5.7: El Gas Fermi Ideal

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Formulación general para sistemas que no interactúan

Recordemos que la función de gran partición para bosones no interactuantes viene dada por\[\Xi=\prod_\alpha\Bigg(\sum_{n\ns_\alpha=0}^\infty e^{\beta(\mu-\ve\ns_\alpha)n\ns_\alpha}\Bigg) =\prod_\alpha\Big(1-e^{\beta(\mu-\ve\ns_\alpha)}\Big)^{\!\!-1}\ ,\] Para que la suma converja al RHS anterior, debemos tener\(\mu < \ve\ns_\alpha\) para todos los estados de partículas únicas\(\tket{\alpha}\). La densidad de partículas es entonces\[n(T,\mu)=-{1\over V}\pabc{\Omega}{\mu}{T,V}={1\over V}\sum_\alpha{1\over e^{\beta(\ve\ns_\alpha-\mu)} - 1} =\int\limits_{\ve\ns_0}^\infty\!\! d\ve\ {g(\ve)\over e^{\beta(\ve-\mu)}-1}\ ,\] donde\(g(\ve)={1\over V}\sum_\alpha\delta(\ve-\ve\ns_\alpha)\) está la densidad de estados de partículas individuales por unidad de volumen. Suponemos que\(g(\ve)=0\) para\(\ve < \ve\ns_0\); típicamente\(\ve\ns_0=0\), como es el caso de cualquier dispersión de la forma\(\ve(\Bk)=A |\Bk|^r\), por ejemplo. No obstante, ante la presencia de un campo magnético, podríamos tener\(\ve(\Bk,\sigma)=A|\Bk|^r -g\mu\ns_0 H\sigma\), en cuyo caso\(\ve\ns_0=-g\mu\ns_0 |H|\).

Claramente\(n(T,\mu)\) es una función cada vez mayor de ambos\(T\) y\(\mu\). Al fijo\(T\), el valor máximo posible para\(n(T,\mu)\), llamado la densidad crítica\(n\ns_\Rc(T)\), se logra para\(\mu=\ve\ns_0\),\[n\ns_\Rc(T)=\int\limits_{\ve\ns_0}^\infty\!\! d\ve\ {g(\ve)\over e^{\beta(\ve-\ve\ns_0)}-1}\ .\] La integral anterior converge siempre\(g(\ve\ns_0)=0\), asumiendo que\(g(\ve)\) es continua ⁵. Si\(g(\ve\ns_0) > 0\), la integral diverge, y\(n\ns_\Rc(T)=\infty\). En este último caso, siempre se puede invertir la ecuación\(n(T,\mu)\) para obtener el potencial químico\(\mu(T,n)\). En el primer caso, donde el\(n\ns_\Rc(T)\) es finito, tenemos un problema — ¿qué pasa si\(n > n\ns_\Rc(T)\)?

En el primer caso, donde\(n\ns_\Rc(T)\) es finito, podemos replantear de manera equivalente el problema en términos de una temperatura crítica\(T\ns_\Rc(n)\), definida por la ecuación\(n\ns_\Rc(T\ns_\Rc)=n\). Pues\(T<T\ns_\Rc\), al parecer ya no podemos invertir para obtener\(\mu(T,n)\), así que claramente algo ha salido mal. El remedio es reconocer que los niveles de energía de una sola partícula son discretos, y separar la contribución del estado de energía más bajo\(\ve\ns_0\). escribimos\[n(T,\mu) = \stackrel{n\ns_0}{\overbrace

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} + \stackrel{n'}{\overbrace{\int\limits_{\ve\ns_0}^\infty\!\! d\ve\ {g(\ve)\over e^{\beta(\ve-\mu)}-1}}}\ ,\] dónde\(\Sg\ns_0\) está la degeneración del estado de partícula única con energía\(\ve\ns_0\). Suponemos que\(n\ns_0\) es finito, lo que quiere decir que\(N\ns_0=V n\ns_0\) es extenso. Decimos que las partículas se han condensado al estado con energía\(\ve\ns_0\). La cantidad\(n\ns_0\) es la densidad del condensado. Se dice que las partículas restantes\(n'\), con densidad, comprenden el sobrecondensado. Con la densidad total\(n\) fija, tenemos\(n=n\ns_0 + n'\). Tenga en cuenta que\(n\ns_0\) finito significa que\(\mu\) es infinitesimalmente cercano a\(\ve\ns_0\):\[\mu=\ve\ns_0-\kT\ln\!\bigg(1 + {\Sg\ns_0\over V n\ns_0}\bigg) \approx \ve\ns_0 - {\Sg\ns_0\kT\over V n\ns_0}\ .\] Tenga en cuenta también que si\(\ve\ns_0-\mu\) es finito, entonces\(n\ns_0\propto V^{-1}\) es infinitesimal.

