10.2: Apéndice A (Parte 2)

§ 4. Significado físico de las ecuaciones obtenidas con respecto al movimiento de cuerpos rígidos y relojes móviles

Se contempla una esfera rígida ²⁶ de radio R, en reposo respecto al sistema móvil k, y con su centro en el origen de las coordenadas de k. La ecuación de la superficie de esta esfera que se mueve en relación con el sistema K con velocidad v es

\[\xi^{2} + \eta^{2} + \zeta^{2} = R^{2} \ldotp\]

Nota

Es decir, un cuerpo que posee forma esférica cuando se examina en reposo. —COMO

La ecuación de esta superficie expresada en x, y, z en el tiempo t = 0 es

\[\frac{x^{2}}{\left(\sqrt{1 - \dfrac{v^{2}}{c^{2}}} \right)^{2}} + y^{2} + z^{2} = R^{2} \ldotp\]

Un cuerpo rígido que, medido en estado de reposo, tiene la forma de esfera, por lo tanto, tiene en estado de movimiento —visto desde el sistema estacionario— la forma de elipsoide de revolución con los ejes

\[R \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}, R, R \ldotp\]

Así, mientras que las dimensiones Y y Z de la esfera (y por tanto de cada cuerpo rígido de no importa qué forma) no aparecen modificadas por el movimiento, la dimensión X aparece acortada en la relación 1:\(sqrt{1 − \frac{v^{2}}{c^{2}}}\), es decir, cuanto mayor sea el valor de v, mayor será el acortamiento. Para v = c todos los objetos en movimiento, vistos desde el sistema “estacionario”, se marchan en figuras planas. ²⁷ Para velocidades mayores que la de la luz nuestras deliberaciones carecen de sentido; sin embargo, encontraremos en lo que sigue, que la velocidad de la luz en nuestra teoría juega el papel, físicamente, de una velocidad infinitamente grande.

Nota

Es decir, un cuerpo que posee forma esférica cuando se examina en reposo. —COMO

Es claro que los mismos resultados mantienen el bien de los cuerpos en reposo en el sistema “estacionario”, visto desde un sistema en movimiento uniforme.

Además, imaginamos uno de los relojes que están calificados para marcar el tiempo t cuando está en reposo relativo al sistema estacionario, y el tiempo\(\tau\) en reposo relativo al sistema móvil, para ubicarse en el origen de las coordenadas de k, y así ajustado que marca el tiempo\(\tau\). ¿Cuál es la velocidad de este reloj, cuando se ve desde el sistema estacionario?

Entre las cantidades x, t, y\(\tau\), que hacen referencia a la posición del reloj, tenemos, evidentemente, x = vt y

\[\tau = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} \left( t - \dfrac{vx}{c^{2}} \right) \ldotp\]

Por lo tanto,

\[\tau = t \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}} = t - \left( 1 - \sqrt{1 - \dfrac{v^{2}}{c^{2}}} \right) t\]

de donde se deduce que el tiempo marcado por el reloj (visto en el sistema estacionario) es lento en 1 −\(\sqrt{1 − \frac{v^{2}}{c^{2}}}\) segundos por segundo, o —descuidando magnitudes de cuarto y orden superior— por\(\frac{1}{2} \frac{v^{2}}{c^{2}}\).

De esto se desprende la siguiente consecuencia peculiar. Si en los puntos A y B de K hay relojes estacionarios que, vistos en el sistema estacionario, son sincrónicos; y si el reloj en A se mueve con la velocidad v a lo largo de la línea AB a B, entonces a su llegada a B los dos relojes ya no se sincronizan, pero el reloj se mueve de A a B se queda atrás del otro que ha permanecido en B por\(\frac{1}{2} \frac{tv^{2}}{c^{2}}\) (hasta magnitudes de cuarto y superior orden), siendo t el tiempo ocupado en el viaje de A a B.

Es evidente a la vez que este resultado sigue siendo bueno si el reloj se mueve de A a B en cualquier línea poligonal, y también cuando los puntos A y B coinciden.

