7.7: Simetrías globales

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Simetrías y grupos de simetría

Los sistemas de interacción pueden clasificarse ampliamente según su grupo de simetría global. Considere los siguientes cinco ejemplos:\[\begin{aligned} \HH\ns_{Ising}&=-\sum_{i<j} J\ns_{ij}\,\sigma\ns_i\,\sigma\ns_j & \quad \sigma\ns_i&\in\{-1,+1\} \nonumber\\ \HH\ns_{p-clock}&=-\sum_{i<j} J\ns_{ij} \,\cos\bigg({2\pi(n\ns_i-n\ns_j)\over p}\bigg) & \quad n\ns_i&\in \{1,2,\ldots,p\} \nonumber\\ \HH\ns_{q-Potts}&=-\sum_{i<j} J\ns_{ij}\,\delta\ns_{\sigma\ns_i,\sigma\ns_j} & \quad \sigma\ns_i&\in\{1,2,\ldots,q\} \\ \HH\ns_{XY}&=-\sum_{i<j} J\ns_{ij}\,\cos(\phi\ns_i-\phi\ns_j) & \quad \phi\ns_i&\in \big[0,2\pi\big] \nonumber\\ \HH\ns_{{\textsf O}(n)} &=-\sum_{i<j} J\ns_{ij}\,{\hat\BOmega}\ns_i\cdot{\hat\BOmega} \ns_j & \quad {\hat\BOmega}\ns_i &\in S^{n-1}\ .\nonumber\end{aligned}\]

El Hamiltoniano Ising queda invariante por el grupo de simetría global\(\MZ\ns_2\), que tiene dos elementos,\({\mathbb I}\) y\(\eta\), con\[\eta\, \sigma\ns_i = -\sigma\ns_i\ .\]\({\mathbb I}\) es la identidad, y\(\eta^2={\mathbb I}\). Al invertir simultáneamente todos los giros\(\sigma\ns_i\to -\sigma\ns_i\), las interacciones permanecen invariantes.

Los grados de libertad del modelo de reloj\(p\) - estado son variables enteras,\(n\ns_i\) cada una de las cuales va desde\(1\) hasta\(p\). El hamiltoniano es invariante bajo el grupo discreto\(\MZ\ns_p\), cuyos\(p\) elementos son generados por la única operación\(\eta\), donde\[\eta\,\ns n\ns_i = \begin{cases} n\ns_i + 1 & {if} \quad n\ns_i\in \{1,2,\ldots,p-1\} \\ 1 & {if} \quad n\ns_i = p\ . \end{cases}\] Piense en un reloj con una manecilla y marcas de\(p\) 'hora' consecutivamente espaciadas por un ángulo\(2\pi/p\). En cada sitio\(i\), una mano apunta a una de las marcas de\(p\) hora; esto determina\(n\ns_i\). El operativo\(\eta\) simplemente avanza todas las horas por una garrapata, con hora\(p\) avanzando a hora\(1\), así como a las 23:00 hora militar le siguen una hora después por las 00:00. La interacción\(\cos\big(2\pi(n\ns_i-n\ns_j)/p\big)\) es invariante bajo tal operación. Los\(p\) elementos del grupo\(\MZ\ns_p\) son entonces\[{\mathbb I}\,,\,\eta\,,\,\eta^2\,,\,\ldots\,,\,\eta^{p-1}\ .\]

Ya nos encontramos con el modelo\(q\) -state Potts, donde cada sitio soporta un 'spin'\(\sigma\ns_i\) que puede estar en cualquiera de los estados\(q\) posibles, que podemos etiquetar por enteros\(\{1\,,\,\dots \,,\, q\}\). La energía de dos sitios que interactúan\(i\) y\(j\) es\(-J\ns_{ij}\) si\(\sigma\ns_i=\sigma\ns_j\) y cero de lo contrario. Esta función energética es invariante bajo operaciones globales del grupo simétrico sobre\(q\) caracteres\(S\ns_q\), que es el grupo de permutaciones de la secuencia\(\{1\,,\,2\,,\,3\,,\,\ldots\,,\,q\}\). El grupo\(S\ns_q\) tiene\(q!\) elementos. Observe la diferencia entre una\(\MZ\ns_q\) simetría y una\(S\ns_q\) simetría. En el primer caso, el hamiltoniano es invariante sólo bajo las permutaciones cíclicas\(q\) -elemento,\[\eta\equiv \left( {1\atop 2}{2\atop 3}{\cdots\atop \cdots} {q\!-\!1\atop q} {q\atop 1}\right)\] y sus poderes\(\eta^l\) con\(l=0,\ldots,q-1\).