Así, para\(T<T\ns_\Rc(n)\), tenemos\(\mu=\ve\ns_0\) con\(n\ns_0 > 0\), y\[n(T,n\ns_0) = n\ns_0 + \int\limits_{\ve\ns_0}^\infty\!\! d\ve\ {g(\ve)\over e^{(\ve-\ve\ns_0)/k\ns_\RB T}-1}\ .\] For\(T>T\ns_\Rc(n)\), tenemos\(n\ns_0=0\) y\[n(T,\mu)=\int\limits_{\ve\ns_0}^\infty\!\! d\ve\ {g(\ve)\over e^{(\ve-\mu)/k\ns_\RB T}-1}\ .\] La ecuación para\(T\ns_\Rc(n)\) es\[n= \int\limits_{\ve\ns_0}^\infty\!\! d\ve\ {g(\ve)\over e^{(\ve-\ve\ns_0)/k\ns_\RB T\ns_\Rc}-1}\ .\] Para otra toma de condensación ideal de gas Bose ver el apéndice en § 10.

Dispersión balística

Ya derivamos, en § 3.3, expresiones para\(n(T,z)\) y\(p(T,z)\) para el gas Bose ideal (IBG) con dispersión balística\(\ve(\Bp)=\Bp^2/2m\), encontramos\[\begin{split} n(T,z)&=\Sg\,\lambda_T^{-d}\>\,{Li}\ns_

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(z)\vph\\ p(T,z)&=\Sg\,\kT\,\lambda_T^{-d}\>\,{Li}\ns_{{d\over 2}+1}(z) , \end{split}\] dónde\(\Sg\) está la degeneración interna (espín) de cada nivel de energía de partícula individual. Aquí\(z=e^{\mu/k\ns_\RB T}\) está la fugacidad y\[{Li}\ns_{s}(z)=\sum_{m=1}^\infty {z^m\over m\nsub^s}\] es la función de polilogaritmo. Para los bosones con un espectro delimitado por debajo\(\ve\ns_0=0\), la fugacidad toma valores en el intervalo\(z\in [0,1]\) ⁶.

Claramente\(n(T,z)=\Sg\,\lambda_T^{-d}\>\,{Li}\ns_

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(z)\) es una función creciente de\(z\) para fijo\(T\). En la Figura [zeta] trazamos la función\({Li}\ns_s(z)\) versus\(z\) para tres valores diferentes de\(s\). Observamos que el valor máximo\({Li}\ns_s(z=1)\) es finito si\(s>1\). Por lo tanto\(d>2\), para, hay una densidad máxima\(n\ns_{max}(T)=\Sg\,{Li}\ns_

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(z)\,\lambda_T^{-d}\) que es una función creciente de la temperatura\(T\). Dicho de otra manera, si fijamos la densidad\(n\), entonces hay una temperatura crítica\(T\ns_\Rc\) por debajo de la cual no hay solución a la ecuación\(n=n(T,z)\). La temperatura crítica\(T\ns_\Rc(n)\) es entonces determinada por la relación\[n=\Sg\,\zeta\big(\frac{d}{2}\big)\,\bigg({m\kB T\ns_\Rc\over 2\pi\hbar^2}\bigg)^{\!\!d/2} \qquad\Longrightarrow\qquad \kB T\ns_\Rc={2\pi\hbar^2\over m}\,\bigg({n\over \Sg\,\zeta\big(\frac{d}{2}\big)}\bigg)^{\!\!2/d}\ .\] ¿Para qué pasa\(T<T\ns_\Rc\,\)?

[zeta] La función polilogaritmo\({Li}_s(z)\) versus\(z\) for\(s=\half\),\(s=\frac{3}{2}\), y\(s=\frac{5}{2}\). Tenga en cuenta que\({Li}_s(1)=\zeta(s)\) diverge para\(s\le 1\).

Como se muestra arriba en § 7, debemos separar la contribución del modo de partícula única de energía más baja, que para la dispersión balística se encuentra en\(\ve\ns_0=0\). Escribiendo así\[n={1\over V}\,{1\over z^{-1}-1} + {1\over V}\sum_{\alpha\atop (\ve\ns_\alpha >0)}{1\over z^{-1}\, e^{\ve\ns_\alpha/\kT} -1}\ ,\] donde hemos llevado\(\Sg=1\). Ahora por supuesto\(V^{-1}\) es muy pequeño, ya que\(V\) es termodinámicamente grande, pero si\(\mu\to 0\) entonces también\(z^{-1}-1\) es muy pequeño y su proporción puede ser finita, como hemos visto. En efecto, si la densidad de\(\Bk=0\) los bosones\(n\ns_0\) es finita, entonces su número total\(N\ns_0\) satisface\[N\ns_0=V n\ns_0={1\over z^{-1} - 1} \qquad \Longrightarrow \qquad z={1\over 1+N_0^{-1}}\ .\] El potencial químico es entonces\[\mu=\kT\ln z=-\kT\ln\big(1+N_0^{-1}\big)\approx -{\kT\over N\ns_0} \to 0^-\ .\] En otras palabras, el potencial químico es infinitesimalmente negativo, porque\(N\ns_0\) se supone que es termodinámicamente grandes.

