7.8: Teoría Ginzburg-Landau

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Ginzburg-Landau energía libre

Incluyendo términos de gradiente en la energía libre, escribimos\[F\big[m(\Bx)\,,\,h(\Bx)\big]=\int\!\!d^d\!x\>\bigg\{ f\ns_0 + \half a\, m^2+ \fourth b\, m^4 + \frac{1}{6} c\,m^6\ -h\,m +\half\kappa\, (\bnabla m)^2 + \ldots\bigg\}\ .\] En principio, cualquier término que no viole la simetría global apropiada aparecerá en tal expansión de la energía libre, con algún coeficiente. Los ejemplos incluyen\(h m^3\) (ambos\(m\) y\(h\) son impares bajo inversión del tiempo),\(m^2(\bnabla m)^2\), Ahora nos preguntamos: ¿qué función\(m(\Bx)\) extremiza la energía libre funcional\(F\big[m(\Bx)\,,\,h(\Bx)\big]\)? La respuesta es que\(m(\Bx)\) debemos satisfacer la ecuación correspondiente de Euler-Lagrange, que para lo anterior funcional es\[a\,m + b \,m^3 + c\, m^5 - h - \kappa\, \nabla^2 m= 0 \ .\] Si\(a>0\) y\(h\) es pequeño (suponemos\(b>0\) y\(c>0\)), podemos descuidar los\(m^5\) términos\(m^3\) y y escribir\[\big(a-\kappa\,\nabla^2\big) \,m=h\ ,\] cuya solución es obtenido por transformada de Fourier como la\[{\hat m}(\Bq)={ {\hat h}(\Bq)\over a+\kappa \Bq^2}\ ,\] cual, con la definición\(h(\Bx)\) apropiada, recapitula el resultado en la Ecuación [mhqeqn]. Así, concluimos lo\[\Hxhi(\Bq)={1\over a + \kappa \Bq^2}\ ,\] que debe compararse con la Ecuación [xhiheqn]. Para funciones continuas, tenemos\[\begin{split} {\hat m}(\Bq)&=\int\!\!d^d\!x\>m(\Bx)\>e^{-i\Bq\cdot\Bx}\\ m(\Bx)&=\int\!\!{d^d\!q\over (2\pi)^d}\>{\hat m}(\Bq)\>e^{i\Bq\cdot\Bx}\ . \end{split}\] Podemos entonces derivar el resultado\[m(\Bx)=\int\!\!d^d\!x'\>\xhi(\Bx-\Bx')\>h(\Bx')\ ,\]\[\xhi(\Bx-\Bx')={1\over\kappa}\!\int\!\!{d^d\!q\over (2\pi)^d}\>{e^{i\Bq\cdot(\Bx-\Bx')}\over \Bq^2 + \xi^{-2}}\ ,\] donde está la longitud de correlación\(\xi=\sqrt{\kappa/a}\propto (T-T\ns_\Rc)^{-1/2}\), como antes.

Si\(a<0\) entonces hay una magnetización espontánea y escribimos\(m(\Bx)=m\ns_0+\delta m(\Bx)\). Asumiendo que\(h\) es débil, entonces tenemos dos ecuaciones\[\begin{split} a + b\,m_0^2 + c\,m_0^4 &=0\\ (a + 3b\,m_0^2 + 5c\,m_0^4 -\kappa\,\nabla^2)\,\delta m&=h\ . \end{split}\] Si\(-a>0\) es pequeño, tenemos\(m_0^2=-a/3b\) y\[\delta{\hat m}(\Bq)={ {\hat h}(\Bq)\over -2a +\kappa \Bq^2}\ ,\]

