6.5: Teoría Cinética de Gases- Presión

Habrá más sobre las relaciones PVT macroscópicas para los gases cuando vayamos más allá en la termodinámica. En esta sección, tratamos las propiedades microscópicas, y cómo la presión y la temperatura se relacionan con la densidad numérica de las moléculas y su velocidad.

Consideraremos un gas ideal, que contenga n moléculas por unidad de volumen, cada una de masa m, sostenido en una caja cubica de lado l. La velocidad de una molécula particular debe ser denotada por c = u i + v j + w k. Aquí u, v, w son los componentes de la velocidad paralelos a los lados de la caja. Como siempre, usaré la palabra velocidad para significar “velocidad” y la palabra velocidad para significar “velocidad”. Así la velocidad de la molécula es c y su velocidad es c. Vamos a comenzar calculando la presión sobre las paredes, que se supone que es causada por las colisiones de millones de moléculas que chocan repetidamente con las paredes.

(“¿Por qué sigues golpeándote la cabeza contra la pared?” “Porque se siente muy bien cuando me detengo”)

Considera el x -motion. Suponiendo que las colisiones son elásticas, observamos que el cambio del componente x del momento cuando una molécula rebota en una pared yz es de 2 mu. El tiempo necesario para cruzar al otro lado del cubo y volver de nuevo es de 2 l/u. El número de colisiones que realiza esta molécula con una pared yz por unidad de tiempo es u/(2 l). La tasa de cambio de impulso de esa molécula en esa pared es, por lo tanto, de 2 mu x u/ (2 l) = mu ² /l. La tasa de cambio del componente x del impulso en esa pared de todas las moléculas nl ³ en la caja es\( n l^{3} \times m \overline{u^{2}} / l=n m l^{2} \overline{u^{2}}\). Es decir, la fuerza sobre esa pared lo es\( n m l^{2} \overline{u^{2}}\), y así lo es la presión sobre la pared\( n m \overline{u^{2}}\). Pero\( \overline{u^{2}}=\overline{v^{2}}=\overline{w^{2}}\) (eso es asumiendo que las velocidades son isotrópicas y no hay viento) y\( \overline{u^{2}}+\overline{v^{2}}+\overline{w^{2}}=\overline{c^{2}}\) (ese es el teorema de Pitágoras), y por lo tanto\( \overline{u^{2}}=\frac{1}{3} \overline{c^{2}}\). Entonces la presión es

\[ P=\frac{1}{3} n m \overline{c^{2}}=\frac{1}{3} \rho \overline{c^{2}} .\]

Aquí ρ es la densidad = masa ÷ volumen = masa molar ÷ volumen molar = µ/V, (aquí V = volumen molar) y por lo tanto

\[ P V=\frac{1}{3} \mu \overline{c^{2}}.\]

Pero\( \frac{1}{3} \mu \overline{c^{2}}\) es\( \frac{2}{3}\) de la energía cinética traslacional de un mol de gas, y ya sabemos que PV = RT, por lo que deducimos que la energía cinética traslacional de las moléculas en un mol de gas es igual a\( \frac{3}{2} R T\). Es decir, es la energía cinética traduccional media por molécula\( \frac{3}{2} kT\), donde k es la constante de Boltzmann (ver Sección 6.1).