5.9: Apéndice I- Segunda Cuantización

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Estados Bases y Operadores de Creación/Aniquilación

La segunda cuantificación es un esquema conveniente para etiquetar los estados de base de un sistema cuántico de muchas partículas. En última instancia, nos interesan las soluciones de la ecuación de muchos cuerpos Schr ö dinger,\[\HH\RPsi(\Bx\ns_1,\ldots,\Bx\ns_N) = E\,\RPsi(\Bx\ns_1,\ldots,\Bx\ns_N)\] donde el hamiltoniano es\[\HH=-{\hbar^2\over 2m}\sum_{i=1}^N \bnabla_i^2 + \sum_{j<k}^N V(\Bx\ns_j-\Bx\ns_k)\quad.\] A las etiquetas de coordenadas también\(\{\Bx\ns_1,\ldots\Bx\ns_N\}\) podemos anexar etiquetas para grados internos de libertad, como la polarización de espín, denotada\(\{\zeta\ns_1,\ldots,\zeta\ns_N\}\). Ya que\(\big[\HH,\sigma\big]=0\) para todas las permutaciones\(\sigma\in S\ns_N\), las funciones de onda de muchos cuerpos pueden elegirse para transformarse de acuerdo con representaciones irreducibles del grupo simétrico\(S\ns_N\). Así, para cualquiera\(\sigma\in S\ns_N\),\[\RPsi\big(\Bx\ns_{\sigma(1)},\ldots,\Bx\ns_{\sigma(N)}\big)=\bigg\{ {1\atop \textsf{sgn}(\sigma)}\bigg\}\,\RPsi(\Bx\ns_1,\ldots,\Bx\ns_N)\quad,\] donde la opción superior es para las estadísticas de Bose-Einstein y el signo inferior para las estadísticas de Fermi-Dirac. Aquí\(\Bx\ns_j\) puede incluir no solo las coordenadas espaciales de la partícula\(j\), sino también su (s) número (s) cuántico interno (s), como\(\zeta\ns_j\).