Perfil de muro de dominio

Una aplicación particularmente interesante de la teoría de Ginzburg-Landau es su aplicación para modelar el perfil espacial de defectos como vórtices y paredes de dominio. Consideremos, por ejemplo, el caso de Ising (\(\MZ\ns_2\)) simetría con\(h=0\). Ampliamos la densidad de energía libre al orden\(m^4\):\[F\big[m(\Bx)\big]=\int\!\!d^d\!x\>\bigg\{f\ns_0 + \half a m^2 + \fourth b m^4 + \half\kappa\,(\bnabla m)^2\bigg\}\ . \label{DWFE}\] Asumimos\(a<0\), correspondiente a\(T<T\ns_\Rc\). Consideremos ahora un muro de dominio, donde\(m(x\to -\infty)=-m\nd_0\) y\(m(x\to +\infty)=+m\ns_0\), donde\(m\ns_0\) esta la magnetización de equilibrio, que obtenemos de la ecuación de Euler-Lagrange,\[a\,m + b\, m^3 -\kappa\,\nabla^2 m=0\ ,\] asumiendo una solución uniforme donde\(\bnabla m=0\). Esto da\(m\ns_0=\sqrt{|a|\big/ b\,}\). Es útil escalar\(m(\Bx)\) por\(m\ns_0\), escribir\(m(\Bx)=m\ns_0\,\phi(\Bx)\). La función de parámetro de orden escalado\(\phi(\Bx)\) interpola entre\(\phi(-\infty)=-1\) y\(\phi(+\infty)=1\).

También resulta útil para reescalar la posición, la escritura\(\Bx=\big(2\kappa/|a|\big)^{1/2}\Bzeta\). Entonces obtenemos\[\half\bnabla^2\! \phi=-\phi+\phi^3\ .\] Suponemos que\(\phi(\Bzeta)=\phi(\zeta)\) es sólo una función de una coordenada,\(\zeta\equiv \zeta^1\). Entonces la ecuación de Euler-Lagrange se convierte en\[{d^2\!\phi\over d\zeta^2}=-2\phi + 2\phi^3\equiv -{\pz U\over\pz\phi}\ ,\] donde\[U(\phi)=-\half \big(\phi^2-1\big)^2\ .\] El 'potencial'\(U(\phi)\) es un pozo doble invertido, con máximos en\(\phi=\pm 1\). La ecuación\({\ddot \phi}=-U'(\phi)\), donde punto denota diferenciación con respecto a\(\zeta\), es simplemente la segunda ley de Newton con el tiempo reemplazado por el espacio. Para tener una solución estacionaria en\(\zeta\to\pm\infty\) donde\(\phi=\pm1\), la energía total debe estar\(E=U(\phi=\pm 1)=0\), donde\(E=\half{\dot\phi}^2 + U(\phi)\). Esto lleva a la ecuación diferencial de primer orden\[{d\phi\over d\zeta}=1-\phi^2\ ,\] con solución\[\phi(\zeta)=\tanh(\zeta)\ .\] Restaurando las constantes dimensionales,\[m(x)=m\ns_0\,\tanh\!\bigg({x\over\sqrt{2}\,\xi}\bigg)\ ,\] donde la longitud de coherencia\(\xi\equiv\big(\kappa/|a|\big)^{1/2}\) diverge en la transición de Ising\(a=0\).

Derivación de la energía libre de Ginzburg-Landau

Podemos avanzar en la obtención sistemática de la energía libre de Ginzburg-Landau. Consideremos el modelo de Ising,\[{\HH\over\kT}=-\half\sum_{i,j} K\ns_{ij}\,\sigma\ns_i\,\sigma\ns_j -\sum_i h\ns_i \,\sigma\ns_i +\half\sum_i K\ns_{ii}\ ,\] donde ahora\(K\ns_{ij}=J\ns_{ij}/\kT\) y\(h\ns_i=H\ns_i/\kT\) están las energías de interacción y los campos magnéticos locales en unidades de\(\kT\). El último término sobre el RHS anterior cancela cualquier contribución de elementos diagonales de\(K\ns_{ij}\). Nuestra derivación hace uso de una generalización de la integral gaussiana,\[\int\limits_{-\infty}^\infty\!\!\!dx\>e^{-{1\over 2} ax^2 -bx} = \bigg({2\pi\over a}\bigg)^{\!1/2}\,e^{b^2/2a}\ .\] La generalización es\[\int\limits_{-\infty}^\infty\!\!\!dx\ns_1\cdots\!\!\!\int\limits_{-\infty}^\infty\!\!\!dx\ns_N\> e^{-{1\over 2} A\ns_{ij} x\ns_ix\ns_j - b\ns_i x\ns_i}={(2\pi)^{N/2}\over \sqrt

