2.4: Producto de Tres Derivadas Parciales
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Supongamos que x, y y z están relacionados por alguna ecuación y que, por manipulación algebraica adecuada, podemos escribir cualquiera de las variables explícitamente en términos de las otras dos. Es decir, podemos escribir
\[ x = f(y,~z),\]
o
\[ y = y(z,~x),\]
o
\[ z = z(x,~y).\]
Entonces
\[ \delta x = \frac{\partial x}{\partial y} \delta y + \frac{\partial x}{\partial z} \delta z, \label{2.4.4}\]
\[ \delta y = \frac{\partial y}{\partial z} \delta z + \frac{\partial y}{\partial x} \delta x \label{2.4.5}\]
y
\[ \delta z = \frac{\partial z}{\partial x} \delta x + \frac{\partial z}{\partial y} \delta y. \label{2.4.6}\]
Elimina δy de las ecuaciones\ ref {2.4.4} y\ ref {2.4.5}:
\[ \delta x \left( 1 - \frac{\partial x}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial x} \right) = \delta z \left( \frac{\partial x}{\partial z} + \frac{\partial x}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial z} \right), \label{2.4.7}\]
y\(δz\) de Ecuaciones\ ref {2.4.4} y\ ref {2.4.6}:
\[ \delta x \left( 1 - \frac{\partial x}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x} \right) = \delta y \left( \frac{\partial x}{\partial y} + \frac{\partial x}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial y} \right). \label{2.4.8}\]
Dado que z y x pueden variarse independientemente, y x e y pueden variarse independientemente, la única manera en que las Ecuaciones\ ref {2.4.7} y\ ref {2.4.8} siempre pueden ser ciertas es que todas las expresiones entre paréntesis sean cero. Equiparar los paréntesis de la izquierda a cero muestra que
\[ \frac{\partial x}{\partial y} = 1/ \frac{\partial y}{\partial x} \label{\label{2.4.9}}\]
y
\[ \frac{\partial x}{\partial z} = 1/ \frac{\partial z}{\partial x}. \label{2.4.10}\]
Estos resultados pueden parecer triviales y “obvios” —y así lo son, siempre que la misma cantidad se mantenga constante en las derivadas de ambos lados de cada ecuación. En la termodinámica a menudo estamos tratando con más variables que solo x, y y z, y debemos tener cuidado de especificar qué cantidades se mantienen constantes. Si, por ejemplo, estamos tratando con varias variables, como u, v, w, x, y, z, no es en general cierto que\( \frac{\partial u}{\partial y} = 1 / \frac{\partial y}{\partial u}\), a menos que las mismas variables se mantengan constantes en ambos lados de la ecuación.
Regresa ahora a la Ecuación\ ref {2.4.7}. El paréntesis de la izquierda es cero, y esto, junto con la Ecuación\ ref {2.4.10}, da como resultado la relación importante:
\[ \left( \frac{\partial x}{\partial y} \right)_z \left( \frac{\partial y}{\partial z} \right)_x \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)_y = -1.\]