2.5: Segundas Derivadas y Diferenciales Exactos

Si\(z = z(x , y)\), podemos pasar por los movimientos de cálculo\( \frac{\partial z}{\partial x}\) y\( \frac{\partial z}{\partial y}\), y luego podemos calcular más las segundas derivadas\( \frac{\partial ^2 z}{\partial x^2}\),\(\frac{\partial ^2 x}{\partial y^2}\),\( \frac{\partial ^2 z}{\partial y \partial x}\) y\(\frac{\partial ^2 z}{\partial y \partial x}\). Por lo general, se encontrará que las dos últimas, las segundas derivadas mixtas, son iguales; es decir, no importa en qué orden llevemos a cabo las diferenciaciones.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Vamos\(z = x \sin y\). Demostrar que

\[ \dfrac{\partial ^2 z}{\partial x \partial y} = \dfrac{\partial ^2 z}{\partial y \partial x} = \cos y.\]

Solución

Examinamos en esta sección qué condiciones deben cumplirse para que los derivados mixtos sean iguales.

La Figura II.1 representa z como una función de “buen comportamiento” de x e y. Por “bien comportado” en este contexto quiero decir que z está en todas partes de un solo valor (es decir, dado x e y solo hay un valor de z), finito y continuo, y que sus derivadas son en todas partes continuas (es decir, no hay discontinuidades repentinas en ninguno de los dos la función misma o su pendiente). El “buen comportamiento” en este sentido es la condición suficiente para que las segundas derivadas mixtas sean iguales.

Calculemos la diferencia δ z en las alturas de A y C. Podemos ir de A a C vía B o vía D, y δ z es independiente de la ruta. Es decir, a primer orden,

\[ \delta z = \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)_y^{ (A)} \delta x + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)_x^{(B)} \delta y = \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)_x^{(A)} \delta y + \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)_y^{(D)} \delta x.\]

Aquí el superíndice (A) significa “evaluado en A”.

Divide ambos lados por δ x δ y:

\[ \frac{ \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)_x^{(B)} - \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)_x^{(A)}}{\partial x} = \frac{ \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)_y^{(D)} - \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)_y^{(A)}}{\partial y}.\]

Si ahora vamos al límite como δ x y δ y se acercan a cero (la ecuación ahora se vuelve exacta en lugar de simplemente “a primer orden”), esto se convierte en:

\[ \frac{\partial ^2 z}{\partial x \delta y} = \frac{\partial ^2 z}{\partial y \delta x}.\]

Otra propiedad de una función que se comporta bien en el sentido descrito es que si el diferencial dz se puede escribir en la forma

\[ dz = A (x,~y) dx + B(x,~y) dy,\]

entonces la Ecuación 2.5.3 implica que,

\[ \frac{\partial A}{\partial y} = \frac{\partial B}{\partial x}.\]

Se dice que un diferencial dz es exacto si se cumplen las siguientes condiciones: La integral de dz entre dos puntos es independiente de ruta, y la integral alrededor de una ruta cerrada (es decir, terminas donde empezaste) es cero, y si se cumplen las ecuaciones 2.5.3 y 2.5.5.

Si un diferencial como la Ecuación 2.5.4 es exacto —es decir, si se encuentra que satisface las condiciones de exactitud— entonces debería ser posible integrarlo y determinar z (x, y). Veamos un ejemplo. Supongamos que

\[ dz = (4x-3y-1)dx + (-3x+2y+4)dy.\]

Se ve fácilmente que esto es exacto. El problema ahora, por lo tanto, es encontrar z (x, y).

Let\( u = \int (4x - 3y - 1) dx\)

Así que

\[ u = 2x^2 - 3yx - x + g(y).\]

Tenga en cuenta que estamos tratando y como constante. La “constante” de integración depende del valor de y, es decir, es una función arbitraria de y.

Por supuesto u no es lo mismo que z — a menos que podamos encontrar una función particular g (y) tal que u de hecho sea lo mismo que z.

Ahora\( du = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} dy\); es decir,

\[ du = (4x-3y-1)dx + \left( -3x + \frac{dg}{dy} \right) dy.\]

Entonces du = dz (y u = z más una constante arbitraria) siempre que\( \frac{dg}{dy} = 2y+4\). Es decir,

\[ g(y) = y^2 + 4y + \text{constant.}\]

Por lo tanto

\[ z = 2x^2 -3xy + y^2 -x + 4y + \text{constant}\]

El lector debe verificar que esto satisface la ecuación 2.5.6. El lector también debería intentar dejar

\[ \nu = -3xy +y^2 + 4y + f(x)\]

(¿de dónde vino esto?) y pasar por un argumento similar para llegar de nuevo a la ecuación 2.5.10.

