7.6: Teoría de Fluctuaciones de Campo Media

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Correlación y respuesta en la teoría de campos medios

Considera el modelo Ising,\[\HH=-\half\sum_{i,j} J\ns_{ij}\,\sigma\ns_i\,\sigma\ns_j - \sum_k H\ns_k\,\sigma\ns_k\ ,\] donde se\(k\) encuentra ahora el campo magnético local en el sitio\(H\ns_k\). Asumimos sin pérdida de generalidad que los términos diagonales desaparecen:\(J\ns_{ii}=0\). Ahora considere la función de partición\(Z=\Tra e^{-\beta\HH}\) como una función de la temperatura\(T\) y los valores del campo local\(\{H\ns_i\}\). Tenemos\[\begin{split} {\pz Z\over\pz H\ns_i}&=\beta\Tra\Big[\sigma\ns_i\,e^{-\beta \HH}\Big]=\beta Z\cdot\langle\sigma\ns_i\rangle\\ {\pz^2\!Z\over\pz H\ns_i\,\pz H\ns_j}&=\beta^2\Tra\Big[\sigma\ns_i\,\sigma\ns_j\,e^{-\beta \HH}\Big]=\beta^2 Z\cdot \langle\sigma\ns_i\,\sigma\ns_j\rangle\ . \end{split}\] Así,\[\begin{split} m\ns_i&=-{\pz F\over\pz H\ns_i}=\langle\sigma\ns_i\rangle\\ \xhi\ns_{ij}&={\pz m\ns_i\over\pz H\ns_j}=-{\pz^2\!F\over\pz H\ns_i\pz H\ns_j}={1\over\kT}\cdot\Big\{\langle\sigma\ns_i\,\sigma\ns_j\rangle -\langle\sigma\ns_i\rangle\,\langle\sigma\ns_j\rangle\Big\}\ . \end{split}\]

Expresiones como\(\langle\sigma\ns_i\rangle\),\(\langle\sigma\ns_i\,\sigma\ns_j\rangle\), se denominan en general funciones de correlación. Por ejemplo, definimos la función de correlación spin-spin\(C\ns_{ij}\) como\[C\ns_{ij}\equiv \langle\sigma\ns_i\,\sigma\ns_j\rangle-\langle\sigma\ns_i\rangle\,\langle\sigma\ns_j\rangle\ . \label{connavg}\] Expresiones tales como\({\pz F\over\pz H\ns_i}\) y\({\pz^2\!F\over\pz H\ns_i\,\pz H\ns_j}\) se llaman funciones de respuesta. La relación anterior entre funciones de correlación y funciones de respuesta,\(C\ns_{ij}=\kT\,\xhi\ns_{ij}\), es válida únicamente para la distribución de equilibrio. En particular, esta relación no es válida si se utiliza una distribución aproximada, como el formalismo de matriz de densidad variacional de la teoría de campos medios.

Surge entonces la pregunta: dentro de la teoría del campo medio, ¿cuál es más precisa: funciones de correlación o funciones de respuesta? Un simple argumento sugiere que las funciones de respuesta son representaciones más precisas de la física real. Para ver esto, escribamos la matriz de densidad variacional\(\vrh^{var}\) como la suma de la distribución de equilibrio exacto (Boltzmann)\(\vrh^{eq}=Z^{-1}\exp(-\beta\HH)\) más una desviación\(\delta\vrh\):\[\vrh^{var}=\vrh^{eq}+\delta\vrh\ .\] Entonces si calculamos un correlador usando la distribución variacional, tenemos\[\begin{split} \langle \sigma\ns_i\,\sigma\ns_j\rangle\ns_{var} &=\Tra\Big[\vrh^{var}\,\sigma\ns_i\,\sigma\ns_j\Big] \\ &=\Tra\Big[\vrh^{eq}\,\sigma\ns_i\,\sigma\ns_j\Big] +\Tra\Big[\delta\vrh\>\sigma\ns_i\,\sigma\ns_j\Big] \ . \end{split}\] Así, la matriz de densidad variacional obtiene el correlador derecho a primer orden en\(\delta\vrh\). Por otro lado, la energía libre viene dada por\[F^{var}=F^{eq} +\sum_{\Bsigma} {\pz F\over\pz\vrh\ns_\Bsigma}\bigg|\nd_{\vrh^{eq}}\!\!\! \delta\vrh\ns_\Bsigma +{1\over 2}\,\sum_{\Bsigma,\Bsigma'}{\pz^2\! F\over\pz\vrh\nd_{\Bsigma\nd}\pz\vrh\ns_{\Bsigma'}} \bigg|\nd_{\vrh^{eq}}\!\!\!\delta\vrh\ns_\Bsigma\, \delta\vrh\ns_{\Bsigma'}+ \ldots\ .\] Aquí\(\Bsigma\) denota un estado del sistema,\(\sket{\Bsigma}=\sket{\sigma\ns_1,\ldots,\sigma\ns_N}\), donde se especifica cada polarización de espín. Dado que la energía libre es un extremo (y de hecho un mínimo absoluto) con respecto a la distribución, el segundo término sobre el RHS desaparece. Esto significa que la energía libre es exacta a segundo orden en la desviación\(\delta\vrh\).