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\ e^{{1\over 2} A^{-1}_{ij}\,b\ns_i b\ns_j}\ ,\] donde utilizamos la convención de Einstein de sumar sobre índices repetidos, y donde asumimos que la matriz\(A\) es positiva definida (de lo contrario la integral diverge). Esto nos permite escribir\[\begin{split} Z&=e^{-{1\over 2} K\ns_{ii}}\Tra \bigg[e^

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\!\!\int\limits_{-\infty}^\infty\!\!\!d\phi\ns_1 \cdots\!\!\!\int\limits_{-\infty}^\infty\!\!\!d\phi\ns_N\> e^{-{1\over 2} K^{-1}_{ij}\phi\ns_i\phi\ns_j}\,\Tra e^{(\phi\ns_i+h\ns_i)\sigma\ns_i}\\ &={det}^{-1/2}(2\pi K)\> e^{-{1\over 2} K\ns_{ii}}\!\!\int\limits_{-\infty}^\infty\!\!\!d\phi\ns_1 \cdots\!\!\!\int\limits_{-\infty}^\infty\!\!\!d\phi\ns_N\> e^{-{1\over 2} K^{-1}_{ij}\phi\ns_i\phi\ns_j}\,e^{\sum_i \ln\left[2\cosh(\phi\ns_i+h\ns_i)\right]}\\ &\equiv \int\limits_{-\infty}^\infty\!\!\!d\phi\ns_1\cdots\!\!\!\int\limits_{-\infty}^\infty\!\!\!d\phi\ns_N\> e^{-\RPhi(\phi\ns_1,\ldots,\phi\ns_N)}\ , \end{split}\] donde\[\RPhi=\half\sum_{i,j} K^{-1}_{ij}\,\phi\ns_i\,\phi\ns_j - \sum_i \ln\cosh(\phi\ns_i+h\ns_i) +\half\ln\det(2\pi K) +\half\Tra K -N\ln 2\ .\] asumimos que el modelo está definido sobre una celosía de Bravais, en cuyo caso podemos escribir\(\phi\ns_i=\phi\nd_{\BR\ns_i}\). Luego podemos definir las transformadas de Fourier,\[\begin{split} \phi\nd_\BR&={1\over\sqrt{N}}\sum_\Bq\Hphi\ns_\Bq\>e^{i\Bq\cdot\BR}\\ \Hphi\nd_\Bq&={1\over\sqrt{N}}\sum_\BR\phi\ns_\BR\>e^{-i\Bq\cdot\BR} \end{split}\] y\[\HK(\Bq)=\sum_\BR K(\BR)\,e^{-i\Bq\cdot\BR}\ .\]

