6.7: Distribución de Velocidades

Me siento tentado a comenzar diciendo “Sea f (u) du la fracción de moléculas de las cuales el componente x de sus velocidades está entre u y u + du”. Pero podemos ir un poco más allá de esto con la constatación de que esta distribución debe ser simétrica sobre u = 0, y por lo tanto, cualquiera que sea la función, debe contener sólo incluso potencias de u. Entonces podemos comenzar con:

Sea f (u ²) du la fracción de moléculas de las cuales el componente x de sus velocidades está entre u y u + du. Entonces, a menos que haya un flujo sistemático en la dirección x o la dirección x sea de alguna manera especial, la fracción de moléculas con componentes de velocidad y entre v y v + dv es f (v ²) dv, y la fracción de moléculas con z componentes de velocidad entre w y w + dw es f (w ²) dw. La fracción de moléculas en una caja du dv dw del espacio de velocidad es f (u ²) f (v ²) f (w ²) du dv dw. Dado que la distribución de los componentes de velocidad es independiente de la dirección, este producto debe ser de la forma

\[ f\left(u^{2}\right) f\left(v^{2}\right) f\left(w^{2}\right)=F\left(c^{2}\right)\]

o

\[ f\left(u^{2}\right) f\left(v^{2}\right) f\left(w^{2}\right)=F\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)\]

(Pregunta: Dimensiones de f? De F?)

Es fácil ver que esto está satisfecho por

\[f\left(u^{2}\right)=A e^{ \pm u^{2} / c_{n}^{2}}, \]

donde A y c _m son constantes por determinar. También debe quedar claro que, de las dos posibles soluciones representadas por la ecuación 6.7.3, debemos elegir la que tenga el signo menos.

Ya que debemos tener

\[ \int_{-\infty}^{\infty} f\left(u^{2}\right) d u=1\]

se deduce que

\[ A=\frac{1}{c_{\mathrm{m}} \sqrt{\pi}} .\]

(Para ver esto, hay que saberlo\( \int_{0}^{\infty} e^{-a x^{2}} d x=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{a}}\).)

Así que ahora tenemos

\[f\left(u^{2}\right)=\frac{1}{c_{\mathrm{m}} \sqrt{\pi}} e^{-u^{2} / c_{m}^{2}}\]

Esta es la distribución gaussiana de un componente de velocidad. En breve encontraremos una interpretación física para la constante c _m.

El área bajo la curva representada por la ecuación 6.7.9 es, por supuesto, la unidad; el valor máximo de (es)/(1). 2 f u cm π

La Figura VI.10 ilustra esta distribución. En esta cifra, la unidad de velocidad es de c _m. El área bajo la curva es 1. El máximo (a u = 0) es\( 1 / \sqrt{\pi} = 0.564\). Ejercicio: Mostrar que el FWHM (ancho completo a la mitad máximo) es\( 2 \sqrt{\ln 2} c_{\mathrm{m}}=1.665 c_{\mathrm{m}} \). Esto da una interpretación física de c _m; pronto daremos otra, que explicará el uso de m como subíndice.

La distribución gaussiana se ocupa de los componentes de velocidad. Ahora nos ocupamos de las velocidades. La fracción de moléculas que tienen velocidades entre c y c+ dc es F (c ²) veces el volumen de una cubierta esférica en el espacio de velocidad de radios c y c+ dc. (Algunos lectores pueden recordar un argumento similar en la ecuación de Schrödinger para el átomo de hidrógeno, en el que la probabilidad de que los electrones estén a una distancia entre r y r + dr es la densidad de probabilidad ψψ* veces el volumen de una concha esférica.

Notarás que la física se vuelve cada vez más fácil, porque lo has visto todo antes en diferentes contextos. En el presente contexto, F es similar a la ψψ* de la mecánica de olas, y podría considerarse como una “densidad de velocidad”.) Así, la fracción de moléculas que tienen velocidades entre c y c+ dc es

\[ \Phi\left(c^{2}\right) d c=\frac{4 c^{2}}{c_{m}^{3} \sqrt{\pi}} e^{-c^{2} / c_{m}^{2}} d c\]