Según la Ecuación [Oqsm], la contribución a la presión de los\(\Bk=0\) estados es\[p\ns_0=-{\kT\over V}\,\ln(1-z)={\kT\over V}\ln(1+N\ns_0)\to 0^+\ .\] Así que los\(\Bk=0\) bosones, que identificamos como el condensado, no aportan nada a la presión.

Habiendo separado el\(\Bk=0\) modo, ahora podemos reemplazar la suma restante\(\alpha\) por la integral habitual over\(\Bk\). Entonces tenemos\[\begin{split} T< T\ns_\Rc\qquad :\qquad n&=n\ns_0 + \Sg\,\zeta\big(\frac{d}{2}\big)\,\lambda_T^{-d}\vph\\ p&=\Sg\,\zeta\big(\frac{d}{2}\!+\!1\big)\,\kT\,\lambda_T^{-d} \end{split}\] y\[\begin{split} \ \ \quad T>T\ns_\Rc\qquad :\qquad n&=\Sg\,{Li}\ns_

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(z)\,\lambda_T^{-d}\vph\\ p&=\Sg\,{Li}\ns_{{d\over 2}+1}(z)\,\kT\,\lambda_T^{-d}\quad. \end{split}\]

La fracción de condensado\(n\ns_0/n\) es unidad en\(T=0\), cuando todas las partículas están en el condensado con\(\Bk=0\), y disminuye con el aumento\(T\) hasta\(T=T\ns_\Rc\), momento en el que desaparece de manera idéntica. De manera explícita, tenemos\[{n\ns_0(T)\over n}=1-{\Sg\,\zeta\big(\frac{d}{2}\big)\over n\,\lambda_T^d} = 1-\bigg({T\over T\ns_\Rc(n)}\bigg)^{\!\!d/2}\ .\]

Vamos a calcular la energía interna\(E\) para el gas Bose ideal. Tenemos\[{\pz\over\pz\beta}\, (\beta\Omega)=\Omega + \beta\,{\pz\Omega\over\pz\beta}=\Omega-T\,{\pz\Omega\over\pz T}=\Omega+TS\] y por lo tanto\[\begin{split} E=\Omega+TS+\mu N&=\mu N + {\pz\over\pz\beta}\,(\beta\Omega)\\ &=V\Big(\mu\,n - {\pz\over\pz\beta}\,(\beta p)\Big)\\ &=\half d\,\Sg V\kT\,\lambda_T^{-d}\,{Li}\ns_{{d\over 2}+1}(z)\ . \end{split}\] Esta expresión es válida a todas las temperaturas, tanto por encima como por debajo\(T\ns_\Rc\). Tenga en cuenta que las partículas de condensado no contribuyen a\(E\), porque las partículas de\(\Bk=0\) condensado no llevan energía.

Ahora investigamos la capacidad calorífica\(C\ns_{V,N}=\big(\frac{\pz E}{\pz T}\big)\nd_{V,N}\). Ya que hemos estado trabajando en la GCE, es muy importante tener en cuenta que\(N\) se mantiene constante a la hora de calcular\(C\ns_{V,N}\). También limitaremos nuestra atención al caso\(d=3\) ya que el gas Bose ideal no se condensa a finito\(T\)\(d\le2\) y no\(d>3\) es físico. Mientras estamos en ello, también estableceremos\(\Sg=1\).

[ibgcv] Capacidad calorífica molar del gas Bose ideal (unidades de\(R\)). Tenga en cuenta la cúspide en\(T=T_\Rc\).

