5.8: El Gas Fermi Ideal

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Gran potencial y número de partículas

El gran potencial del gas Fermi ideal es, por Ecuación [Oqsm],\[\begin{split} \Omega(T,V,\mu)&=-V\kT\sum_\alpha\ln\Big( 1+e^{\mu/\kT}\,e^{-\ve\ns_\alpha/\kT}\Big)\\ &=-V\kT\!\!\int\limits_{-\infty}^\infty\!\!d\ve\>g(\ve)\,\ln\Big( 1+e^{(\mu-\ve)/\kT}\Big)\ . \end{split}\] El número promedio de partículas en un estado con energía\(\ve\) es de\[n(\ve)={1\over e^{(\ve-\mu)/\kT}+1}\ ,\] ahí que el número total de partículas es\[N=V\!\!\!\int\limits_{-\infty}^\infty\!\!\!d\ve\>g(\ve)\,{1\over e^{(\ve-\mu)/\kT}+1}\ .\]

La distribución de Fermi

Definimos la función\[f(\eps)\equiv {1\over e^{\eps/\kT}+1}\ ,\] conocida como la distribución de Fermi. En el\(T\to\infty\) límite,\(f(\eps)\to \half\) para todos los valores finitos de\(\ve\). As\(T\to 0\),\(f(\eps)\) se acerca a una función de paso\(\RTheta(-\eps)\). El número promedio de partículas en estado de energía\(\ve\) en un sistema a temperatura\(T\) y potencial químico\(\mu\) es\(n(\ve)=f(\ve-\mu)\). En la Figura [fermidista] trazamos\(f(\ve-\mu)\) versus\(\ve\) para tres temperaturas representativas.

\(T=0\)y la superficie Fermi

En\(T=0\), por lo tanto tenemos\(n(\ve)=\RTheta(\mu-\ve)\), lo que dice que todos los estados energéticos de partículas individuales hasta\(\ve=\mu\) están llenos, y todos los estados energéticos anteriores\(\ve=\mu\) están vacíos. Llamamos a\(\mu(T=0)\) la energía Fermi:\(\veF=\mu(T=0)\). Si la dispersión de partículas individuales\(\ve(\Bk)\) depende únicamente del vector de ondas\(\Bk\), entonces el locus de puntos en\(\Bk\) -espacio para el cual\(\ve(\Bk)=\veF\) se llama la superficie Fermi. Para los sistemas isotrópicos,\(\ve(\Bk)=\ve(k)\) es una función solo de la magnitud\(k=|\Bk|\), y la superficie de Fermi es una esfera en\(d=3\) o un círculo adentro\(d=2\). El radio de este círculo es el evector de ondas Fermi,\(\kF\). Cuando hay un grado de libertad interno (espín), hay una superficie Fermi y un evector de ondas Fermi (para sistemas isotrópicos) para cada estado de polarización del grado interno de libertad.

[fermidista] La distribución de Fermi,\(f(\eps)=\big[\exp(\eps/k_\ssr{B}T)+1\big]^{-1}\). Aquí hemos establecido\(k_\ssr{B}=1\) y tomado\(\mu=2\), con\(T={1\over 20}\) (azul),\(T={3\over 4}\) (verde), y\(T=2\) (rojo). En el\(T\to 0\) límite,\(f(\eps)\) se acerca a una función de paso\(\RTheta(-\eps)\).

Calculemos el generador de ondas Fermi\(\kF\) y la energía Fermi\(\veF\) para el IFG con una dispersión balística\(\ve(\Bk)=\hbar^2\Bk^2/2m\). La densidad numérica\(\Omega\ns_d=2\pi^{d/2}/\RGamma(d/2)\) es\[n=\Sg\!\int\!\!{d^d\!k\over (2\pi)^d}\>\RTheta(\kF-k)={\Sg\,\Omega\ns_d\over (2\pi)^d}\cdot{k_\RF^d\over d}= \begin{cases} \Sg\,\kF/\pi & (d=1) \\ &\\ \Sg\,k_\RF^2/4\pi & (d=2) \\ &\\ \Sg\,k_\RF^3/ 6\pi^2 & (d=3)\quad, \end{cases}\] donde se encuentra el área de la esfera unitaria en dimensiones\(d\) espaciales. Obsérvese que la forma de\(n(\kF)\) es independiente de la relación de dispersión, siempre y cuando permanezca isotrópica. Invirtiendo las expresiones anteriores, obtenemos\(\kF(n)\):\[\kF=2\pi\, \bigg({d\,n\over \Sg\,\Omega\ns_d}\bigg)^{\!\!1/d}= \begin{cases} \pi n/\Sg & (d=1) \\ &\\ (4\pi n/\Sg)^{1/2} & (d=2) \\ &\\ (6\pi^2 n/\Sg)^{1/3} & (d=3)\ . \end{cases}\] La energía Fermi en cada caso, para dispersión balística, es por lo tanto\[\veF={\hbar^2 k_\RF^2\over 2m}={2\pi^2\hbar^2\over m}\, \bigg({d\,n\over \Sg\,\Omega\ns_d}\bigg)^{\!\!2/d}= \begin{cases} {\pi^2\hbar^2 n^2\over 2\Sg^2 m} & (d=1) \\ &\\ {2\pi\hbar^2\,n\over \Sg\,m} & (d=2) \\ &\\ {\hbar^2\over 2m}\,\big({6\pi^2 n\over\Sg}\big)^{2/3}& (d=3)\ . \end{cases}\] Otro resultado útil para la dispersión balística, que se desprende de lo anterior, es que la densidad de estados en el nivel Fermi viene dada por\[g(\veF)={\Sg\,\Omega\ns_d\over (2\pi)^d}\cdot{m k_\ssr{F}^{d-2}\over\hbar^2}={d\over 2}\cdot{n\over\veF}\ .\]

Para el gas de electrones, tenemos\(\Sg=2\). En un metal, uno normalmente tiene\(\kF\sim 0.5\,{\rm\AA}^{-1}\) que\(2\,{\rm\AA}^{-1}\), y\(\veF\sim 1\,{eV}-10\,{eV}\). Debido a los efectos de la red cristalina, los electrones en un sólido se comportan como si tuvieran una masa efectiva\(m^*\) que normalmente es del orden de la masa electrónica pero muy a menudo aproximadamente un orden de magnitud menor, particularmente en semiconductores.

Las dispersiones no isotrópicas\(\ve(\Bk)\) son más interesantes ya que dan lugar a superficies Fermi no esféricas. El ejemplo más simple es el de un modelo bidimensional de 'unión estrecha' de electrones que saltan sobre una red cuadrada, como puede ser apropiado en ciertos materiales estratificados. La relación de dispersión es entonces\[\ve(k\ns_x,k\ns_y)=-2t\,\cos(k\ns_x a) -2t\,\cos(k\ns_y a)\ ,\] donde\(k\ns_x\) y\(k\ns_y\) se limitan al intervalo\(\big[-\frac{\pi}{a},\frac{\pi}{a}\big]\). La cantidad\(t\) tiene dimensiones de energía y se conoce como la integral de salto. La superficie Fermi es el conjunto de puntos\((k\ns_x,k\ns_y)\) que satisface\(\ve(k\ns_x,k\ns_y)=\veF\). Cuando\(\veF\) alcanza su valor mínimo de\(\ve^{min}_\RF=-4t\), la superficie de Fermi colapsa hasta un punto en\((k\ns_x,k\ns_y)=(0,0)\). Para energías justo por encima de este valor mínimo, podemos expandir la dispersión en una serie de potencias, escribiendo\[\ve(k\ns_x,k\ns_y)=-4t + ta^2\,\big(k_x^2 + k_y^2\big) - \frac{1}{12}\, ta^4\,\big(k_x^4 + k_y^4\big) + \ldots\ .\] Si sólo trabajamos en orden cuadrático en\(k\ns_x\) y\(k\ns_y\), la dispersión es isotrópica, y la superficie Fermi es un círculo, con\(k_\RF^2=(\veF+4t)/ta^2\). A medida que la energía aumenta aún más, la invarianza\(\RO(2)\) rotacional continua se descompone en el grupo discreto de rotaciones del cuadrado,\(C\ns_{4v}\). Las superficies de Fermi se distorsionan y eventualmente, en\(\veF=0\), la superficie Fermi es en sí misma un cuadrado. A\(\veF\) medida que aumenta aún más, el cuadrado se vuelve a convertir en círculo, pero centrado alrededor del punto\(\big(\frac{\pi}{a},\frac{\pi}{a}\big)\). Tenga en cuenta que todo es periódico en\(k\ns_x\) y\(k\ns_y\) módulo\(\frac{2\pi}{a}\). Las superficies de Fermi para este modelo se representan en el panel superior derecho de la Figura [fermisurfos].