Todos estos modelos —los modelos Ising,\(p\) -reloj de estado y\(q\) -state Potts— poseen un grupo de simetría global que es discreto. Es decir, cada uno de los grupos de simetría\(\MZ\ns_2\)\(\MZ\ns_p\),,\(S\ns_q\) es un grupo discreto, con un número finito de elementos. El\(XY\) hamiltoniano\(\HH\ns_{XY}\) por otro lado es invariante bajo un grupo continuo de transformaciones\(\phi\ns_i\to\phi\ns_i + \alpha\), donde\(\phi\ns_i\) está la variable de ángulo en el sitio\(i\). Más al punto, podríamos escribir el término de interacción\(\cos(\phi\ns_i-\phi\ns_j)\) como\(\half\big(z^*_i z\ns_j + z\ns_i z^*_j\big)\), donde\(z\ns_i=e^{i\phi\ns_i}\) es una fase que vive en el círculo unitario, y\(z^*_i\) es el complejo conjugado de\(z\ns_i\). El modelo es entonces invariante bajo la transformación global\(z\ns_i\to e^{i\alpha} z\ns_i\). Las fases\(e^{i\alpha}\) forman un grupo bajo multiplicación, llamado\({\textsf U}(1)\), que es lo mismo que\({\textsf O}(2)\). Equivalentemente, podríamos escribir la interacción como\({\hat\BOmega}\ns_i\cdot{\hat\BOmega}\ns_j\), donde\({\hat\BOmega}\ns_i=(\cos\phi\ns_i\,,\,\sin\phi\ns_i)\), lo que explica la\({\textsf O}(2)\), simetría, ya que las operaciones de simetría son rotaciones globales en el plano, es decir, el grupo ortogonal bidimensional. Esta última representación generaliza muy bien a vectores unitarios en\(n\) dimensiones, donde\[{\hat\BOmega}=(\Omega^1\,,\,\Omega^2\,,\,\ldots\,,\,\Omega^n)\] con\({\hat\BOmega}^2=1\). El producto punto\({\hat\BOmega}\ns_i\cdot{\hat\BOmega}\ns_j\) es entonces invariante bajo rotaciones globales en este espacio\(n\) -dimensional, que es el grupo\({\textsf O}(n)\).

[DWoneDim] Un muro de dominio en un modelo unidimensional de Ising.

Menor dimensión crítica

Dependiendo de si el grupo de simetría global de un modelo es discreto o continuo, existe una dimensión crítica inferior\(d\ns_\ell\) en o por debajo de la cual no puede tener lugar ninguna transición de fase a temperatura finita. Es decir, para\(d\le d\ns_\ell\), la temperatura crítica es\(T\ns_\Rc=0\). Debido a su descuido de las fluctuaciones, la teoría del campo medio generalmente sobreestima el valor de\(T\ns_\Rc\) porque sobreestima la estabilidad de la fase ordenada. De hecho, hay muchos ejemplos en los que la teoría media del campo predice un finito\(T\ns_\Rc\) cuando la temperatura crítica real es\(T\ns_\Rc=0\). Esto sucede cuando sea\(d\le d\ns_\ell\).

Probemos la estabilidad del estado ordenado (ferromagnético) del modelo unidimensional de Ising a bajas temperaturas. Consideramos excitaciones de pared de dominio destructoras de orden que interpolizan entre regiones de degenerado, fase ordenada relacionada con la simetría,\(\uar\uar\uar\uar\uar\) y\(\dar\dar\dar\dar\dar\). Para un sistema con una simetría discreta a bajas temperaturas, la pared del dominio es abrupta, en la escala de un solo espaciado de celosía. Si la energía de intercambio es\(J\), entonces la energía de un solo muro de dominio lo es\(2J\), ya que un eslabón de energía\(-J\) es reemplazado por uno de energía\(+J\). Sin embargo, existen\(N\) posibles localizaciones para la pared del dominio, de ahí que sea su entropía\(\kB\ln N\). Para un sistema con muros de\(M\) dominio, la energía libre es\[\begin{split} F&=2MJ - \kT\ln{N\choose M}\\ &=N\cdot\Bigg\{2Jx + \kT\Big[ x\ln x + (1-x)\ln (1-x)\Big]\Bigg\}\ , \end{split}\] donde\(x=M/N\) está la densidad de las paredes de dominio, y donde hemos utilizado la aproximación de Stirling para\(k!\) cuando\(k\) es grande. Extremizando con respecto a\(x\), encontramos\[{x\over 1-x} = e^{-2J/\kT} \qquad\Longrightarrow\qquad x= {1\over e^{2J/\kT} +1}\ .\] La distancia promedio entre muros de dominio es\(x^{-1}\), que es finita para finita\(T\). Así, el estado termodinámico del sistema está desordenado, sin magnetización promedio neta.

