10.3: Apéndice A (Parte 3)

“¿La inercia de un cuerpo depende de su contenido energético?”

A. Einstein, Aninalen der Physik. 18 (1905) 639.

Los resultados de la investigación previa llevan a una conclusión muy interesante, que está aquí por deducir.

Basé esa investigación en las ecuaciones de Maxwell-Hertz para el espacio vacío, junto con la expresión maxwelliana para la energía electromagnética del espacio, y además el principio de que: —

Las leyes por las que se alteran los estados de los sistemas físicos son independientes de la alternativa, a la que de dos sistemas de coordenadas, en movimiento uniforme de traslación paralela entre sí, se refieren estas alteraciones de estado (principio de relatividad).

Con estos principios ³² como base deduje entre otras cosas el siguiente resultado (§ 8):

Dejar que un sistema de ondas planas de luz, referido al sistema de coordenadas (x, y, z), posea la energía l; dejar que la dirección del rayo (la onda-normal) forme un ángulo\(\phi\) con el eje de x del sistema. Si introducimos un nuevo sistema de coordenadas (\(\xi, \eta, \zeta\)) moviéndose en traslación paralela uniforme con respecto al sistema (x, y, z), y teniendo su origen de coordenadas en movimiento a lo largo del eje de x con la velocidad v, entonces esta cantidad de luz —medida en el sistema (\(\xi, \eta, \zeta\)) —posee la energía ³³

\[l^{*} = l \frac{1 - \frac{v}{c} \cos \phi}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}\]

donde c denota la velocidad de la luz. Haremos uso de este resultado en lo que sigue.

Notas

³² El principio de la constancia de la velocidad de la luz está, por supuesto, contenido en las ecuaciones de Maxwell. —COMO

³³ Véase el capítulo 4 problema 11. —BC

Deje que haya un cuerpo estacionario en el sistema (x, y, z), y deje que su energía, referida al sistema (x, y, z) sea E ₀. Deje que la energía del cuerpo con relación al sistema (\(\xi, \eta, \zeta\)) moviéndose como arriba con la velocidad v, sea H ₀.

Que este cuerpo envíe, en una dirección que haga un ángulo\(\phi\) con el eje de x, ondas planas de luz, de energía\(\frac{1}{2}\) L medida con relación a (x, y, z), y simultáneamente una cantidad igual de luz en la dirección opuesta. En tanto el cuerpo permanece en reposo con respecto al sistema (x, y, z). El principio de energía debe aplicarse a este proceso, y de hecho (por el principio de relatividad) con respecto a ambos sistemas de coordenadas. Si llamamos a la energía del cuerpo después de la emisión de luz E ₁ o H ₁ respectivamente, medida con relación al sistema (x, y, z) o (\(\xi, \eta, \zeta\)) respectivamente, entonces empleando la relación dada anteriormente obtenemos

\[\begin{split} E_{0} &= E_{1} + \frac{1}{2} L + \frac{1}{2} L, \\ H_{0} &= H_{1} + \frac{1}{2} L \frac{1 - \frac{v}{c} \cos \phi}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} + \frac{1}{2} L \frac{1 + \frac{v}{c} \cos \phi}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} \\ &= H_{1} + \frac{L}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} \ldotp \end{split}\]

Por resta obtenemos de estas ecuaciones

\[H_{0} - E_{0} - (H_{1} - E_{1}) = L \Bigg\{ \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} - 1 \Bigg\} \ldotp\]

Las dos diferencias de la forma H − E que ocurren en esta expresión tienen significaciones físicas simples. H y E son valores energéticos del mismo cuerpo referidos a dos sistemas de coordenadas que están en movimiento uno con relación al otro, estando el cuerpo en reposo en uno de los dos sistemas (sistema (x, y, z)). Así queda claro que la diferencia H − E puede diferir de la energía cinética K del cuerpo, con respecto al otro sistema (\(\xi, \eta, \zeta\)), solo por una constante aditiva C, que depende de la elección de las constantes aditivas arbitrarias ³⁴ de las energías H y E. Así podemos colocar

\[\begin{split} H_{0} - E_{0} &= K_{0} + C, \\ H_{1} - E_{1} &= K_{1} + C, \end{split}\]

ya que C no cambia durante la emisión de luz. Así que tenemos

\[K_{0} - K_{1} = L \Bigg\{ \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} - 1 \Bigg\} \ldotp\]

Nota

Una energía potencial U solo se define hasta una constante aditiva. Si, por ejemplo, U depende de la distancia entre partículas, y la distancia sufre una contracción de Lorentz, no hay razón para imaginar que la constante se mantendrá igual. —BC

La energía cinética del cuerpo con respecto a (\(\xi, \eta, \zeta\)) disminuye como resultado de la emisión de luz, y la cantidad de disminución es independiente de las propiedades del cuerpo. Además, la diferencia K ₀ − K ₁, al igual que la energía cinética del electrón (§ 10), depende de la velocidad.

