3.3: Irreversibilidad y recurrencia de Poincaré

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La dinámica de la ecuación maestra describe una aproximación al equilibrio. Estas dinámicas son irreversibles:\(d\SH/dt \le 0\), dónde\(\SH\) está la\(\SH\) función de Boltzmann. Sin embargo, las leyes microscópicas de la física son (casi) invariantes de inversión en el tiempo ⁴, entonces, ¿cómo podemos entender el surgimiento de la irreversibilidad? Además, cualquier dinámica determinista y conservadora de volumen en un espacio de fase finito exhibe el fenómeno de recurrencia Poincar é, lo que garantiza que las trayectorias del espacio de fase se acercan arbitrariamente a las periódicas si se espera lo suficiente.

Teorema de recurrencia de Poincar é

La prueba del teorema de la recurrencia es simple. \(\gtau\)Sea el 'mapeo\(\tau\) de avance' que evoluciona puntos en el espacio de fase de acuerdo con las ecuaciones de Hamilton. Supongamos que\(\gtau\) es invertible y que preserva el volumen, como es el caso del flujo hamiltoniano. Supongamos además que el volumen del espacio de fase es finito. Dado que la energía se conserva en el caso de los hamiltonianos independientes del tiempo, simplemente pedimos que el volumen del espacio de fase a la energía total fija\(E\) sea finito,

\[\int\!\!d\mu\,\delta\big(E-H(\Bq,\Bp)\big) < \infty\ ,\]

donde\(d\mu=d\Bq\,d\Bp\) está la medida de integración uniforme del espacio de fase.

En cualquier vecindario finito\(\CR\ns_0\) de espacio de fase existe un punto\(\Bvphi\nd_0\) que volverá a\(\CR\ns_0\) después de\(m\) aplicaciones de\(\gtau\), donde\(m\) es finito.

Figura Imágenes\(\PageIndex{1}\): sucesivas de un conjunto\(\CR_0\) bajo el mapeo\(\tau\) -advance\(g_\tau\), proyectadas sobre un plano de fase bidimensional. El teorema de recurrencia Poincar é garantiza que si el espacio de fase tiene volumen finito, y\(g_\tau\) es invertible y conserva el volumen, entonces para cualquier conjunto\(\CR_0\) existe un entero\(m\) tal que\(\CR_0\cap g_\tau^m\,\CR_0\ne\emptyset\).

Supongamos que el teorema falla; mostraremos que esta suposición resulta en una contradicción. Considera el conjunto\(\RUps\) formado a partir de la unión de todos los conjuntos\(\gtau^k\,\CR\) para todos\(m\):

\[\RUps=\bigcup_{k=0}^\infty \gtau^k\,\CR\ns_0\]

Suponemos que el conjunto\(\{\gtau^k\,\CR\ns_0\, | \, k\!\in \MN\}\) es disconjunto ⁵. El volumen de una unión de conjuntos disjuntos es la suma de los volúmenes individuales. Por lo tanto,

\[\begin{split} {vol}(\RUps)&=\sum_{k=0}^\infty{vol}\big(\gtau^k\,\CR\ns_0\big)\\ &={vol}(\CR\ns_0)\cdot\sum_{k=0}^\infty 1 = \infty\ , \end{split}\]

ya que\({vol}\big(\gtau^k\,\CR\ns_0\big)={vol}\big(\CR\ns_0\big)\) desde la preservación del volumen. Pero claramente\(\RUps\) es un subconjunto de todo el espacio de fase, de ahí que tengamos una contradicción, porque por suposición el espacio de fase es de volumen finito.

