6.5: Mecánica cuántica de partículas libres
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“Partícula en una caja”. Condiciones de contorno periódicas. k -espacio. En el límite termodinámico, los puntos en el espacio k se empaquetan densamente, y parece apropiado reemplazar sumas sobre niveles con integrales sobre volúmenes de k espacios. (De hecho, hay al menos una situación (ver ecuación 6.83) en la que esta sustitución no es correcta.)
Densidad de niveles en k -espacio:
\[ \frac{V}{8 \pi^{3}} \quad(\text { worth memorizing. })\]
Densidad energética de los niveles:
\[ \text { number of one-body levels with } \epsilon_{r} \text { from } \mathcal{E} \text { to } \mathcal{E}+d \mathcal{E} \equiv G(\mathcal{E}) d \mathcal{E}=V \frac{\sqrt{2} m^{3}}{2 \pi^{2} \hbar^{3}} \sqrt{\mathcal{E}} d \mathcal{E}\]
Cómo utilizar la densidad energética de los niveles:
\[ \sum_{r} f\left(\epsilon_{r}\right) \approx \int_{0}^{\infty} G(\mathcal{E}) f(\mathcal{E}) d \mathcal{E}\]
y esta aproximación (usualmente) se vuelve exacta en el límite termodinámico.
6.5.1 Problemas
6.14 Partículas libres en una caja
Argumentamos que, para una caja grande, las condiciones de límite periódicas darían los mismos resultados que las “condiciones de límite sujetas”. Demuéstralo encontrando la densidad de niveles para partículas tridimensionales en un problema de caja.
6.15 Densidad de niveles para partículas unidas
¿Cuál es la densidad de niveles\(G (\mathcal{E})\) para un oscilador armónico unidimensional con constante de resorte K? ¿Para un oscilador armónico isotrópico tridimensional?
6.16 Densidad de niveles en dimensiones d
¿Cuál es la densidad de niveles\(G (\mathcal{E})\) para partículas libres sujetas a condiciones de límite periódicas en un mundo de d dimensiones?