7.9: Apéndice I- Equivalencia de las Descripciones de Campo Media

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Tanto en la matriz de densidad variacional como en los métodos hamiltonianos de campo medio aplicados al modelo de Ising, se obtuvo el mismo resultado\(m=\tanh\big( (m+h)/\theta\big)\). Lo que quizás no sea obvio es si estas teorías son de hecho las mismas, si sus respectivas energías libres están de acuerdo. En efecto, las dos funciones de energía libre,\[\begin{split} f\nd_\ssr{A}(m,h,\theta)&=-\half\,m^2 -h m + \theta\> \bigg\{\bigg({1+m\over 2}\bigg) \ln \bigg({1+m\over 2}\bigg) +\bigg({1- m\over 2}\bigg) \ln \bigg({1-m\over 2}\bigg) \bigg\}\\ f\nd_\ssr{B}(m,h,\theta)&=+\half\,m^2 - \theta\,\ln\Big(e^{+(m+h)/\theta} + e^{-(m+h)/\theta}\Big)\ , \end{split}\] donde\(f\ns_\ssr{A}\) está el resultado de la matriz de densidad variacional y\(f\ns_\ssr{B}\) es el resultado hamiltoniano de campo medio, son claramente diferentes funciones de sus argumentos. Sin embargo, resulta que al minimizar con respecto a\(m\) en cada elenco, las energías libres resultantes obedecen\(f\nd_\ssr{A}(h,\theta)=f\nd_\ssr{B}(h,\theta)\). Este acuerdo puede parecer sorprendente. El primer método utiliza una matriz de densidad aproximada (variacional) aplicada al Hamiltoniano exacto\(\HH\). El segundo método se aproxima al hamiltoniano como\(\HH\ns_\ssr{MF}\), pero por lo demás lo trata exactamente. Las dos expansiones de Landau parecen irremediablemente diferentes: Ahora\[\begin{split} f\nd_\ssr{A}(m,h,\theta)&=-\theta\,\ln 2 - hm +\half\, (\theta-1) \,m^2 + \frac{\theta}{12}\,m^4 + \frac{\theta}{30}\,m^6 + \ldots\vph\\ f\nd_\ssr{B}(m,h,\theta)&=-\theta\,\ln 2 + \half m^2 - {(m+h)^2\over 2\,\theta} +{(m+h)^4\over 12\,\theta^3} - {(m+h)^6\over 45\,\theta^5} + \ldots\ . \end{split}\] probaremos que estos dos métodos, la matriz de densidad variacional y el enfoque de campo medio, son de hecho equivalentes, y producen la misma energía libre\(f(h,\theta)\).

Generalicemos el modelo de Ising y\[\HH=-\sum_{i<j} J_{ij}\,\ve(\sigma_i,\sigma_j) - \sum_i\RPhi(\sigma_i)\ .\] escribamos Aquí, cada 'giro'\(\sigma_i\) puede tomar cualquiera de los valores\(K\) posibles,\(\{s\ns_1,\ldots,s\ns_K\}\). Para el modelo\(S=1\) Ising, tendríamos\(K=3\) posibilidades, con\(s\ns_1=-1\),\(s\ns_2=0\), y\(s\ns_3=+1\). Pero el conjunto\(\{s\ns_\alpha\}\), con\(\alpha\in\{1,\ldots,K\}\), es completamente arbitrario ²⁰. El término 'campo local'\(\RPhi(\sigma)\) es también una función completamente arbitraria. Puede ser lineal, con\(\RPhi(\sigma)=H\sigma\), por ejemplo, pero también podría contener términos cuadráticos en\(\sigma\), o lo que uno desee.

La función de interacción simétrica y adimensional\(\ve(\sigma,\sigma')=\ve(\sigma',\sigma)\) es una\(K\times K\) matriz simétrica real. De acuerdo con el teorema de descomposición del valor singular, cualquier matriz de este tipo puede escribirse en la forma\[\ve(\sigma,\sigma')=\sum_{p=1}^{N\ns_\Rs} A_p\,\lambda_p(\sigma)\,\lambda_p(\sigma')\ ,\] donde los coeficientes\(\{A_p\}\) son (los valores singulares), y los\(\big\{\lambda_p(\sigma)\big\}\) son los vectores singulares. El número de términos\(N\ns_\Rs\) en esta descomposición es tal que\(N\ns_\Rs\le K\). Este tratamiento puede generalizarse para dar cuenta de continuo\(\sigma\).