Despreciando magnitudes de cuarto y superiores órdenes ³⁵ podemos colocar

\[K_{0} - K_{1} = \frac{1}{2} \frac{L}{c^{2}} v^{2} \ldotp\]

Nota

El propósito de hacer la aproximación es mostrar que bajo condiciones de laboratorio realistas, el efecto imita exactamente un cambio en la masa newtoniana.

De esta ecuación se desprende directamente ³⁶ que:

Si un cuerpo emite la energía L en forma de radiación, su masa disminuye en\(\frac{L}{c^{2}}\). El hecho de que la energía extraída del cuerpo se convierta en energía de radiación evidentemente no hace diferencia, por lo que nos llevan a la conclusión más general de que

La masa de un cuerpo es una medida de su contenido energético; si la energía cambia en L, la masa cambia en el mismo sentido en\(\frac{L}{9}\) × 10 ²⁰, la energía se mide en ergs y la masa en gramos.

No es imposible que con cuerpos cuyo contenido energético es variable en alto grado (por ejemplo, con sales de radio) la teoría pueda ponerse a prueba con éxito.

Si la teoría corresponde a los hechos, la radiación transmite inercia entre los cuerpos emisores y absorbentes.

Nota

El objeto tiene la misma velocidad v antes y después de la emisión de la luz, por lo que esta reducción en la energía cinética tiene que ser atribuida a un cambio de masa. —BC

“El fundamento de la Teoría General de la Relatividad”

A. Einstein, Aninalen der Physik 49 (1916) 769.

[Se omite una introducción de una página relacionada con la historia y las personalidades. —BC]

A. Consideraciones Fundamentales sobre el Postulado de la Relatividad

§1. Observaciones sobre la Teoría Especial de la Relatividad

La teoría especial de la relatividad se basa en el siguiente postulado, que también es satisfecho por la mecánica de Galileo y Newton. Si se elige un sistema de coordenadas K para que, en relación con él, las leyes físicas se mantengan bien en su forma más simple, las mismas leyes también se mantienen buenas en relación con cualquier otro sistema de coordenadas K' moviéndose en traducción uniforme con relación a K. Este postulado lo llamamos el “principio especial de relatividad”. La palabra “especial” pretende intimar que el principio se restringe al caso cuando K' tiene un movimiento de traslación uniforme ³⁷ relativo a K, pero que la equivalencia de K' y K no se extiende al caso de movimiento no uniforme de K' relativo a K.

Nota

Aquí Einstein define la distinción entre relatividad especial y general según si se permiten marcos de referencia acelerados. La tendencia moderna es plantear esta distinción en términos de espacio-tiempo plano versus curvo, de manera que los marcos de referencia acelerados en el espacio-tiempo plano se consideran parte de una relatividad especial. Nada de esto tiene nada que ver con la capacidad de describir objetos acelerados. Por ejemplo, la relatividad especial es perfectamente capaz de describir la paradoja gemela. —BC

Así, la teoría especial de la relatividad no se aparta de la mecánica clásica a través del postulado de la relatividad, sino a través del postulado de la constancia de la velocidad de la luz al vacío, del cual, en combinación con el principio especial de la relatividad, se sigue, de la manera bien conocida, la relatividad de la simultaneidad, la transformación lorentziana y las leyes relacionadas para el comportamiento de cuerpos y relojes en movimiento.