[fermisurfas] Superficies de Fermi para estructuras bidimensionales y tridimensionales. Arriba izquierda: partículas libres en dos dimensiones. Parte superior derecha: electrones de 'unión apretada' en una celosía cuadrada. Inferior izquierda: Superficie de Fermi para cesio, que está compuesta predominantemente por electrones en la capa\(6s\) orbital. Inferior derecha: la superficie Fermi de itrio tiene dos partes. Una parte (amarilla) se debe predominantemente a\(5s\) los electrones, mientras que la otra (rosa) se debe a\(4d\) los electrones. (Fuente: www.phys.ufl.edu/fermisurface/)

Las superficies Fermi en tres dimensiones pueden ser realmente muy interesantes, y de gran importancia para comprender las propiedades electrónicas de los sólidos. Dos ejemplos se muestran en los paneles inferiores de la Figura [fermisurfos]. La configuración electrónica del cesio (Cs) es\([{Xe}]\,6s^1\). \(6s\)Los electrones 'saltan' de sitio a sitio en una red cúbica centrada en el cuerpo (BCC), una generalización del modelo de salto de celosía cuadrada bidimensional simple discutido anteriormente. La celda unitaria elemental en el\(\Bk\) espacio, conocida como la primera zona Brillouin, resulta ser un dodecaedro. En el itrio, la estructura electrónica es\([{Kr}]\,5s^2\,4d^1\), y hay dos bandas de energía electrónica a nivel Fermi, es decir, dos superficies Fermi. El itrio forma una estructura cristalina hexagonal empaquetada (HCP), y su primera zona Brillouin tiene forma de pastillero hexagonal.

Superficies de Fermi girar-split

Considera un gas de electrones en un campo magnético externo\(H\). El Hamiltoniano de partícula única es entonces

\[\HH={\Bp^2\over 2m} +\muB H\,\sigma\]

donde\(\muB\) está el magnetón Bohr,

\[\begin{split} \muB&={e\hbar\over 2m c}=5.788\times 10^{-9}\,{eV}/\RG\\ \muB/\kB&=6.717\times 10^{-5}\,\RK/\RG \end{split}\]

donde\(m\) está la masa de electrones. ¿Qué sucede\(T=0\) con un gas de electrones que no interactúa en un campo magnético?

Los electrones de cada polarización de espín forman sus propias superficies Fermi. Es decir, hay una superficie de Fermi de giro hacia arriba, con el evector de ondas Fermi\(\kFu\), y una superficie de Fermi de giro hacia abajo, con el evector de ondas Fermi\(\kFd\). Las energías individuales de Fermi, en cambio, deben ser iguales, de ahí

\[{\hbar^2 k_{\RF\uar}^2\over 2m} + \muB H = {\hbar^2 k_{\RF\dar}^2\over 2m} - \muB H,\]

que dice

\[k_{\RF\dar}^2-k_{\RF\uar}^2={2e H\over\hbar c}\ .\]

La densidad total es

\[n={k_{\RF\uar}^3\over 6\pi^2} + {k_{\RF\dar}^3\over 6\pi^2} \qquad\Longrightarrow\qquad k_{\RF\uar}^3+k_{\RF\dar}^3=6\pi^2 n.\]

Claramente la superficie de Fermi de giro hacia abajo crece y la superficie de Fermi de giro ascendente se contrae con el aumento\(H\). Finalmente, el giro minoritario de la superficie Fermi se desvanece por completo. Esto sucede para los giros ascendentes cuando\(\kFu=0\). Resolviendo para el campo crítico, obtenemos

\[H\ns_\Rc={\hbar c\over 2e}\cdot\big(6\pi^2 n\big)^{1/3}.\]

En sólidos magnéticos reales, como el cobalto y el níquel, las superficies de Fermi giratorio-divididas no son esferas, al igual que en el caso de las superficies Fermi (degenerado por espín) para Cs e Y mostradas en la Figura [fermisurfas].

La expansión de Sommerfeld

Al tratar con el gas Fermi ideal, encontraremos repetidamente integrales de la forma\[\CI(T,\mu)\equiv\!\!\!\int\limits_{-\infty}^\infty\!\!\!d\ve\>f(\ve-\mu)\,\phi(\ve)\ .\] La expansión de Sommerfeld proporciona una forma sistemática de expandir estas expresiones en potencias de\(T\) y es una herramienta analítica importante en el análisis de las propiedades a baja temperatura del gas Fermi ideal (IFG ).

Empezamos definiendo\[\Phi(\ve)\equiv\!\!\!\int\limits_{-\infty}^\ve\!\!\!d\ve'\>\phi(\ve')\] así que\(\phi(\ve)=\Phi'(\ve)\). Entonces tenemos\[\begin{split} \CI&=\!\!\!\int\limits_{-\infty}^\infty\!\!\!d\ve\>f(\ve-\mu)\,{d\Phi\over d\ve}\\ &=-\!\!\!\int\limits_{-\infty}^\infty\!\!\!d\ve\>f'(\ve)\>\Phi(\mu+\ve)\ , \end{split}\] donde asumimos\(\Phi(-\infty)=0\). A continuación, invocamos el teorema de Taylor, para escribir\[\begin{split} \Phi(\mu+\ve)&=\sum_{n=0}^\infty {\ve^n\over n\,!}\>{d^n\!\Phi\over d\mu^n}\\ &=\exp\left(\ve\>{d\over d\mu}\right)\,\Phi(\mu)\ . \end{split}\] Esta última expresión que involucra lo exponencial de un operador diferencial puede parecer demasiado formal pero resulta extremadamente útil. Ya que\[f'(\ve)=-{1\over\kT}\,{e^{\ve/\kT}\over \big(e^{\ve/\kT}+1\big)^2}\ ,\] podemos escribir\[\CI=\!\!\!\int\limits_{-\infty}^\infty\!\!\!dv\>{e^{vD}\over (e^v+1)(e^{-v}+1)}\>\Phi(\mu)\ ,\] con\(v=\ve/\kT\), donde\[D=\kT\,{d\over d\mu}\] es un operador diferencial adimensional. La integral ahora se puede hacer usando los métodos de integración compleja: ¹⁴\[\begin{split} \int\limits_{-\infty}^\infty\!\!\!dv\>{e^{vD}\over (e^v+1)(e^{-v}+1)}&=2\pi i\sum_{n=1}^\infty {Res} \Bigg[{e^{vD}\over (e^v+1)(e^{-v}+1)}\Bigg]\nd_{v=(2n+1)i\pi}\\ &=-2\pi i\sum_{n=0}^\infty D\,e^{(2n+1)i\pi D}\bvph\\ &=-{2\pi i D\,e^{i\pi D}\over 1-e^{2\pi i D}}=\pi D\,\csc\pi D\quad. \label{vcon} \end{split}\]

[vcontour] Deformación del contorno de integración compleja en Ecuación [vcon].

Así,\[\CI(T,\mu)=\pi D\csc(\pi D)\,\Phi(\mu)\ ,\] que se entiende como el operador diferencial\(\pi D \csc(\pi D)=\pi D/\sin(\pi D)\) que actúa sobre la función\(\Phi(\mu)\). Apelando una vez más al teorema de Taylor, tenemos\[\pi D\csc(\pi D) = 1+{\pi^2\over 6}\,(\kT)^2\,{d^2\over d\mu^2} + {7\pi^4\over 360}\,(\kT)^4\,{d^4\over d\mu^4} + \ldots\ .\] Así,\[\begin{split} \CI(T,\mu)&=\!\!\!\int\limits_{-\infty}^\infty\!\!\!d\ve\>f(\ve-\mu)\,\phi(\ve)\\ &=\!\!\!\int\limits_{-\infty}^\mu\!\!\!d\ve\,\phi(\ve) + {\pi^2\over 6}\,(\kT)^2\,\phi'(\mu) + {7\pi^4\over 360}\,(\kT)^4\,\phi'''(\mu) + \ldots\ . \end{split}\] Si\(\phi(\ve)\) es una función polinómica de su argumento, entonces cada derivada efectivamente reduce el orden del polinomio en un grado, y el parámetro adimensional de la expansión es\((T/\mu)^2\). Este procedimiento se conoce como la expansión de Sommerfeld.