Cálculo de las funciones de respuesta

Consideremos la matriz de densidad variacional\[\vrh(\Bsigma)=\prod_i\vrh\ns_i(\sigma\ns_i)\ ,\] donde\[\vrh\ns_i(\sigma\ns_i)=\bigg({1+m\ns_i\over 2}\bigg)\,\delta_{\sigma\ns_i,1} + \bigg({1-m\ns_i\over 2}\bigg)\,\delta_{\sigma\ns_i,-1}\ .\] La energía variacional\(E=\Tra(\vrh\,\HH)\) es\[E=-\half\sum_{ij}J\ns_{i,j}\,m\ns_i \,m\ns_j - \sum_iH\ns_i\, m\ns_i\] y la entropía\(S=-\kT\Tra(\vrh\ln\vrh)\) es\[S=-\kB\sum_i\Bigg\{ \bigg({1+m\ns_i\over 2}\bigg) \ln\! \bigg({1+m\ns_i\over 2}\bigg) + \bigg({1- m\ns_i\over 2}\bigg) \ln\! \bigg({1-m\ns_i\over 2}\bigg) \Bigg\}\ .\] Ajuste de la variación\({\pz F\over\pz m\ns_i}=0\)\(F=E-TS\), con, obtenemos las ecuaciones de campo promedio,\[m\ns_i=\tanh\big(\beta J\ns_{ij}\,m\ns_j + \beta H\ns_i\big)\ ,\] donde usamos la convención de suma: \(J\ns_{ij}\,m\ns_j\equiv \sum_j J\ns_{ij}\,m\ns_j\). Supongamos\(T>T\ns_\Rc\) y\(m\ns_i\) es pequeño. Entonces podemos expandir el RHS de las ecuaciones de campo medias anteriores, obteniendo\[\big(\delta\ns_{ij}-\beta J\ns_{ij}\big)\,m\ns_j=\beta H\ns_i\ .\] así, el tensor de susceptibilidad\(\xhi\) es el inverso de la matriz\((\kT\cdot\MI-\MJ)\,\):\[\xhi\ns_{ij}={\pz m\ns_i\over\pz H\ns_j}=\big(\kT\cdot{\mathbb I}-\MJ\big)^{-1}_{ij}\ ,\] donde\(\MI\) está la identidad. Obsérvese también que los llamados promedios conectados del tipo en la Ecuación [connavg] desaparecen idénticamente si los calculamos usando nuestra matriz de densidad variacional, ya que todos los sitios son independientes, de ahí\[\langle\sigma\ns_i\,\sigma\ns_j\rangle=\Tra \big(\vrh^{var}\,\sigma\ns_i\,\sigma\ns_j\big)= \Tra\big(\vrh\ns_i\,\sigma\ns_i\big)\cdot \Tra\big(\vrh\ns_j\,\sigma\ns_j\big)= \langle\sigma\ns_i\rangle\cdot\langle\sigma\ns_j\rangle\ ,\] y por lo tanto\(\xhi\ns_{ij}=0\) si calculamos la correlación funciona a sí mismos a partir de la matriz de densidad variacional, más que de la energía libre\(F\). Como hemos argumentado anteriormente, esta última aproximación es más precisa.