La modificación a la que la teoría especial de la relatividad ha sometido la teoría del espacio y el tiempo es ciertamente de gran alcance, pero un punto importante no se ha visto afectado. Porque las leyes de la geometría, incluso según la teoría especial de la relatividad, deben interpretarse directamente como leyes relativas a las posibles posiciones relativas de los cuerpos sólidos en reposo; y, de una manera más general, las leyes de la cinemática deben interpretarse como leyes que describen las relaciones de medición cuerpos y relojes. A dos puntos materiales seleccionados de un cuerpo rígido estacionario siempre le corresponde una distancia de longitud bastante definida, que es independiente de la localidad y orientación del cuerpo, y también es independiente del tiempo. A dos posiciones seleccionadas de las manecillas de un reloj en reposo respecto al sistema privilegiado de referencia siempre le corresponde un intervalo de tiempo de una longitud definida, que es independiente del lugar y del tiempo. Pronto veremos que la teoría general de la relatividad no puede adherirse a esta sencilla interpretación física del espacio y del tiempo. ³⁸

Nota

Einstein apenas está empezando a exponer su argumento, y aún no ha dejado claro en qué sentido podrían probarse empíricamente estas declaraciones sobre la independencia de ubicación de los relojes y los gobernantes. Se hace más claro después que quiere decir algo así. Podríamos tratar de llenar el espacio-tiempo con una celosía de relojes y reglas, sincronizar los relojes y construir la celosía de manera que consistiera en ángulos rectos y segmentos de línea de igual longitud. Esto tiene éxito en la relatividad especial, de manera que la geometría del espacio-tiempo es compatible con marcos de referencia que dividen el espacio-tiempo en 3+1 dimensiones, donde las tres dimensiones son euclidianas. La misma prescripción falla en la relatividad general. —BC

§2. La necesidad de una extensión del postulado de la relatividad

En la mecánica clásica, y nada menos en la teoría especial de la relatividad, existe un defecto epistemológico inherente que fue, quizás por primera vez, claramente señalado por Ernst Mach. Lo dilucidaremos con el siguiente ejemplo: ³⁹ — Dos cuerpos fluidos del mismo tamaño y naturaleza flotan libremente en el espacio a una distancia tan grande entre sí y de todas las demás masas que solo se necesitan tomar en cuenta aquellas fuerzas gravitacionales que surgen de la interacción de diferentes partes del mismo cuerpo. Que la distancia entre los dos cuerpos sea invariable, y en ninguno de los cuerpos que haya movimientos relativos de las partes una respecto a la otra.

Nota

Este ejemplo fue descrito en la sección 3.6. —BC

Pero dejemos que cualquiera de las masas, según lo juzgue un observador en reposo con relación a la otra masa, gire con velocidad angular constante alrededor de la línea que une las masas. Se trata de un movimiento relativo verificable de los dos cuerpos. Ahora imaginemos que cada uno de los cuerpos ha sido encuestado por medio de instrumentos de medición en reposo relativo a sí mismo, y dejar que la superficie de _S1 resulte ser una esfera, y la de S ₂ un elipsoide de revolución. Entonces nos planteamos la pregunta — ¿Cuál es la razón de esta diferencia en los dos cuerpos? Ninguna respuesta puede admitirse como epistemológicamente satisfactoria, ⁴⁰ a menos que la razón dada sea un hecho observable de experiencia. La ley de causalidad no tiene el significado de una declaración en cuanto al mundo de la experiencia, salvo cuando los hechos observables aparecen en última instancia como causas y efectos.

Nota

Por supuesto, una respuesta puede ser satisfactoria desde el punto de vista de la epistemología, y sin embargo ser insonora hisicamente, si está en conflicto con otras experiencias. —COMO

La mecánica newtoniana no da una respuesta satisfactoria a esta pregunta. Se pronuncia de la siguiente manera: — Las leyes de la mecánica se aplican al espacio _R1, respecto del cual el cuerpo _S1 está en reposo, pero no al espacio _R2, respecto del cual el cuerpo _S2 está en reposo. Pero el espacio privilegiado _R1 de Galileo, así introducido, es una causa ⁴¹ meramente facticia, y no una cosa que pueda observarse. _{Por lo tanto, es claro que la mecánica de Newton no satisface realmente el requisito de causalidad en el caso considerado sino que solo aparentemente lo hace, ya que hace que la causa facticia R1 sea responsable de la diferencia observable en los cuerpos S 1 y S 2.}

Nota

es decir, artificial —BC

_{La única respuesta satisfactoria debe ser que el sistema físico que consiste en S1 y S2 revela en sí mismo ninguna causa imaginable a la que se pueda hacer referencia al comportamiento diferente de S1 y S2.} Por lo tanto, la causa debe estar fuera de este sistema. Tenemos que considerar que las leyes generales del movimiento, que en particular determinan las formas de _S1 y _S2, deben ser tales que el comportamiento mecánico de _S1 y _S2 esté parcialmente condicionado en aspectos bastante esenciales, por masas distantes que no hemos incluido en el sistema que se esté considerando. Estas masas distantes y sus movimientos relativos a _S1 y _S2 deben considerarse entonces como el asiento de las causas (que deben ser susceptibles de observación) del diferente comportamiento de nuestros dos cuerpos _S1 y _S2. Asumen el papel de la causa facticia R ₁. De todos los espacios imaginables _R1, _R2, etc., en cualquier tipo de movimiento relativo el uno al otro no hay ninguno que podamos considerar privilegiado a priori sin revivir la objeción epistemológica antes mencionada. Las leyes de la física deben ser de tal naturaleza que se apliquen a los sistemas de referencia en cualquier tipo de movimiento. ⁴² A lo largo de este camino llegamos a una extensión al postulado de la relatividad.