Cambio de potencial químico

Como nuestra primera aplicación del formalismo de expansión de Sommerfeld, vamos a calcular\(\mu(n,T)\) para el gas Fermi ideal. La densidad\(n(T,\mu)\) numérica es\[\begin{split} n&=\!\!\!\int\limits_{-\infty}^\infty\!\!\!d\ve\>g(\ve)\>f(\ve-\mu)\\ &=\!\!\!\int\limits_{-\infty}^\mu\!\!\!d\ve\>g(\ve) + {\pi^2\over 6}\>(\kT)^2\>g'(\mu) + \ldots\ . \end{split}\] Escribamos\(\mu=\veF+\delta\mu\), dónde\(\veF=\mu(T=0,n)\) está la energía Fermi, que es el potencial químico en\(T=0\). Tenemos entonces\[\begin{split} n&=\!\!\!\!\int\limits_{-\infty}^{\veF+\delta\mu}\!\!\!\!d\ve\>g(\ve) + {\pi^2\over 6}\>(\kT)^2\>g'(\veF+\delta\mu) + \ldots\\ &=\!\!\!\int\limits_{-\infty}^{\veF}\!\!\!d\ve\,g(\ve) + g(\veF)\,\delta\mu + {\pi^2\over 6}\>(\kT)^2\>g'(\veF) + \ldots\ , \end{split}\] de lo que derivamos\[\delta\mu=-{\pi^2\over 6}\>(\kT)^2\>{g'(\veF)\over g(\veF)} + \CO(T^4)\ . \label{dmueqn}\] Tenga en cuenta que\(g'/g=(\ln g)'\). Para una dispersión balística, suponiendo\(\Sg=2\),\[g(\ve)=2\int\!\!{d^3\!k\over (2\pi)^3}\>\delta\bigg(\ve-{\hbar^2 k^2\over 2m}\bigg)={m\, k(\ve)\over\pi^2\hbar^2}\bigg|\nd_{k(\ve)={1\over\hbar} \sqrt{2m\ve}}\] Así,\(g(\ve)\propto\ve^{1/2}\) y\((\ln g)'=\half\,\ve^{-1}\), así\[\mu(n,T)=\veF-{\pi^2\over 12}\,{(\kT)^2\over\veF}+\ldots\ ,\] donde\(\veF(n)=\frac{\hbar^2}{2m} (3\pi^2 n)^{2/3}\).

Calor específico

La energía del gas de electrones es\[\begin{split} {E\over V}&=\!\!\!\int\limits_{-\infty}^\infty\!\!\!d\ve\>g(\ve)\>\ve\,f(\ve-\mu)\\ &=\!\!\!\int\limits_{-\infty}^\mu\!\!\!d\ve\>g(\ve)\,\ve + {\pi^2\over 6}\>(\kT)^2\>{d\over d\mu}\Big( \mu\,g(\mu)\Big) + \ldots\\ &=\!\!\!\int\limits_{-\infty}^{\veF}\!\!\!d\ve\>g(\ve)\,\ve + g(\veF)\,\veF\,\delta\mu + {\pi^2\over 6}\>(\kT)^2\,\veF\,g'(\veF) +{\pi^2\over 6}\>(\kT)^2\,g(\veF) + \ldots\\ &=\ve\ns_0 + {\pi^2\over 6}\>(\kT)^2\,g(\veF) + \ldots\ , \end{split}\] donde\(\ve\ns_0=\!\!\!\int\limits_{-\infty}^{\veF}\!\!\!d\ve\>g(\ve)\,\ve\,\). es la densidad de energía del estado fundamental (energía del estado fundamental por unidad de volumen). Así, al orden\(T^2\),\[C\ns_{V,N}=\pabc{E}{T}{V,N}={\pi^2\over 3}\,V k_\ssr{B}^2\, T\,g(\veF)\equiv V\gamma\, T\ ,\] dónde\(\gamma(n)={\pi^2\over 3}\>k_\ssr{B}^2\,g\big(\veF(n)\big)\). Obsérvese que la capacidad calorífica molar es\[c\ns_V={\NA\over N}\cdot C\ns_{V}={\pi^2\over 3} R\cdot{\kT\,g(\veF)\over n} ={\pi^2\over 2}\bigg({\kT\over\veF}\bigg)\,R\ , \label{mhceg}\] donde en la última expresión en el RHS hemos asumido una dispersión balística, para lo cual\[{g(\veF)\over n}={\Sg\,m \kF\over 2\pi^2\hbar^2}\cdot{6\pi^2\over\Sg\,k_\ssr{F}^3}={3\over 2\,\veF}\ .\] La capacidad calorífica molar en la Ecuación [mhceg] debe compararse con el valor de gas ideal clásico de\(\frac{3}{2}R\). En relación con el gas ideal clásico, el valor de IFG se reduce en una fracción de\((\pi^2/3)\times(\kT/\veF)\), que en la mayoría de los metales es muy pequeño e incluso a temperatura ambiente es sólo del orden de\(10^{-2}\). La mayor parte de la capacidad calorífica de los metales a temperatura ambiente se debe a la energía almacenada en las vibraciones de la red.

Una manera más nítida de derivar la capacidad calorífica ¹⁵: Comenzando con la Ecuación [dmueqn] para\(\mu(T)-\veF\equiv\delta\mu(T)\,\), tenga en cuenta que\(g(\veF)=dn/d\veF\,\), por lo que podemos escribir\(\delta\mu=-{\pi^2\over 6}(\kT)^2 (d g/dn)+\CO(T^4)\,\). A continuación, utilice la relación Maxwell\((\pz S/\pz N)\ns_{T,V}=-(\pz\mu/\pz T)\ns_{N,V}\) para llegar a\[\pabc{s}{n}{T}={\pi^2\over 3}\,k_\ssr{B}^2 T\,{\pz g(\veF)\over\pz n}+ \CO(T^3)\quad,\] donde\(s=S/V\) está la entropía por unidad de volumen. Ahora usa\(S(T=0)=0\) e integra con respecto a la densidad\(n\) a llegar\(S(T,V,N)=V\gamma T\), donde\(\gamma(n)\) se define anteriormente.

Susceptibilidad magnética

Paramagnetismo Pauli

El magnetismo tiene dos orígenes: (i) corrientes orbitales de partículas cargadas, y (ii) momento magnético intrínseco. El momento magnético intrínseco\(\Bm\) de una partícula está relacionado con su giro mecánico cuántico a través de\[\Bm=g\mu\ns_0\BS/\hbar \qquad, \qquad \mu\ns_0={q\hbar\over 2mc}={magneton}\ ,\] dónde\(g\) está el\(g\) factor de la partícula,\(\mu\ns_0\) su momento magnético, y\(\BS\) es el vector de operadores de espín mecánico cuántico que satisfacen \(\big[S^\alpha\,,\,S^\beta\big]=i\hbar\eps\ns_{\alpha\beta\gamma}\,S^\gamma\), relaciones de\((2)\) conmutación SU. El hamiltoniano para una sola partícula es entonces\[\begin{split} \HH&={1\over 2m^*}\Big(\Bp-{q\over c}\BA\Big)^{\!\!2} -\BH\ncdot\Bm\bvph\\ &={1\over 2m^*}\Big(\Bp+{e\over c}\BA\Big)^{\!\!2} + {g\over 2}\,\muB H\,\sigma\ , \end{split}\] donde en la última línea hemos restringido nuestra atención al electrón, para lo cual\(q=-e\). El\(g\) factor -para un electrón está\(g=2\) a nivel de árbol, y cuando se contabilizan las correcciones radiativas usando electrodinámica cuántica (QED) se encuentra\(g= 2.0023193043617(15)\). Para nuestros propósitos podemos tomar\(g=2\), aunque siempre podemos absorber la pequeña diferencia en la definición de\(\muB\), la escritura\(\muB\to {\tilde\mu}\ns_\ssr{B}=g e\hbar/4mc\). Hemos elegido el\(\zhat\) -eje en el espacio de giro para apuntar en la dirección del campo magnético, y escribimos los valores propios de\(S^z\) as\(\half\hbar\sigma\), dónde\(\sigma=\pm 1\). La cantidad\(m^*\) es la masa efectiva del electrón, que mencionamos anteriormente. Una distinción importante es que es la\(m^*\) que entra en el término de energía cinética\(\Bp^2/2m^*\), pero es la masa electrónica\(m\) misma (\(m=511\,\)KeV) la que entra en la definición del magnetón Bohr. Discutiremos más adelante las consecuencias de esto.