Así, falla la suposición de que el conjunto\(\{\gtau^k\,\CR\ns_0\, | \, k\!\in\! \MZ\ns_+\}\) es disjunta. Esto quiere decir que existe algún par de enteros\(k\) y\(l\), con\(k\ne l\), tal que\(\gtau^k\,\CR\ns_0\cap \gtau^l\,\CR\ns_0\ne\emptyset\). Sin pérdida de generalidad podemos asumir\(k<l\). Aplicar los\(k\) tiempos inversos\(\gtau^{-1}\) a esta relación para obtener\(\gtau^{l-k}\,\CR\ns_0\cap \CR\ns_0\ne\emptyset\). Ahora elige cualquier punto\(\Bvphi\ns_1\in\gtau^m\,\CR\ns_0\cap \CR\ns_0\), dónde\(m=l-k\), y defina\(\Bvphi\nd_0=\gtau^{-m}\Bvphi\ns_1\). Entonces por la construcción tanto\(\Bvphi\nd_0\) y\(\gtau^m\,\Bvphi\nd_0\) se encuentran dentro\(\CR\ns_0\) y se prueba el teorema.

La recurrencia poincar é tiene implicaciones notables. Considera una botella de perfume que se abre en una habitación de otra manera evacuada, como se representa en la Figura\(\PageIndex{2}\). Las moléculas de perfume evolucionan según la evolución hamiltoniana. Las posiciones están delimitadas porque el espacio físico es finito. Los momentos están acotados porque se conserva la energía total, de ahí que ninguna partícula pueda tener un impulso tal que\(T(\Bp)>E\ns_{\ssr{TOT}}\), donde\(T(\Bp)\) está la función de energía cinética de partícula única ⁶. Por lo tanto, el espacio de fase, por grande que sea, todavía está limitado. La evolución hamiltoniana, como hemos visto, es invertible y conserva el volumen, por lo que el sistema es recurrente. Todas las moléculas deben eventualmente regresar a la botella. Además, ¡todos deben regresar con momenta arbitrariamente cerca de su momento inicial! ⁷ En este caso, podríamos definir la región\(\CR\ns_0\) como

\[\CR\ns_0=\big\{ (q\ns_1,\ldots,q\ns_r,p\ns_1,\ldots,p\ns_r)\ \big|\ |q\ns_i-q^0_i| \le\RDelta q \ {and}\ |p\ns_j-p^0_j| \le\RDelta p\ \forall\ i,j\big\}\ ,\]

que especifica un hipercubo en el espacio de fase centrado alrededor del punto\((\Bq^0,\Bp^0)\).

Figura\(\PageIndex{2}\): Poincar é recurrencia garantiza que si retiramos la tapa de una botella de perfume en una habitación de otra manera evacuada, ¡todas las moléculas de perfume eventualmente volverán a la botella! (Aquí\(\SH\) está la constante del Hubble.)

Cada uno de los tres supuestos centrales —el espacio de fase finito, la invertibilidad y la preservación del volumen— es crucial. Si alguno de estos supuestos no se sostiene, la prueba falla. Obviamente, si el espacio de fase es infinito, el flujo no necesita ser recurrente ya que puede seguir moviéndose en una dirección particular. Considera a continuación un mapa que preserva el volumen que no sea invertible. Un ejemplo podría ser un mapeo\(f\colon\MR\to\MR\) que lleva cualquier número real a su parte fraccionaria. Así,\(f(\pi)=0.14159265\ldots\). Restringuemos nuestra atención a intervalos de ancho menor que la unidad. Claramente\(f\) es entonces la conservación del volumen. La acción de\(f\) sobre el intervalo\([2,3)\) es mapearlo al intervalo\([0,1)\). Pero\([0,1)\) permanece fijo bajo la acción de\(f\), por lo que ningún punto dentro del intervalo\([2,3)\) volverá jamás bajo repetidas iteraciones de\(f\). Por lo tanto,\(f\) no presenta recurrencia Poincar é.

