5.10: Apéndice II- Condensación de Gas Bose Ideal

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Comenzamos con el gran canónico hamiltoniano\(K=H-\mu N\) para el gas Bose ideal,\[K=\sum_\Bk (\ve\ns_\Bk-\mu)\,b\yd_\Bk b\nd_\Bk - \sqrt{N}\sum_\Bk\big(\nu\ns_\Bk \,b\yd_\Bk + {\bar\nu}\nd_\Bk\, b\nd_\Bk\big)\quad.\] Aquí\(b\yd_\Bk\) está el operador de creación para un bosón en estado de oleaje\(\Bk\), de ahí\(\big[b\nd_\Bk\,,\,b\yd_{\Bk'}\big]=\delta\ns_{\Bk\Bk'}\). La relación de dispersión viene dada por la función\(\ve\ns_\Bk\), que es la energía de una partícula con evector de ondas\(\Bk\). Debemos tener\(\ve\ns_\Bk-\mu\ge 0\) para todos\(\Bk\), para que el espectro de no\(K\) quede ilimitado desde abajo. Los campos\(\{\nu\ns_\Bk,{\bar\nu}\ns_\Bk\}\) rompen una\(\SO(2)\) simetría global.

Los alumnos que no hayan cursado un curso de física en estado sólido pueden saltarse el siguiente párrafo, y tener en cuenta que\(N=V/v\ns_0\) es el volumen total del sistema en unidades de un volumen fundamental de “celda unitaria”. El límite termodinámico es entonces\(N\to\infty\). Tenga en cuenta que no\(N\) es el número de partícula de bosón, al que llamaremos\(N\ns_b\).

Boilerplate de la física de estado sólido: Presumimos un escenario en el que el espacio real hamiltoniano se define por algún modelo de salto de bosón en una celosía de Bravais. \(\Bk\)Los vectores de onda se restringen entonces a la primera zona Brillouin,\({\hat\ROmega}\), y asumiendo que las condiciones de límite periódicas se cuantifican de acuerdo con la condición\(\exp\!\big(i N_l\, \Bk\,\cdot\Ba\ns_l\big) = 1\) para todos\(l\in\{1,\ldots,d\}\), donde\(\Ba\ns_l\) está el vector de celosía directa\(l^{th}\) fundamental y\(N\ns_l\) es el tamaño del sistema en la\(\Ba\ns_l\) dirección;\(d\) es la dimensión del espacio. El número total de celdas unitarias es\(N\equiv \prod_l N\ns_l\). Por lo tanto, la cuantificación implica\(\Bk=\sum_l (2\pi n\ns_l/N\ns_l)\,\Bb\ns_l\), donde\(\Bb\ns_l\) está el vector reticular recíproco\(l^{th}\) elemental (\(\Ba\ns_l\cdot\Bb\ns_{l'}=2\pi\delta\ns_{ll'}\)) y\(n\ns_l\) rangos sobre enteros\(N\ns_l\) distintos de tal manera que los\(\Bk\) puntos permitidos forman una aproximación discreta a\({\hat\ROmega}\).

Para resolver, primero desplazamos a los operadores de creación y aniquilación de bosones, escribiendo\[K=\sum_\Bk (\ve\ns_\Bk-\mu)\,\beta\yd_\Bk\beta\nd_\Bk - N\sum_\Bk {|\nu\nd_\Bk|^2\over \ve\ns_\Bk-\mu}\quad,\] donde\[\beta\nd_\Bk= b\nd_\Bk - {\sqrt{N}\,\nu\nd_\Bk\over \ve\ns_\Bk-\mu}\qquad,\qquad \beta\yd_\Bk= b\yd_\Bk - {\sqrt{N}\,{\bar\nu}_\Bk\over \ve\ns_\Bk-\mu}\quad.\] Note que\(\big[\beta\nd_\Bk\,,\,\beta\yd_{\Bk'}\big]=\delta\nd_{\Bk\Bk'}\) así la transformación anterior es canónica. La energía libre Landau\(\Omega=-\kT\ln\Xi\), donde\(\Xi=\Tra\,e^{-K/k\ns_\RB T}\), viene dada por\[\Omega=N\kT\!\!\impi d\ve\>g(\ve)\,\ln\big(1-e^{(\mu-\ve)/k\ns_\Rb T}\big) - N\sum_\Bk { |\nu\nd_\Bk|^2\over \ve\nd_\Bk - \mu} \quad,\] donde\(g(\ve)\) está la densidad de los estados de energía por celda unitaria,\[g(\ve)={1\over N}\sum_\Bk\delta\big(\ve-\ve\ns_\Bk\big)\bmapright{N\to\infty}\int\limits_{\hat\ROmega}\!\!{ d^d\!k\over (2\pi)^d}\>\delta\big(\ve-\ve\ns_\Bk\big) \quad.\] Tenga en cuenta que\[\psi\ns_\Bk\equiv {1\over\sqrt{N}}\,\blangle b\nd_\Bk \brangle = -{1\over N}\,{\pz\Omega\over\pz{\bar\nu}\nd_\Bk} = {\nu\nd_\Bk\over\ve\ns_\Bk-\mu}\quad.\] En la fase condensada,\(\psi\ns_\Bk\) es distinto de cero.