En ausencia de acoplamiento magnético orbital, la dispersión de partículas individuales es\[\ve\ns_\sigma(\Bk)={\hbar^2\Bk^2\over 2m^*} + \mutB H\,\sigma\ .\] At\(T=0\), tenemos los resultados de § 8.3.1. En finito\(T\), volvemos a utilizar la expansión Sommerfeld. Entonces tenemos Ahora\[\begin{split} n&=\!\int\limits_{-\infty}^\infty\!\!\!d\ve\>g\ns_\uar(\ve)\,f(\ve-\mu) \> + \int\limits_{-\infty}^\infty\!\!\!d\ve\>g\ns_\dar(\ve)\,f(\ve-\mu) \\ &=\half\!\int\limits_{-\infty}^\infty\!\!\!d\ve\>\Big\{ g(\ve-\mutB H) + g(\ve+\mutB H)\Big\}\,f(\ve-\mu)\\ &=\!\int\limits_{-\infty}^\infty\!\!\!d\ve\>\Big\{g(\ve) + (\mutB H)^2\,g''(\ve) + \ldots\Big\}\, f(\ve-\mu)\ . \end{split}\] invocamos la expensión de Sommerfeld para encontrar la dependencia de la temperatura:\[\begin{split} n&=\!\int\limits_{-\infty}^\mu\!\!\!d\ve\>g(\ve) + {\pi^2\over 6}\,(\kT)^2\,g'(\mu) + (\mutB H)^2\,g'(\mu) + \ldots\\ &=\!\int\limits_{-\infty}^{\veF}\!\!\!d\ve\>g(\ve) + g(\veF)\,\delta\mu + {\pi^2\over 6}\,(\kT)^2\,g'(\veF) + (\mutB H)^2\,g'(\veF) + \ldots\ . \end{split}\] Tenga en cuenta que la densidad de estados para las especies de espín\(\sigma\)\(g(\ve)\) es\[g\ns_\sigma(\ve)=\half \, g(\ve-\mutB H\sigma)\ ,\] donde está la densidad total de estados por unidad de volumen, para ambas especies de espín, en ausencia de un campo magnético. Se concluye que el cambio de potencial químico en un campo externo es\[\delta\mu(T,n, H)=-\bigg\{ {\pi^2\over 6}\,(\kT)^2 + (\mutB H)^2\bigg\}\ {g'(\veF)\over g(\veF)} + \ldots\ .\]

[FSMag] Distribuciones de Fermi en presencia de un campo magnético externo acoplado a Zeeman.

A continuación calculamos la diferencia\(n\ns_\uar-n\ns_\dar\) en las densidades de los electrones de espín ascendente y descendente: No\[\begin{split} n\ns_\uar-n\ns_\dar&=\!\int\limits_{-\infty}^\infty\!\!\!d\ve\>\Big\{g\ns_\uar(\ve)-g\ns_\dar(\ve)\Big\}\,f(\ve-\mu)\\ &=\half\!\int\limits_{-\infty}^\infty\!\!\!d\ve\>\Big\{ g(\ve-\mutB H) - g(\ve+\mutB H)\Big\}\,f(\ve-\mu)\\ &=-\mutB H\cdot\pi D\csc(\pi D)\,g(\mu)+ \CO( H^3)\ . \end{split}\] tenemos que ir más allá del trivial término de orden más bajo en la expansión de Sommerfeld, porque ya se supone que\(H\) es pequeño. Así, la densidad de magnetización es\[M=-\mutB(n\ns_\uar-n\ns_\dar)={\tilde \mu}^2_\ssr{B}\,g(\veF)\, H\ .\] en la que se encuentra la susceptibilidad magnética\[\xhi=\bigg({\pz M\over\pz H}\bigg)\nd_{T,N}={\tilde \mu}^2_\ssr{B}\,g(\veF)\ .\] Esto se llama la susceptibilidad paramagnética de Pauli.

Dimagnetismo Landau

Cuando se incluyen los efectos orbitales, los niveles de energía de una sola partícula están dados por\[\ve(n,k\ns_z,\sigma)=(n+\half)\hbar\omega\ns_\Rc + {\hbar^2 k_z^2\over 2m^*} + \mutB H\,\sigma\ .\] Aquí\(n\) hay un índice de nivel Landau, y\(\omega\ns_\Rc=e H/m^* c\) es la frecuencia de ciclotrón. Tenga en cuenta que\[{\mutB H\over\hbar\omega\ns_\Rc}={ge\hbar H\over 4mc}\cdot{m^*c\over\hbar e H}={g\over 4}\cdot{m^*\over m}\ .\] En consecuencia, definimos la relación\(r\equiv (g/2)\times (m^*/m)\). Entonces podemos escribir\[\ve(n,k\ns_z,\sigma)=\big(n+\half+\half r\sigma\big)\hbar\omega\ns_\Rc + {\hbar^2 k_z^2\over 2m^*}\ .\] El gran potencial es dado entonces por\[\Omega=-{ H A\over\phi\ns_0}\cdot L\ns_z\cdot\kT\!\!\int\limits_{-\infty}^\infty\!\!{dk\ns_z\over 2\pi}\>\sum_{n=0}^\infty \sum_{\sigma=\pm 1} \ln\!\Big[ 1+ e^{\mu/\kT}\,e^{-(n+{1\over 2} + {1\over 2} r\sigma)\hbar\omega\ns_\Rc/\kT}\,e^{-\hbar^2 k_z^2/2m^*\kT}\Big]\ .\] Algunas palabras están en orden aquí respecto al prefactor. En presencia de un campo magnético uniforme, los niveles de energía de una partícula cargada balística bidimensional colapsan en niveles Landau. El número de estados por nivel Landau escala con el área del sistema, y es igual al número de cuantos de flujo a través del sistema:\(N\ns_\phi= H A/\phi\ns_0\), donde\(\phi\ns_0=hc/e\) está el flujo cuántico Dirac. Tenga en cuenta que de\[{ H A\over\phi\ns_0}\cdot L\ns_z\cdot\kT=\hbar\omega\ns_\Rc\cdot{V\over\lambda_T^3}\ ,\] ahí podemos escribir\[\Omega(T,V,\mu, H)=\hbar\omega\ns_\Rc\sum_{n=0}^\infty\sum_{\sigma=\pm 1} Q\big((n+\half+\half r\sigma)\hbar\omega\ns_\Rc-\mu\big)\ ,\] donde ahora\[Q(\ve)=-{V\over\lambda_T^2}\!\int\limits_{-\infty}^\infty\!\!{dk\ns_z\over 2\pi}\>\ln\!\Big[ 1+ e^{-\ve/\kT}e^{-\hbar^2 k_z^2/2m^*\kT}\Big]\ .\] invocamos la fórmula de Euler-MacLaurin,\[\sum_{n=0}^\infty F(n)=\int\limits_0^\infty\!\!dx\>F(x) + \half\,F(0) - \frac{1}{12}\,F'(0) + \ldots\ ,\] resultando en\[\begin{split} \Omega&=\sum_{\sigma=\pm 1}\Bigg\{\int\limits^{\infty}_{{1\over 2}(1+r\sigma)\hbar\omega\ns_\Rc}\hskip-0.74cm d\ve\>Q(\ve-\mu) +\half\,\hbar\omega\ns_\Rc\,Q\big(\half(1+r\sigma)\hbar\omega\ns_\Rc-\mu\big)\\ &\hskip 3cm - \frac{1}{12}\,(\hbar\omega_\Rc)^2\,Q'\big(\half(1+r\sigma)\hbar\omega\ns_\Rc-\mu\big) + \ldots \Bigg\} \end{split}\]

A continuación nos expandimos en potencias del campo magnético\(H\) para obtener\[\Omega(T,V,\mu, H)=2\!\int\limits^{\infty}_0\!\!d\ve\>Q(\ve-\mu) + \big(\fourth r^2-\frac{1}{12}\big)\,(\hbar\omega\ns_\Rc)^2\,Q'(-\mu) + \ldots\ .\] Así, la susceptibilidad magnética es\[\begin{split} \xhi&=-{1\over V}{\pz^2\!\Omega\over\pz H^2}=\big(r^2-\third\big)\cdot{\tilde\mu}_\ssr{B}^2\cdot \big(m/m^*\big)^2\cdot \Big(\!-{2\over V}\,Q'(-\mu)\Big)\bvph\\ &=\bigg({g^2\over 4}-{m^2\over 3{m^*}^2}\bigg)\cdot {\tilde\mu}_\ssr{B}^2\cdot n^2\kappa\nd_T\ , \end{split}\] donde\(\kappa\ns_T\) está la compresibilidad isotérmica ¹⁶. En la mayoría de los metales tenemos\(m^*\approx m\) y el término entre paréntesis es positivo (recordar\(g\approx 2\)). En semiconductores, sin embargo, podemos tener\(m^*\ll m\); por ejemplo en GaAs tenemos\(m^*=0.067\,m\,\). Así, los semiconductores pueden tener una respuesta diamagnética. Si tomamos\(g=2\) y\(m^*=m\), vemos que las corrientes orbitales dan lugar a una contribución diamagnética a la susceptibilidad magnética que es exactamente\(-\third\) veces tan grande como la contribución que surge del acoplamiento Zeeman. El resultado neto es entonces paramagnético (\(\xhi>0\)) y\(\frac{2}{3}\) tan grande como la susceptibilidad de Pauli. Las corrientes orbitales se pueden entender dentro del contexto de la ley de Lenz.