El número de partículas es\[N=\begin{cases} N\ns_0+\zeta\big(\frac{3}{2}\big)\,V\,\lambda_T^{-3} & (T<T\ns_\Rc) \\ &\\ V\,\lambda_T^{-3} \,{Li}\ns_{3/2}(z) & (T>T\ns_\Rc)\quad , \end{cases}\] y la energía es\[E=\frac{3}{2}\,\kT\,{V\over\lambda_T^3}\,{Li}\ns_{5/2}(z)\ .\] For\(T<T\ns_\Rc\), tenemos\(z=1\) y\[C\ns_{V,N}=\pabc{E}{T}{V,N}=\frac{15}{4}\,\zeta\big(\frac{5}{2}\big)\,\kB\,{V\over\lambda_T^3}\ .\] La capacidad calorífica molar es por lo tanto\[c\nd_{V,N}(T,n)=\NA\cdot{C\ns_{V,N}\over N}=\frac{15}{4}\,\zeta\big(\frac{5}{2}\big)\,R\cdot\big(n\,\lambda_T^3\big)^{-1}\ .\] For\(T>T\ns_\Rc\), tenemos\[dE\big|\nd_V=\frac{15}{4}\,\kT\,{Li}\ns_{5/2}(z)\,{V\over\lambda_T^3}\cdot {dT\over T} + \frac{3}{2}\,\kT\,{Li}\ns_{3/2}(z)\,{V\over\lambda_T^3}\cdot {dz\over z}\ ,\] donde hemos invocado Ecuación [zetarec]. Tomando el diferencial de\(N\), tenemos\[dN\big|\nd_V=\frac{3}{2}\,{Li}\ns_{3/2}(z)\,{V\over\lambda_T^3} \cdot{dT\over T} + {Li}\ns_{1/2}(z)\,{V\over\lambda_T^3} \cdot {dz\over z}\ .\] Nos fijamos\(dN=0\), que fija\(dz\) en términos de\(dT\), resultando en\[c\ns_{V,N}(T,z)=\frac{3}{2}R\cdot\!\Bigg[{\frac{5}{2}\,{Li}\ns_{5/2}(z)\over{Li}\ns_{3/2}(z)} - {\frac{3}{2}\,{Li}\ns_{3/2}(z)\over {Li}\ns_{1/2}(z)}\Bigg]\ . \label{ibgcg}\]

Para obtener\(c\ns_{V,N}(T,n)\), debemos invertir la relación\[n(T,z)=\lambda_T^{-3}\,{Li}\ns_{3/2}(z)\] para obtenerla\(z(T,n)\), y luego insertarla en la Ecuación [ibgcg]. Los resultados se muestran en la Figura [ibgcv]. Hay varias características destacables de esta trama. En primer lugar, por análisis dimensional la función\(c\ns_{V,N}(T,n)\) es\(R\) veces una función de la relación adimensional\(T/T\ns_\Rc(n)\propto T\,n^{-2/3}\). Segundo, el límite de temperatura alta es\(\frac{3}{2} R\), que es el valor clásico. Por último, hay una cúspide en\(T=T\ns_\Rc(n)\).

Para otro ejemplo, véase § 11.

Isotermas para el gas Bose ideal

Dejar\(a\) ser alguna escala de longitud y definir\[v\ns_a=a^3\qquad,\qquad p\ns_a={2\pi\hbar^2\over ma^5}\qquad,\qquad T\ns_a={2\pi\hbar^2\over ma^2\kB}\] Entonces tenemos\[\begin{aligned} {v\ns_a\over v}&=\bigg({T\over T\ns_a}\bigg)^{\!\!3/2}\,{Li}\ns_{3/2}(z) + v\ns_a\,n\ns_0 \label{BGIa}\\ {p\over p\ns_a}&=\bigg({T\over T\ns_a}\bigg)^{\!\!5/2}\,{Li}\ns_{5/2}(z) \ , \label{BGIb}\end{aligned}\] donde\(v=V/N\) está el volumen por partícula ⁷ y\(n\ns_0\) es la densidad numérica de condensado; se\(n\ns_0\) desvanece para\(T\ge T\ns_\Rc\), donde\(z=1\). Uno identifica un volumen crítico\(v\ns_\Rc(T)\) configurando\(z=1\) y\(n\ns_0=0\), conduciendo a\(v\ns_\Rc(T)=v\ns_a\,(T/T\ns_a)^{3/2}\). Para\(v<v\ns_\Rc(T)\), nos fijamos\(z=1\) en la Ecuación [BGIA] para encontrar una relación entre\(v\),\(T\), y\(n\ns_0\). Para\(v>v\ns_\Rc(T)\), nos fijamos\(n\ns_0=0\) en la Ecuación [BGIA] para relacionar\(v\)\(T\),, y\(z\). Tenga en cuenta que la presión es independiente del volumen para\(T<T\ns_\Rc\). Las isotermas en el\((p,v)\) plano son entonces planas para\(v<v\ns_\Rc\). Esto se asemeja a la región de convivencia familiar de nuestro estudio de la termodinámica de la transición líquido-gas. La situación se representa en la Fig. [ibgpd]. En el\((T,p)\) plano, nos identificamos\(p\ns_\Rc(T)=p\ns_a (T/T\ns_a)^{5/2}\) como la temperatura crítica a la que comienza a ocurrir la condensación.