Nota

En este momento, Einstein tenía grandes esperanzas de que su teoría fuera completamente maquiana. Ya estaba al tanto de la solución de Schwarzschild (se refiere a ella cerca del final del artículo), que ofendió sus sensibilidades maquianas porque imputaba propiedades al espacio-tiempo en un universo que contenía sólo un solo punto-masa. En el presente ejemplo de los cuerpos S ₁ y S ₂, la relatividad general en realidad resulta dar el resultado no maquiano que Einstein dice que aquí sería insatisfactorio. —BC

Además de este argumento de peso de la teoría del conocimiento, existe un hecho físico bien conocido que favorece una extensión de la teoría de la relatividad. Sea K un sistema galileano de referencia, es decir, un sistema relativo al cual (al menos en la región cuatridimensional en consideración) una masa, suficientemente distante de otras masas, se mueve con movimiento uniforme en línea recta. Sea K' un segundo sistema de referencia que se mueve con relación a K en una traslación uniformemente acelerada. Entonces, en relación con K', una masa suficientemente distante de otras masas tendría un movimiento acelerado tal que su aceleración y dirección de aceleración son independientes de la composición material y del estado físico de la masa.

¿Esto permite a un observador en reposo relativo a K' inferir que está en un sistema de referencia “realmente” acelerado? La respuesta es negativa; pues la relación antes mencionada de masas libremente móviles con K' puede interpretarse igualmente bien de la siguiente manera. El sistema de referencia K' no está acelerado, pero el territorio espacio-temporal en cuestión se encuentra bajo el influjo de un campo gravitacional, que genera el movimiento acelerado de los cuerpos en relación con K'.

Esta visión es posible para nosotros por la enseñanza de la experiencia en cuanto a la existencia de un campo de fuerza, a saber, el campo gravitacional, que posee la notable propiedad de impartir la misma aceleración a todos los cuerpos. ⁴³ El comportamiento mecánico de los cuerpos en relación con K' es el mismo que se presenta a la experiencia en el caso de sistemas que no vamos a considerar como “estacionarios” o “privilegiados”. Por lo tanto, desde el punto de vista físico, la suposición fácilmente sugiere que los sistemas K y K' pueden ser vistos ambos con igual derecho como “estacionarios” es decir, tienen un título igual como sistemas de referencia para la descripción física de los fenómenos.

Nota

Eötvös ha demostrado experimentalmente que el campo gravitacional tiene esta propiedad con gran precisión. —COMO

De estas reflexiones se verá que al perseguir la teoría general de la relatividad seremos conducidos a una teoría de la gravitación, ya que somos capaces de “producir” un campo gravitacional simplemente cambiando el sistema de coordenadas. También será obvio que el principio de la constancia de la velocidad de la luz al vacío debe ser modificado, ya que fácilmente reconocemos que la trayectoria de un rayo de luz con respecto a K' debe ser en general curvilínea, si con respecto a K la luz se propaga en línea recta con un definido velocidad constante.

§3. El Continuum Espacio-Tiempo. Requisito de Covarianza General para las Ecuaciones que Expresan Leyes Generales de la Naturaleza

En la mecánica clásica, así como en la teoría especial de la relatividad, las coordenadas del espacio y el tiempo tienen un significado físico directo. _{Decir que un evento puntual tiene la coordenada X 1 x 1 significa que la proyección del evento puntual sobre el eje de X 1, determinada por varillas rígidas y de acuerdo con las reglas de geometría euclidiana, se obtiene midiendo una varilla dada (la unidad de longitud) x 1} tiempos desde el origen de las coordenadas a lo largo del eje de X ₁. _{Decir que un evento puntual tiene la coordenada X 4 x 4 = t, significa que un reloj estándar, hecho para medir el tiempo en un periodo unitario definido, y que es estacionario respecto al sistema de coordenadas y prácticamente coincidente en el espacio con el evento puntual, ⁴⁴ tendrá} medido off x ₄ = t periodos a la ocurrencia del evento.