Suponiendo\(J\ns_{ij}=J(\BR\ns_i-\BR\ns_j)\), donde\(\BR\ns_i\) está un sitio de celosía de Bravais, podemos transformar Fourier la ecuación anterior, resultando en\[{\hat m}(\Bq)={{\HH}(\Bq)\over \kT-{\hat J}(\Bq)}\equiv {\hat\xhi}(\Bq)\,{\HH}(\Bq)\ . \label{mhqeqn}\] Una vez más, nuestra definición de la transformada de Fourier de celosía de una función\(\phi(\BR)\) es\[\begin{split} {\hat\phi}(\Bq)&\equiv\sum_\BR\phi(\BR)\,e^{-i\Bq\cdot\BR} \\ \phi(\BR)&=\ROmega\!\!\int\limits_{\hat\ROmega}\!\!\!{d^d\!q\over (2\pi)^d}\>{\hat\phi}(\Bq)\,e^{i\Bq\cdot\BR}\ , \end{split}\] donde\(\ROmega\) está la celda unitaria en el espacio real, llamada la Celda Wigner-Seitz, y\({\hat\ROmega}\) es la primera zona Brillouin, que es la celda unitaria en el espacio recíproco. De igual manera, tenemos\[\begin{split} {\hat J}(\Bq)&=\sum_\BR J(\BR)\Big(1-i\Bq\cdot\BR -\half (\Bq\cdot\BR)^2 + \ldots\Big)\\ &=\jhz\cdot\Big\{1-q^2 R_*^2+ \CO(q^4)\Big\}\ , \end{split}\] donde\[R_*^2 = {\sum_\BR \BR^2J (\BR)\over 2d\sum_\BR J(\BR)}\ .\] Aquí hemos asumido la simetría de inversión para la celosía, en cuyo caso En\[\sum_\BR R^\mu R^\nu J(\BR)={1\over d}\cdot\delta^{\mu\nu}\sum_\BR \BR^2 J(\BR)\ .\] celosías cúbicas con interacciones vecinas más cercanas solamente, uno tiene\(R_*=a/\sqrt{2d}\), donde\(a\) está la constante de celosía y\(d\) es la dimensión del espacio.

Así, con la identificación\(\kB T\ns_\Rc=\jhz\), tenemos\[\begin{split} {\hat\xhi}(\Bq)&={1\over\kB(T-T\ns_\Rc) + \kB T\ns_\Rc\,R_*^2\, \Bq^2+\CO(q^4)}\\ &= {1\over\kB T\ns_\Rc\, R_*^2}\cdot{1\over \xi^{-2}+q^2+\CO(q^4)}\ ,\bvph\label{xhiheqn} \end{split}\] donde\[\xi=R_*\cdot\bigg({T-T\ns_\Rc\over T\ns_\Rc}\bigg)^{\!-1/2}\] está la longitud de correlación. Con la definición\[\xi(T)\propto |T-T\ns_\Rc|^{-\nu}\] as\(T\to T\ns_\Rc\), obtenemos el exponente de longitud de correlación de campo promedio\(\nu=\half\). El resultado exacto para el modelo bidimensional de Ising es\(\nu=1\), mientras que\(\nu\approx 0.6\) para el modelo\(d=3\) Ising. Tenga en cuenta que\({\hat\xhi}(\Bq=0,T)\) diverge en\((T-T\ns_\Rc)^{-1}\) cuanto a\(T>T\ns_\Rc\).

