3.2: Flujos de Fase en Mecánica Clásica

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Evolución hamiltoniana

La ecuación maestra nos proporciona una descripción semi-fenomenológica de la relajación al equilibrio de un sistema dinámico. Rompe explícitamente la simetría de inversión de tiempo. Sin embargo, las leyes microscópicas de la Naturaleza son (aproximadamente) simétricas de inversión en el tiempo. ¿Cómo puede llegar al equilibrio un sistema que obedece a las ecuaciones de movimiento de Hamilton?

Comencemos nuestra investigación revisando los fundamentos de la dinámica hamiltoniana. Recordemos el lagrangiano\(L=L(q,\Dq,t)=T-V\). Las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange para la acción\(S\big[q(t)\big]=\int\!dt\,L\) son

\[\Dp\ns_\sigma={d\over dt}\bigg({\pz L\over\pz \Dq\ns_\sigma}\bigg)={\pz L\over\pz q\ns_\sigma}\ ,\]

donde\(p\ns_\sigma\) es el momento canónico conjugado a la coordenada generalizada\(q\ns_\sigma\):

\[p\nd_\sigma={\pz L\over\pz\Dq_\sigma}\ .\]

El hamiltoniano,\(H(q,p)\) se obtiene por una transformación Legendre,

\[H(q,p)=\sum_{\sigma=1}^r p\nd_\sigma\,\Dq\nd_\sigma - L\ .\]

Tenga en cuenta que

\[\begin{split} dH&=\sum_{\sigma=1}^r\bigg(p\nd_\sigma\,d\Dq\nd_\sigma + \Dq\nd_\sigma\,dp\nd_\sigma -{\pz L\over \pz q_\sigma}\,dq\nd_\sigma -{\pz L\over\pz \Dq_\sigma}\,d\Dq\nd_\sigma\bigg)-{\pz L\over\pz t}\,dt\\\ &=\sum_{\sigma=1}^r\bigg(\Dq\nd_\sigma\,dp\nd_\sigma - {\pz L\over \pz q_\sigma}\,dq\nd_\sigma \bigg)-{\pz L\over \pz t}\,dt\ . \end{split}\]

Así, obtenemos las ecuaciones de movimiento de Hamilton,

\[{\pz H\over\pz p_\sigma} = \Dq\nd_\sigma \quad ,\quad {\pz H\over\pz q_\sigma}= -{\pz L\over\pz q_\sigma}=-\Dp\nd_\sigma\]

y

\[{dH\over dt} = {\pz H\over\pz t} = -{\pz L\over\pz t}\ .\]

Definir el\(2r\) vector de rango\(\Bvphi\) por sus componentes,

\[\varphi\nd_i=\begin{cases} q\nd_i & \hbox{if\ } 1\le i\le r\\ &\\ p\nd_{i-r} & \hbox{if\ } r\le i \le 2r\ . \end{cases}\]

Entonces podemos escribir las ecuaciones de Hamilton de forma compacta como

\[{\dot\varphi}_i=J_{ij}\,{\pz H\over\pz\varphi_j}\ ,\]

donde

\[J=\begin{pmatrix} 0\nd_{r\times r} & 1\nd_{r\times r} \\ -1\nd_{r\times r} & 0\nd_{r\times r} \end{pmatrix}\]

es una\(2r\) matriz de rango. Tenga en cuenta que\(J^\Rt=-J\),\(J\) es antisimétrico, y eso\(J^2=-1\nd_{2r\times 2r}\).

Los sistemas dinámicos y la evolución de los volúmenes de espacio de fase

Considerar un sistema dinámico general,

\[{d\Bvphi\over dt}=\BV(\Bvphi)\ ,\]

donde\(\Bvphi(t)\) es un punto en un espacio de fase\(n\) -dimensional. Considere ahora una región compacta ²\(\CR\ns_0\) en el espacio de fases, y considere su evolución bajo la dinámica. Es decir,\(\CR\ns_0\) consiste en un conjunto de puntos\(\big\{\Bvphi\,|\,\Bvphi\in\CR\ns_0\big\}\), y si consideramos cada uno\(\Bvphi\in\CR\ns_0\) como una condición inicial, podemos definir el conjunto dependiente del tiempo\(\CR(t)\) como el conjunto de puntos\(\Bvphi(t)\) que estaban en el\(\CR\ns_0\) momento\(t=0\):

\[\CR(t)=\big\{\Bvphi(t) \, \big| \, \Bvphi(0)\in\CR\ns_0\big\}\ .\]