La energía libre Landau (gran potencial) es una función\(\Omega(T,N,\mu,\nu,{\bar\nu})\). Ahora hacemos una transformación Legendre,\[Y(T,N,\mu,\psi,{\bar\psi})=\Omega(T,N,\mu,\nu,{\bar\nu}) + N\sum_\Bk\big(\nu\ns_\Bk{\bar\psi}\ns_\Bk + {\bar\nu}\ns_\Bk\psi\ns_\Bk\big)\quad.\] Tenga en cuenta que\[{\pz Y\over\pz{\bar\nu}\ns_\Bk}={\pz\Omega\over\pz{\bar\nu}\ns_\Bk} + N\psi\ns_\Bk=0\quad,\] por la definición de\(\psi\ns_\Bk\). De igual manera,\(\pz Y/\pz\nu\ns_\Bk=0\). Ahora tenemos\[Y(T,N,\mu,\psi,{\bar\psi})=N\kT\!\!\impi d\ve\>g(\ve)\,\ln\big(1-e^{(\mu-\ve)/k\ns_\Rb T}\big) + N\sum_\Bk(\ve\ns_\Bk-\mu)\,|\psi\nd_\Bk|^2\quad.\] Por lo tanto, el número de partículas de bosón por celda unitaria viene dado por la densidad adimensional,\[n={N\ns_b\over N}=-{1\over N}{\pz Y\over\pz\mu} = \sum_\Bk |\psi\nd_\Bk|^2 +\! \impi d\ve\>{g(\ve)\over e^{(\ve-\mu)/k\nd_\RB T} - 1 } \quad,\] y la amplitud del condensado en el evector de ondas\(\Bk\) es\[\nu\ns_\Bk = {1\over N}{\pz Y\over\pz{\bar\psi}\ns_\Bk\vphantom{A^B}} = (\ve\ns_\Bk-\mu)\,\psi\ns_\Bk\quad.\]

Recordemos que\(\nu\ns_\Bk\) actúa como un campo externo. Deje que la dispersión\(\ve\ns_\Bk\) se minimice en\(\Bk=\BK\). Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que este valor mínimo es\(\ve\ns_\BK=0\). Vemos que si\(\nu\ns_\Bk=0\) entonces uno de dos debe ser cierto:

• \(\psi\ns_\Bk=0\)para todos\(\Bk\)
• \(\mu=\ve\ns_\BK\), en cuyo caso\(\psi\ns_\BK\) puede ser distinto de cero.

Así, para\(\nu={\bar\nu}=0\) y\(\mu>0\), tenemos la ecuación habitual de estado,\[n(T,\mu)=\! \impi d\ve\>{g(\ve)\over e^{(\ve-\mu)/k\nd_\RB T} - 1 } \quad, \label{GDE}\] que relaciona las variables intensivas\(n\),\(T\), y\(\mu\). Cuando\(\mu=0\), la ecuación de estado se convierte en\[n(T,\mu=0) = \stackrel{n\ns_0}{\overbrace{\sum_\BK |\psi\nd_\BK|^2}} + \! \stackrel{n\ns_>(T)}{\overbrace{\impi d\ve\>{g(\ve)\over e^{\ve/k\nd_\RB T} - 1 }}} \quad, \label{condeqn}\] donde ahora se termina la suma sólo aquellos\(\BK\) para los cuales\(\ve\ns_\BK=0\). Normalmente este conjunto tiene un solo miembro\(\BK=0\), pero es muy posible, por razones de simetría, que haya más\(\BK\) valores de este tipo. Esta última ecuación de estado es aquella que relaciona las variables intensivas\(n\)\(T\), y\(n\ns_0\), donde\[n\ns_0=\sum_\BK |\psi\nd_\BK|^2\] está la densidad de condensado adimensional. Si la integral\(n\ns_>(T)\) en la Ecuación [condeqn] es finita, entonces para\(n>n\ns_0(T)\) nosotros debemos tener\(n\ns_0>0\). Tenga en cuenta que, para cualquiera\(T\),\(n\ns_>(T)\) diverge logarítmicamente siempre que\(g(0)\) sea finito. Esto significa que la Ecuación [GDE] siempre puede invertirse para producir un finito\(\mu(n,T)\), no importa cuán grande sea el valor de\(n\), en cuyo caso no hay condensación y\(n\ns_0=0\). Si\(g(\ve)\propto\ve^\alpha\) con\(\alpha>0\), la integral converge y\(n\ns_>(T)\) es finita y monótonamente creciente para todos\(T\). Así, para el número fijo adimensional\(n\), habrá una temperatura crítica\(T\ns_\Rc\) para la cual\(n=n\ns_>(T\ns_\Rc)\). Para\(T<T\ns_\Rc\), Ecuación [GDE] no tiene solución para ninguna\(\mu\) y debemos apelar a la Ecuación [condeqn]. La densidad del condensado, dada por\(n\ns_0(n,T)=n-n\ns_>(T)\), es entonces finita para\(T<T\ns_\Rc\), y desaparece para\(T\ge T\ns_\Rc\).

En la fase condensada, la fase del parámetro de orden\(\psi\) hereda su fase del campo externo\(\nu\), que se lleva a cero, de la misma manera la magnetización en la fase de simetría rota de un ferroimán de Ising hereda su dirección de un campo aplicado\(h\) que se toma a cero. La característica importante es que en ambos casos el campo aplicado es llevado a cero después de acercarse al límite termodinámico.