Si asumimos que el resultado probado para una línea poligonal también es válido para una línea continuamente curvada, llegamos a este resultado: Si uno de los dos relojes síncronos en A se mueve en una curva cerrada con velocidad constante hasta que regresa a A, el viaje dura t segundos, luego por el reloj que ha permanecido en descansar el reloj viajado a su llegada a A será\(\frac{1}{2} \frac{tv^{2}}{c^{2}}\) segundo lento. De ahí concluimos que un reloj de resorte en el ecuador debe ir más despacio, en una cantidad muy pequeña, que un reloj precisamente similar situado en uno de los polos en condiciones por lo demás idénticas. ²⁸

Nota

Einstein especifica un reloj de resorte (“unruhuhr”) porque el campo gravitacional efectivo es más débil en el ecuador que en los polos, por lo que un reloj de péndulo en el ecuador correría más lentamente en unas dos partes por mil que una en el polo norte, por razones no relativistas. Esto enmascararía completamente cualquier efecto relativista, que esperaba que fuera del orden de\(\frac{v^{2}}{c^{2}}\), o alrededor de 10 ⁻¹³. En cualquier caso, más tarde resultó que Einstein se equivocó sobre este ejemplo. También hay una dilatación gravitacional del tiempo que cancela el efecto cinemático. Ver ejemplo 10. Los dos relojes en realidad estarían de acuerdo. —BC

§ 5. La composición de las velocidades

En el sistema k moviéndose a lo largo del eje de X del sistema K con velocidad v, dejar que un punto se mueva de acuerdo con las ecuaciones

\[\xi = w_{\xi} \tau, \quad \eta = w_{\eta} \tau, \quad \zeta = 0,\]

donde\(w_{\xi}\) y\(w_{\eta}\) denotan constantes.

Requerido: el movimiento del punto relativo al sistema K. Si con la ayuda de las ecuaciones de transformación desarrolladas en § 3 introducimos las cantidades x, y, z, t en las ecuaciones de movimiento del punto, obtenemos

\[\begin{split} x &= \frac{w_{\xi} + v}{1 + \frac{vw_{\xi}}{c^{2}}} t, \\ y &= \frac{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}{1 + \frac{vw_{\xi}}{c^{2}}} w_{\eta} t, \\ z &= 0 \ldotp \end{split}\]

Así, la ley del paralelogramo de velocidades es válida según nuestra teoría solo a una primera aproximación. Establecemos ²⁹

\[\begin{split} V^{2} &= \left(\dfrac{dx}{dt} \right)^{2} + \left(\dfrac{dy}{dt} \right)^{2}, \\ w^{2} &= w^{2}_{\xi} + w^{2}_{\eta}, \\ a &= \tan^{-1} \frac{w_{\eta}}{w_{\xi}}, \end{split}\]

a es entonces ser visto como el ángulo entre las velocidades v y w. Después de un simple cálculo obtenemos

\[V = \frac{\sqrt{(v^{2} + w^{2} + 2vw \cos a) - (vw \sin \frac{a}{c})^{2}}}{1 + vw \cos \frac{a}{c^{2}}} \ldotp\]

Nota

Esta ecuación fue dada incorrectamente en el artículo original de Einstein y la traducción al inglés de 1923 como a = tan ⁻¹\(\frac{w_{y}}{w_{x}}\). —JW

Es digno de remarcar que v y w entran en la expresión para la velocidad resultante de manera simétrica. Si w también tiene la dirección del eje de X, obtenemos

\[V = \frac{v + w}{1 + \frac{vw}{c^{2}}} \ldotp\]

De esta ecuación se deduce que de una composición de dos velocidades que son menores que c, siempre se obtiene una velocidad menor que c. Porque si establecemos v = c −\(\kappa\), w = c −\(\lambda\),\(\kappa\) y\(\lambda\) siendo positivos y menores que c, entonces

\[V = c \frac{2c - \kappa - \lambda}{2c - \kappa - \lambda + \frac{\kappa \lambda}{c}} < c \ldotp\]

Se deduce, además, que la velocidad de la luz c no puede ser alterada por la composición con una velocidad menor que la de la luz. Para este caso obtenemos

\[V = \frac{c + w}{1 + \frac{w}{c}} = c \ldotp\]

También podríamos haber obtenido la fórmula para V, para el caso en que v y w tienen la misma dirección, componiendo dos transformaciones de acuerdo con el § 3. Si además de los sistemas K y k que figuran en el § 3 introducimos otro sistema de coordenadas k' moviéndose en paralelo a k, su punto inicial moviéndose sobre el eje de\(\Xi\) ³⁰ con la velocidad w, obtenemos ecuaciones entre las cantidades x, y, z, t y las cantidades correspondientes de k', que difieren de las ecuaciones que se encuentran en el § 3 solo en que el lugar de “v” se toma por la cantidad

\[\frac{v + w}{1 + \frac{vw}{c^{2}}};\]

de donde vemos que tales transformaciones paralelas —necesariamente— forman un grupo.

Nota

“X” en la traducción al inglés de 1923. —JW

Ahora hemos deducido las leyes requeridas de la teoría de la cinemática correspondientes a nuestros dos principios, y procedemos a mostrar su aplicación a la electrodinámica. ³¹

Nota

El resto del trabajo no se da aquí, sino que se puede obtener del sitio web de John Walker en www.fourmilab.ch. —BC

Colaboradores y Atribuciones