Ahora considere el volumen\(\ROmega(t)\) del conjunto\(\CR(t)\). Tenemos

\[\ROmega(t)=\int\limits_{\CR(t)}\!\!\!d\mu\]

donde

\[d\mu=d\varphi\ns_1\,d\varphi\ns_2\,\cdots\, d\varphi\ns_n\ ,\]

para un espacio de fase\(n\) -dimensional. Entonces tenemos

\[\ROmega(t+dt)=\!\!\!\!\int\limits_{\CR(t+dt)}\!\!\!\!\!\!\!d\mu' = \!\int\limits_{\CR(t)}\!\!\!d\mu\,\bigg|{\pz\varphi\ns_i(t+dt)\over\pz\varphi\ns_j(t)} \bigg|\ ,\]

donde

\[\bigg|{\pz\varphi\ns_i(t+dt)\over\pz\varphi\ns_j(t)}\bigg|\equiv{\pz(\varphi'_1,\ldots,\varphi'_n)\over\pz(\varphi\ns_1,\ldots,\varphi\ns_n)}\]

es un determinante, que es el jacobeo de la transformación del conjunto de coordenadas\(\big\{\varphi\ns_i=\varphi\ns_i(t)\big\}\) a las coordenadas\(\big\{\varphi'_i=\varphi\ns_i(t+dt)\big\}\). Pero según la dinámica, tenemos

\[\varphi\ns_i(t+dt)=\varphi\ns_i(t)+V\ns_i\big(\Bvphi(t)\big)\,dt + \CO(dt^2)\]

y por lo tanto

\[{\pz\varphi\ns_i(t+dt)\over\pz\varphi\ns_j(t)}=\delta\ns_{ij} + {\pz V\ns_i\over\pz \varphi\ns_j}\,dt + \CO(dt^2)\ .\]

Ahora hacemos uso de la igualdad

\[\ln{det}\,M = \Tra \ln M\ ,\]

para cualquier matriz\(M\), lo que nos da ³, para pequeños\(\ve\),

\[{det}\,\big(1+\ve A\big)=\exp\Tra \ln\big(1+\ve A\big) = 1+\ve\,\Tra \!A + \half\,\ve^2\Big(\big(\Tra \!A\big)^2 - \Tra (A^2)\Big) + \ldots\]

Por lo tanto,

\[\ROmega(t+dt)=\ROmega(t)+\int\limits_{\CR(t)}\!\!\!d\mu\>\bnabla\!\cdot\!\BV\>dt + \CO(dt^2)\ ,\]

que dice

\[{d\ROmega\over dt}=\!\!\int\limits_{\CR(t)}\!\!\!\!d\mu\>\bnabla\!\cdot\!\BV=\!\!\!\!\!\int\limits_{\pz\CR(t)}\!\!\!\!\!dS\>\nhat\cdot\BV\]

Aquí, la divergencia es la divergencia del espacio de fase,

\[\bnabla\!\cdot\!\BV=\sum_{i=1}^n{\pz V\ns_i\over\pz \varphi\ns_i}\ ,\]

y hemos utilizado el teorema de divergencia para convertir la integral de volumen de la divergencia en una integral superficial de\(\nhat\cdot\BV\), donde\(\nhat\) es la superficie normal y\(dS\) es el elemento diferencial de área superficial, y\(\pz\CR\) denota el límite de la región\(\CR\). Vemos que si en\(\bnabla\!\cdot\!\BV=0\) todas partes en el espacio de fase, entonces\(\ROmega(t)\) es una constante, y los volúmenes del espacio de fase se conservan por la evolución del sistema.