[DwIsing] Muros de dominio en el modelo Ising bidimensional (izquierda) y tridimensional (derecha).

Considera a continuación una pared de dominio Ising en\(d\) dimensiones. Sea la dimensión lineal del sistema\(L\cdot a\), donde\(L\) está un número real y\(a\) es la constante de celosía. Entonces es la energía de un solo muro de dominio que divide todo el sistema\(2J\cdot L^{d-1}\). La entropía de la pared de dominio es difícil de calcular, porque el muro puede fluctuar significativamente, pero para un solo muro de dominio tenemos\(S\gtwid \kB\ln L\). Así, la energía libre\(F=2J L^{d-1}-\kT\ln L\) está dominada por el término energético si\(d>1\), sugiriendo que el sistema puede ser ordenado. Podemos hacer un trabajo un poco mejor al escribir\[Z\approx\exp\bigg(L^d\sum_PN\ns_P\,e^{-2PJ/\kT}\bigg)\ ,\] donde la suma está\(d=2\) por encima de todos los bucles cerrados del perímetro\(P\), y\(N\ns_P\) es el número de tales bucles. Un ejemplo de tal bucle que circunscribe un dominio se representa en el panel izquierdo de la Figura [DwIsing]. Resulta que\[N\ns_P\simeq \kappa^P P^{-\theta}\cdot\Big\{1+\CO(P^{-1})\Big\}\ ,\] donde\(\kappa=z-1\) con\(z\) el número de coordinación de celosía, y\(\theta\) es algún exponente. Podemos entender el\(\kappa^P\) factor de la siguiente manera. En cada paso a lo largo del perímetro del bucle, hay\(\kappa=z\!-\!1\) posibles indicaciones para ir (ya que uno no retrocede). El hecho de que el bucle deba evitar superponerse a sí mismo y deba volver a su posición original para ser cerrado lleva al término de ley de poder\(P^{-\theta}\), que está subliderando desde\(\kappa^P P^{-\theta}=\exp(P\ln\kappa - \theta\ln P)\) y\(P\gg\ln P\) para\(P\gg 1\). Así,\[F\approx -{1\over\beta}\,L^d\sum_P P^{-\theta}\, e^{(\ln\kappa - 2\beta J)P}\ ,\] que diverge si\(\ln\kappa > 2\beta J\), si\(T>2J/\kB\ln(z-1)\). Identificamos esta singularidad con la transición de fase. La fase de alta temperatura implica una proliferación de tales bucles. Los efectos de volumen excluidos entre los bucles, que no hemos tenido en cuenta, luego entran de manera esencial para que la suma converja. Así, tenemos la siguiente imagen:\[\begin{aligned} \ln\kappa &< 2\beta J\ :\ \hbox{large loops suppressed ; ordered phase}\\ \ln\kappa &> 2\beta J\ :\ \hbox{large loops proliferate ; disordered phase}\ .\end{aligned}\] En la celosía cuadrada, obtenemos\[\begin{aligned} \kB T_\Rc^{approx}&={2J\over\ln 3} = 1.82\,J \\ \kB T_\Rc^{exact}&={2J\over \sinh^{-1}(1)} = 2.27\,J\ .\bvph\end{aligned}\] El acuerdo es mejor de lo que razonablemente deberíamos esperar de un argumento tan crudo.

Nota bene: Cuidado con los argumentos que supuestamente prueban la existencia de una fase ordenada. En términos generales, cualquier aproximación subestimará la entropía, y así sobreestimará la estabilidad de la supuesta fase ordenada.

Simetrías continuas

Cuando el grupo de simetría global es continuo, los muros de dominio se interpolan suavemente entre fases ordenadas. La energía generalmente implica un término de rigidez,\[E=\half \rho\ns_\Rs\!\int\!\!d^d\!r\>(\bnabla\theta)^2\ ,\] donde\(\theta(\Br)\) está el ángulo de una rotación local alrededor de un solo eje y dónde\(\rho\ns_\Rs\) está la rigidez de giro. Por supuesto, en\({\textsf O}(n)\) los modelos, las rotaciones pueden ser con respecto a varios ejes diferentes simultáneamente.

[XyDomainWall] Una pared de dominio en un\(XY\) ferroimán.