Ejercicio: Demuéstralo\(-\frac{2}{V}\,Q'(-\mu)=n^2\kappa\ns_T\).

Formación de momentos en sistemas de electrones itinerantes que interactúan

El modelo Hubbard

Un gas electrónico que no interactúa exhibe paramagnetismo o diamagnetismo, dependiendo del signo de\(\xhi\), pero nunca desarrolla un momento magnético espontáneo:\(\BM(\BH=0)=0\). ¿Qué da origen al magnetismo en los sólidos? De manera abrumadora, la respuesta es que la repulsión de Coulomb entre electrones es la responsable del magnetismo, en aquellos casos en los que surge el magnetismo. Al principio pensé que esto podría parecer extraño, ya que la interacción de Coulomb es independiente del giro. ¿Cómo entonces puede conducir a un momento magnético espontáneo?

Para entender cómo la repulsión de Coulomb lleva al magnetismo, es útil considerar un sistema de interacción modelo, descrito por el hamiltoniano\[\HH=-t\sum_{\ij,\sigma}\Big(c\yd_{i\sigma}c\nd_{j\sigma} + c\yd_{j\sigma}c\nd_{i\sigma}\Big) +U\sum_i n\nd_{i\uar}\,n\nd_{i\dar}+ \muB\BH\cdot\sum_{i,\alpha,\beta} c\yd_{i\alpha}\,\Bsigma\nd_{\alpha\beta}\,c\nd_{i\beta}\ .\] Este no es otro que el famoso modelo Hubbard, que ha servido como una especie de piedra Rosetta para los sistemas de electrones que interactúan. El primer término describe el salto de electrones a lo largo de los enlaces de alguna red regular (el símbolo\(\ij\) denota un vínculo entre sitios\(i\) y\(j\)). El segundo término describe la repulsión local (in situ) de los electrones. Se trata de un modelo orbital único, por lo que la repulsión existe cuando se intenta poner dos electrones en el orbital, con polarización de espín opuesta. Por lo general, el\(U\) parámetro Hubbard está en el orden de electrón voltios. El último término es la interacción Zeeman de los espines electrónicos con un campo magnético externo. Los efectos orbitales se pueden modelar asociando una fase\(\exp(iA\nd_{ij})\) al elemento de matriz de salto\(t\) entre sitios\(i\) y\(j\), donde la suma dirigida de\(A\nd_{ij}\) alrededor de una plaqueta produce el flujo magnético total a través de la plaqueta en unidades de\(\phi\ns_0=hc/e\). Aquí ignoraremos los efectos orbitales. Tenga en cuenta que el término de interacción es de corto alcance, mientras que la interacción de Coulomb cae como\(1/|\BR_i-\BR_j|\). Por lo tanto, el modelo Hubbard no es realista, aunque los efectos de cribado en metales efectivamente hacen que la interacción sea de corto alcance.

Dentro del modelo Hubbard, el término de interacción es local y está escrito como\(U n\nd_\uar n\nd_\dar\) en cualquier sitio dado. Este término favorece un momento local. Esto se debe a que el potencial químico fijará el valor medio de la ocupación total\(n\nd_\uar + n\nd_\dar\), en cuyo caso siempre paga para maximizar la diferencia\(|n\nd_\uar - n\nd_\dar|\).

Teoría del campo de la media de Stoner

No hay métodos generales disponibles para resolver incluso para el estado fundamental de un hamiltoniano de muchos cuerpos que interactúa. Resolveremos este problema usando una teoría de campo promedio debido a Stoner. La idea es escribir la ocupación\(n\ns_{i\sigma}\) como una suma de términos promedio y fluctuantes:\[n\ns_{i\sigma}=\langle n\ns_{i\sigma}\rangle + \delta n\ns_{i\sigma}\ .\] Aquí,\(\langle n\ns_{i\sigma}\rangle\) está el promedio termodinámico; la ecuación anterior puede entonces tomarse como una definición de la pieza fluctuante,\(\delta n\ns_{i\sigma}\). Suponemos que el promedio es independiente del sitio. Esta es una suposición significativa, pues si bien entendemos por qué cada sitio debe favorecer el desarrollo de un momento, no está claro que todos estos momentos locales deban querer alinearse paralelos entre sí. En efecto, en una celosía bipartita, es posible que los momentos locales individuales en sitios vecinos sean antiparalelos, correspondientes a un orden antiferromagnético de los pines. Nuestra teoría de campo medio será una para estados ferromagnéticos.

Ahora escribimos el término de interacción como\[\begin{split} n\nd_{i\uar}n\nd_{i\dar}&= \langlen\nd_\uar\rangle \,\langlen\nd_\dar\rangle + \langle n\nd_\uar\rangle\,\deltan\nd_{i\dar} + \langlen\nd_\dar\rangle\,\deltan\nd_{i\uar}+ \stackrel {({fluct}^\Rs)^2} {\overbrace{ \deltan\nd_{i\uar}\,\deltan\nd_{i\dar}}}\\ &= -\langlen\nd_\uar\rangle\,\langlen\nd_\dar\rangle + \langlen\nd_\uar\rangle\,n\nd_{i\dar} +\langlen\nd_\dar\rangle\,n\nd_{i\uar}+ \CO\big( (\delta n)^2\big)\\ &=\fourth(m^2-n^2)+\half n\,(n\nd_{i\uar}+n\nd_{i\dar}) + \half m\, (n\nd_{i\uar}-n\nd_{i\dar}) + \CO\big( (\delta n)^2\big)\quad, \end{split}\] dónde\(n\) y\(m\) son la ocupación promedio por giro y polarización de espín promedio, cada uno por celda unitaria:\[\begin{split} n&=\langle n\nd_\dar\rangle + \langle n\nd_\uar \rangle \\ m&= \langle n\nd_\dar\rangle - \langle n\nd_\uar \rangle\ , \end{split}\]\(\langle n\ns_{\sigma} \rangle=\half(n-\sigma m)\). El campo medio granónico hamiltoniano canónico\(\CK=\HH-\mu\CN\), entonces puede escribirse como\[\begin{split} \CK^\ssr{MF}&=-\half\sum_{i,j,\sigma} t\nd_{ij} \Big(c\yd_{i\sigma}c\nd_{j\sigma} + c\yd_{j\sigma}c\nd_{i\sigma}\Big) - \big(\mu-\half Un\big)\sum_{i\sigma} c\yd_{i\sigma}c\nd_{i\sigma}\\ &\qquad + \big(\muB H +\half U m\big)\sum_{i\sigma} \sigma\, c\yd_{i\sigma}c\nd_{i\sigma} +\fourth N_{sites}\,U(m^2-n^2)\quad , \end{split}\] donde hemos cuantificado los giros a lo largo de la dirección de\(\BH\), definido como\(\zhat\). Deberías tomar nota de dos cosas aquí. Primero, el potencial químico se desplaza hacia abajo (o las energías de los electrones se desplazan hacia arriba) en una cantidad\(\half Un\), correspondiente a la energía promedio de repulsión con el fondo. Segundo, el campo magnético efectivo se ha desplazado en una cantidad\(\half Um/\muB\), por lo que el campo efectivo es\[H\ns_{eff}=H + {Um\over 2\muB}\ .\] Las dispersiones de partículas individuales desnudas están dadas por\(\ve\ns_\sigma(\Bk)=-{\hat t}(\Bk)+\sigma\muB H\), dónde\[{\hat t}(\Bk)=\sum_\BR t(\BR)\,e^{-i\Bk\cdot\BR}\ ,\] y\(t\ns_{ij}=t(\BR\ns_i-\BR\ns_j)\). Para vecino más cercano saltando sobre una celosía cúbica\(d\) -dimensional,\(\Ht(\Bk)=-t\sum_{\mu=1}^d \cos(k\ns_\mu a)\), donde\(a\) está la constante de celosía. Incluyendo los efectos medios de campo, las dispersiones efectivas de partículas individuales se vuelven\[{\widetilde\ve}\ns_\sigma(\Bk)=-{\hat t}(\Bk) - \half U n + \big(\muB H + \half U m\big)\,\sigma\ .\]