Nota

Asumimos la posibilidad de verificar la “simultaneidad” para eventos inmediatamente próximos en el espacio, o —para hablar más precisamente— para la proximidad inmediata o coincidencia en el espacio-tiempo, sin dar una definición de este concepto fundamental. —COMO

Esta visión del espacio y del tiempo siempre ha estado en la mente de los físicos, aunque, por regla general, hayan estado inconscientes de ello. Esto queda claro a partir de la parte que estos conceptos juegan en las mediciones físicas; también debe haber sustentado las reflexiones del lector sobre el párrafo anterior para que pueda conectar cualquier sentido con lo que allí leyó. Pero ahora demostraremos que debemos dejarlo a un lado y sustituirlo por una visión más general, para poder llevar a cabo el postulado de la relatividad general, si la teoría especial de la relatividad se aplica al caso especial de la ausencia de un campo gravitacional.

En un espacio libre de campos gravitacionales introducimos un sistema galileano de referencia K (x, y, z, t), y también un sistema de coordenadas K' (x', y', z', t') en rotación uniforme ⁴⁵ respecto a K. Dejemos que los orígenes de ambos sistemas, así como sus ejes de Z, coincidan permanentemente. Demostraremos que para una medición espacio-temporal en el sistema K' no se puede mantener la definición anterior del significado físico de longitudes y tiempos. Por razones de simetría es claro que un círculo alrededor del origen en el plano X, Y de K puede considerarse al mismo tiempo como un círculo en el plano X', Y' de K'. Suponemos que la circunferencia y el diámetro de este círculo se han medido con una unidad de medida infinitamente pequeña en comparación con el radio, y que tenemos el cociente de los dos resultados. Si este experimento se realizara con una varilla de medición ⁴⁶ en reposo con relación al sistema galileo K, el cociente sería\(\pi\). Con una varilla de medición en reposo relativa a K', el cociente sería mayor que\(\pi\). Esto se entiende fácilmente si contemplamos todo el proceso de medición desde el sistema “estacionario” K, y tomamos en consideración que la varilla de medición aplicada a la periferia sufre una contracción lorentziana, mientras que la aplicada a lo largo del radio no. ⁴⁷ De ahí que la geometría euclidiana no se aplique a K'. La noción de coordenadas definidas anteriormente, que presupone la validez de la geometría euclidiana, por lo tanto, se descompone en relación con el sistema K'. Entonces, tampoco, somos incapaces de introducir un tiempo correspondiente a requisitos físicos en K', indicado por relojes en reposo relativos a K'. Para convencernos de esta imposibilidad, imaginemos dos relojes de constitución idéntica colocados, uno en el origen de las coordenadas, y el otro en la circunferencia del círculo, y ambos previstos desde el sistema “estacionario” K. Por un resultado familiar de la teoría especial de la relatividad, el reloj en el circunferencia —juzgada a partir de K— va más despacio que la otra, porque la primera está en movimiento y la segunda en reposo. Un observador en el origen común de las coordenadas, capaz de observar el reloj en la circunferencia por medio de la luz, por lo tanto, lo vería rezagado detrás del reloj a su lado. Como no decidirá dejar que la velocidad de la luz a lo largo del camino en cuestión dependa explícitamente del tiempo, interpretará sus observaciones como que muestran que el reloj en la circunferencia “realmente” va más despacio que el reloj en el origen. Por lo que se verá obligado a definir el tiempo de tal manera que la velocidad de un reloj dependa de donde pueda estar el reloj.

Notas

⁴⁵ Este ejemplo de un marco de referencia giratorio se discutió en la sección 3.5. —BC

⁴⁶ Einstein asume implícitamente que las varillas de medición son perfectamente rígidas, pero no es obvio que esto sea posible. Este tema se discute en la sección 3.5. —BC

⁴⁷ Como se describe en la sección 3.5, Ehrenfest originalmente imaginó que la circunferencia del disco se reduciría por su rotación. Su argumento era incorrecto, porque asumió la capacidad de iniciar el disco girando cuando originalmente había estado en reposo. El presente trabajo marca la primera vez que Einstein aseveró lo contrario, que la circunferencia se incrementa. —BC

Por lo tanto, llegamos a este resultado: — En la teoría general de la relatividad, el espacio y el tiempo no pueden definirse de tal manera que las diferencias de las coordenadas espaciales puedan medirse directamente por la unidad de medición-vara, o las diferencias en la coordenada de tiempo por un reloj estándar.