En el espacio real, tenemos\[m\ns_i=\sum_j\xhi\ns_{ij}\,H\ns_j\ ,\] donde\[\xhi\ns_{ij}=\ROmega\!\!\int\!\!\!{d^d\!q\over (2\pi)^d}\>{\hat\xhi}(\Bq)\,e^{i\Bq\cdot(\BR\ns_i-\BR\ns_j)}\ .\] Note que\(\Hxhi(\Bq)\) es adecuadamente periódico bajo\(\Bq\to\Bq+\BG\), donde\(\BG\) es un vector de celosía recíproca, que satisface\(e^{i\BG\cdot\BR}=1\) para cualquier vector de celosía Bravais directo\(\BR\). De hecho, tenemos\[\begin{split} \Hxhi^{-1}(\Bq)&=\kT-{\hat J}(\Bq)\\ &=\kT-J\sum_\Bdelta e^{i\Bq\cdot\Bdelta}\ , \end{split}\] donde\(\Bdelta\) es un vector de separación vecino más cercano, y donde en la segunda línea hemos asumido interacciones de vecinos más cercanos solamente. En celosías cúbicas en\(d\) dimensiones, hay vectores de separación vecinos\(2d\) más cercanos,\(\Bdelta=\pm a\,\ehat\ns_\mu\), donde\(\mu\in\{1,\ldots,d\}\). La susceptibilidad espacial real es entonces\[\xhi(\BR)=\int\limits_{-\pi}^\pi\!\!{d\theta\ns_1\over 2\pi}\cdots\int\limits_{-\pi}^\pi\!\!{d\theta\ns_d\over 2\pi}\> {e^{in\ns_1\theta\ns_1} \cdots e^{in\ns_d\theta\ns_d}\over\kT-(2J\cos\theta\ns_1 + \ldots + 2J\cos\theta\ns_d)}\ ,\] donde\(\BR=a\sum_{\mu=1}^d n\ns_\mu\,\ehat\ns_\mu\) se encuentra un vector de celosía directa general para la celosía cúbica de Bravais en\(d\) dimensiones, y los\(\{n\ns_\mu\}\) son enteros.

El comportamiento a larga distancia se discutió en el capítulo 6 (ver §6.5.9 sobre la teoría de Ornstein-Zernike ¹⁸). Para mayor comodidad reiteramos esos resultados:

• En\(d=1\),\[\xhi\ns_{d=1}(x)=\bigg({\xi\over 2\kB T\ns_\Rc R_*^2}\bigg)\> e^{-|x|/\xi}\ .\]
• En\(d>1\), con\(r\to \infty\) y\(\xi\) fijo,\[\xhiOZ_d(\Br)\simeq C\ns_d\cdot{\xi^{(3-d)/2}\over \kT\,R_*^2}\cdot{e^{-r/\xi}\over r^{(d-1)/2}}\cdot\left\{1+\CO\bigg({d-3\over r/\xi}\bigg)\right\}\ ,\] donde las\(C\ns_d\) son constantes adimensionales.
• En\(d>2\), con\(\xi\to\infty\) y\(r\) fijo (\(T\to T\ns_\Rc\)a separación fija\(\Br\)),\[\xhi\ns_d(\Br)\simeq {C'_d\over\kT R_*^2}\cdot{e^{-r/\xi}\over r^{d-2}}\cdot\left\{1+\CO\bigg({d-3\over r/\xi}\bigg)\right\}\ .\] En\(d=2\) dimensiones obtenemos\[\xhi\ns_{d=2}(\Br)\simeq {C'_2\over\kT R_*^2}\cdot\ln\!\bigg({r\over\xi}\bigg)\,e^{-r/\xi}\cdot\left\{1+\CO\bigg({1\over\ln(r/\xi)}\bigg)\right\}\ ,\] donde las\(C'_d\) son constantes adimensionales.