Algunos comentarios sobre la estructura reticular y las condiciones de contorno periódicas están en orden. Para una celosía de Bravais, podemos escribir cada vector de celosía directa\(\BR\) como una suma sobre vectores\(d\) base con coeficientes enteros , a saber.\[\BR=\sum_{\mu=1}^d n\ns_\mu\,\Ba\ns_\mu\ ,\] donde\(d\) está la dimensión del espacio. Los vectores de celosía recíproca\(\Bb\ns_\mu\) satisfacen\[\Ba\ns_\mu\cdot\Bb\ns_\nu=2\pi\,\delta\ns_{\mu\nu}\ ,\] y cualquier vector de onda\(\Bq\) puede expresarse como\[\Bq={1\over 2\pi}\sum_{\mu=1}^d \theta\ns_\mu\>\Bb\ns_\mu\ .\] Podemos imponer condiciones de límite periódicas en un sistema de tamaño\(M\ns_1\times M\ns_2\times\cdots\times M\ns_d\) al requerir\[\phi\ns_{\BR+\sum_{\mu=1}^d l\ns_\mu M\ns_\mu\Ba\ns_\mu}=\phi\ns_\BR\ .\] Esto conduce a la cuantificación de los vectores de onda, que luego debe satisfacer\[e^{iM\ns_\mu\,\Bq\cdot\Ba\ns_\mu}=e^{iM\ns_\mu\theta\ns_\mu}=1\ ,\] y por lo tanto\(\theta\ns_\mu=2\pi m\ns_\mu/M\ns_\mu\), donde\(m\ns_\mu\) es un entero. Luego hay valores\(M\ns_1M\ns_2\cdots M\ns_d=N\) independientes de\(\Bq\), que pueden tomarse como los correspondientes a\(m\ns_\mu\in\{1,\ldots,M\ns_\mu\}\).

Ahora vamos a expandir la función\(\RPhi\big(\Vphi\big)\) en poderes de la\(\phi\ns_i\), y a primer orden en los campos externos\(h\ns_i\). Obtenemos\[\begin{aligned} \RPhi&=\half\sum_\Bq \Big( \HK^{-1}(\Bq)-1\Big) \,|\Hphi\nd_\Bq|^2 + \frac{1}{12}\sum_\BR\phi_\BR^4 - \sum_\BR h\ns_\BR\,\phi\ns_\BR + \CO\big(\phi^6,h^2\big)\\ &\hskip0.5in +\half\Tra K + \half\Tra \ln(2\pi K) - N\ln 2\nonumber\end{aligned}\] En una celosía\(d\) -dimensional, para un modelo con interacciones vecinas más cercanas\(K\ns_1\) solamente, tenemos\(\HK(\Bq)=K\ns_1\sum_\Bdelta e^{i\Bq\cdot\Bdelta}\), donde\(\Bdelta\) es un vector de separación vecino más cercano. Estos son los valores propios de la matriz\(K\ns_{ij}\). Observamos que entonces no\(K\ns_{ij}\) es definitivo positivo, ya que hay valores propios negativos ¹⁹. Para arreglar esto, podemos agregar un término\(K\ns_0\) en todas partes a lo largo de la diagonal. Entonces tenemos\[\HK(\Bq)=K\ns_0+K\ns_1\sum_\Bdelta \cos(\Bq\cdot\Bdelta)\ .\] Aquí hemos utilizado la simetría de inversión de la celosía de Bravais para eliminar el término imaginario. Los valores propios son todos positivos siempre y cuando\(K\ns_0 > zK\ns_1\), donde\(z\) está el número de coordinación de celosía. Por lo tanto, podemos escribir\(\HK(\Bq)=\HK(0)-\alpha\,\Bq^2\) para pequeños\(\Bq\), con\(\alpha>0\). Así, podemos\[\HK^{-1}(\Bq)-1=a+\kappa\,\Bq^2 + \ldots\ .\] escribir Al orden más bajo en\(\Bq\) el RHS es isotrópico si la celosía tiene simetría cúbica, pero la anisotropía entrará en términos de orden superior. Asumiremos la isotropía a este nivel. Esto no es necesario pero hace que la discusión sea algo menos involucrada. Ahora podemos anotar nuestra densidad de energía libre Ginzburg-Landau:\[\CF=a\,\phi^2 +\half\kappa\,|\bnabla\phi|^2 + \frac{1}{12}\,\phi^4 -h\,\phi\ ,\] válida al orden no trivial más bajo en derivados, y al sexto orden en\(\phi\).