Ahora resolvemos la teoría del campo medio, mediante la obtención de la energía libre por sitio,\(\vphi(n,T,H)\). Primero, tenga en cuenta que\(\vphi=\omega+\mu n\), donde\(\omega=\Omega/N_{sites}\) está el Landau, o gran canónico, energía libre por sitio. Esto se desprende de la relación general\(\Omega=F-\mu N\); nótese que el número total de electrones es\(N=n N_{sites}\), ya que\(n\) es el número de electrones por celda unitaria (incluyendo ambas especies de espín). Si\(g(\ve)\) es la densidad de estados por celda unitaria (en lugar de por unidad de volumen), entonces tenemos ¹⁷\[\vphi=\fourth U(m^2 + n^2)+{\bar\mu}n -\half \kT\!\!\!\impi\!d\ve\,g(\ve)\,\bigg\{ \ln\Big(1+e^{({\bar\mu}-\ve-\Delta)/\kT}\Big) + \ln\Big(1+e^{({\bar\mu}-\ve+\Delta)/\kT}\Big)\bigg\}\] donde\({\bar\mu}\equiv\mu-\half Un\) y\(\Delta\equiv\muB H + \half Um\). De esta energía libre derivamos dos ecuaciones autoconsistentes para\(\mu\) y\(m\). El primero viene de exigir que\(\vphi\) sea una función de\(n\) y no de\(\mu\),\(\pz \vphi/\pz\mu=0\), lo que lleva a\[n=\half \!\!\impi\!d\ve\,g(\ve)\,\Big\{f(\ve-\Delta-{\bar\mu}) + f(\ve+\Delta-{\bar\mu}) \Big\}\ , \label{neqn}\] donde\(f(y)=\big[\exp(y/\kT)+1\big]^{-1}\) está la función Fermi. La segunda ecuación proviene de minimizar\(f\) con respecto al momento promedio\(m\):\[m=\half\!\!\impi\!d\ve\,g(\ve)\,\Big\{f(\ve-\Delta-{\bar\mu}) - f(\ve+\Delta-{\bar\mu}) \Big\}\ . \label{meqn}\]

Aquí, resolveremos la primera ecuación, la eq. [neqn], y utilizar los resultados para generar una expansión Landau de la energía libre\(\vphi\) en poderes de\(m^2\). Asumimos que\(\Delta\) es pequeño, en cuyo caso podemos escribir\[n=\impi\!d\ve\,g(\ve)\,\Big\{ f(\ve-{\bar\mu}) + \half\Delta^2\,f''(\ve-{\bar\mu}) + \frac{1}{24}\,\Delta^4\,f''''(\ve-{\bar\mu}) + \ldots\Big\}\ .\label{nexpan}\] Escribimos\({\bar\mu}(\Delta)={\bar\mu}\ns_0+\delta{\bar\mu}\) y expandimos en\(\delta{\bar\mu}\). Ya que\(n\) se fija en nuestro conjunto (canónico), tenemos\[n=\!\impi\!d\ve\,g(\ve)\,f\big(\ve-{\bar\mu}\ns_0\big)\ ,\] que define\({\bar\mu}\ns_0(n,T)\). ¹⁸ Los términos restantes en la\(\delta{\bar\mu}\) expansión de la Ecuación [nexpan] deben sumar a cero. Esto produce\[D({\bar\mu}\ns_0) \,\delta{\bar\mu}+ \half\Delta^2\,D'({\bar\mu}\ns_0) + \half(\delta{\bar\mu})^2\,D'({\bar\mu}\ns_0) + \half D''({\bar\mu}\ns_0)\,\Delta^2\,\delta{\bar\mu} +\frac{1}{24}\,D'''({\bar\mu}\ns_0)\,\Delta^4 + \CO(\Delta^6)=0\ ,\] donde\[D(\mu)=-\!\!\int\limits_{-\infty}^\infty\!\!\!d\ve\>g(\ve)\,f'(\ve-\mu)\] está la densidad desnuda promediada térmicamente de estados en energía\(\mu\). Tenga en cuenta que el\(k^{th}\) derivado es\[D^{(k)}(\mu)=-\!\int\limits_{-\infty}^\infty\!\!\!d\ve\>g^{(k)}(\ve)\,f'(\ve-\mu)\ .\] Resolviendo para\(\delta{\bar\mu}\), obtenemos\[\delta{\bar\mu}=-\half a\ns_1\Delta^2 - \frac{1}{24}\big(3 a_1^3 - 6 a\ns_1 a\ns_2 + a\ns_3\big)\,\Delta^4 + \CO(\Delta^6)\ ,\] donde\[a\ns_k\equiv {D^{(k)}({\bar\mu}\ns_0)\over D({\bar\mu}\ns_0)}\ .\]

Después de integrar por partes e insertar este resultado para\(\delta{\bar\mu}\) en nuestra expresión para la energía libre\(f\), obtenemos la expansión\[\begin{aligned} \vphi(n,T,m)&=\vphi\ns_0(n,T) + \fourth Um^2 - \half D({\bar\mu}\ns_0)\,\Delta^2 + \frac{1}{8}\Bigg({\big[D'({\bar\mu}\ns_0)\big]^2\over D({\bar\mu}\ns_0)}-\frac{1}{3}\,D''({\bar\mu}\ns_0)\Bigg)\, \Delta^4 + \ldots\ ,\end{aligned}\] donde prime denota diferenciación con respecto al argumento, at\(m=0\), y\[\vphi\ns_0(n,T)=\fourth Un^2 + n {\bar\mu}\ns_0 - \!\impi\!d\ve\>\CN(\ve)\, f\big(\ve-{\bar\mu}\ns_0\big)\ ,\] donde\(g(\ve)=\CN'(\ve)\), así\(\CN(\ve)\) es el desnudo integrado densidad de estados por celda unitaria en ausencia de cualquier campo magnético (incluyendo ambas especies de espín).

Suponemos que\(H\) y\(m\) son pequeños, en cuyo caso\[\vphi=\vphi\ns_0 + \half a m^2 + \fourth b m^4 -\half\xhi\ns_0\,H^2 - {U\xhi\ns_0\over 2\muB}\,Hm +\ldots\ ,\] dónde\(\xhi\ns_0=\mu_\ssr{B}^2\, D({\bar\mu}\ns_0)\) está la susceptibilidad Pauli, y\[a=\half U\big(1-\half UD)\quad,\quad b=\frac{1}{32}\Bigg({{(D')}^2\over D}-\frac{1}{3}\,D''\Bigg)\,U^4\quad ,\] donde está el argumento de cada uno de\(D^{(k)}\) arriba\({\bar\mu}\ns_0(n,T)\). La densidad de magnetización (por celda unitaria, en lugar de por unidad de volumen) viene dada por\[M=-{\pz \vphi\over\pz H}=\xhi\ns_0 H + {U\xhi\ns_0\over 2\muB}\,m\ .\] Minimizar con respecto a\(m\) rendimientos\[am + bm^3 - {U\xhi\ns_0\over 2\muB}\,H=0\ ,\] que da, para pequeños\(m\), Por lo tanto\[m={\xhi\ns_0\over \muB}\,{H\over 1-\half UD}\ .\] obtenemos\(M=\xhi\,H\) con\[\xhi={\xhi\ns_0\over 1-{U\over U_\Rc}}\ ,\] donde\[U_\Rc={2\over D({\bar\mu}\ns_0)}\ .\] El denominador de\(\xhi\) aumenta la susceptibilidad por encima del valor de Pauli desnudo\(\xhi\ns_0\), y se conoce como —no te engañe— la mejora de Stoner (ver Fig. [stenfig]).

[stenfig] Un estudiante de posgrado experimenta la mejora de Stoner.

Cabe destacar que la magnetización por celda unitaria viene dada por\[M=-{1\over N_{sites}}\,{\delta\HH\over\delta H}=\muB m\ .\] Esta es una identidad de operador y es válida para cualquier valor de\(m\), y no sólo pequeño\(m\).

Cuando todavía\(H=0\) podemos obtener un momento magnético, siempre y cuando\(U>U_\Rc\). Esto es consecuencia de la teoría simple de Landau que hemos derivado. Resolviendo para\(m\) cuando\(H=0\) da\(m=0\) cuando\(U<U_\Rc\) y\[m(U)=\pm\bigg({U\over 2b\,U_\Rc}\bigg)^{\!1/2}\,\sqrt{U-U_\Rc}\ ,\] cuando\(U>U_\Rc\), y asumiendo\(b>0\). Así tenemos el parámetro de orden de campo medio habitual exponente de\(\beta=\half\).