Más allá del modelo Ising

Considere un modelo de espín general, y una matriz de densidad variacional\(\vrh\ns_{var}\) que es un producto de matrices de densidad de sitio único:\[\vrh\ns_{var}\big[\{\BS\ns_i\}\big]=\prod_i\vrh^{(i)}_1(\BS\ns_i)\quad,\] donde\(\Tra \!\big(\vrh\ns_{var} \,\BS \big) = \Bm\ns_i\) está la magnetización local y\(\BS\ns_i\), que puede ser un escalar (,\(\sigma\ns_i\) en el modelo de Ising previamente discutido), es el operador de espín local. Tenga en cuenta que\(\vrh^{(i)}_1(\BS\ns_i)\) depende paramétricamente del parámetro o parámetros variacionales\(\Bm\ns_i\). Que el hamiltoniano sea\[\HH=-\half\sum_{i,j} J^{\mu\nu}_{ij}\,S^\mu_i\,S^\nu_j + \sum_i h(\BS\ns_i) - \sum_i \BH\ns_i\cdot\BS\ns_i\quad.\] La energía libre variacional es entonces\[F\ns_{var}=-\half\sum_{i,j} J^{\mu\nu}_{ij}\,m^\mu_i\,m^\nu_j + \sum_i \vphi(\Bm\ns_i,T) -\sum_i H_i^\mu\,m^\mu_i \quad,\] donde la energía libre de sitio único\(\vphi(\Bm\ns_i,T)\) en ausencia de un campo externo es dada por\[\vphi(\Bm\ns_i,T)=\Tra\!\!\Big[\vrh^{(i)}_1(\BS)\, h(\BS)\Big] + \kT\Tra\!\!\Big[\vrh^{(i)}_1(\BS) \ln \vrh^{(i)}_1(\BS)\Big]\] Nosotros entonces tenemos\[{\pz F\ns_{var}\over\pz m^\mu_i}=-\sum_j J^{\mu\nu}_{ij}\,m^\nu_j - H^\mu_i + {\pz\vphi(\Bm\ns_i,T)\over\pz m^\mu_i}\quad.\] Para el sistema no interactuante, tenemos\(J^{\mu\nu}_{ij}=0\), y la respuesta de campo débil debe ser lineal. En este límite podemos escribir\(m^\mu_i=\chi^0_{\mu\nu}(T)\,H_i^\nu+\CO(H_i^3)\), y concluimos\[{\pz\vphi(\Bm\ns_i,T)\over\pz m^\mu_i} = \big[{\chi^0}(T)\big]^{-1}_{\mu\nu}\, m_i^\nu + \CO\big(m_i^3\big)\quad.\] Tenga en cuenta que esto conlleva la siguiente expansión para el sitio único energía libre en campo cero:\[\vphi(\Bm\ns_i,T) = \half\, \big[{\chi^0}(T)\big]^{-1}_{\mu\nu}\, m_i^\nu\, m_i^\nu + \CO(m^4)\quad.\] Finalmente, restauramos el término de interacción y extremizamos\(F\ns_{var}\) estableciendo\(\pz F\ns_{var}/\pz m^\mu_i=0\). Al orden lineal, entonces,\[m^\mu_i=\chi^0_{\mu\nu}(T)\,\Big(H^\nu_i + \sum_j J^{\nu\lambda}_{ij}\,m^\lambda_j\Big)\quad.\] Típicamente la susceptibilidad local es un escalar en el espacio de espín interno,\(\chi^0_{\mu\nu}(T)=\chi^0(T)\,\delta\ns_{\mu\nu}\), en cuyo caso obtenemos\[\big(\delta^{\mu\nu}\,\delta\ns_{ij} - \chi^0(T)\,J^{\mu\nu}_{ij}\big) \,m^\nu_i=\chi^0(T)\,H^\mu_i\quad.\] En el espacio de Fourier, entonces,\[\Hchi\ns_{\mu\nu}(\Bq,T)=\chi^0(T)\,\Big( 1 - \chi^0(T)\,{\hat\MJ}(\Bq)\Big)^{-1}_{\!\mu\nu}\quad,\] donde\({\hat\MJ}(\Bq)\) está la matriz cuyos elementos están\(\HJ^{\mu\nu}(\Bq)\). Si\(\HJ^{\mu\nu}(\Bq)=\HJ(\Bq)\,\delta^{\mu\nu}\), entonces la susceptibilidad es isotrópica en el espacio de espín, con\[\Hchi(\Bq,T)={1\over \big[\chi^0(T)\big]^{-1} - \HJ(\Bq)}\quad.\]

Consideremos ahora los siguientes ejemplos ilustrativos:

