2.6: Teorema de Euler para Funciones Homogéneas
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Hay un teorema, generalmente acreditado a Euler, sobre funciones homogéneas que podríamos estar haciendo uso de.
Una función homogénea de grado n de las variables x, y, z es una función en la que todos los términos son de grado n. Por ejemplo, la función\( f(x,~y,~z) = Ax^3 +By^3+Cz^3+Dxy^2+Exz^2+Gyx^2+Hzx^2+Izy^2+Jxyz\) es una función homogénea de x, y, z, en la que todos los términos son de grado tres.
Al lector le resultará fácil evaluar las derivadas parciales\( \frac{\partial f}{\partial x},~ \frac{\partial f}{\partial x},~ \frac{\partial f}{\partial x}\) e igualmente fácil (aunque ligeramente tedioso) evaluar la expresión\( x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} + z \frac{\partial f}{\partial z}\). Tedioso o no, sí exhorto al lector a que lo haga. Deberías encontrar que la respuesta es\( 3Ax^3 +3By^3+3Cz^3 + 3Dxy^2+3Exz^2+3Fyz^2+3Gyx^2+3Hzx^2+3Izy^2+3Jxyz.\)
En otras palabras,\( x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} + z \frac{\partial f}{\partial z} = 3f\). Si haces lo mismo con una función homogénea de grado 2, lo encontrarás\( x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} + z \frac{\partial f}{\partial z} = 2f\). Y si lo haces con una función homogénea de grado 1, tal como\(Ax + By+Cz\), lo encontrarás\( x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} + z \frac{\partial f}{\partial z} = f\). En general, para una función homogénea de x, y, z... de grado n, siempre ocurre que
\[ x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} + z \frac{\partial f}{\partial z} + ... = nf.\]
Este es el teorema de Euler para funciones homogéneas.