Considera otro ejemplo

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

\[ dz = 3 \ln y ~ dx + \frac{x}{y} dy.\]

Inmediatamente debe encontrar que este diferencial no es exacto, y, para enfatizar eso, voy a usar el símbolo đz, el símbolo especial indicando un diferencial inexacto. Sin embargo, dado un diferencial inexacto đz, es muy a menudo posible encontrar una función H (x, y) tal que el diferencial dw = H (x, y) đz es exacto, y dw puede entonces integrarse para encontrar w como una función de x e y . La función H (x, y) se denomina factor integrador. Puede haber más de un posible factor integrador; de hecho puede ser posible encontrar uno simplemente de la forma F (x) o tal vez G (y). Hay varias formas de encontrar un factor integrador. Haremos una simple y directa. Intentemos encontrar un factor integrador para el diferencial inexacto đz anterior. Así, vamos dw = F (x) dz, de modo que

\[ dw = 3F \ln y~ dx + \frac{xF}{y}dy.\]

Para que dw sea exacto, debemos tener

\[ \frac{\partial }{\partial y} (3F \ln y) = \frac{\partial }{\partial x} \left( \frac{xF}{y} \right).\]

Es decir,

\[ \frac{3F}{y} = \frac{1}{y} \left( F + x \frac{dF}{dx} \right).\]

Tras la integración y simplificación encontramos que

\[ F = x^2,\]

o cualquier múltiplo de los mismos, es un factor integrador, y por lo tanto

\[ dw = 3x^2 \ln y~ dx + \frac{x^3}{y} dy\]

es un diferencial exacto. El lector debe confirmar que se trata de un diferencial exacto, y a partir de ahí mostrar que

\[ w = x^3 \ln y + \text{constant}\]

Para anticiparse — ¿qué tiene esto que ver con la termodinámica? Por poner un ejemplo, se puede especificar el estado de muchos sistemas termodinámicos simples dando los valores de tres variables de estado intensivo, P, V y T, la presión, el volumen molar y la temperatura. Es decir, el estado del sistema puede ser representado por un punto en el espacio PVT. A menudo, habrá una relación conocida (conocida como la ecuación de estado) entre las variables; por ejemplo, si la sustancia involucrada es un gas ideal, las variables estarán relacionadas por PV = RT, que es la ecuación de estado para un gas ideal; y el punto que representa el estado del entonces el sistema será representado por un punto que está restringido a estar en la superficie bidimensional PV = RT en el espacio PVT tridimensional. En ese caso será necesario especificar sólo dos de las tres variables. Por otra parte, si se desconoce la ecuación de estado de una sustancia en particular, tendrás que dar los valores de las tres variables.

Ahora hay ciertas cantidades que uno encuentra en la termodinámica que son funciones de estado. Dos que me vienen a la mente son la entropía S y la energía interna U. Por función de estado se entiende que S y U están determinados únicamente por el estado (es decir, por P, V y T). Si conoces P, V y T, puedes calcular S y U o cualquier otra función de estado. En ese caso, los diferenciales dS y dU son diferenciales exactos.

La energía interna U de un sistema se define de tal manera que cuando se agrega una cantidad dQ de calor a un sistema y también se hace una cantidad de trabajo dW en el sistema, el aumento dU en la energía interna del sistema está dado por

\[dU = dQ + dW.\]

Aquí dU es un diferencial exacto, pero dQ y dW claramente no lo son. Se puede lograr el mismo aumento de energía interna por cualquier combinación de calor y trabajo, y el calor que agrega al sistema y el trabajo que realiza en él claramente no son funciones del estado del sistema.

A algunos autores les gusta usar un símbolo especial, como el de, para denotar un diferencial inexacto (pero cuidado, ¡he visto este símbolo usado para denotar un diferencial exacto!). No voy a hacer esto en general, porque hay muchos contextos en los que la distinción no es importante, o, si lo es, es obvio a partir del contexto si un diferencial dado es exacto o no. Si, sin embargo, hay algún contexto en el que la distinción es importante (y hay muchas) y en el que puede que no sea obvio que es el que, tal vez, con una advertencia anticipada, use un especial para un diferencial inexacto, y de hecho ya lo he hecho anteriormente en este apartado.