Consideremos a continuación el caso del oscilador armónico amortiguado. En este caso, los volúmenes de espacio de fase se contraen. Para un oscilador unidimensional obedeciendo\({\ddot x} + 2\beta{\dot x} + \Omega_0^2\, x=0\) uno tiene\(\nabla\!\cdot\!\BV=-2\beta<0\), ya que\(\beta>0\) para amortiguación física. Así la derivada convectiva es la\(D_t\vrh=-(\nabla\!\cdot \!\BV)\vrh=2\beta\vrh\) que dice que la densidad aumenta exponencialmente en el marco comoving, como\(\vrh(t)=e^{2\beta t}\, \vrh(0)\). Así, los volúmenes de espacio de fase colapsan:\(\ROmega(t)=e^{-2\beta 2}\,\ROmega(0)\), y no son preservados por la dinámica. Por lo tanto, la prueba de recurrencia falla. En este caso, es posible que el conjunto\(\RUps\) sea de volumen finito, aunque sea la unión de un número infinito de conjuntos\(\gtau^k\,\CR\ns_0\), debido a que los volúmenes de estos conjuntos de componentes disminuyen exponencialmente, como\({vol}(\gtau^n\,\CR\ns_0)=e^{-2n\beta\tau}\, {vol}(\CR\ns_0)\). Un péndulo amortiguado, liberado del reposo en algún ángulo pequeño\(\theta\nd_0\), no regresará arbitrariamente cerca de estas condiciones iniciales.

Modelo de anillo Kac

Las implicaciones del teorema de recurrencia de Poincar é son sorprendentes, incluso impactantes. Si uno toma una botella de perfume en una habitación sellada y evacuada y la abre, las moléculas de perfume se difundirán por toda la habitación. El teorema de la recurrencia garantiza que después de algún tiempo finito\(T\) todas las moléculas volverán al interior de la botella (y también se acercarán arbitrariamente a sus velocidades iniciales). El problema es que esto podría llevar mucho tiempo, mucho más largo que la edad del Universo.

En escalas de tiempo menos absurdas, sabemos que la mayoría de los sistemas llegan al equilibrio termodinámico. Pero, ¿cómo puede un sistema exhibir equilibrio y recurrencia de Poincar é? ¡Los dos conceptos parecen totalmente incompatibles!

Un modelo maravillosamente simple debido a Kac muestra cómo un sistema recurrente puede exhibir el fenómeno de equilibrio. Considera un anillo con\(N\) sitios. En cada sitio, coloque un 'giro' que puede estar en uno de dos estados: arriba o abajo. A lo largo de los\(N\) eslabones del sistema,\(F\) de ellos contienen 'flippers'. La configuración de las aletas se establece al principio y nunca cambia. La dinámica del sistema es la siguiente: durante cada paso de tiempo, cada giro se mueve en sentido horario una distancia de un espaciado de celosía. Los giros que pasan a través de aletas invierten su orientación: arriba se convierte en abajo, y abajo se vuelve hacia arriba.

Figura\(\PageIndex{3}\): Izquierda: Una configuración del anillo Kac con\(N=16\) sitios y\(F=4\) aletas. Las aletas, que viven en los eslabones, están representadas por puntos azules. Derecha: El sistema de anillo después de un paso de tiempo. La evolución procede por rotación en sentido horario. Los giros que pasan a través de las aletas se voltean.

El 'espacio de fase' para este sistema consiste en configuraciones\(2^N\) discretas. Dado que cada configuración se mapea en una imagen única bajo la evolución del sistema, se conserva el 'volumen' del espacio de fase. La evolución es invertible; la inversa se obtiene simplemente girando los giros en sentido antihorario. La figura \(\PageIndex{3}\)representa una configuración de ejemplo para el sistema, y su primera iteración bajo la dinámica.

Figura\(\PageIndex{4}\): Tres simulaciones del modelo de anillo Kac con\(N=2500\) sitios y tres concentraciones diferentes de aletas. La línea roja muestra la magnetización en función del tiempo, partiendo de una configuración inicial en la que el 100% de los giros están arriba. La línea azul muestra la predicción del Stosszahlansatz, que produce una magnetización exponencialmente en descomposición con constante de tiempo\(\tau\).