En la fase ordenada, tenemos\(\theta(\Br)=\theta\ns_0\), una constante. Ahora imagina una pared de dominio en la que\(\theta(\Br)\) gira\(2\pi\) a través del ancho de la muestra. Escribimos\(\theta(\Br)=2\pi nx/L\), donde\(L\) está el tamaño lineal de la muestra (aquí con dimensiones de longitud) y\(n\) es un entero que nos dice cuántos giros completos hace el campo de parámetro de orden. La pared del dominio se asemeja entonces a la de la Figura [XYDomainWall]. La energía de gradiente es\[E=\half \rho\ns_\Rs\, L^{d-1}\!\!\int\limits_0^L\!\!dx\,\bigg({2\pi n\over L}\bigg)^{\!2} = 2\pi^2n^2\rho\ns_\Rs\,L^{d-2}\ .\] Recordemos que en el caso de la simetría discreta, la energía de la pared del dominio se escaló como\(E\propto L^{d-1}\). Así, con\(S\gtwid \kB\ln L\) para una sola pared, vemos que el término de entropía domina si\(d\le 2\), en cuyo caso no hay transición de fase de temperatura finita. Así, la dimensión crítica inferior\(d\ns_\ell\) depende de si la simetría global es discreta o continua, con\[\begin{aligned} \hbox{discrete global symmetry}\quad\Longrightarrow\quad d\ns_\ell&=1\\ \hbox{continuous global symmetry}\quad\Longrightarrow\quad d\ns_\ell&=2\ .\end{aligned}\] Note que a lo largo de todo el tiempo hemos asumido interacciones locales de corto alcance. Las interacciones de largo alcance pueden mejorar el orden y, por lo tanto, suprimir\(d\ns_\ell\).

Por lo tanto, esperamos que para los modelos con simetrías discretas,\(d\ns_\ell=1\) y no hay transición de fase de temperatura finita para\(d\le 1\). Para modelos con simetrías continuas\(d\ns_\ell=2\),, y esperamos\(T\ns_\Rc=0\) para\(d\le 2\). En este contexto debemos enfatizar que el\(XY\) modelo bidimensional sí exhibe una transición de fase a temperatura finita, llamada transición Kosterlitz-Thouless. Sin embargo, esta transición de fase no está asociada con la ruptura de la\(\textsf{O}(2)\) simetría global continua, sino que tiene que ver con el desatamiento de vórtices y antivórtices. Así que todavía no hay un verdadero orden de largo alcance por debajo de la temperatura crítica\(T\ns_\ssr{KT}\), ¡aunque haya una transición de fase!

Sistemas aleatorios: argumento Imry-Ma

A menudo, particularmente en los sistemas de materia condensada, existe aleatoriedad intrínseca debido a impurezas apagadas, límites de grano, vacantes inmóviles, ¿Cómo afecta esta aleatoriedad apagada al intento de ordenar de un sistema\(T=0\)? Esta pregunta fue retomada en un hermoso y breve trabajo de J. Imry y S.-K. Ma, Phys. Rev. Lett. 35, 1399 (1975). Imry y Ma consideraron modelos en los que hay interacciones de corto alcance y un acoplamiento de campo local aleatorio al parámetro de orden local:\[\begin{aligned} \HH\ns_{RFI}&=-J\sum_{\langle ij\rangle}\sigma\ns_i\,\sigma\ns_j -\sum_i H\ns_i\,\sigma\ns_i \\ \HH\ns_{{RF}{\textsf O}(n)}&=-J\sum_{\langle ij\rangle} {\hat\BOmega}\ns_i\cdot{\hat\BOmega}\ns_j -\sum_i H^\alpha_i\,\Omega^\alpha_i\ ,\end{aligned}\]\[\langle\!\langle \,H^\alpha_i\,\rangle\!\rangle = 0 \qquad,\qquad \langle\!\langle \,H^\alpha_i\,H^\beta_j\, \rangle\!\rangle = \Gamma\,\delta^{\alpha\beta}\,\delta\ns_{ij} \ ,\] donde\(\langle\!\langle\ \cdot\ \rangle\!\rangle\) denota un promedio configuracional sobre el trastorno. Imry y Ma razonaron que un sistema podría intentar disminuir su energía libre formando dominios en los que el parámetro de orden aprovecha las fluctuaciones locales en el campo aleatorio. Se supone que el tamaño de estos dominios es\(L\ns_\Rd\), una escala de longitud a determinar. Ver el boceto en el panel izquierdo de la Figura [IMRyma].

