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# 4.6: Conjuntos Estadísticos de Entropía Máxima

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$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

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$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

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$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

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Template:MathJaxArovas

El principio básico: maximizar la entropía,

$S=-\kB\sum_n P\ns_n\ln P\ns_n\ .$

## $$\mu$$CE

Maximizamos$$S$$ sujeto a la restricción única

$C=\sum_n P\ns_n-1=0\ .$

Implementamos la restricción$$C=0$$ con un multiplicador Lagrange,$${\bar\lambda}\equiv\kB\,\lambda$$, escribiendo

$S^*=S-\kB\,\lambda\,C\ ,$

y extremizando libremente sobre la distribución$$\{P\ns_n\}$$ y el multiplicador de Lagrange$$\lambda$$. Por lo tanto,

\begin{aligned} \delta S^*&=\delta S - \kB \lambda\,\delta C- \kB\,C\,\delta\lambda\nonumber\\ &=-\kB\sum_n\Big[\ln P\ns_n + 1 + \lambda\Big]\delta P\ns_n-\kB\,C\,\delta\lambda\equiv 0\ .\end{aligned}

Concluimos que$$C=0$$ y que

$\ln P\ns_n=-\big(1+\lambda\big)\ ,$

y arreglamos$$\lambda$$ por la condición de normalización$$\sum_n P\ns_n=1$$. Esto da

$P\ns_n={1\over \ROmega}\qquad,\qquad\ROmega=\sum_n\RTheta(E+\RDelta E-E\ns_n)\,\RTheta(E\ns_n-E)\ .$

Tenga en cuenta que$$\ROmega$$ es el número de estados con energías entre$$E$$ y$$E+\RDelta E$$.

## OCE

Maximizamos$$S$$ sujeto a las dos restricciones

$C\ns_1=\sum_n P\ns_n-1=0\qquad,\qquad C\ns_2=\sum_n E\ns_n\,P\ns_n - E=0\ .$

Ahora tenemos dos multiplicadores Lagrange. Escribimos

$S^*= S-\kB\sum_{j=1}^2\lambda\ns_j\,C\ns_j\ ,$

y extremizamos libremente sobre$$\{P\ns_n\}$$ y$$\{C\ns_j\}$$. Por lo tanto, tenemos

$\begin{split} \delta S^*&=\delta S - \kB\sum_n \big(\lambda\ns_1 + \lambda\ns_2\,E\ns_n\big)\,\delta P\ns_n -\kB\sum_{j=1}^2 C\ns_j\,\delta\lambda\ns_j\\ &=-\kB\sum_n\Big[\ln P\ns_n + 1 + \lambda\ns_1 + \lambda\ns_2\,E\ns_n\Big]\delta P\ns_n-\kB\sum_{j=1}^2 C\ns_j\,\delta\lambda\ns_j\equiv 0\ . \end{split}$

Así,$$C\ns_1=C\ns_2=0$$ y

$\ln P\ns_n=-\big(1+\lambda\ns_1+\lambda\ns_2\,E\ns_n\big)\ .$

Definimos$$\lambda\ns_2\equiv\beta$$ y arreglamos$$\lambda\ns_1$$ por normalización. Esto rinde

$P\ns_n={1\over Z}\,e^{-\beta E\ns_n}\qquad,\qquad Z=\sum_n e^{-\beta E\ns_n}\ .$

## GCE

Maximizamos$$S$$ sujeto a las tres restricciones

$C\ns_1=\sum_n P\ns_n-1=0\quad,\quad C\ns_2=\sum_n E\ns_n\,P\ns_n -E=0\quad,\quad C\ns_3=\sum_n N\ns_n\,P\ns_n - N=0\ .$

Ahora tenemos tres multiplicadores Lagrange. Escribimos

$S^*=S-\kB\sum_{j=1}^3 \lambda\ns_j\,C\ns_j\ ,$

y por lo tanto

$\begin{split} \delta S^*&=\delta S - \kB\sum_n \big(\lambda\ns_1 + \lambda\ns_2\,E\ns_n + \lambda\ns_3\,N\ns_n\big)\,\delta P\ns_n -\kB\sum_{j=1}^3 C\ns_j\,\delta\lambda\ns_j\\ &=-\kB\sum_n\Big[\ln P\ns_n + 1 + \lambda\ns_1 + \lambda\ns_2\,E\ns_n+ \lambda\ns_3\,N\ns_n\Big]\delta P\ns_n -\kB\sum_{j=1}^3 C\ns_j\,\delta\lambda\ns_j\equiv 0\ . \end{split}$

Así,$$C\ns_1=C\ns_2=C\ns_3=0$$ y

$\ln P\ns_n=-\big(1+\lambda\ns_1+\lambda\ns_2\,E\ns_n+\lambda\ns_3\,N\ns_n\big)\ .$

Definimos$$\lambda\ns_2\equiv \beta$$ y$$\lambda\ns_3\equiv-\beta\mu$$, y arreglamos$$\lambda\ns_1$$ por normalización. Esto rinde

$P\ns_n={1\over \Xi}\,e^{-\beta (E\ns_n-\mu N\ns_n)}\qquad,\qquad \Xi=\sum_n e^{-\beta (E\ns_n-\mu N\ns_n)}\ .$

This page titled 4.6: Conjuntos Estadísticos de Entropía Máxima is shared under a CC BY-NC-SA license and was authored, remixed, and/or curated by Daniel Arovas.