3.5: Termalización de sistemas cuánticos

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Desfase cuántica

La termalización de los sistemas cuánticos es fundamentalmente diferente de la de los sistemas clásicos. Mientras que la evolución del tiempo en la mecánica clásica es en general un sistema dinámico no lineal, la ecuación de Schr ö dinger para la evolución del tiempo en la mecánica cuántica es lineal:

\[i\hbar{\pz\RPsi\over\pz t}=\HH \RPsi\ ,\]

donde\(\HH\) es un hamiltoniano de muchos cuerpos. En la mecánica clásica, el estado térmico se construye por la evolución del tiempo — este es el contenido del teorema ergódico. En la mecánica cuántica, como veremos, la distribución térmica debe ser codificada en los propios estados propios.

Supongamos una condición inicial en\(t=0\),

\[\tket{\RPsi(0)}=\sum_\alpha C\ns_\alpha\,\tket{\RPsi\ns_\alpha}\ ,\]

donde\(\big\{\sket{\RPsi\ns_\alpha}\big\}\) es una base propia ortonormal para\(\HH\) satisfacer\(\HH\,\tket{\RPsi\ns_\alpha}=E\ns_\alpha\,\tket{\RPsi\ns_\alpha}\). Los coeficientes de expansión satisfacen\(C\ns_\alpha=\tbraket{\RPsi\ns_\alpha}{\RPsi(0)}\) y\(\sum_\alpha |C\ns_\alpha|^2=1\). La normalización requiere

\[\sbraket{\RPsi(0)}{\RPsi(0)}=\sum_\alpha |C\ns_\alpha|^2=1 \ .\]

La evolución temporal de\(\tket{\RPsi}\) la viene dada por

\[\tket{\RPsi(t)}=\sum_\alpha C\ns_\alpha\,e^{-iE\ns_\alpha t/\hbar}\,\tket{\RPsi\ns_\alpha}\ .\]

La energía se distribuye de acuerdo con la función independiente del tiempo

\[P(E)=\sexpect{\RPsi(t)}{\delta(E-\HH)}{\RPsi(t)}=\sum_\alpha |C\ns_\alpha|^2\,\delta(E-E\ns_\alpha)\ .\]

Así, la energía promedio es independiente del tiempo y viene dada por

\[\langle E \rangle = \sexpect{\RPsi(t)}{\HH}{\RPsi(t)}=\int\limits_{-\infty}^\infty \!\!dE\>P(E)\,E = \sum_\alpha |C\ns_\alpha|^2\,E\ns_\alpha\ .\]

La raíz de las fluctuaciones cuadráticas medias de la energía viene dada por

\[(\RDelta E)\ns_{rms}=\Big\langle \big(E - \langle E \rangle \big)^{\!2} \Big\rangle^{\!1/2} =\sqrt{\sum_\alpha |C\ns_\alpha|^2\,E_\alpha^2 - \Big(\sum_\alpha |C\ns_\alpha|^2 \,E\ns_\alpha\Big)^2}\ .\]

Por lo general asumimos que la distribución\(P(E)\) se acerca a su punto máximo estrecho\(\langle E \rangle\), de tal manera que\((\RDelta E )\ns_{rms} \ll E-E\ns_0\), dónde\(E\ns_0\) está la energía del estado fundamental. Tenga en cuenta que\(P(E)=0\) para\(E<E\ns_0\), el espectro propio de\(\HH\) está delimitado desde abajo.

Consideremos ahora un cuántico general observable descrito por un operador\(\CA\). Tenemos

\[\langle \CA(t) \rangle = \sexpect{\RPsi(t)}{\CA}{\RPsi(t)}=\sum_{\alpha,\beta} C^*_\alpha\,C\ns_\beta\,e^{i(E\ns_\alpha-E\ns_\beta)t/\hbar}\, \CA\ns_{\alpha\beta}\ ,\]

donde\(\CA\ns_{\alpha\beta}=\texpect{\RPsi\ns_\alpha}{\CA}{\RPsi\ns_\beta}\). En el límite de los tiempos grandes, tenemos

\[\langle \CA \rangle\ns_t \equiv \lim_{T\to\infty} {1\over T} \int\limits_0^T\!\!dt\>\langle \CA(t) \rangle = \sum_\alpha |C\ns_\alpha|^2\,\CA\ns_{\alpha\alpha}\ .\]

Obsérvese que esto implica que toda la coherencia entre diferentes autoestados se pierde en el límite de tiempo largo, debido a la desfase.