[ibgpd] Diagramas de fase para el gas Bose ideal. Panel izquierdo:\((p,v)\) plano. Las curvas azules sólidas son isotermas, y la región rayada verde denota\(v<v_\Rc(T)\), donde el sistema está parcialmente condensado. Panel derecho:\((p,T)\) plano. La curva roja sólida es la curva de convivencia\(p_\Rc(T)\), a lo largo de la cual ocurre la condensación de Bose. No existe ninguna fase termodinámica distinta en la región de eclosión amarilla anterior\(p=p_\Rc(T)\).

Recordemos la ecuación de Gibbs-Duhem, A\[d\mu=-s\,dT + v\,dp\ .\] lo largo de una curva de convivencia, tenemos la relación Clausius-Clapeyron,\[\bigg({dp\over dT}\bigg)\ns_{\!coex}={s\ns_2-s\ns_1\over v\ns_2-v\ns_1}={\ell\over T\,\RDelta v}\ ,\] donde\(\ell=T\,(s\ns_2-s\ns_1)\) está el calor latente por mol, y\(\RDelta v=v\ns_2-v\ns_1\). Para la condensación de Bose de gas ideal, la curva de coexistencia se asemeja a la curva roja en el panel derecho de la Figura [ibgpd]. No hay sentido para la región sombreada donde\(p>p\ns_\Rc(T)\). Sin embargo, resulta tentador asociar la curva\(p=p\ns_\Rc(T)\) con la coexistencia del\(\Bk=0\) condensado y los\((\Bk\ne 0)\) bosones restantes sin condensar ⁸.

La entropía en la región de coexistencia viene dada por\[s=-{1\over N}\pabc{\Omega}{T}{V}=\frac{5}{2}\,\zeta\big(\frac{5}{2}\big)\,\kB\,v\,\lambda_T^{-3}= {\frac{5}{2}\,\zeta\big(\frac{5}{2}\big)\over\zeta\big(\frac{3}{2}\big)}\,\kB\,\bigg(1-{n\ns_0\over n}\bigg)\ .\] Toda la entropía es portada por los bosones no condensados, y el condensado lleva entropía cero. La relación Clausius-Clapeyron puede entonces interpretarse como una descripción de un equilibrio de fase entre el condensado, para el cual\(s\ns_0=v\ns_0=0\), y los bosones no condensados, para los cuales\(s'=s(T)\) y\(v'=v\ns_\Rc(T)\). Por lo que esta identificación nos obliga a concluir que el volumen específico del condensado es cero. ¡Esto es ciertamente falso en un gas Bose que interactúa!

Si bien se puede identificar, por analogía, un 'calor latente'\(\ell=T\,\RDelta s=Ts\) en la ecuación de Clapeyron, es importante entender que no existe una fase termodinámica distinta asociada a la región\(p>p\ns_\Rc(T)\). La condensación de gas ideal de Bose es una transición de segundo orden, y no una transición de primer orden.

[He4pd] Diagrama de fases de\({}^4\) He. Todos los límites de fase son líneas de transición de primer orden, con la excepción de la transición líquido-superfluido normal, que es de segundo orden. (Fuente: Universidad de Helsinki)

La\(\lambda\) -transición en Liquid\({}^4\) He

El helio tiene dos isótopos estables. \({}^4\)Es un bosón, que consta de dos protones, dos neutrones y dos electrones (de ahí un número par de fermiones). \({}^3\)Es un fermión, con un neutrón menos que\({}^4\) Él. Cada átomo de\({}^4\) He puede considerarse como una diminuta esfera dura de masa\(m=6.65\times 10^{-24}\,\) g y diámetro\(a=2.65\,\) Å. En la Figura [He4pd] se muestra un boceto del diagrama de fases. A presión atmosférica, el helio se licua a\(T\ns_\Rl=4.2\,\) K. La transición gas-líquido es de primer orden, como es habitual. Sin embargo, a medida que uno continúa enfriándose, una segunda transición se establece en\(T=T\ns_\lambda=2.17\,\) K (a\(p=1\,\) atm). La\(\lambda\) -transición, llamada así por la anomalía\(\lambda\) conformada en el calor específico en las proximidades de la transición, como se muestra en la Figura [cphelio], es continua (segundo orden).