• Giro cuántico\(S\) con\(h(\BS)=0\): Tomamos el\(\zhat\) eje para ser el del campo magnético externo local,\({\hat\BH}\ns_i\). Escribir\(\vrh\ns_1(\BS)=z^{-1}\,\exp(uS^z/\kT)\), donde\(u=u(m,T)\) se obtiene implícitamente de la relación\(m(u,T)=\Tra\!(\vrh\ns_1\,S^z)\). La constante de normalización es\[z=\Tra\! e^{u S^z/\kT} = \sum_{j=-S}^S e^{ju/\kT} = {\sinh\!\big[(S+\half)\,u/\kT]\over\sinh\!\big[u/2\kT\big]}\] La relación entre\(m\)\(u\), y luego\(T\) es dada por\[\begin{split} m&=\langle S^z\rangle=\kT\,{\pz \ln z\over\pz u} = (S+\half)\ctnh\!\big[(S+\half)\,u/\kT\big]- \half\ctnh\!\big[u/2\kT\big]\\ &={S(S+1)\over 3\kT}\>u + \CO(u^3)\quad. \end{split}\] La energía libre de un solo sitio de campo libre es entonces de\[\vphi(\Bm,T)=\kT\Tra\!\big(\vrh\ns_1\ln\vrh\ns_1\big)=um-\kT\ln z\quad,\] dónde\[{\pz\vphi\over\pz m}=u + m\,{\pz u\over\pz m} -\kT\,{\pz\ln z\over\pz u}\,{\pz u\over\pz m} = u \equiv\chi_0^{-1}(T)\, m +\CO(m^3) \quad,\] y con ello obtenemos el resultado\[\chi\ns_0(T)={S(S+1)\over 3\kT}\quad,\] que es la susceptibilidad de Curie.
• Espín clásico\(\BS=S\,\nhat\) con\(h=0\) y\(\nhat\) un vector unitario\(N\) -componente: Tomamos la matriz de densidad de sitio único para ser\(\vrh\ns_1(\BS)=z^{-1}\exp(\Bu\cdot\BS/\kT)\). La función de partición sin campo de sitio único es entonces\[z=\int{d\nhat\over\Omega\ns_N}\>\exp(\Bu\cdot\BS/\kT) = 1 + {S^2\,\Bu^2\over N(\kT)^2} + \CO(u^4)\] y por lo tanto\[\Bm=\kT\,{\pz\ln z\over\pz\Bu}={S^2\,\Bu\over N\kT} + \CO(u^3)\quad,\] de la que leemos\(\chi\ns_0(T)=S^2/N\kT\). Tenga en cuenta que esto concuerda en el límite clásico (\(S\to\infty\)), para\(N=3\), con nuestro resultado anterior.
• Giro cuántico\(S\) con\(h(\BS)=\RDelta(S^z)^2\): Esto corresponde a la llamada anisotropía plana fácil, lo que significa que la energía de un solo sitio\(h(\BS)\) se minimiza cuando el vector de giro local\(\BS\) se encuentra en el\((x,y)\) plano. Como en el ejemplo (i), escribimos\(\vrh\ns_1(\BS)=z^{-1}\,\exp(uS^z/\kT)\), produciendo la misma expresión para\(z\) y la misma relación entre\(z\) y\(u\). Lo que es diferente es que debemos evaluar la energía local, Ahora\[\begin{split} \Re\,(u,T)&=\Tra\!\big(\vrh\ns_1\,h(\BS)\big)=\RDelta\,(\kT)^2\,{\pz^2\ln z\over \pz u^2}\\ &={\RDelta\over 4}\Bigg[ {1\over\sinh^2\!\big[u/2\kT]} - {(2S+1)^2\over\sinh^2\!\big[(2S+1)u/2\kT\big]}\Bigg] ={S(S+1)\RDelta\,u^2\over 6(\kT)^2} + \CO(u^4)\quad. \end{split}\] tenemos\(\vphi=\Re + um-\kT\ln z\), de la cual obtenemos la susceptibilidad\[\chi^0(T)={S(S+1)\over 3(\kT+\RDelta)}\quad.\] Tenga en cuenta que la susceptibilidad local ya no diverge como\(T\to 0\), porque siempre hay una brecha en el espectro de\(h(\BS)\).