de campo para que permitiera un universo estático. Mirando hacia atrás las consideraciones que nos llevaron a esta forma de la ecuación, vemos que está determinada de manera casi única por los siguientes criterios:

1. Debe ser congruente con la evidencia experimental para la conservación local del impulso energético.
2. Debe satisfacer el principio de equivalencia.
3. Debe ser independiente de la coordinación.
4. Debe ser equivalente a la gravedad newtoniana o a la relatividad general “llana” en el límite apropiado.
5. No se debe sobredeterminar.

Esto no pretende ser una prueba rigurosa, solo una observación general de que no es fácil jugar con la teoría sin romperla.

Ejemplo 11: Un intento fallido de retoques

^{Como ejemplo de la falta de “margen de maniobra” en la estructura de las ecuaciones de campo, supongamos que construimos el escalar T _a, la traza del tensor de tensión-energía, e intentamos insertarlo en las ecuaciones de campo como un término fuente adicional.} El primer problema es que la ecuación de campo involucra tensores de rango 2, por lo que no podemos simplemente agregar un escalar. Para sortear esto, supongamos que multiplicamos por la métrica. Entonces tenemos algo así como G _ab = c ₁ T _ab + c ₂ g _ab T ^{c _c}, donde las dos constantes c1 y c2 estarían restringidas por el requisito de que la teoría concuerde con la gravedad newtoniana en el límite clásico.

Para ver por qué falla este intento, tenga en cuenta que el tensor de tensión-energía de un campo electromagnético no tiene rastro, T ^c _c = 0. Por lo tanto, el acoplamiento del haz de luz a la gravedad en el término c ₂ es cero. Como se discutió anteriormente, las pruebas empíricas de conservación del impulso, por lo tanto, limitarían a c ₂ a ser\(\lesssim\) 10 ⁻⁸.

Una forma en la que podemos cambiar la ecuación de campo sin violar ninguno de estos requisitos es agregar un término\(\Lambda\) g _ab, dando

\[G_{ab} = 8 \pi T_{ab} + \Lambda g_{ab}, \tag{8.1.22}\]

que es a lo que nos referiremos como la ecuación de campo de Einstein. ¹³ Como veremos en el ejemplo 12, esto es consistente con la conservación del impulso energético (requisito 1 anterior) si y sólo si\(\Lambda\) es constante. En el ejemplo 13 encontramos que sus efectos sólo son significativos en las escalas más grandes, lo que la hace indetectable, por ejemplo, en pruebas de sistema solar (criterio 4). Por estas razones A es referida como la constante cosmológica. Como veremos a continuación, Einstein lo introdujo con el fin de realizar cierto tipo de trabajo de cosmología.

Nota

En los libros que utilizan una métrica − + + + en lugar de nuestra + − − − −, el signo del término constante cosmológica se invierte en relación con el nuestro.

También podríamos optar por absorber el término\(\Lambda\) g _ab en las ecuaciones de campo en el 8\(\pi\) T _ab, como si el término constante cosmológica se debiera a alguna forma de materia. Entonces sería un fluido perfecto (ejemplo 4) con una presión negativa, y violaría la condición de energía fuerte (ejemplo 14). Cuando lo pensamos de esta manera, es común en estos días referirse a ella como energía oscura. Pero aunque lo consideremos análogo a un campo de materia, su constancia significa que no tiene ninguno de sus propios grados independientes de libertad. No puede vibrar, rotar, fluir, ser comprimido o enrarecido, calentado o enfriado. Actúa como una especie de energía que se construye automáticamente en cada centímetro cúbico de espacio. Esto está estrechamente relacionado con el hecho de que su contribución al tensor de tensión-energía es proporcional a la métrica. Una forma de afirmar el principio de equivalencia (requisito 2 anterior) es que el espacio en sí no viene equipado con ningún otro tensor además de la métrica.

Einstein introdujo originalmente una constante cosmológica positiva porque quería que la relatividad pudiera describir un universo estático. Para ver por qué tendría este efecto, compare su comportamiento con el de un fluido ordinario. Cuando un fluido ordinario, como la explosión de la mezcla aire-gas en el cilindro de un automóvil, se expande, sí funciona en su entorno, y por lo tanto por la conservación de energía se reduce su propia energía interna. Una constante cosmológica positiva, sin embargo, actúa como una cierta cantidad de energía masiva incorporada en cada metro cúbico de vacío. Así, cuando se expande, libera energía. Su presión es negativa.

Consideremos ahora el siguiente argumento semi-relativista. Si bien ya hemos visto (sección 6.2) que no existe una manera útil de separar los papeles de la energía cinética y la energía potencial en la relatividad general, supongamos que hay algunas cantidades análogas a ellas en la descripción del universo en su conjunto. (Veremos a continuación que la contracción y expansión del universo es efectivamente descrita por un conjunto de ecuaciones diferenciales que pueden interpretarse esencialmente de esta manera). Si el universo se contrae, un metro cúbico de espacio se vuelve menor que un metro cúbico. La energía cosmológico-constante asociada a ese volumen se reduce, por lo que se ha consumido algo de energía. La energía cinética de la materia colapsada disminuye, y el colapso se desacelera.