Si pretendemos que\({}^4\) Él es un gas Bose que no interactúa, entonces a partir de la densidad del líquido\(n=2.2\times 10^{22}\,{cm}^{-3}\), obtenemos una temperatura de condensación de Bose-Einstein\(T\ns_\Rc=\frac{2\pi\hbar^2}{m}\big(n/\zeta(\frac{3}{2})\big)^{2/3}=3.16\,\) K, que está en el estadio correcto. Se\(C\ns_p(T)\) encuentra que el calor específico es singular en\(T=T\ns_\lambda\),\[C\ns_p(T)= A\,\big|T-T\ns_\lambda(p)\big|^{-\alpha}\ .\]\(\alpha\) siendo un ejemplo de exponente crítico. Estudiaremos la física de los fenómenos críticos más adelante en este curso. Por ahora, señalar que corresponde una singularidad de cúspide del tipo que se encuentra en la Figura [ibgcv]\(\alpha=-1\). El comportamiento de\(C\ns_p(T)\) en\({}^4\) Él es muy casi logarítmico en\(|T-T\ns_\lambda|\). De hecho, tanto la teoría (grupo de renormalización sobre el\(\RO(2)\) modelo) como el experimento coinciden en que\(\alpha\) es casi cero pero de hecho ligeramente negativo, con\(\alpha=-0.0127\pm 0.0003\) en los mejores experimentos (Lipa, 2003). La\(\lambda\) transición definitivamente no es una condensación de gas Bose ideal. Teóricamente, en el lenguaje de los fenómenos críticos, la condensación IBG y la\(\lambda\) -transición en\({}^4\) Él se encuentran en diferentes clases de universalidad ⁹. A diferencia del IBG, la fase condensada en\({}^4\) He es una fase termodinámica distinta, conocida como superfluido.

[cphelio] Calor específico de líquido\({}^4\) Él en las inmediaciones de la\(\lambda\) -transición. Datos de M. J. Buckingham y W. M. Fairbank, en Progreso en Física de Baja Temperatura, C. J. Gortner, ed. (Holanda Septentrional, 1961). Inset en la parte superior derecha: datos más recientes de J. A. Lipa et al. , Phys. Rev. B 68, 174518 (2003) realizado en órbita terrestre de gravedad cero, hasta dentro de\(\RDelta T=2\,\) nK de la transición.

Tenga en cuenta que\(C\ns_p(T<T\ns_\Rc)\) para el IBG ni siquiera está definido, ya que para\(T<T\ns_\Rc\) nosotros tenemos\(p=p(T)\) y por lo tanto\(dp=0\) requiere\(dT=0\).

Efecto fuente en superfluido\({}^4\) He

A temperaturas\(T<T\ns_\lambda\), el líquido\({}^4\) tiene un componente superfluido el cual es un tipo de condensado de Bose. De hecho, existe una diferencia importante entre la fracción de condensado\(N\ns_{\Bk=0}/N\) y la densidad de superfluidos, que se denota con el símbolo\(\rho\ns_\Rs\). En\({}^4\) He, por ejemplo, en\(T=0\) la fracción de condensado sólo se trata\(8\%\), mientras que la fracción superfluida\(\rho\ns_\Rs/\rho=1\). La distinción entre\(N\ns_0\) y\(\rho\ns_s\) es muy interesante pero se encuentra más allá del alcance de este curso.

Un aspecto del estado superfluido es su completa ausencia de viscosidad. Por esta razón, los superfluidos pueden fluir a través de pequeñas grietas llamadas microfugas que no pasarán fluido normal. Considera entonces un tapón poroso que permita el paso de superfluido pero no de fluido normal. La característica clave del componente superfluido es que tiene densidad de energía cero. Por lo tanto, aunque hay una transferencia de partículas a través del tapón, no hay intercambio de energía, y por lo tanto se puede mantener un gradiente de temperatura a través del tapón ¹⁰.

Las excitaciones elementales en estado superfluido son ondas sonoras llamadas fonones. Son ondas de compresión, al igual que los fonones longitudinales en un sólido, pero aquí en un líquido. Su dispersión es acústica, dada por\(\omega(k)=ck\) dónde\(c=238\,\Rm/\Rs\). ¹¹ Los no tienen grados internos de libertad, de ahí\(\Sg=1\). Al igual que los fonones en un sólido, los fonones en helio líquido no se conservan. De ahí que su potencial químico se desvanezca y estas excitaciones son descritas por las estadísticas de fotones. Ahora podemos calcular la diferencia de altura\(\RDelta h\) en un experimento de tubo en U.

[fuente] El efecto de fuente. En cada caso, se mantiene un gradiente de temperatura a través de un tapón poroso a través del cual solo puede fluir el superfluido. Esto da como resultado un gradiente de presión que puede resultar en una fuente o una columna elevada en un tubo en U.