Solución antiferromagnética

Además del ferromagnetismo, puede haber otros estados ordenados que resuelvan la teoría del campo medio. Uno de esos ejemplos es el antiferromagnetismo. En una red bipartita, se obtiene la teoría del campo medio antiferromagnético de\[\langle n\ns_{i\sigma}\rangle = \half n+\half \sigma\,e^{i\BQ\cdot\BR_i}\,m\ ,\] donde\(\BQ=(\pi/a,\pi/a,\ldots,\pi/a)\) se encuentra el detector de ondas de orden antiferromagnético. El gran hamiltoniano canónico es entonces\[\begin{aligned} \CK^\ssr{MF}&=-\half\sum_{i,j,\sigma} t\ns_{ij} \Big(c\yd_{i\sigma}c\nd_{j\sigma} + c\yd_{j\sigma}c\nd_{i\sigma}\Big) -\big(\mu-\half Un\big)\sum_{i\sigma} c\yd_{i\sigma}c\nd_{i\sigma} \nonumber\\ &\qquad +\half U m\sum_{i\sigma} e^{i\BQ\cdot\BR_i}\,\sigma\, c\yd_{i\sigma}c\nd_{i\sigma}+\fourth N_{sites}\,U(m^2-n^2)\\ &=\half\sum_{\Bk\sigma} \begin{pmatrix}c\yd_{\Bk,\sigma} & c\yd_{\Bk+\BQ,\sigma}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \ve(\Bk) - \mu+ \half Un & \half \sigma\, Um\\ \half \sigma\, U m & \ve(\Bk+\BQ)-\mu + \half Un\end{pmatrix} \begin{pmatrix} c\nd_{\Bk,\sigma} \\ c\nd_{\Bk+\BQ,\sigma}\end{pmatrix}\nonumber\\ &\qquad\qquad +\fourth N_{sites}\,U(m^2-n^2)\ ,\end{aligned}\] donde\(\ve(\Bk)=-{\hat t}(\Bk)\), como antes. En una celosía bipartita, con vecino más cercano saltando solamente, tenemos\(\ve(\Bk+\BQ)=-\ve(\Bk)\). La matriz anterior es diagonalizada por una transformación unitaria, dando los valores propios\[\lambda\ns_\pm=\pm\sqrt{\ve^2(\Bk)+\Delta^2}-{\bar\mu}\\\] with \(\Delta=\half U m\) and \({\bar\mu}=\mu-\half Un\) as before. The free energy per unit cell is then \[\begin{aligned} \vphi&=\fourth U(m^2 + n^2)+{\bar\mu}n\\ &\qquad\qquad -\half \kT\!\!\!\impi\!d\ve\,g(\ve)\,\bigg\{ \ln\Big(1+e^{\left({\bar\mu}-\sqrt{\ve^2+\Delta^2}\right)/\kT}\Big) + \ln\Big(1+e^{\left({\bar\mu}+\sqrt{\ve^2+\Delta^2}\right)/\kT}\Big)\bigg\}\ .\nonumber\end{aligned}\] Las ecuaciones de campo medio son entonces\[\begin{aligned} n&=\half\!\!\impi\!d\ve\,g(\ve)\,\Big\{f\!\left(-\sqrt{\ve^2+\Delta^2}-{\bar\mu}\right) + f\!\left(\sqrt{\ve^2+\Delta^2}-{\bar\mu}\right)\Big\}\\ {1\over U}&=\half\!\!\impi\!d\ve\ {g(\ve)\over\sqrt{\ve^2+\Delta^2}}\, \Big\{f\!\left(-\sqrt{\ve^2+\Delta^2}-{\bar\mu}\right) - f\!\left(\sqrt{\ve^2+\Delta^2}-{\bar\mu}\right)\Big\} .\end{aligned}\] Como en el caso del ferroimán, una solución paramagnética con\(m=0\) siempre existe, en cuyo caso la segunda de las ecuaciones anteriores ya no es válida.

Diagrama de fase de campo medio del modelo Hubbard

Comparemos las teorías de campo medio para los estados ferromagnéticos y antiferromagnéticos en\(T=0\) y\(H=0\). Debido a la simetría partícula-agujero, podemos asumir\(0\le n\le 1\) sin pérdida de generalidad. (Las soluciones se repiten bajo\(n\to 2-n\).) Para el paramagnet, tenemos\[\begin{aligned} n&=\!\int\limits_{-\infty}^{\bar\mu}\!\!\!d\ve\>g(\ve)\\ \vphi&=\fourth Un^2 + \!\int\limits_{-\infty}^{\bar\mu}\!\!\!d\ve\>g(\ve)\,\ve\quad ,\end{aligned}\] con\({\bar\mu}=\mu-\half U n\) es la energía Fermi 'renormalizada' y\(g(\ve)\) es la densidad de estados por celda unitaria en ausencia de cualquier ruptura de simetría explícita (\(H\)) o implícita (\(m\)), incluyendo ambas polarizaciones de espín.

Para el ferroimán,\[\begin{aligned} n&=\half\!\!\!\int\limits_{-\infty}^{{\bar\mu}-\Delta}\!\!\!\!d\ve\>g(\ve)+ \half\!\!\!\int\limits_{-\infty}^{{\bar\mu}+\Delta}\!\!\!\!d\ve\,g(\ve)\\ {4\Delta\over U}&=\!\!\int\limits_{{\bar\mu}-\Delta}^{{\bar\mu}+\Delta} \!\!\!\!d\ve\,g(\ve)\\ \vphi&=\fourth U n^2 \> - \> {\Delta^2\over U} \> + \!\int\limits_{-\infty}^{{\bar\mu}-\Delta}\!\! \!\!d\ve\>g(\ve)\,\ve\ +\!\!\int\limits_{-\infty}^{{\bar\mu}+\Delta}\!\!\!\!d\ve\>g(\ve)\,\ve\quad .\end{aligned}\] Aquí,\(\Delta=\half U m\) es distinto de cero en la fase ordenada.

Finalmente, las ecuaciones de campo medio antiferromagnético son\[\begin{aligned} n\ns_

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\label{dela}\\ \vphi&=\fourth U n^2+{\Delta^2\over U} -\!\int\limits_{\ve\ns_0}^\infty\!\!d\ve\,g(\ve)\, \sqrt{\ve^2+\Delta^2}\quad ,\end{aligned}\] dónde\(\ve\ns_0=\sqrt{{\bar\mu}^2-\Delta^2}\) y\(\Delta=\half U m\) como antes. Tenga en cuenta que\(|{\bar\mu}|\ge\Delta\) para estas soluciones. Exactamente a medio llenado, tenemos\(n=1\) y\({\bar\mu}=0\). Entonces establecemos\(\ve\ns_0=0\).

La transición de paramagnet a ferroimán puede ser de primer o segundo orden, dependiendo de los detalles de\(g(\ve)\). Si de segundo orden, ocurre en\(U_\Rc^\ssr{F}=1\big/g({\bar\mu}\ns_\ssr{P})\), donde\({\bar\mu}_\ssr{P}(n)\) está la solución paramagnética para\({\bar\mu}\). La transición de paramagnet a antiferroimán es siempre de segundo orden en esta teoría de campo promedio, ya que el RHS de la Ecuación ([dela]) es una función monotónica de\(\Delta\). Esta transición se produce en\(U_\Rc^\ssr{A}=2\bigg/\!\!\int\limits_

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^\infty\!\!d\ve\,g(\ve) \,\ve^{-1}\). Tenga en cuenta que\(U_\Rc^\ssr{A}\to 0\) logarítmicamente para\(n\to 1\), ya que\({\bar\mu}\ns_\ssr{P}=0\) a medio llenado.

Para grandes\(U\), la solución ferromagnética siempre tiene la energía más baja, y por lo tanto si\(U_\Rc^\ssr{A} < U_\Rc^\ssr{F}\), habrá una transición de antiferroimán a ferroimán de primer orden en algún valor\(U^*>U_\Rc^\ssr{F}\). En la Figura [hpd], grafico el diagrama de fases obtenido resolviendo las ecuaciones de campo medias asumiendo una densidad semicircular de estados\(g(\ve)=\frac{2}{\pi}\,W^{-2}\sqrt{W^2-\ve^2}\). También se muestra el diagrama de fases para el modelo Hubbard de celosía\(d=2\) cuadrada obtenido por J. Hirsch (1985).

[hpd] Diagrama de fases de campo medio del modelo Hubbard, incluyendo las fases paramagnética (P), ferromagnética (F) y antiferromagnética (A). Panel izquierdo: resultados usando una densidad semicircular de estados en función de medio ancho de banda\(W\). Panel derecho: resultados utilizando una densidad de celosía cuadrada bidimensional de estados con salto de vecino más cercano\(t\), de J. E. Hirsch, Phys. Rev. B 31, 4403 (1985). El límite de fase entre las fases F y A es de primer orden.