Uno podría preguntarse qué hemos ganado sobre el tratamiento de matriz de densidad variacional no homogénea, donde encontramos\[\begin{split} F&=-\half\sum_\Bq {\hat J}(\Bq)\,|{\hat m}(\Bq)|^2 - \sum_\Bq {\HH}(-\Bq)\,{\hat m}(\Bq)\\ &\qquad\quad +\kT\sum_i\Bigg\{ \bigg({1+m\ns_i\over 2}\bigg) \ln\! \bigg({1+m\ns_i\over 2}\bigg) + \bigg({1- m\ns_i\over 2}\bigg) \ln\! \bigg({1-m\ns_i\over 2}\bigg) \Bigg\}\ . \end{split}\] Seguramente podríamos expandirnos\({\hat J}(\Bq)=\jhz - \half a\Bq^2 + \ldots\) y obtener una expresión similar para\(\CF\). Sin embargo, dicha derivación utilizando la matriz de densidad variacional es solamente aproximada. El método descrito en esta sección es exacto.

Volvamos a nuestra expresión completa para\(\RPhi\):\[\RPhi\big(\Vphi\big)=\RPhi\ns_0\big(\Vphi\big)+ \sum_\BR v(\phi\ns_\BR)\ ,\] donde\[\RPhi\ns_0\big(\Vphi\big)=\half\sum_\Bq G^{-1}(\Bq) \,\big|\Hphi(\Bq)\big|^2 +\half\Tra\bigg({1\over 1+G^{-1}}\bigg)+\half\Tra\ln\bigg({2\pi\over 1+ G^{-1}}\bigg) -N\ln 2\ .\] Aquí hemos definido\[\begin{split} v(\phi)&=\half\phi^2-\ln \cosh\phi\\ &= \frac{1}{12}\,\phi^4 - \frac{1}{45}\,\phi^6 + \frac{17}{2520}\,\phi^8 + \ldots \end{split}\] y Ahora\[G(\Bq)={\HK(\Bq)\over 1-\HK(\Bq)}\ .\] queremos calcular\[Z=\int\!\!D\Vphi\ e^{-\RPhi\ns_0(\Vphi)}\> e^{-\sum_\BR v(\phi\ns_\BR)}\] dónde\[D\Vphi\equiv d\phi\ns_1\,d\phi\ns_2\cdots d\phi\ns_N\ .\] Ampliamos el segundo factor exponencial en una serie de Taylor, permitiéndonos escribir\[Z=Z\ns_0\,\Big(1 -\sum_\BR \blangle v(\phi\ns_\BR)\brangle + \half\sum_\BR\sum_{\BR'} \blangle v(\phi\ns_\BR)\,v(\phi\ns_{\BR'})\brangle + \ldots\Big)\ , \label{ZZZ}\] dónde\[\begin{split} Z\ns_0&=\int\!\! D\Vphi\ e^{-\RPhi\ns_0(\Vphi)}\\ \ln Z\ns_0&=\half\Tra\bigg[\ln (1+G) - {G\over 1+G} \bigg] + N\ln 2 \end{split}\] y \[\blangle F\big(\Vphi\big)\brangle = {\int\!\! D\Vphi\> F\> e^{-\RPhi\ns_0}\over\int\!\!D\Vphi\> e^{-\RPhi\ns_0} }\ .\]