Claramente\(\RDelta h=\RDelta p/\rho g\). así que debemos encontrar\(p(T)\) para el helio. En el gran conjunto canónico, tenemos\[\begin{split} p&=-{\Omega/V}=-\kT\!\int\!{d^3\!\!k\over (2\pi)^3}\,\ln\big(1-e^{-\hbar c k/\kT}\big)\\ &=-{(\kT)^4\over(\hbar c)^3}\,{4\pi\over 8\pi^3}\!\int\limits_0^\infty \!\!du\,u^2\,\ln(1-e^{-u}) ={\pi^2\over 90}{(\kT)^4\over(\hbar c)^3}\ . \end{split}\] Vamos a suponer\(T=1\,\) K. Vamos a necesitar la densidad del helio líquido,\(\rho=148\,{kg}/\Rm^3\). \[\begin{split} {dh\over dT}&={2\pi^2\over 45}\left({\kT\over\hbar c}\right)^3\,{\kB\over\rho g}\\ &={2\pi^2\over 45}\left({(1.38\times 10^{-23}\,\RJ/\RK) (1\,\RK)\over (1.055\times 10^{-34}\,\RJ\cdot\Rs) (238\,\Rm/\Rs)}\right)^{\!3}\times\> {(1.38\times 10^{-23}\,\RJ/\RK) \over (148\,{kg}/\Rm^3)(9.8\,\Rm/\Rs^2)} \simeq32\, {cm}/\RK\ , \end{split}\]¡un efecto muy notable!

Condensación de Bose en trampas ópticas

El Premio Nobel de Física 2001 fue otorgado a Weiman, Cornell y Ketterle por la observación experimental de la condensación de Bose en gases atómicos diluidos. Las técnicas experimentales requeridas para atrapar y enfriar tales sistemas son un verdadero tour de force, y no entraremos en una discusión de los detalles aquí ¹².

El atrapamiento óptico de átomos bosónicos neutros, como\({}^{87}\) Rb, da como resultado un potencial de confinamiento\(V(\Br)\) que es cuadrático en las posiciones atómicas. Así, la partícula única hamiltoniana para un átomo dado se escribe\[\HH=-{\hbar^2\over 2m}\,\bnabla^2 + \half m\big(\omega_1^2\,x^2 + \omega_2^2\,y^2 + \omega_3^2\,z^2\big) \ ,\] donde\(\omega\ns_{1,2,3}\) están las frecuencias angulares de la trampa. Se trata de un oscilador armónico tridimensional anisotrópico, cuya solución es separable en un producto de ondas de oscilador armónico unidimensional. El espectro propio viene dado entonces por una suma de espectros unidimensionales, a saber.\[E\ns_{n\ns_1,n\ns_2,n\ns_3}=\big(n\ns_1+\half)\,\hbar\omega\ns_1 + \big(n\ns_2+\half)\,\hbar\omega\ns_2 +\big(n\ns_3+\half)\,\hbar\omega\ns_3 \ .\]

Según la Ecuación [Ntot], el número de partículas en el sistema es\[\begin{split} N&=\sum_{n\ns_1=0}^\infty \> \sum_{n\ns_2=0}^\infty \> \sum_{n\ns_3=0}^\infty \Big[ y^{-1}\,e^{n\ns_1\hbar\omega\ns_1/\kT}\,e^{n\ns_2\hbar\omega\ns_2/\kT}\,e^{n\ns_3\hbar\omega\ns_3/\kT}-1\Big]^{-1}\\ &=\sum_{k=1}^\infty y^k\bigg({1\over 1-e^{-k\hbar\omega\ns_1/\kT}}\bigg) \bigg({1\over 1-e^{-k\hbar\omega\ns_2/\kT}}\bigg)\bigg({1\over 1-e^{-k\hbar\omega\ns_3/\kT}}\bigg)\ , \end{split}\] donde hemos definido\[y\equiv e^{\mu/\kT}\,e^{-\hbar\omega\ns_1/2\kT}\,e^{-\hbar\omega\ns_2/2\kT}\,e^{-\hbar\omega\ns_3/2\kT}\ .\] Tenga en cuenta que\(y\in [0,1]\).