¿Qué tan bien describe la teoría de Stoner la física del modelo Hubbard? Los cálculos cuánticos de Monte Carlo de J. Hirsch (1985) encontraron que el diagrama de fases real de la celosía\(d=2\) cuadrada Modelo Hubbard no exhibe ferromagnetismo para ninguno\(n\) hasta\(U=10\). Además, encontró que la fase antiferromagnética estaba completamente confinada a la línea vertical\(n=1\). Para\(n\ne 1\) y\(0\le U \le 10\), el sistema es un paramagnet ¹⁹. Estos resultados fueron de última generación en ese momento, pero tanto la potencia informática como los algoritmos numéricos para interactuar con los sistemas cuánticos han avanzado considerablemente desde 1985. Sin embargo, a partir de 2018, ¡todavía no tenemos una comprensión clara del diagrama de\(T=0\) fases del modelo\(d=2\) Hubbard! Existe un cuerpo emergente de evidencia numérica ²⁰ de que en el régimen subdopado (\(n<1\)), hay porciones del diagrama de fases que exhiben un ordenamiento de bandas, en el que el orden antiferromagnético es interrumpido por una matriz paralela de defectos de línea conteniendo agujeros sobrantes (la ausencia de un electrón) ²¹. Este problema ha resultado ser inesperadamente rico, complejo y numéricamente difícil de resolver debido a la presencia de estados ordenados en competencia, como la superconductividad de\(d\) onda y las fases magnéticas espirales, que se encuentran cerca en energía con respecto a la supuesta franja estado de tierra.

Para lograr una solución ferromagnética, parece necesario introducir la frustración geométrica, ya sea mediante la inclusión de una amplitud de salto de vecino más cercano\(t'\) o definiendo el modelo en celosías no bipartitas. El trabajo numérico de M. Ulmke (1997) mostró la existencia de una fase ferromagnética\(T=0\) en el modelo Hubbard de celosía FCC para\(U=6\) y\(n\in [0.15,0.87]\) (aproximadamente).

Estrellas enanas blancas

Hay una agradable discusión sobre este material en R. K. Pathria, Mecánica Estadística. Como modelo, considere una masa\(M\sim 10^{33}\,\Rg\) de helio a densidades nucleares\(\rho\sim 10^7\,\Rg/{cm}^3\) y temperatura\(T\sim 10^7\,\RK\). Esta temperatura es mucho mayor que la energía de ionización de\({}^4\) Él, de ahí que podamos asumir con seguridad que todos los átomos de helio están ionizados. Si hay\(N\) electrones, entonces el número de\(\alpha\) partículas (Núcleos\({}^4\) He) debe ser\(\half N\). La masa de la\(\alpha\) partícula es\(m\ns_\alpha\approx 4 m\ns_\Rp\). La masa estelar total\(M\) se debe casi por completo a los núcleos de\(\alpha\) partículas.

La densidad de electrones es entonces\[n={N\over V}={2\cdot M/4m\ns_\Rp\over V}={\rho\over 2m\ns_\Rp}\approx 10^{30}\,{cm}^{-3}\ ,\] desde\(M=N\cdot m\ns_\Re + \half N\cdot 4m\ns_\Rp\). De la densidad\(n\) numérica que encontramos para los electrones\[\begin{split} \kF=(3\pi^2 n)^{1/3}&=2.14\times 10^{10}\,{cm}^{-1}\\ p\ns_\RF=\hbar\kF&=2.26\times 10^{-17}\,\Rg\,{cm}/\Rs\\ mc&=(9.1\times 10^{-28}\,\Rg)(3\times 10^{10}\,\Rm/\Rs)=2.7\times 10^{-17}\,\Rg\,{cm}/\Rs\ . \end{split}\] Desde\(p\ns_\ssr{F}\sim mc\), concluimos que los electrones son relativistas. Entonces será la temperatura de Fermi\(T\ns_\RF\sim mc^2\sim 10^6\,{eV}\sim 10^{12}\,\RK\). Así,\(T\ll T\ns_\Rf\) que dice que el gas de electrones está degenerado y puede considerarse que está en\(T\sim 0\). Entonces necesitamos entender las propiedades del estado básico del gas de electrones relativistas.

La energía cinética viene dada por\[\ve(\Bp)=\sqrt{\Bp^2 c^2 + m^2 c^4} - mc^2\ .\] La velocidad es\[\Bv={\pz\ve\over\pz\Bp}={\Bp c^2\over \sqrt{p^2 c^2 + m^2 c^4}} \ .\] La presión en el estado fundamental es\[\begin{split} p\ns_0&=\third n \langle \Bp\cdot\Bv\rangle\\ &={1\over 3\pi^2\hbar^3}\int\limits_0^{p\ns_\RF}\!\!dp\> p^2\cdot {p^2 c^2\over \sqrt{p^2 c^2 + m^2 c^4}}\\ &={m^4 c^5\over 3\pi^2\hbar^3}\int\limits_0^{\theta\ns_\RF}\!\! d\theta\>\sinh^4\!\theta\\ &={m^4 c^5\over96\pi^2\hbar^3}\>\big(\!\sinh(4\theta\ns_\RF) - 8\sinh(2\theta\ns_\RF)+12\,\theta\ns_\RF\big)\ , \end{split}\] donde usamos la sustitución\[p=mc\sinh\theta\quad,\quad v=c\tanh\theta\quad\Longrightarrow\quad \theta=\half\ln\!\bigg({c+v\over c-v}\bigg)\ .\] Tenga en cuenta que\(p\ns_\RF=\hbar k\ns_\RF=\hbar (3\pi^2 n)^{1/3}\), y que\[n={M\over 2m\ns_\Rp V}\qquad\Longrightarrow\qquad 3\pi^2 n={9\pi\over 8}\,{M\over R^3\,m\ns_\Rp}\ .\]

Ahora en equilibrio la presión\(p\) se equilibra con la presión gravitacional. Tenemos\[dE\ns_0=-p\ns_0\,dV =-p\ns_0(R)\cdot 4\pi R^2\,dR\ .\] Esto debe ser equilibrado por la gravedad:\[dE\ns_\Rg=\gamma\cdot {GM^2\over R^2}\>dR\ ,\] donde\(\gamma\) depende de la distribución de masa radial. Equilibrio implica entonces\[p\ns_0(R)={\gamma\over 4\pi}\,{GM^2\over R^4}\ .\]

[Whitedwarf] Relación masa-radio para estrellas enanas blancas. (Fuente: Wikipedia).

Para encontrar la relación\(R=R(M)\), debemos resolver\[{\gamma\over 4\pi}\,{gM^2\over R^4}= {m^4 c^5\over96\pi^2\hbar^3}\>\big(\!\sinh(4\theta\ns_\RF) - 8\sinh(2\theta\ns_\RF) +12\,\theta\ns_\RF\big)\ .\] Tenga en cuenta que\[\sinh(4\theta\ns_\RF) - 8\sinh(2\theta\ns_\RF)+ 12\theta\ns_\RF= \begin{cases} \frac{96}{15}\,\theta_\RF^5 & \theta\ns_\RF\to 0 \\ & \\ \half \,e^{4\theta\ns_\RF} & \theta\ns_\RF\to\infty\ . \end{cases} \label{cases}\] Así, podemos escribir\[p\ns_0(R)={\gamma\over 4\pi}\,{gM^2\over R^4}=\begin{cases} {\hbar^2\over 15\pi^2 m}\,\left({9\pi\over 8}\,{M\over R^3\,m\ns_\Rp}\right)^{\!5/3}& \theta\ns_\RF \to 0 \\ & \\ {\hbar c\over 12\pi^2}\left({9\pi\over 8}\,{M\over R^3\,m\ns_\Rp}\right)^{\!4/3} & \theta\ns_\RF\to\infty\ . \end{cases}\]

En el límite\(\theta\ns_\RF\to 0\), resolvemos para\(R(M)\) y encontramos\[R=\frac{3}{40\gamma}\,(9\pi)^{2/3}\,{\hbar^2\over G \, m_\Rp^{5/3} \,m\,M^{1/3} }\propto M^{-1/3}\ .\] En el límite opuesto\(\theta\ns_\RF\to\infty\), los\(R\) factores se dividen y obtenemos\[M=M\ns_0={9\over 64}\,\bigg({3\pi\over\gamma^3}\bigg)^{\!\!1/2}\bigg({\hbar c\over G}\bigg)^{\!\!3/2}{1\over m_\Rp^2}\ .\] Para encontrar la\(R\) dependencia, debemos ir más allá de la expansión de orden más bajo de la Ecuación [casos], en cuyo caso encontramos \[R=\bigg({9\pi\over 8}\bigg)^{\!\!1/3}\,\bigg({\hbar\over mc}\bigg)\,\bigg({M\over m\ns_\Rp}\bigg)^{\!\!1/3}\Bigg[ 1-\left({M\over M\ns_0}\right)^{\!\!2/3}\Bigg]^{\!1/2}\ .\]El valor\(M\ns_0\) es el tamaño limitante para una enana blanca. Se llama el límite de Chandrasekhar.