Para evaluar los diversos términos en la expansión de la Ecuación [ZZZ], invocamos el teorema de Wick, que dice\[\begin{split} \blangle x_{i\nd_1}\,x_{i\nd_2}\cdots x_{i\nd_{2L}}\brangle&= \int\limits_{-\infty}^\infty\!\!\!dx\nd_1\cdots\!\!\!\int\limits_{-\infty}^\infty\!\!\!dx\nd_N\> e^{-{1\over 2}\, \CG^{-1}_{ij} x\nd_i x\nd_j}\>x_{i\nd_1}\,x_{i\nd_2}\cdots x_{i\nd_{2L}}\Bigg/ \!\int\limits_{-\infty}^\infty\!\!\!dx\nd_1\cdots\!\!\!\int\limits_{-\infty}^\infty\!\!\!dx\nd_N\> e^{-{1\over 2}\, \CG^{-1}_{ij} x\nd_ix\nd_j}\\ &=\sum_{all\ distinct\atop pairings}\! \CG_{j\nd_1 j\nd_2} \CG_{j\nd_3 j\nd_4} \cdots \CG_{j\nd_{2L-1} j\nd_{2L}} \ , \end{split}\] donde los conjuntos\(\{j\ns_1,\ldots,j\ns_{2L}\}\) son todas las permutaciones del conjunto\(\{i\ns_1,\ldots,i\ns_{2L}\}\). En particular, tenemos\[\blangle x_i^4\brangle = 3\big(\CG\ns_{ii}\big)^2\ .\] En nuestro caso, tenemos\[\blangle\phi_\BR^4\brangle = 3\,\bigg({1\over N}\sum_\Bq G(\Bq)\bigg)^{\!2}\ .\] Así, si escribimos\(v(\phi)\approx\frac{1}{12}\,\phi^4\) y conservamos solo el término cuártico en\(v(\phi)\), obtenemos\[\begin{split} {F\over\kT}=-\ln Z\ns_0&=\half\Tra\bigg[ {G\over 1+G} - \ln (1+G) \bigg]+{1\over 4N}\big(\Tra G\big)^2-N\ln 2\\ &=-N\ln 2 + {1\over 4N}\big(\Tra G\big)^2 - {1\over 4}\Tra \big(G^2\big) + \CO\big(G^3\big)\ . \end{split}\] Note que si\(K\ns_{ij}\) establecemos que sea diagonal, entonces\(\HK(\Bq)\) y por lo tanto\(G(\Bq)\) son funciones constantes de\(\Bq\). El\(\CO\big(G^2\big)\) término entonces desaparece, lo que se requiere ya que la energía libre no puede depender de los elementos diagonales de\(K\ns_{ij}\).

Criterio de Ginzburg

Definamos como\(A(T,H,V,N)\) la habitual (termodinámica) de la energía libre de Helmholtz. Entonces\[e^{-\beta A}=\int\!\!Dm\ e^{-\beta F[m(\Bx)]}\ ,\] donde lo funcional\(F[m(\Bx)]\) es de la forma Ginzburg-Landau, dada en la Ecuación [DWFE]. La integral anterior es una integral funcional. Podemos darle un significado más preciso definiendo su medida en el caso de funciones periódicas\(m(\Bx)\) confinadas a una caja rectangular. Entonces podemos expandirnos\[m(\Bx)={1\over\sqrt{V}}\sum_\Bq {\hat m}\ns_\Bq\,e^{i\Bq\cdot\Bx}\ ,\] y definimos la medida\[Dm\equiv dm\ns_0\!\prod_{\Bq\atop q\ns_x>0} \!d\,\Rep\,{\hat m}\ns_\Bq\>d\,\Imp\,{\hat m}\ns_\Bq\ .\] Tenga en cuenta que el hecho que eso\(m(\Bx)\in{\mathbb R}\) significa eso\({\hat m}\ns_{-\Bq}={\hat m}^*_\Bq\). Asumiremos\(T>T\ns_\Rc\)\(H=0\) y exploraremos el límite\(T\to T^+_\Rc\) desde arriba para analizar las propiedades de la región crítica cercana a\(T\ns_\Rc\). En este límite podemos ignorar todos menos los términos cuadráticos en\(m\), y tenemos\[\begin{split} e^{-\beta A}&=\int\!\!Dm\,\exp\bigg(\!-\half\beta\sum_\Bq (a + \kappa\,\Bq^2)\,|{\hat m}\ns_\Bq|^2\bigg)\\ &=\prod_\Bq\bigg({\pi\kT\over a+\kappa\,\Bq^2}\bigg)^{\!\!1/2}\ . \end{split}\] Así,\[A=\half\kT\sum_\Bq\ln\! \bigg({a+\kappa\,\Bq^2\over\pi\kT}\bigg)\ .\] Ahora asumimos que\(a(T)=\alpha t\), donde\(t\) está la cantidad adimensional\[t={T-T\ns_\Rc\over T\ns_\Rc}\ ,\] conocida como la temperatura reducida.

