6.6: Fermi-Dirac Estadísticas

En tres dimensiones, el potencial químico µ disminuye con la temperatura. ¿Por qué? Es claro que a T = 0, µ =\(\mathcal{E}_F\) > 0. Pero a medida que sube la temperatura el gas se acerca al límite clásico, para el cual µ < 0 (ver problema 2.23). Esto no es prueba, pero tiene sentido que µ disminuya con el aumento de la temperatura. Una prueba está disponible pero sorprendentemente difícil.

6.6.1 Problemas

6.17 Origen cualitativo de\(\mathcal{E}_F\)

(Este problema es robado de una prueba GRE Physics.)

La energía cinética media de los electrones en los metales a temperatura ambiente suele ser muchas veces la energía térmica k _B T. ¿Cuál de las siguientes opciones se puede utilizar mejor para explicar este hecho?

a. La relación de incertidumbre tiempo-energía.

b. El principio de exclusión Pauli.

c. La degeneración de los niveles energéticos.

d. La aproximación Born.

e. La dualidad onda-partícula.

6.18 Gas Fermion en dos dimensiones

(Este problema se basa en uno en Ashcroft y Mermin, página 53.)

Considera un gas de\(\frac{1}{2}\) fermiones espín libres e independientes en dos dimensiones. El gas está contenido dentro de un área (o volumen bidimensional) de A.

a. ¿Cuál es la densidad de los niveles de una partícula en el espacio k?

b. ¿Cómo\(\mathcal{E}_F\) depende la energía Fermi de la densidad N/A?

c. Use\(\sum_r \langle n_r \rangle\) = N para mostrar que

\[ \mu+k_{B} T \ln \left(1+e^{-\mu / k B T}\right)=\mathcal{E}_{F}.\]

Observe que el potencial químico µ disminuye con la temperatura.

6.19 Dependencia del potencial químico sobre la temperatura

Mostrar que para fermiones independientes (no necesariamente libres), la curva µ (T) tiene pendiente (cuando N y V son constantes)

\[ \frac{d \mu}{d T}=-\frac{1}{T} \frac{\int_{0}^{\infty} G(\mathcal{E}) \operatorname{sech}^{2}(\beta(\mathcal{E}-\mu) / 2)(\mathcal{E}-\mu) d \mathcal{E}}{\int_{0}^{\infty} G(\mathcal{E}) \operatorname{sech}^{2}(\beta(\mathcal{E}-\mu) / 2) d \mathcal{E}}.\]

¿Se puede utilizar este resultado para demostrar que el potencial químico debe disminuir con la temperatura? No puedo.

6.20 Termodinámica del gas fermión

Considera una colección de spin-\( \frac{1}{2}\) fermiones libres e independientes. No asuma que la temperatura se desvanece.

a. Utilice el gran resultado canónico fundamental π = − k _B T ln para mostrar que

\[ p(T, \mu) V=k_{B} T \int_{0}^{\infty} G(\mathcal{E}) \ln \left(1+e^{\beta(\mu-\mathcal{E})}\right) d \mathcal{E}.\]

b. Utilice la expresión for\(G ( \mathcal{E})\) y el cambio de variable\(x = \beta \mathcal{E}\) para encontrar

\[ p(T, \mu)=\left(k_{B} T\right)^{5 / 2}\left[\frac{\sqrt{2 m^{3}}}{\pi^{2} \hbar^{3}}\right] \int_{0}^{\infty} \sqrt{x} \ln \left(1+e^{\beta \mu} e^{-x}\right) d x.\]

c. Integrar por partes para obtener

\[ p(T, \mu)=\frac{2}{3}\left(k_{B} T\right)^{5 / 2}\left[\frac{\sqrt{2 m^{3}}}{\pi^{2} \hbar^{3}}\right] \int_{0}^{\infty} \frac{x^{3 / 2}}{e^{x} e^{-\beta \mu}+1} d x\]

(No intente evaluar la integral que queda.)

d. en tanto, muestran que la energía total

\[ E(T, V, \mu)=\int_{0}^{\infty} G(\mathcal{E}) f(\mathcal{E}) \mathcal{E} d \mathcal{E}\]

está dado por

\[ E(T, V, \mu)=V\left(k_{B} T\right)^{5 / 2}\left[\frac{\sqrt{2 m^{3}}}{\pi^{2} \hbar^{3}}\right] \int_{0}^{\infty} \frac{x^{3 / 2}}{e^{x} e^{-\beta \mu}+1} d x\]

Así la presión y la energía están relacionadas por

\[ p V=\frac{2}{3} E,\]

¡que es exactamente la misma relación que tienen en el clásico gas ideal monatómico! (Ver problema 6.28.)

6.21 Presión a temperatura cero

Usa el resultado del problema anterior para demostrar que a cero absoluto la presión de un gas de espín-\( \frac{1}{2}\) fermiones libres e independientes no se desvanece (como lo hace para un gas ideal clásico). En cambio, la presión de temperatura cero es\ (\ frac {2} {5}\ rho\ mathcal {E} _ _ {F}).

6.22 Relación masa-radio para estrellas enanas blancas

(Este problema se modifica de Kittel y Kroemer, Física Térmica, segunda edición, página 216.)

Una estrella enana blanca (ver Kittel y Kroemer, pp. 196—198) consiste en hidrógeno altamente comprimido en el que los átomos se han ionizado en protones y electrones independientes. En la mayoría de los casos es un buen modelo asumir que los electrones son fermiones libres e independientes no relativistas a temperatura cero. Considera una enana blanca de masa M y radio R, que contiene N electrones.

a. mostrar eso a una muy buena aproximación, N = M/m _p, donde m _p es la masa de un protón.

b. mostrar que la energía potencial gravitacional de una esfera uniforme de masa M y radio R es − CgM ²/R, donde G es la constante gravitacional y c es una constante adimensional. (De hecho\(c= \frac{3}{5}\) pero esto es tedioso de mostrar.)

c. Demostrar que la energía cinética de los electrones es

\[ \mathrm{KE}=\frac{9}{20}\left(\frac{3 \pi^{2}}{2}\right)^{1 / 3} \frac{\hbar^{2}}{m_{e} m_{p}^{5 / 3}} \frac{M^{5 / 3}}{R^{2}}\]

donde m _e es la masa de un electrón.

d. Si las energías potenciales y cinéticas satisfacen

\[ \mathrm{KE}=-\frac{1}{2} \mathrm{PE},\]

como lo exige el teorema virial de la mecánica, muestran que

\[ R M^{1 / 3}=\text { a constant of approximate value } 10^{17} \mathrm{m} \mathrm{kg}^{1 / 3}.\]

Evaluar la constante asumiendo que\(c = \frac{3}{5}\). Tenga en cuenta que el radio disminuye a medida que aumenta la masa.

e. Si la enana blanca tiene la masa del sol (2 × 10 ³⁰ kg), ¿cuál es su radio (en km)? Compare esto con el radio de nuestro sol.

f. las estrellas de neutrones (observadas como púlsares) también son gases fermiónicos de temperatura cero, pero en este caso los fermiones son neutrones más que electrones. Derivar la relación masa-radio para una estrella de neutrones, y utilízala para encontrar el radio de una estrella de neutrones con la masa del sol.