Hipótesis de termalización de estado propio

Las ideas esenciales detrás de la hipótesis de termalización del estado propio (ETH) fueron descritas independientemente por J. Deutsch (1991) y por M. Srednicki (1994). El argumento va de la siguiente manera. Si la energía total es la única cantidad conservada, y si\(\CA\) es un operador local, traslacionalmente invariante, de pocos cuerpos, entonces el promedio de tiempo\(\langle \CA \rangle\) viene dado por su valor microcanónico,

\[\langle \CA \rangle\ns_t = \sum_\alpha |C\ns_\alpha|^2 \,\CA\ns_{\alpha\alpha}={\sum_\alpha \CA\ns_{\alpha\alpha} \, \RTheta(E\ns_\alpha \in I) \over \sum_\alpha \RTheta(E\ns_\alpha \in I)} \equiv \langle \CA\rangle\ns_E ,\]

donde\(I=\big[E,E+\RDelta E\big]\) es un intervalo de energía de ancho\(\RDelta E\). Entonces, una vez más, los promedios de tiempo son promedios microcanónicos.

Pero, ¿cómo es que este es el caso? La hipótesis de Deutsch y de Srednicki es que la termalización en sistemas cuánticos aislados y acotados ocurre a nivel de autoestados individuales. Es decir, para todos los autoestados\(\tket{\RPsi\ns_\alpha}\) con\(E\ns_\alpha\in I\), uno tiene

\[\CA\ns_{\alpha\alpha}=\langle \CA \rangle\ns_{E\ns_\alpha}\ .\]

Esto significa que la información térmica se codifica en cada estado propio. A esto se le llama la hipótesis de termalización de estado propio (ETH).

Una versión equivalente del ETH es el siguiente escenario. Supongamos que tenemos un sistema cuántico infinito o extremadamente grande\(U\) (el 'universo') fijado en un autoestado\(\tket{\RPsi\ns_\alpha}\). Después formar el operador de proyección\(P\ns_\alpha=\tket{\RPsi\ns_\alpha}\tbra{\RPsi\ns_\alpha}\). Los operadores de proyección satisfacen\(P^2=P\) y su espectro propio consiste en un valor propio\(1\) y el resto de los valores propios son cero ¹¹. Ahora considere una partición de\(U=W\cup S\), donde\(W\gg S\). Imaginamos\(S\) ser el 'sistema' y\(W\) el 'mundo'. Siempre podemos descomponer el estado\(\tket{\RPsi\ns_\alpha}\) en una base completa de producto para\(W\) y\(S\), a saber.

\[\tket{\RPsi\ns_\alpha}=\sum_{p=1}^{N\ns_W}\sum_{j=1}^{N\ns_S} \CQ^\alpha_{pj}\,\tket{\psi^W_p}\otimes\tket{\psi^S_j}\ .\]

Aquí\(N\ns_{W/S}\) está el tamaño de la base para\(W/S\). La matriz de densidad reducida para\(S\) se define como

\[\rho\ns_S=\mathop{\Tra}_W P\ns_\alpha = \sum_{j,j'=1}^{N\ns_S} \! \Bigg(\sum_{p=1}^{N\ns_W} \CQ^\alpha_{pj}\,\CQ^{\alpha *}_{pj'}\Bigg) \> \tket{\psi^S_j}\tbra{\psi^S_{j'}}\ .\]

La afirmación es que se\(\rho\ns_S\) aproxima a una matriz de densidad térmica sobre\(S\),

\[\rho\ns_S\approx {1\over Z\ns_S}\,e^{-\beta \HH\ns_S}\ , \label{rhosG}\]

donde\(\HH\ns_S\) está algo hamiltoniano encendido\(S\), y\(Z\ns_S=\Tra e^{-\beta \HH\ns_S}\), de modo que\(\Tra\rho\ns_S=1\) y\(\rho\ns_S\) se normaliza correctamente. Quedan por aclarar una serie de cuestiones:

• ¿Qué queremos decir con “aproximaciones”?
• ¿Qué queremos decir con\(\HH\ns_S\)?
• ¿Qué queremos decir con la temperatura\(T\)?

Abordamos estos en orden inverso. La temperatura\(T\) de un estado propio\(\tket{\RPsi\ns_\alpha}\) de un hamiltoniano\(\HH\) se define ajustando su densidad de energía\(E\ns_\alpha/V\ns_U\) a la densidad de energía térmica,

\[{E\ns_\alpha\over V} = {1\over V}\,{\Tra \HH\,e^{-\beta \HH}\over \Tra e^{-\beta \HH}}\quad.\]