Una base conveniente para los muchos estados del cuerpo se obtiene a partir de los estados propios de una sola partícula\(\big\{\tket{\alpha}\big\}\) de algunos hamiltonianos de una sola partícula\(\HH\ns_0\), con\(\sbraket{\Bx}{\alpha}=\vphi\ns_\alpha(\Bx)\) y\(\HH\ns_0\,\tket{\alpha}=\ve\ns_\alpha\,\tket{\alpha}\). La base podrá tomarse como ortonormal,\(\braket{\alpha}{\alpha'}=\delta\ns_{\alpha\alpha'}\). Ahora define\[\RPsi\ns_{\alpha\ns_1,\ldots,\alpha\ns_N}(\Bx\ns_1,\ldots,\Bx\ns_N)={1\over\sqrt{N!\prod_\alpha n\ns_\alpha!}}\sum_{\sigma\in S\ns_N} \bigg\{ {1\atop \textsf{sgn}(\sigma)}\bigg\}\ \vphi\ns_{\alpha\ns_{\sigma(1)}}(\Bx\ns_1) \cdots \vphi\ns_{\alpha\ns_{\sigma(N)}}(\Bx\ns_N)\quad.\] Aquí\(n\ns_\alpha\) está el número de veces que\(\alpha\) aparece el índice entre el conjunto\(\{\alpha\ns_1,\ldots,\alpha\ns_N\}\). Para las estadísticas de BE,\(n\ns_\alpha\in\{0,1,2,\ldots\}\), mientras que para las estadísticas de FD,\(n\ns_\alpha\in\{0,1\}\). Obsérvese que los estados anteriores están normalizados ²²:\[\begin{aligned} \int\!d^d\!x\ns_1\cdots\!\int\!d^d\!x\ns_N\>\big|\RPsi\ns_{\alpha\ns_1\cdots\alpha\ns_N}(\Bx\ns_1,\ldots,\Bx\ns_N)\big|^2&= {1\over N!\prod_\alpha n\ns_\alpha!}\sum_{\sigma,\mu\in S\ns_N} \bigg\{ {1\atop \textsf{sgn}(\sigma\mu)}\bigg\}\ \prod_{j=1}^N\int\!d^d\!x\ns_j \ \vphi^*_{\alpha\ns_{\sigma(j)}}(\Bx\ns_j)\,\vphi\ns_{\alpha\ns_{\mu(j)}}(\Bx\ns_j) \nonumber \\ &={1\over\prod_\alpha n\ns_\alpha!}\sum_{\sigma\in S\ns_N} \prod_{j=1}^N \delta\ns_{\alpha\ns_j,\alpha\ns_{\sigma(j)}} = 1\quad.\end{aligned}\] Obsérvese\[\begin{split} \sum_{\sigma\in S\ns_N} \vphi\ns_{\alpha\ns_{\sigma(1)}}(\Bx\ns_1) \cdots \vphi\ns_{\alpha\ns_{\sigma(N)}}(\Bx\ns_N) & \equiv \textsf{per}\big\{ \vphi\ns_{\alpha\ns_i}(\Bx\ns_j)\big\} \\ \sum_{\sigma\in S\ns_N} \textsf{sgn}(\sigma)\> \vphi\ns_{\alpha\ns_{\sigma(1)}}(\Bx\ns_1) \cdots \vphi\ns_{\alpha\ns_{\sigma(N)}}(\Bx\ns_N) & \equiv \textsf{det}\big\{ \vphi\ns_{\alpha\ns_i}(\Bx\ns_j)\big\} \quad, \end{split}\] lo que significa permanente y determinante, respectivamente. Ahora podemos escribir\[\RPsi\ns_{\alpha\ns_1\cdots\,\alpha\ns_N}(\Bx\ns_1,\ldots,\Bx\ns_N)=\braket{\Bx\ns_1, \cdots, \Bx\ns_N}{\alpha\ns_1\cdots\alpha\ns_N}\quad,\] donde\[\ket{\alpha\ns_1\cdots\,\alpha\ns_N}={1\over\sqrt{N!\prod_\alpha n\ns_\alpha!}}\,\sum_{\sigma\in S\ns_N} \bigg\{ {1\atop \textsf{sgn}(\sigma)}\bigg\}\ \ket{\alpha\ns_{\sigma(1)}} \otimes \ket{\alpha\ns_{\sigma(2)}} \otimes \cdots \otimes \ket{\alpha\ns_{\sigma(N)}} \quad.\] Nótese eso\(\sket{\alpha\ns_{\sigma(1)}\cdots\alpha\ns_{\sigma(N)}}=(\pm 1)^\sigma\,\sket{\alpha\ns_1\cdots\alpha\ns_N}\), donde por\((\pm 1)^\sigma\) nos referimos\(1\) en el caso de las estadísticas BE y\(\sgn(\sigma)\) en el caso de las estadísticas de FD.

Podemos expresarnos\(\sket{\alpha\ns_1\cdots\alpha\ns_N}\) como un producto de operadores de creación que actúan sobre un vacío\(\sket{0}\) en el espacio Fock. Para bosones,\[\ket{\alpha\ns_1\cdots\,\alpha\ns_N}=\prod_\alpha {(b\yd_\alpha)^{n\ns_\alpha}\over\sqrt{n\ns_\alpha!}}\,\ket{0} \equiv \ket{\{n\ns_\alpha\}} \quad,\] con\[\big[b\nd_\alpha\,,\,b\nd_{\beta}\big]=0 \qquad,\qquad \big[b\yd_\alpha\,,\,b\yd_{\beta}\big]=0 \qquad,\qquad \big[b\nd_\alpha\,,\,b\yd_{\beta}\big]=\delta\ns_{\alpha\beta}\quad,\] dónde\([\,\bullet\,,\bullet\,]\) está el conmutador. Para fermiones,\[\ket{\alpha\ns_1\cdots\,\alpha\ns_N}=c\yd_{\alpha\ns_1} c\yd_{\alpha\ns_2}\cdots\, c\yd_{\alpha\ns_N}\,\ket{0} \equiv \ket{\{n\ns_\alpha\}} \quad,\] con\[\big\{c\nd_\alpha\,,\,c\nd_{\beta}\big\}=0 \qquad,\qquad \big\{c\yd_\alpha\,,\,c\yd_{\beta}\big\}=0 \qquad,\qquad \big\{c\nd_\alpha\,,\,c\yd_{\beta}\big\}=\delta\ns_{\alpha\beta}\quad,\] donde\(\{\bullet\,,\bullet\}\) esta el anticonmutador.

