2.4: Definición estadística de entropía

Logaritmos y dimensiones

No se puede tomar el logaritmo de un número con dimensiones. Quizás hayas escuchado esta regla fraseada como “no puedes tomar el logaritmo de 3.5 metros” o “no puedes tomar el logaritmo de cinco naranjas”. ¿Por qué no? Un argumento sencillo es “Bueno, ¿de qué serían las unidades\(\ln(3.5 \text{meters})\)?” Sigue un argumento más elaborado. La función logaritmo es la inversa de la función exponencial:

\(y=\ln (x) \quad \text { means the same as } \quad x=e^{y} .\)

Pero recuerda que

\(x=e^{y}=1+y+\frac{1}{2 !} y^{2}+\frac{1}{3 !} y^{3}+\cdots .\)

Si\(y\) tuviera las dimensiones de longitud, entonces la expresión anterior sería una suma sin sentido de 1 más una longitud más un área más un volumen más así sucesivamente.

No se puede exponenciar un número con dimensiones, y no se puede tomar el logaritmo de un número con dimensiones.

Aditividad (ver problema 2.10).. no mezclar físicamente.

\[S(E, \Delta E, V, N)=k_{B} \ln \Omega(E, \Delta E, V, N)\]

La constante k _B en esta definición se llama la “constante de Boltzmann”. Se desprende del argumento que la constante de Boltzmann podría haber sido elegida para tener cualquier valor: 1,\(\pi\), lo que sea. Por razones históricas, se optó por tener el valor

\[k_{B}=1.38 \times 10^{-23} \text { joule } / \text { kelvin. }\]

No hay una significación física particular en este número: su papel lógico es análogo a 2.54 cm/pulgada o 4.186 Julios/caloría. Es decir, el origen de este número no debe buscarse en la naturaleza, sino en la historia de la definición del joule y del kelvin. Es un factor de conversión.

Problemas

2.8 (E) Regiones accesibles del espacio de fase

Supongamos que N partículas que no interactúan, cada una de masa\(m\), se mueven libremente en una caja unidimensional (es decir, un pozo cuadrado infinito). Denote las coordenadas de posición por\(x_1, x_2, ... , x_N\) y las coordenadas de impulso por\(p_1, p_2, . . . , p_N\). La caja restringe todas las posiciones para que caigan entre\(x_i = 0\) y\(x_i = L\). La energía del sistema se encuentra entre\(E\) y\(E + ∆E\).

a. Si solo hay una partícula presente, dibuje el espacio de fase del sistema y sombree las regiones del espacio de fase que sean accesibles.

b. Si hay dos partículas presentes entonces el espacio de fase es de cuatro dimensiones, lo que dificulta su trazado. Dibuja por separado la parte del espacio de fase que involucra posiciones y la parte que involucra momenta. Sombra las regiones accesibles del espacio de fase.

c. Supongamos que hay dos partículas presentes, y considerar la porción de espacio de fase para la cual\(x_1 = (2/3)L\) y\(p_2\) es igual a alguna constante llamada\(\overline{p}_{2}\). Dibuja un boceto (cuidadosamente etiquetado) de esta porción con las regiones accesibles sombreadas.

d. Describir las regiones accesibles del espacio de fase si hay\(N\) partículas presentes.

2.9 Configuraciones accesibles de un sistema de centrifugado

Considerar un sistema aislado de\( \frac{1}{2}\) átomos de\(N\) espín en un campo magnético\(H\). Los átomos se fijan en sus sitios de celosía y los espines no interactúan. Cada átomo tiene un momento magnético m que puede apuntar ya sea “arriba” (paralelo al campo\(H\)) o “abajo” (antiparalelo a\(H\)). Un microestado (o configuración) de este sistema se especifica dando la dirección de cada giro. Un giro hacia arriba tiene energía\(−mH\), un giro descendente tiene energía\(+mH\), por lo que una configuración con giros hacia\(n_{\uparrow}\) arriba y giros\(n_{\downarrow}\) hacia abajo tiene energía

\[E=-\left(n_{\uparrow}-n_{\downarrow}\right) m H.\]

Este sistema se llama el “paramagnet ideal”.

a. No todas las energías son posibles para este modelo. ¿Cuál es la máxima energía posible? ¿El mínimo? ¿Cuál es la diferencia mínima posible de energía distinta de cero entre configuraciones?

b. Supongamos que sabemos que el sistema tiene giros\(n_{\uparrow}\)\(n_{\downarrow}\) ascendentes y giros descendentes, pero no sabemos cómo están dispuestos estos giros. ¿Cuántos microestados son consistentes con este conocimiento?

c. Las variables\(n_{\uparrow}\) y\(n_{\downarrow}\) no se pueden determinar directamente a partir de mediciones macroscópicas. Encuentra expresiones para\(n_{\uparrow}\) y\(n_{\downarrow}\) en términos de\(N\),\(E\), y\(H\). (Entregue una muestra de paramagnet a un experimentalista y pídale que encuentre el número de giros ascendentes. Ella solo te mirará con interrogante. Pero pídele que encuentre el número, la energía y el campo magnético y estará feliz de hacerlo.)

d. Considere el rango de energía desde\(E\) hasta\(E + ∆E\) donde\(∆E\) es pequeño en comparación con\(NmH\) pero grande en comparación con\(mH\). ¿Cuál es el número aproximado de estados que se\(\Omega(E, ∆E, H, N)\) encuentran en este rango de energía? Exprese su respuesta en un formulario que no incluya las cantidades\(n_{\uparrow}\) o\(n_{\downarrow}\).

2.10 Microestados para un sistema combinado

El sistema #1 se encuentra en un macroestado con tres microestados correspondientes, etiquetados\(A\),\(B\), y\(C\). El sistema #2 se encuentra en un macroestado con cuatro microestados correspondientes, etiquetados α, β, γ y δ. ¿Cuántos microestados son accesibles para el sistema combinado que consiste en el sistema #1 y el sistema #2? Enumere todos esos microestados.

2.11 (E) El logaritmo

Supongamos que una función diferenciable satisface

\[f(x y)=f(x)+f(y)\label{2.10}\]

para todos los positivos x e y. Demostrar que

\[f(x)=k \ln (x).\]

[Pistas: 1) Tomar derivada con respecto a\(x\), luego establecer\(x = 1. 2\)) Establecer\(y = 1\) en Ecuación\ ref {2.10}.]