Para una derivación alternativa, considere una función\(\vrh(\Bvphi,t)\) que se define como la densidad de algún conjunto de puntos en el espacio de fase en la posición del espacio de fase\(\Bvphi\) y el tiempo\(t\). Esto debe satisfacer la ecuación de continuidad,

\[{\pz\vrh\over\pz t} + \bnabla\!\cdot\!(\vrh\BV)=0\ .\]

A esto se le llama la ecuación de continuidad. Dice que 'nadie se perde'. Si lo integramos en una región de espacio de fase\(\CR\), tenemos

\[{d\over dt}\int\limits_\CR\!\!d\mu\,\vrh = -\int\limits_\CR\!\!d\mu\,\bnabla\!\cdot\!(\vrh\BV) = -\!\int\limits_{\pz\CR}\!\!dS\> \nhat\cdot(\vrh\BV)\ .\]

Quizás sea útil pensar en una densidad\(\vrh\) de carga, en cuyo caso\(\BJ=\vrh\BV\) es la densidad de corriente. La ecuación anterior dice entonces

\[{dQ\ns_\CR\over dt}=-\!\int\limits_{\pz\CR}\!\!dS\>\nhat\cdot\BJ\ ,\]

donde\(Q\ns_\CR\) está la carga total contenida dentro de la región\(\CR\). En otras palabras, la tasa de incremento o disminución de la carga dentro de la región\(\CR\) es igual a la corriente integrada total que fluye dentro o fuera de\(\CR\) su límite.

Figura Evolución\(\PageIndex{1}\): temporal de dos fluidos inmiscibles. La densidad local se mantiene constante.

La regla de Leibniz nos permite escribir la ecuación de continuidad como

\[{\pz\vrh\over\pz t} + \BV\ncdot\bnabla\!\vrh + \vrh\,\bnabla\!\cdot\!\BV=0\ .\]

Pero ahora supongamos que el flujo de fase no es divergente,\(\bnabla\!\cdot\!\BV=0\). Entonces tenemos

\[{D\vrh\over Dt}\equiv \bigg({\pz\over\pz t} + \BV\ncdot\bnabla\bigg)\vrh=0\ .\]

La combinación dentro de los paréntesis anteriores se conoce como la derivada convectiva. Nos dice la tasa total de cambio de\(\vrh\) para un observador que se mueve con el flujo de fase. Eso es

\[\begin{split} {d\over dt}\>\vrh\big(\Bvphi(t),t\big)&={\pz\vrh\over\pz\varphi\ns_i}\,{d\varphi\ns_i\over dt} + {\pz\vrh\over\pz t}\\ &=\sum_{i=1}^n V\ns_i\,{\pz\rho\over\pz \varphi\ns_i} +{\pz\vrh\over\pz t}= {D\vrh\over Dt}\ . \end{split}\]

Si\(D\vrh/Dt=0\), la densidad local permanece igual durante la evolución del sistema. Si consideramos la 'función característica'

\[\vrh(\Bvphi,t=0)=\begin{cases} 1 & {if}\ \Bvphi\in \CR\ns_0\\ 0 & {otherwise}\end{cases}\]

entonces la fuga de la derivada convectiva significa que la imagen del conjunto\(\CR\ns_0\) bajo evolución temporal siempre tendrá el mismo volumen.

La evolución hamiltoniana en la mecánica clásica es la conservación del volumen. Las ecuaciones de movimiento son

\[{\dot q}_i=+\,{\pz H\over\pz p_i}\qquad , \qquad {\dot p}_i=-\,{\pz H\over\pz q_i}\]

Un punto en el espacio de fase se especifica por\(r\) posiciones\(q\ns_i\) y\(r\) momentos\(p\ns_i\), de ahí que la dimensión del espacio de fase sea\(n=2r\):

\[\Bvphi=\begin{pmatrix} \Bq\\ \Bp \end{pmatrix} \qquad,\qquad \BV=\begin{pmatrix} {\dot\Bq} \\ {\dot\Bp} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \ \pz H/\pz\Bp \\ - \pz H / \pz\Bq \end{pmatrix}\ .\]