Segundos Operadores Cuantizados

Ahora considere la acción de permutación-simétricos primeros operadores cuantificados como\(\HT=-{\hbar^2\over 2m}\sum_{i=1}^N\bnabla_i^2\) y\(\HV=\sum_{i<j}^N \Hv(\Bx\ns_i-\Bx\ns_j)\). Para un operador de un solo cuerpo como\(\HT\), tenemos\[\begin{aligned} \expect{\alpha\ns_1\cdots\,\alpha\ns_N}{\HT}{\alpha'_1\cdots\,\alpha'_N} &=\int\!d^d\!x\ns_1\cdots\!\int\!d^d\!x\ns_N\> \Big(\prod_\alpha n\ns_\alpha!\Big)^{-1/2}\Big(\prod_\alpha n'_\alpha!\Big)^{-1/2} \times \\ &\hskip 0.5in \sum_{\sigma\in S\ns_N} (\pm 1)^\sigma\vphi^*_{\alpha\ns_{\sigma(1)}}(\Bx\ns_1)\cdots \vphi^*_{\alpha\ns_{\sigma(N)}}(\Bx\ns_N) \>\sum_{k=1}^N \HT\ns_i \>\vphi\ns_{\alpha'_{\sigma(1)}}(\Bx\ns_1)\cdots \vphi\ns_{\alpha'_{\sigma(N)}}\nonumber\\ &=\sum_{\sigma\in S\ns_N} (\pm 1)^\sigma\, \Big(\prod_\alpha n\ns_\alpha!\,n'_\alpha!\Big)^{-1/2} \sum_{i=1}^N \prod_{j\atop (j\ne i)}\delta\ns_{\alpha\ns_j,\alpha'_{\sigma(j)}} \int\!d^d\!x\ns_1\>\vphi^*_{\alpha\ns_i}(\Bx\ns_1)\,\HT\ns_1\, \vphi\ns_{\alpha'_{\sigma(i)}}(\Bx\ns_1)\quad.\nonumber\end{aligned}\] Uno puede verificar que cualquier operador de un solo cuerpo simétrico de permutación tal como\(\HT\) esté fielmente representado por la segunda expresión cuantificada,\[\HT=\sum_{\alpha,\beta}\expect{\alpha}{\HT}{\beta}\,\psi\yd_\alpha\,\psi\nd_\beta\quad,\] dónde\(\psi\yd_\alpha\) está\(b\yd_\alpha\) o\(c\yd_\alpha\) como determine la aplicación, y \[\expect{\alpha}{\HT}{\beta}=\int\!d^d\!x\ns_1\>\vphi^*_\alpha(\Bx\ns_1)\,\HT\ns_1\,\vphi\ns_\beta(\Bx\ns_1)\quad.\]Del mismo modo, los operadores de dos cuerpos como\(\HV\) se representan como\[\HV=\half\sum_{\alpha,\beta,\gamma,\delta} \expect{\alpha\beta}{\HV}{\gamma\delta}\,\psi\yd_\alpha\,\psi\yd_\beta \,\psi\nd_\delta\,\psi\nd_\gamma\quad,\] donde\[\expect{\alpha\beta}{\HV}{\gamma\delta}=\int\!d^d\!x\ns_1\!\int\!d^d\!x\ns_2\> \vphi^*_\alpha(\Bx\ns_1)\,\vphi^*_\beta(\Bx\ns_2)\, v(\Bx\ns_1-\Bx\ns_2)\,\vphi\ns_\delta(\Bx\ns_2)\,\vphi\ns_\gamma(\Bx\ns_1)\quad.\] La forma general para un operador\(n\) de cuerpo es entonces\[\HR={1\over n!}\sum_{\alpha\ns_1\cdots\,\alpha\ns_n\atop\beta\ns_1\cdots\,\beta\ns_n} \expect{\alpha\ns_1\cdots\,\alpha\ns_n}{\HR} {\beta\ns_1\cdots\,\beta\ns_n}\,\psi\yd_{\alpha\ns_n}\!\cdots\psi\yd_{\alpha\ns_n}\,\psi\nd_{\beta\ns_n}\!\cdots\psi\ns_{\beta\ns_1}\quad.\]

Finalmente, si el hamiltoniano no interactúa, consiste únicamente en operadores de un solo cuerpo\(\HH=\sum_{i=1}^N\Hh\ns_i\), entonces\[\HH=\sum_\alpha \ve\ns_\alpha\,\psi\yd_\alpha\,\psi\nd_\alpha\quad,\] dónde\(\{\ve\ns_\alpha\}\) está el espectro de cada partícula individual hamiltoniana\(\Hh\ns_i\).