4.6: Conjuntos Estadísticos de Entropía Máxima
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El principio básico: maximizar la entropía,
\[S=-\kB\sum_n P\ns_n\ln P\ns_n\ .\]
\(\mu\)CE
Maximizamos\(S\) sujeto a la restricción única
\[C=\sum_n P\ns_n-1=0\ .\]
Implementamos la restricción\(C=0\) con un multiplicador Lagrange,\({\bar\lambda}\equiv\kB\,\lambda\), escribiendo
\[S^*=S-\kB\,\lambda\,C\ ,\]
y extremizando libremente sobre la distribución\(\{P\ns_n\}\) y el multiplicador de Lagrange\(\lambda\). Por lo tanto,
\[\begin{aligned} \delta S^*&=\delta S - \kB \lambda\,\delta C- \kB\,C\,\delta\lambda\nonumber\\ &=-\kB\sum_n\Big[\ln P\ns_n + 1 + \lambda\Big]\delta P\ns_n-\kB\,C\,\delta\lambda\equiv 0\ .\end{aligned}\]
Concluimos que\(C=0\) y que
\[\ln P\ns_n=-\big(1+\lambda\big)\ ,\]
y arreglamos\(\lambda\) por la condición de normalización\(\sum_n P\ns_n=1\). Esto da
\[P\ns_n={1\over \ROmega}\qquad,\qquad\ROmega=\sum_n\RTheta(E+\RDelta E-E\ns_n)\,\RTheta(E\ns_n-E)\ .\]
Tenga en cuenta que\(\ROmega\) es el número de estados con energías entre\(E\) y\(E+\RDelta E\).
OCE
Maximizamos\(S\) sujeto a las dos restricciones
\[C\ns_1=\sum_n P\ns_n-1=0\qquad,\qquad C\ns_2=\sum_n E\ns_n\,P\ns_n - E=0\ .\]
Ahora tenemos dos multiplicadores Lagrange. Escribimos
\[S^*= S-\kB\sum_{j=1}^2\lambda\ns_j\,C\ns_j\ ,\]
y extremizamos libremente sobre\(\{P\ns_n\}\) y\(\{C\ns_j\}\). Por lo tanto, tenemos
\[\begin{split} \delta S^*&=\delta S - \kB\sum_n \big(\lambda\ns_1 + \lambda\ns_2\,E\ns_n\big)\,\delta P\ns_n -\kB\sum_{j=1}^2 C\ns_j\,\delta\lambda\ns_j\\ &=-\kB\sum_n\Big[\ln P\ns_n + 1 + \lambda\ns_1 + \lambda\ns_2\,E\ns_n\Big]\delta P\ns_n-\kB\sum_{j=1}^2 C\ns_j\,\delta\lambda\ns_j\equiv 0\ . \end{split}\]
Así,\(C\ns_1=C\ns_2=0\) y
\[\ln P\ns_n=-\big(1+\lambda\ns_1+\lambda\ns_2\,E\ns_n\big)\ .\]
Definimos\(\lambda\ns_2\equiv\beta\) y arreglamos\(\lambda\ns_1\) por normalización. Esto rinde
\[P\ns_n={1\over Z}\,e^{-\beta E\ns_n}\qquad,\qquad Z=\sum_n e^{-\beta E\ns_n}\ .\]
GCE
Maximizamos\(S\) sujeto a las tres restricciones
\[C\ns_1=\sum_n P\ns_n-1=0\quad,\quad C\ns_2=\sum_n E\ns_n\,P\ns_n -E=0\quad,\quad C\ns_3=\sum_n N\ns_n\,P\ns_n - N=0\ .\]
Ahora tenemos tres multiplicadores Lagrange. Escribimos
\[S^*=S-\kB\sum_{j=1}^3 \lambda\ns_j\,C\ns_j\ ,\]
y por lo tanto
\[\begin{split} \delta S^*&=\delta S - \kB\sum_n \big(\lambda\ns_1 + \lambda\ns_2\,E\ns_n + \lambda\ns_3\,N\ns_n\big)\,\delta P\ns_n -\kB\sum_{j=1}^3 C\ns_j\,\delta\lambda\ns_j\\ &=-\kB\sum_n\Big[\ln P\ns_n + 1 + \lambda\ns_1 + \lambda\ns_2\,E\ns_n+ \lambda\ns_3\,N\ns_n\Big]\delta P\ns_n -\kB\sum_{j=1}^3 C\ns_j\,\delta\lambda\ns_j\equiv 0\ . \end{split}\]
Así,\(C\ns_1=C\ns_2=C\ns_3=0\) y
\[\ln P\ns_n=-\big(1+\lambda\ns_1+\lambda\ns_2\,E\ns_n+\lambda\ns_3\,N\ns_n\big)\ .\]
Definimos\(\lambda\ns_2\equiv \beta\) y\(\lambda\ns_3\equiv-\beta\mu\), y arreglamos\(\lambda\ns_1\) por normalización. Esto rinde
\[P\ns_n={1\over \Xi}\,e^{-\beta (E\ns_n-\mu N\ns_n)}\qquad,\qquad \Xi=\sum_n e^{-\beta (E\ns_n-\mu N\ns_n)}\ .\]