Las ecuaciones de movimiento de Hamilton garantizan que el flujo del espacio de fase no sea divergente:

\[\begin{split} \nabla\!\cdot\!\BV&=\sum_{i=1}^r \bigg\{{\pz {\dot q}_i\over\pz q_i} + {\pz {\dot p}_i\over\pz p_i}\bigg\}\\ &=\sum_{i=1}^r \Bigg\{{\pz\over\pz q_i} \bigg({\pz H\over \pz p_i}\bigg) + {\pz\over\pz p_i} \bigg(-{\pz H\over \pz q_i}\bigg)\Bigg\}=0\ . \end{split}\]

Así, tenemos que la derivada convectiva se desvanece, a saber.

\[{D\vrh\over Dt}\equiv {\pz\vrh\over\pz t} + \BV\!\cdot\!\nabla\!\vrh=0\ ,\]

para cualquier distribución\(\vrh(\Bvphi,t)\) en espacio de fase. Así, el valor de la densidad\(\vrh(\Bvphi(t),t)\) es constante, lo que nos dice que el flujo de fase es incompresible. En particular, se conservan los volúmenes de espacio de fase.

La ecuación de Liouville y la distribución microcanónica

Dejar\(\vrh(\Bvphi)=\vrh(\Bq,\Bp)\) ser una distribución en el espacio de fase. Asumiendo que la evolución es hamiltoniana, podemos escribir

\[{\pz\vrh\over\pz t}=-{\dot\Bvphi}\cdot\bnabla\!\vrh = - \sum_{k=1}^r\bigg({\dot q}\ns_k\,{\pz\over\pz q\ns_k} + {\dot p}\ns_k\,{\pz\over\pz p\ns_k}\bigg)\,\vrh=-i\HL\vrh\ ,\label{liouville}\]

donde\({\hat L}\) es un operador diferencial conocido como el liouvilliano:

\[\HL=-i\sum_{k=1}^r\Bigg\{{\pz H\over\pz p\ns_k}\,{\pz\over\pz q\ns_k}- {\pz H\over\pz q\ns_k}\,{\pz\over\pz p\ns_k}\Bigg\}\ .\]

La ecuación\ ref {liouville}, conocida como la ecuación de Liouville, tiene un parecido obvio con la ecuación de Schr ö dinger de la mecánica cuántica.

Supongamos que\(\Lambda\ns_a(\Bvphi)\) se conserva por la dinámica del sistema. Las cantidades conservadas típicas incluyen los componentes del momento lineal total (si hay invarianza traslacional), los componentes del momento angular total (si hay invarianza rotacional) y el propio hamiltoniano (si el lagrangiano no depende explícitamente del tiempo). Consideremos ahora una distribución\(\vrh(\Bvphi,t)=\vrh(\Lambda\ns_1,\Lambda\ns_2,\ldots,\Lambda\ns_k)\) que es una función únicamente de estas diversas cantidades conservadas. Entonces desde la regla de la cadena, tenemos

\[{\dot\Bvphi}\cdot\bnabla\!\vrh=\sum_a\,{\pz\vrh\over\pz\Lambda\ns_a}\>{\dot\Bvphi}\cdot\bnabla\!\Lambda\ns_a =0\ ,\]

ya que para cada uno\(a\) tenemos

\[{d\Lambda\ns_a\over dt}=\sum_{\sigma=1}^r\bigg({\pz \Lambda\ns_a\over\pz q\ns_\sigma} \>\Dq\ns_\sigma + {\pz \Lambda\ns_a\over\pz p\ns_\sigma} \> \Dp\ns_\sigma \bigg) ={\dot\Bvphi}\cdot\bnabla\!\Lambda\ns_a=0\ .\]

Concluimos que cualquier distribución\(\vrh(\Bvphi,t)=\vrh(\Lambda\ns_1,\Lambda\ns_2,\ldots,\Lambda\ns_k)\) que sea función únicamente de las cantidades dinámicas conservadas es una solución estacionaria a la ecuación de Liouville.

Claramente la distribución microcanónica,

\[\vrh\ns_E(\Bvphi)={\delta\big(E-H(\Bvphi)\big) \over D(E)}={\delta\big(E-H(\Bvphi)\big) \over \int\!\!d\mu\, \delta\big(E-H(\Bvphi)\big) }\ ,\]

es una solución de punto fijo de la ecuación de Liouville.