Supongamos que la trampa es aproximadamente anisotrópica, lo que implica que las relaciones de frecuencia\(\omega\ns_1/\omega\ns_2\) son todos números del orden de uno. Supongamos además eso\(\kT\gg \hbar\omega\ns_{1,2,3}\). Entonces\[{1\over 1-e^{-k\hbar\omega\ns_j/\kT}}\ \approx\ \begin{cases} {\kT\over k\hbar\omega\ns_j} & k\,\ltwid\, k^*(T) \\ & \\ 1 & k > k^*(T)\end{cases}\] donde\(k^*(T)=\kT/\hbar {\bar\omega}\gg 1\), con\[{\bar\omega}=\big(\omega\ns_1\,\omega\ns_2\,\omega\ns_3\big)^{1/3}\ .\] Tenemos entonces\[N(T,y)\approx {y^{k^*+1}\over 1-y} +\bigg({\kT\over\hbar{\bar\omega}}\bigg)^{\!\!3}\sum_{k=1}^{k^*} {y^k\over k^3} \ ,\] donde se debe el primer término en el RHS\(k>k^*\) y el segundo término de\(k\le k^*\) en la suma anterior. Dado que\(k^*\gg 1\) y dado que la suma de los cubos inversos es convergente, podemos extender con seguridad el límite en la suma anterior hasta el infinito. Para ayudar a darle más sentido al primer término, escriba\(N\ns_0=\big(y^{-1}-1\big)^{-1}\) para el número de partículas en el\((n\ns_1,n\ns_2,n\ns_3)=(0,0,0)\) estado. Entonces\[y={N\ns_0\over N\ns_0+1}\ . \label{yzeqn}\] esto es cierto siempre. El tema vis-a-vis la condensación de Bose-Einstein es si\(N\ns_0\gg 1\). En todo caso, ahora vemos que podemos escribir En\[N\approx N\ns_0\,\big(1+N_0^{-1}\big)^{-k^*} + \bigg({\kT\over\hbar{\bar\omega}}\bigg)^{\!\!3}{Li}\ns_3(y)\ .\] cuanto al primer término, tenemos\[N\ns_0\,\big(1+N_0^{-1}\big)^{-k^*} =\begin{cases} 0 & N\ns_0\ll k^* \\ &\\ N\ns_0 & N\ns_0 \gg k^*\end{cases}\]

Así, como en el caso de la condensación IBG de partículas balísticas, identificamos la temperatura crítica por la condición\(y=N\ns_0/(N\ns_0+1)\approx 1\), y tenemos\[T\ns_\Rc={\hbar{\bar\omega}\over\kB}\,\bigg({N\over\zeta(3)}\bigg)^{\!\!1/3} = 4.5\,\bigg(

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Callstack:
    at (Fisica/Termodinámica_y_Mecánica_Estadística/Libro:_Termodinámica_y_Mecánica_Estadística_(Arovas)/05:_Sistemas_cuánticos_que_no_interactúan/5.07:_El_Gas_Fermi_Ideal), /content/body/div[6]/p[5]/span[2]/span, line 1, column 1

\bigg)\>N^{1/3} \ [\,{nK}\,]\ ,\] dónde\({\bar\nu}={\bar\omega}/2\pi\). Vemos que\(\kT\ns_\Rc\gg\hbar{\bar\omega}\) si el número de partículas en la trampa es grande:\(N\gg 1\). En este régimen, tenemos\[\begin{split} T< T\ns_\Rc\ &:\qquad N=N\ns_0 + \zeta(3)\bigg({\kT\over\hbar{\bar\omega}}\bigg)^{\!\!3} \\ T> T\ns_\Rc\ &:\qquad N=\bigg({\kT\over\hbar{\bar\omega}}\bigg)^{\!\!3}{Li}\ns_3(y)\ .] \label{trapab} \end{split}\]

Es interesante señalar que la BEC también puede ocurrir en trampas bidimensionales, es decir trampas que son muy anisotrópicas, con superficies equipotenciales oblatas\(V(\Br)=V\ns_0\). Esto sucede cuando\(\hbar\omega\ns_3\gg\kT\gg\omega\ns_{1,2}\). Entonces tenemos\[T^{(d=2)}_\Rc={\hbar{\bar\omega}\over\kB}\cdot\bigg({6N\over\pi^2}\bigg)^{\!\!1/2}\] con\({\bar\omega}=\big(\omega\ns_1\,\omega\ns_2\big)^{1/2}\). El número de partículas obedece entonces a un conjunto de ecuaciones como las de eqns. [trapab], mutatis mutandis ¹³.

Para trampas extremadamente prolongadas, con\(\omega\ns_3\ll\omega\ns_{1,2}\), la situación es diferente porque\({Li}\ns_1(y)\) diverge para\(y=1\). Tenemos entonces\[N=N\ns_0+{\kT\over\hbar\omega\ns_3}\,\ln\big(1+N\ns_0\big)\ .\] Aquí simplemente hemos reemplazado\(y\) por la expresión equivalente\(N\ns_0/(N\ns_0+1)\). Si nuestro criterio para la condensación es ese\(N\ns_0=\alpha N\), donde\(\alpha\) está algún valor fraccional, entonces tenemos\[T\ns_\Rc(\alpha)=(1-\alpha)\,{\hbar\omega\ns_3\over\kB}\cdot{N\over\ln N}\ .\]