Supongamos que las aletas no estaban fijas, sino que se movían al azar. En este caso, podríamos enfocarnos en un solo giro y determinar su configuración probabilísticamente. \(p_n\)Sea la probabilidad de que un giro dado esté en la configuración up en el momento\(n\). La probabilidad de que esté arriba en el momento\((n+1)\) es entonces

\[p_{n+1}=(1-x)\,p_n + x\,(1-p_n)\ ,\label{stoss}\]

donde\(x=F/N\) está la fracción de aletas en el sistema. En palabras: un giro estará arriba en el momento\((n+1)\) si estaba arriba en el momento\(n\) y no pasó por una aleta, o si estaba abajo en el momento\(n\) y sí pasó por una aleta. Si las ubicaciones de las aletas son aleatorias en cada paso de tiempo, entonces la probabilidad de voltear es simplemente\(x=F/N\). La ecuación\ ref {stoss} se puede resolver inmediatamente:

\[p_n=\half+(1-2x)^n\,(p_0-\half)\ ,\]

que decae exponencialmente al valor de equilibrio de\(p\nd_{eq}=\half\) con escala de tiempo

\[\tau(x)=-{1\over \ln|1-2x|}\ .\]

Nos identificamos\(\tau(x)\) como el tiempo de relajación microscópica a lo largo del cual se establece el equilibrio local. Si definimos la magnetización\(m\equiv (N\nd_\uar-N\nd_\dar)/N\), entonces\(m=2p-1\), así\(m_n=(1-2x)^n\,m_0\). La magnetización de equilibrio es\(m\nd_{eq}=0\). Tenga en cuenta\(\half < x < 1\) que para eso la magnetización invierte signo cada paso de tiempo, así como disminuyendo exponencialmente en magnitud.

Figura\(\PageIndex{5}\): Simulaciones del modelo de anillo Kac. Arriba:\(N=2500\) sitios con\(F=201\) aletas. Después de\(2500\) las iteraciones, cada giro ha volteado un número impar de veces, por lo que el tiempo de recurrencia es\(2N\). Medio:\(N=2500\) con\(F=2400\), resultando en una inversión casi completa de la población con cada iteración. Abajo:\(N=25000\) con\(N=1000\), mostrando un largo tiempo de equilibrio y dramático resurgimiento de la población de espín.

La suposición que lleva a la ecuación\ ref {stoss} se llama Stossahlansatz ⁸, una larga palabra alemana que significa, aproximadamente, 'suposición sobre el conteo de hits'. Las dinámicas resultantes son irreversibles: la magnetización decae inexorablemente a cero. Sin embargo, el modelo de anillo Kac es puramente determinista, y el Stosszahlansatz puede en el mejor de los casos ser una aproximación a la verdadera dinámica. Claramente el Stosszahlansatz no da cuenta de correlaciones como las siguientes: si el giro\(i\) se voltea en el momento\(n\), entonces el giro\(i+1\) se habrá volteado en el momento\(n-1\). Además si el giro\(i\) se voltea a la vez\(n\), entonces también se volteará a la vez\(n+N\). En efecto, dado que la dinámica del modelo de anillo Kac es invertible y conserva el volumen, debe exhibir recurrencia Poincar é. Esto lo vemos más vívidamente en Figuras\(\PageIndex{4}\) y\(\PageIndex{5}\).

El modelo es trivial de simular. Los resultados de dicha simulación se muestran en la Figura\(\PageIndex{4}\) para un anillo de\(N=1000\) sitios, con\(F=24\) aletas\(F=100\) y aletas. Observe cómo la magnetización decae y fluctúa sobre el valor de equilibrio\(m\nd_{eq}=0\), pero que después de\(N\) las iteraciones\(m\) recupera su valor inicial:\(m\nd_N=m\nd_0\). El tiempo de recurrencia para este sistema es simplemente\(N\) si\(F\) es par, y\(2N\) si\(F\) es impar, ya que cada giro entonces habrá volteado un número par de veces.

En la Figura\(\PageIndex{5}\) trazamos otras dos simulaciones. El panel superior muestra lo que sucede cuando\(x>\half\), de manera que la magnetización quiere revertir su signo con cada iteración. El panel inferior muestra una simulación para un anillo más grande, con\(N=25000\) sitios. Tenga en cuenta que las fluctuaciones en\(m\) aproximadamente el equilibrio son menores que en los casos con\(N=1000\) sitios. ¿Por qué?