Ejemplo 12: La constante cosmológica debe ser constante

Si\(\Lambda\) se piensa como una forma de materia, entonces se vuelve natural preguntarse si se propaga más densamente en algunos lugares que en otros: ¿la “constante” cosmológica es realmente constante? El siguiente argumento demuestra que no puede variar. Las ecuaciones de campo son\(G_{ab} = 8 \pi T_{ab} + \Lambda g_{ab}\). Tomando la divergencia de ambos lados, tenemos\(\nabla^{a} G_{ab} = 8 \pi \nabla^{a} T_{ab} + \nabla^{a} (\Lambda g_{ab})\). El lado izquierdo se desvanece (ver antes). Dado que los experimentos de laboratorio han verificado la conservación de la masa-energía con alta precisión para todas las formas de materia representadas por T, también\(\nabla^{a} T_{ab} = 0\) lo hemos hecho. Aplicando la regla del producto al término\(\nabla^{a} (\Lambda g_{ab})\), obtenemos\(g_{ab} \nabla^{a} \Lambda + \Lambda \nabla^{a} g_{ab}\). Pero la derivada covariante de la métrica se desvanece, por lo que el resultado es simplemente\(\nabla_{b} \Lambda\). Por lo tanto, cualquier variación en la constante cosmológica en el espacio o el tiempo viola las ecuaciones de campo, y la violación es equivalente a la violación que obtendríamos de una forma de materia que no conservó la masa-energía localmente.

Ejemplo 13: La constante cosmológica es cosmológica

La adición del\(\Lambda\) término constituye un cambio en las ecuaciones de campo vacío, y el buen acuerdo entre teoría y experimento en el caso de, por ejemplo, que la órbita de Mercurio pone un límite superior en\(\Lambda\) entonces implica que\(\Lambda\) debe ser pequeño. Para una estimación de orden de magnitud, considere que\(\Lambda\) tiene unidades de densidad de masa, y los únicos parámetros con unidades que aparecen en la descripción de la órbita de Mercurio son la masa del sol, m, y el radio de la órbita de Mercurio, r. ², o alrededor de 10 ⁻⁸, y salen bien. Por lo tanto, podemos estimar que la constante cosmológica no pudo haber sido mayor que aproximadamente (10 ⁻⁸)\(\frac{m}{r^{3}}\) ∼ ^{10 −10} kg/m ³, o habría causado discrepancias notables. Este es un límite muy pobre; si\(\Lambda\) fuera así de grande, podríamos incluso ser capaces de detectar sus efectos en experimentos de laboratorio. Al observar el papel desempeñado por r en la estimación, vemos que el límite superior podría haberse hecho más apretado al aumentar r. Las observaciones en escalas galácticas, por ejemplo, lo restringen mucho más fuertemente. Esto justifica la descripción de\(\Lambda\) como cosmológico: cuanto mayor sea la escala, más significativo\(\Lambda\) sería el efecto de un distinto de cero.

Ejemplo 14: Condiciones energéticas

Dado que el lado derecho de la ecuación de campo es 8\(\pi\) T _ab +\(\Lambda\) g _ab, es posible considerar la constante cosmológica como un tipo de materia que contribuye al tensor de tensión-energía. Entonces tenemos\(\rho\) = −P =\(\frac{\Lambda}{8 \pi}\). Como se describe con más detalle en la sección 8.2, ahora sabemos que\(\Lambda\) es positivo. Con\(\Lambda\) > 0, las condiciones de energía débil y dominante se satisfacen, de manera que en cada marco de referencia,\(\rho\) es positivo y no hay flujo de energía que fluye a velocidades mayores que c. La presión negativa sí viola la condición de energía fuerte, lo que significa que la constante actúa como una forma de repulsión gravitacional. Si la constante cosmológica es producto de la estructura cuántico-mecánica del vacío, entonces esta violación no es demasiado sorprendente, porque se sabe que los campos cuánticos violan diversas condiciones energéticas. Por ejemplo, la densidad de energía entre dos placas conductoras paralelas es negativa debido al efecto Casimir.

Referencias

¹⁰ Proc. Real Soc. Londres A 209 (1951) 248. El resultado relevante se resume en Misner, Thorne y Wheeler, Gravitation, p. 1121.

¹¹ arxiv.org/abs/gr-qc/0309074v1

¹² Barceló y Visser, “¿Crepúsculo por las condiciones energéticas? ,” http://arxiv.org/abs/gr-qc/0205066v1.