Aquí,\(\HH=\HH\ns_U\) está el completo hamiltoniano del universo\(U=W\cup S\). Nuestra intuición es que\(\HH\ns_S\) debe reflejar una restricción del hamiltoniano original\(\HH\ns_U\) al sistema\(S\). ¿Qué se debe hacer, sin embargo, sobre las partes de interfaz de\(\HH\ns_U\) qué enlace\(S\) y\(W\)? Para los hamiltonianos de celosía, podemos simplemente pero algo arbitrariamente cortar todos los enlaces acoplando\(S\) y\(W\). Pero podríamos imaginar fácilmente alguna otra prescripción, como reducir a la mitad la fuerza del acoplamiento a lo largo de todos esos enlaces de interfaz. En efecto, la definición de\(H\ns_S\) es algo arbitraria. Sin embargo, siempre y cuando utilicemos\(\rho\ns_S\) para calcular promedios de operadores locales que se encuentran lo suficientemente lejos del límite de\(S\), los detalles precisos de cómo truncamos\(\HH\ns_U\) a no\(\HH\ns_S\) son importantes. Esto nos lleva a la primera cuestión: la aproximación de\(\rho\ns_S\) por su forma Gibbs en la Ecuación\ ref {RhoSG} sólo es válida cuando consideramos promedios de operadores locales que se encuentran dentro de la mayor parte de\(S\). Esto significa que solo debemos examinar a los operadores cuyo soporte esté confinado a regiones mayores que a cierta\(\xi\ns_T\) distancia\(\pz S\), donde\(\xi\ns_T\) hay una longitud de correlación térmica. Esto, a su vez, requiere que\(L\ns_S\gg\xi\ns_T\), la región\(S\) sea muy grande en la escala de\(\xi\ns_T\). ¿Cómo definimos\(\xi\ns_T\)? Para un modelo como el modelo Ising, se puede tomar como la longitud de correlación habitual obtenida a partir de la función de correlación espín-espín\(\langle \sigma_\Br\,\sigma\ns_{\Br'}\rangle\ns_T\). De manera más general, podemos elegir la mayor longitud de correlación entre los correlacionadores de todos los operadores locales independientes de nuestro sistema. Nuevamente, el requisito es que\(\exp(-d\ns_\pz(\Br)/\xi\ns_T)\ll 1\), donde\(d\ns_\pz(\Br)\) está la distancia más corta desde la ubicación de nuestro operador local\(\CO\ns_\Br\) hasta el límite de\(S\). En la criticidad, lo exponencial es sustituido por una ley de poder\((d\ns_\pz(\Br)/\xi\ns_T)^{-p}\), donde\(p\) es un exponente crítico. Otra suposición implícita aquí es esa\(V\ns_S \ll V\ns_W\).

¿Cuándo es verdad la ETH?

No hay pruebas rigurosas de la ETH. Deutsch demostró que la ETH sostiene para el caso de un hamiltoniano integrable débilmente perturbado por una sola matriz aleatoria gaussiana. Horoi (1995) demostró que las funciones de onda del modelo de concha nuclear reproducen predicciones termodinámicas. El reciente trabajo numérico de M. Rigol y colaboradores ha verificado la aplicabilidad de la ETH en pequeños sistemas de bosones interactuantes. ETH falla para los llamados modelos integrables, donde hay una gran cantidad de cantidades conservadas, que conmutan con los hamiltonianos. Los modelos integrables son, sin embargo, bastante especiales, y como demostró Deutsch, la integrabilidad se ve estropeada por débiles perturbaciones, en cuyo caso luego se aplica ETH.

ETH también falla en el caso de sistemas desordenados que no interactúan que exhiben localización de Anderson. Los propios estados de energía de partículas individuales\(\psi\ns_j\) cuyas energías\(\ve\ns_j\) la porción localizada del espectro propio se desintegran exponencialmente, como\(|\psi\ns_j(\Br)|^2\sim\exp\big(-|\Br-\Br\ns_j|/\xi(\ve\ns_j)\big)\), donde\(\Br\ns_j\) hay alguna posición en el espacio asociada con\(\psi\ns_j\) y\(\xi(\ve\ns_j)\) es la longitud de localización. Dentro de la porción localizada del espectro,\(\xi(\ve)\) es finito. A medida que\(\ve\) se acerca a una ventaja de movilidad,\(\xi(\ve)\) diverge como ley de poder. En el régimen deslocalizado, los autoestados se extienden espacialmente y típicamente decaen en el peor de los casos como una ley de poder ¹². Los estados localizados exponencialmente no pueden termalizarse con otros estados localizados removidos a distancia. Por supuesto, todos los sistemas que no interactúen violarán ETH, porque son integrables. La versión interactuante de este fenómeno, la localización de muchos cuerpos (MBL), es un tema de intenso interés actual en la materia condensada y la física estadística. Los sistemas MBL también exhiben un gran número de cantidades conservadas, pero en contraste con el caso de los sistemas integrables, donde cada cantidad conservada se expresa en general en términos de una integral de una densidad local, en los sistemas MBL las cantidades conservadas son en sí mismas locales, aunque emergente. La naturaleza emergente de las cantidades conservadas localmente en los sistemas MBL significa que no se expresan simplemente en términos de los operadores locales originales del sistema, sino que se llega a través de una secuencia de transformaciones unitarias locales.

Obsérvese nuevamente que en contraste con el caso clásico, la evolución temporal de un estado cuántico no crea el estado térmico. Más bien, revela la distribución térmica que se codifica en todos los autoestados después de tiempo suficiente para que se produzca la desfase, de modo que se pierden todas las correlaciones entre todos los coeficientes de expansión\(\{C\ns_\alpha\}\) de\(\alpha\ne\alpha'\) función de onda.