El método empleado hasta ahora para colocar coordenadas en el continuo espacio-tiempo de manera definida se descompone así, y parece que no hay otra manera que nos permita adaptar sistemas de coordenadas al universo cuatridimensional para que podamos esperar de su aplicación un sistema particularmente simple formulación de las leyes de la naturaleza. Entonces no hay nada para ello sino considerar todos los sistemas imaginables de coordenadas, en principio, como igualmente adecuados para la descripción de la naturaleza. ⁴⁸ Esto viene a exigir que: —

Las leyes generales de la naturaleza deben ser expresadas por ecuaciones que se mantienen buenas para todos los sistemas de coordenadas, es decir, son covariantes con respecto a cualquier sustitución cualquiera (generalmente covariante). ⁴⁹

Notas

⁴⁸ Se trata de un salto conceptual, no de una inferencia directa del argumento sobre el marco giratorio. Einstein comenzó a pensar en este argumento en 1912, y concluyó a partir de él que debía basar una teoría de la gravedad en la geometría no euclidiana. Influenciado por Levi-Civita, intentó llevar a cabo este proyecto de manera independiente de coordenadas, pero fracasó al principio, y por un tiempo exploró una teoría que no era coordinada-independiente. Sólo después volvió a coordinar-independencia. Debe quedar claro, entonces, que el vínculo entre el argumento del marco giratorio y la independencia de coordenadas no fue tan claro como lo hace Einstein aquí, ya que él mismo perdió la fe en él por un tiempo. —BC

⁴⁹ En este libro he utilizado la terminología más transparente “coordinar independencia” en lugar de “covarianza general”. —BC

Es evidente que una teoría física que satisfaga este postulado también será adecuada para el postulado general de la relatividad. ⁵⁰ Para la suma de todas las sustituciones en cualquier caso incluye aquellas que corresponden a todos los movimientos relativos de sistemas tridimensionales de coordenadas. Que este requisito de covarianza general, que quita del espacio y del tiempo el último remanente de objetividad física, ⁵¹ es natural, se verá a partir de la siguiente reflexión. Todas nuestras verificaciones espacio-temporales equivalen invariablemente a una determinación de coincidencias espacio-tiempo. ⁵² Si, por ejemplo, los acontecimientos consistieran meramente en el movimiento de puntos materiales, entonces en última instancia nada sería observable sino las reuniones de dos o más de estos puntos. Además, los resultados de nuestras mediciones no son más que verificaciones de tales reuniones de los puntos materiales de nuestros instrumentos de medición con otros puntos materiales, coincidencias entre las manecillas de un reloj y puntos en la esfera del reloj, y eventos puntuales observados que ocurren en el mismo lugar al mismo tiempo.

Notas

⁵⁰ Para más información sobre este punto, véase la sección 3.7. —BC

⁵¹ Esta es una interpretación extrema de la covarianza general, y una que el propio Einstein no cortó de cerca más adelante. Presentó una interpretación casi diametralmente opuesta en un artículo filosófico, “Sobre el éter”, Schweizerische naturforschende Gesellschaft 105 (1924) 85. —BC

⁵² es decir, a lo que este libro se refiere como mediciones de incidencia (sección 3.4) —BC

La introducción de un sistema de referencia no tiene otro propósito que facilitar la descripción de la totalidad de tales coincidencias. Asigna al universo cuatro variables espacio-tiempo x ₁, x ₂, x ₃, x ₄ de tal manera que por cada evento puntual existe un sistema correspondiente de valores de las variables x ₁. x ₄. A dos eventos puntuales coincidentes corresponde un sistema de valores de las variables x ₁.. x ₄, es decir, la coincidencia se caracteriza por la identidad de las coordenadas. Si, en lugar de las variables x ₁. x ₄, introducimos funciones de las mismas, x' ₁, x' ₂, x' ₃, x' ₄, como un nuevo sistema de coordenadas, para que los sistemas de valores se hagan corresponder entre sí sin ambigüedad, el la igualdad de las cuatro coordenadas en el nuevo sistema también servirá como expresión de la coincidencia espacio-tiempo de los dos eventos puntuales. Como toda nuestra experiencia física puede reducirse en última instancia a tales coincidencias, no hay razón inmediata para preferir ciertos sistemas de coordenadas a otros, es decir, llegamos al requisito de la covarianza general.

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