Ahora calculamos la capacidad calorífica\(C\ns_V=-T\,{\pz^2\!A\over \pz T^2}\). Realmente solo nos interesan las contribuciones singulares a\(C\ns_V\), lo que significa que solo nos interesa diferenciar con respecto a\(T\) como aparece en\(a(T)\). Dividimos por\(\NS\kB\) dónde\(\NS\) está el número de celdas unitarias de nuestro sistema, que presumimos es un modelo basado en celosías. Observe\(\NS\sim V/\Sa^d\) dónde\(V\) está el volumen y\(\Sa\) la constante de celosía. La capacidad de calor adimensional por sitio de celosía\(\xi=(\kappa/\alpha t)^{1/2}\propto |t|^{-1/2}\) es entonces\[c\equiv {C\ns_V\over\NS} = {\alpha^2\Sa^d\over 2\kappa^2}\!\!\int\limits^{\Lambda}\!\! {d^d\!q\over (2\pi)^d}\>{1\over (\xi^{-2} + \Bq^2)^2}\ ,\] donde está la longitud de correlación, y donde\(\Lambda\sim\Sa^{-1}\) es un corte ultravioleta. Definimos\(R\ns_*\equiv (\kappa/\alpha)^{1/2}\), en qué caso\[c=R_*^{-4}\,\Sa^d\,\xi^{4-d}\cdot\half\!\!\int\limits^{\Lambda \xi}\!\! {d^d\!{\bar q}\over (2\pi)^d}\>{1\over (1 + {\bar q}^2)^2}\ ,\] dónde\({\bar\Bq}\equiv \Bq\xi\). Por lo tanto,\[c(t)\sim\begin{cases} {const.} & \hbox{if $d>4$} \\ -\ln t & \hbox{if $d=4$} \\ t^{{d\over 2}-2} & \hbox{if $d<4$}\ . \end{cases}\]

Porque\(d>4\), la teoría de campo promedio es cualitativamente precisa, con correcciones finitas. En dimensiones\(d\le 4\), el resultado medio del campo se ve abrumado por las contribuciones de fluctuación como\(t\to 0^+\) (as\(T\to T_\Rc^+\)). Vemos que la MFT es sensata siempre que las contribuciones de fluctuación sean pequeñas, siempre\[R_*^{-4}\,\Sa^d\,\xi^{4-d}\ll 1 \ ,\] que lo conlleve\(t\gg t\ns_\ssr{G}\), donde\[t\ns_\ssr{G}=\bigg({\Sa\over R\ns_*}\bigg)^{\!{2d\over 4-d}}\] está la temperatura reducida de Ginzburg. El criterio para la suficiencia de la teoría de campos medios, es decir\(t\gg t\ns_\ssr{G}\), se conoce como el criterio de Ginzburg. La región\(|t|<t\ns_\ssr{G}\) es conocida como la región crítica.

En una celosía el ferroimán, como hemos visto,\(R\ns_*\sim\Sa\) está en la escala de la propia celosía el espaciamiento, de ahí\(t\ns_\ssr{G}\sim 1\) y el régimen crítico es muy grande. La teoría media del campo luego falla rápidamente como\(T\to T\ns_\Rc\). En un superconductor tridimensional (convencional),\(R\ns_*\) está en el orden del tamaño del par Cooper, y\(R\ns_*/\Sa\sim 10^2 - 10^3\), por lo tanto,\(t\ns_\ssr{G}=(a/R\ns_*)^6\sim 10^{-18} - 10^{-12}\) es despreciablemente estrecho. La teoría del campo medio de la transición superconductora — teoría BCS — es entonces válida esencialmente todo el camino hasta\(T=T\ns_\Rc\).