10.4: Apéndice C

Geometría Euclidiana

E1 Dos puntos determinan una línea.

Los segmentos de línea E2 se pueden extender.

E3 Un círculo único se puede construir dado cualquier punto como su centro y cualquier segmento de línea como su radio.

E4 Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

E5 Postulado paralelo: Dada una línea y un punto no en la línea, se puede dibujar exactamente una línea a través del punto y paralela a la línea dada. ¹

Nota

Se trata de una forma conocida como axioma de Playfair, más que la versión del postulado originalmente dada por Euclides.

Geometría Ordenada

O1 Dos eventos determinan una línea.

Los segmentos de línea O2 se pueden extender: dados A y B, hay al menos un evento tal que [ABC] es verdadero.

Las líneas O3 no se envuelven: si [ABC] es verdadero, entonces [BCA] es falso.

O4 Interweenness: Para cualquiera de tres eventos distintos A, B y C que se encuentran en la misma línea, podemos determinar si B está o no entre A y C (y por la instrucción 3, este orden es único excepto por una posible inversión general para formar [CBA]).

Geometría afín

Además de O1-O4, postulan los siguientes axiomas:

A1 Constructibilidad de paralelogramos: Dado cualquier P, Q y R, existe S tal que [PQRS], y si P, Q y R son distintos entonces S es único.

A2 Tratamiento simétrico de los lados de un paralelogramo: Si [PQRS], entonces [QRSP], [QPSR] y [PRQS].

A3 Las líneas paralelas a la misma línea son paralelas entre sí: Si [ABCD] y [ABEF], entonces [CDEF].

Declaraciones motivadas experimentalmente sobre la geometría lorentziana

L1 El espacio-tiempo es homogéneo e isotrópico. Ningún punto tiene propiedades especiales que lo hagan distinguible de otros puntos, ni una dirección es distinguible de otra.

L2 Existen marcos inerciales de referencia. Se trata de marcos en los que las partículas se mueven a velocidad constante si no están sujetas a ninguna fuerza. Podemos construir tal marco usando una partícula particular, que no está sujeta a ninguna fuerza, como punto de referencia.

L3 Equivalencia de cuadros inerciales: Si un cuadro está en movimiento de traslación de velocidad constante en relación con un marco inercial, entonces también es un marco inercial. Ningún experimento puede distinguir un marco inercial de otro.

L4 Causalidad: Existen eventos 1 y 2 tales que t ₁ < t ₂ en todos los marcos.

L5 Relatividad del tiempo: Existen eventos 1 y 2 y marcos de referencia (t, x) y (t', x') tales que t ₁ < t ₂, pero t' ₁ > t' ₂.

Declaraciones del principio de equivalencia

Las aceleraciones y los campos gravitacionales son equivalentes. No existe ningún experimento que pueda distinguir uno del otro (sección 1.5).

Siempre es posible definir un marco local de Lorentz en un barrio particular del espacio-tiempo (sección 1.5).

No hay manera de asociar un campo tensor preferido con el espacio-tiempo (sección 4.4).

Vectores

En general, las coordenadas no se pueden agregar en un colector, por lo que no forman un espacio vectorial, sino que las diferencias de coordenadas infinitesimales pueden y lo hacen. El espacio vectorial en el que existen las diferencias de coordenadas es un espacio diferente en cada punto, denominado espacio tangente en ese punto (ver sección 7.1).

Los vectores se escriben en notación de índice abstracto con índices superiores, x ^a, y están representados por vectores de columna, flechas o huellas de pájaros con flechas entrantes, → x.

Los vectores duales, también conocidos como covectores o formas 1, están escritos en notación abstracta de índice con índices inferiores, xa, y están representados por vectores de fila, pares ordenados de líneas paralelas (ver sección 2.1), o pistas de pájaros con flechas salientes, ← x.

En notación de índice concreto, los x ^\(\mu\)son una lista de números, referidos como los componentes contravariantes del vector, mientras que x _\(\mu\)serían los componentes covariantes de un vector dual.

Fundamentalmente, la distinción entre los dos tipos de vectores está definida por las leyes de transformación del tensor, sección 4.3. Por ejemplo, una lectura de odómetro es contravariante porque convertirla de kilómetros a metros la incrementa. Un gradiente de temperatura es covariante porque convertirlo de grados/km a grados/m lo disminuye.

En ausencia de una métrica, cada cantidad física tiene un vector definido o carácter de vector dual. Las diferencias de coordenadas infinitesimales dx a y las velocidades dx a/ dτ son vectores, mientras que el momentum pa y la fuerza Fa son duales (ver sección 4.3). Muchos sistemas ordinarios e interesantes del mundo real carecen de una métrica (ver sección 2.1). Cuando una métrica está presente, podemos subir y bajar índices a voluntad. Existe una perfecta simetría de dualidad entre los dos tipos de vectores, pero esta simetría se rompe por la convención de que una medida con una regla es ^{una\(\Delta\)} x a, no _{una\(\Delta\) x a}.

Para consistencia con las leyes de transformación, la diferenciación con respecto a una cantidad voltea el índice, e.g\(\partial_{\mu} = \frac{\partial}{\partial x^{\mu}}\). Los operadores\(\partial \mu\) se utilizan a menudo como vectores de base para el plano tangente. En general, expresar vectores en una base usando la convención de notación de Einstein da como resultado un feo choque notacional descrito en la sección 7.1.