[IMRyma] Panel izquierdo: Dominios Imry-Ma para un\({\textsf O}(2)\) modelo. Las flechas apuntan en la dirección del campo de parámetros de orden local\(\langle {\hat\BOmega}(\Br)\rangle\). Panel derecho: densidad de energía libre en función del tamaño del dominio\(L_\Rd\). Tenga en cuenta que el valor mínimo posible para\(L_\Rd\) es el espaciado de celosía\(a\).

Hay dos contribuciones a la energía de un dominio dado: términos masivos y superficiales. La energía a granel es\[E\ns_{bulk}=-H\ns_{rms}\,(L_\Rd/a)^{d/2}\ ,\] donde\(a\) está el espaciamiento de la celosía. Esto se debe a que cuando sumamos campos\((L\ns_\Rd/a)^d\) aleatorios, la magnitud del resultado es proporcional a la raíz cuadrada del número de términos, a\((L\ns_\Rd/a)^{d/2}\). La cantidad\(H\ns_{rms}=\sqrt{\Gamma}\) es la fluctuación raíz cuadrática media en el campo aleatorio en un sitio dado. La energía superficial es\[E\ns_{surface}\propto \begin{cases} J\,(L_\Rd/a)^{d-1} & \hbox{(discrete symmetry)} \\ J\,(L_\Rd/a)^{d-2} & \hbox{(continuous symmetry)} \ . \end{cases}\]

Calculamos la dimensión crítica\(d\ns_\Rc\) equilibrando las energías volumétricas y superficiales,\[\begin{aligned} d-1 &= \half d \qquad \Longrightarrow \qquad d\ns_\Rc=2 \qquad {(discrete)} \\ d-2 &= \half d \qquad \Longrightarrow \qquad d\ns_\Rc=4 \qquad {(continuous)} \ .\end{aligned}\] La energía libre total es\(F= (V/L_\Rd^d)\cdot \RDelta E\), donde\(\RDelta E=E\ns_{bulk}+E\ns_{surf}\). Así, la energía libre por celda unitaria es\[f={F\over V/a^d}\approx J\,\bigg({a\over L\ns_\Rd}\bigg)^{\!\half d\ns_\Rc} - H\ns_{rms}\,\bigg({a\over L_\Rd}\bigg)^{\!\half d}\ .\] Si\(d<d\ns_\Rc\), el término de superficie domina para pequeños\(L\ns_\Rd\) y el término masivo domina para grandes\(L\ns_\Rd\) Hay mínimo global en\[{L\ns_\Rd\over a} = \bigg({d\ns_\Rc\over d}\cdot {J\over H\ns_{rms}}\bigg)^{2\over d\ns_\Rc-d}\ .\] For\(d>d\ns_\Rc\), el dominio relativo de los términos de volumen y superficie se invierte, y hay un global máximo a este valor de\(L\ns_\Rd\).

Se proporcionan bocetos de la energía libre\(f(L\ns_\Rd)\) en ambos casos en el panel derecho de la Figura [IMRyma]. Debemos tener en cuenta que el tamaño del dominio\(L\ns_\Rd\) no puede llegar a ser menor que el espaciado de celosía\(a\). Por lo tanto, debemos dibujar una línea vertical en la gráfica\(L\ns_d=a\) y descartar la porción\(L\ns_d < a\) como no física. Porque\(d<d\ns_\Rc\), vemos que el estado con\(L\ns_d=\infty\), el estado ordenado, nunca es el estado de menor energía libre. En dimensiones\(d<d\ns_\Rc\), el estado ordenado es siempre inestable a la formación de dominios en presencia de un campo aleatorio.

Para\(d>d\ns_\Rc\), hay dos posibilidades, dependiendo del tamaño relativo de\(J\) y\(H\ns_{rms}\). Podemos ver esto evaluando\(f(L\ns_d=a)=J-H\ns_{rms}\) y\(f(L\ns_\Rd=\infty)=0\). Por lo tanto, si\(J>H\ns_{rms}\), se produce el estado energético mínimo para\(L\ns_\Rd=\infty\). En este caso, el sistema tiene un estado básico ordenado, y esperamos una transición de temperatura finita a un estado desordenado a alguna temperatura crítica\(T\ns_\Rc>0\). Si, por otro lado\(J<H\ns_{rms}\), entonces las fluctuaciones en\(H\) abruman la energía de intercambio en\(T=0\), y el estado fundamental se desordena hasta la escala de longitud más pequeña (el espaciado de celosía\(a\)).

Por favor, lea el ensayo, “Memorias de Shang-Keng Ma”, en sip.clarku.edu/skma.html.