Dejaré a quienes sean hábiles en el cálculo demostrar eso\( \int_{0}^{\infty} \Phi\left(c^{2}\right) d c=1\), y también demostrar que el máximo de esta distribución ocurre para una velocidad de c = c _m y que el valor máximo de Φ (c ²) es\( 4 /\left(c_{\mathrm{m}} e \sqrt{\pi}\right)\). Esto proporciona otra interpretación de la constante c _m. La velocidad a la que se produce el máximo de la distribución se llama el modo de la distribución, o la velocidad modal, de ahí el subíndice m. La ecuación 6.7.10 es la distribución de velocidades de Maxwell-Boltzmann. Se muestra en la figura VI.7, en la que la unidad de velocidad es de c _m. El área es 1, y el máximo es\( 4 /(e \sqrt{\pi})=0.830\).

La velocidad media\( \overline{c}\) se encuentra a partir de\( \int_{0}^{\infty} c \Phi\left(c^{2}\right) d c\) y la raíz media cuadrada velocidad c _RMS se encuentra a partir de\( c_{\mathrm{RMS}}^{2}=\int_{0}^{\infty} c^{2} \Phi\left(c^{2}\right) d c\). Si no has encontrado antes integrales de este tipo, es posible que encuentres que la primera de ellas es más fácil que la segunda. Si puedes hacer estas integrales, encontrarás que

\[ \overline{c}=\frac{2}{\sqrt{\pi}} c_{\mathrm{m}} \text { and } c_{\mathrm{RMS}}=\sqrt{\frac{3}{2}} c_{\mathrm{m}}\]

La velocidad de la raíz cuadrática media (RMS), para la cual estoy aquí usando el símbolo c _RMS, es por supuesto la raíz cuadrada de\( \overline{c^2}\). Hemos visto de la Sección 6.5 que la energía cinética media por molécula,\( \frac{1}{2} m \overline{c^2}\), es igual a\( \frac{3}{2} kT\), así que ahora vamos a juntarlo todo:

\[ c_{\mathrm{m}}=\frac{\sqrt{\pi}}{2} \overline{c}=0.886 \overline{c}=\sqrt{\frac{2}{3}} c_{\mathrm{RMS}}=0.816 c_{\mathrm{RMS}}=\sqrt{\frac{2 k T}{m}}=1.414 \sqrt{\frac{k T}{m}}\]

\[ \overline{c}=\frac{2}{\sqrt{\pi}} c_{\mathrm{m}}=1.128 c_{\mathrm{m}}=\sqrt{\frac{8}{3 \pi}} c_{\mathrm{RMS}}=0.921 c_{\mathrm{RMS}}=\sqrt{\frac{8 k T}{\pi m}}=1.596 \sqrt{\frac{k T}{m}}\]

\[ c_{\mathrm{RMS}}=\sqrt{\frac{3}{2}} c_{\mathrm{m}}=1.225 c_{\mathrm{m}}=\sqrt{\frac{3 \pi}{8}} \overline{c}=1.085 \overline{c}=\sqrt{\frac{3 k T}{m}}=1.732 \sqrt{\frac{k T}{m}}\]

Gauss:

\[ f\left(u^{2}\right)=\sqrt{\frac{m}{2 \pi k T}} e^{-\frac{m u^{2}}{2 k T}}.\]

Maxwell-Boltzmann:

\[ \Phi\left(c^{2}\right)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\left(\frac{m}{k T}\right)^{3 / 2} c^{2} e^{-\frac{m c^{2}}{2 k T}}.\]

Una última cosa se me ocurre antes de que salgamos de esta sección. ¿Podemos calcular la velocidad media c _1/2 de la distribución Maxwell-Boltzmann? Esta es la velocidad tal que la mitad de las moléculas se mueven más lentamente que c _1/2, y la mitad se mueven más rápido. Es la velocidad la que divide el área bajo la curva a la mitad. Si expresamos velocidades en unidades de c _m, tenemos que encontrar c _1/2 tal que

\[ \frac{4}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{c_{1 / 2}} c^{2} e^{-c^{2}} d c=\frac{1}{2},\]

o

\[ \int_{0}^{c_{1 / 2}} c^{2} e^{-c^{2}} d c=\frac{\sqrt{\pi}}{8}=0.2215567314\]

Eso debería mantener tu computadora ocupada por un tiempo. El mío hizo la respuesta c _1/2 = 1.087 65 c _m.