Matriz de Densidad Variacional

Se escribe la matriz de densidad variacional de sitio único más general\[\vrh(\sigma)=\sum_{\alpha=1}^K x\ns_\alpha\,\delta\ns_{\sigma,s\ns_\alpha}\ .\] Así,\(x\ns_\alpha\) es la probabilidad de que un sitio dado esté en estado\(\alpha\), con\(\sigma=s\ns_\alpha\). Los\(\{x\ns_\alpha\}\) son los parámetros\(K\) variacionales, sujetos a la restricción de normalización única,\(\sum_\alpha x\ns_\alpha=1\). Ahora tenemos\[\begin{split} f&={1\over N\jhz} \bigg\{\Tra(\vrh\HH) + \kT\,\Tra(\vrh\ln\vrh)\bigg\}\\ &=-\half\sum_p\sum_{\alpha,\alpha'} A_p\,\lambda_p(s\ns_\alpha)\, \lambda_p(s\ns_{\alpha'})\,x\ns_\alpha\,x\ns_{\alpha'} - \sum_\alpha \vphi(s\ns_\alpha)\,x\ns_\alpha + \theta\sum_\alpha x\ns_\alpha\ln x\ns_\alpha\bvph\ , \end{split}\] dónde\(\vphi(\sigma)=\RPhi(\sigma)/\jhz\). Extremizamos de la manera habitual, introduciendo un multiplicador indeterminado de Lagrange\(\zeta\) para hacer cumplir la restricción. Esto significa que extendemos la función\(f\big(\{x\ns_\alpha\}\big)\), escribiendo\[f^*(x\ns_1,\ldots,x\ns_K,\zeta)=f(x\ns_1,\ldots,x\ns_K)+\zeta\,\bigg(\sum_{\alpha=1}^K x\ns_\alpha -1\bigg)\ ,\] y extremizando libremente con respecto a los\((K+1)\) parámetros\(\{x\ns_1,\ldots, x\ns_K,\zeta\}\). Esto produce ecuaciones\(K\) no lineales,\[0={\pz f^*\over\pz x\ns_\alpha}=-\sum_p\sum_{\alpha'} A_p\,\lambda_p(s\ns_\alpha)\, \lambda_p(s\ns_{\alpha'})\,x\ns_{\alpha'} - \vphi(s\ns_\alpha) + \theta\, \ln x\ns_\alpha + \zeta + \theta\ , \label{nonla}\] para cada una\(\alpha\), y una ecuación lineal, que es la condición de normalización,\[0={\pz f^*\over\pz\zeta}=\sum_\alpha x\ns_\alpha -1\ .\]

No podemos resolver estas ecuaciones no lineales analíticamente, pero pueden ser refundidas, exponenciándolas, como\[x\ns_\alpha={1\over Z}\,\exp\Bigg\{{1\over \theta}\,\bigg[\sum_p\sum_{\alpha'} A_p\, \lambda_p(s\ns_\alpha)\,\lambda_p(s\ns_{\alpha'})\,x\ns_{\alpha'} + \vphi(s\ns_\alpha) \bigg]\Bigg\}\ , \label{nonlb}\] con A\[Z=e^{(\zeta/\theta)+1}=\sum_\alpha\exp\Bigg\{{1\over \theta}\,\bigg[\sum_p\sum_{\alpha'} A_p\, \lambda_p(s\ns_\alpha)\,\lambda_p(s\ns_{\alpha'})\,x\ns_{\alpha'}+ \vphi(s\ns_\alpha) \bigg]\Bigg\}\ .\] partir del logaritmo de\(x\ns_\alpha\), podemos calcular la entropía, y, finalmente, la energía libre:\[f(\theta)=\half \sum_p\sum_{\alpha,\alpha'} A_p\,\lambda_p(s\ns_\alpha)\, \lambda_p(s\ns_{\alpha'})\,x\ns_\alpha\,x\ns_{\alpha'}-\theta\ln Z\ ,\] que se va a evaluar a la solución de [nonla], \(\big\{x^*_\alpha(h,\theta)\big\}\)

Aproximación de campo media

Ahora derivamos una aproximación media de campo en el espíritu de la utilizada en el modelo de Ising anterior. Escribimos\[\lambda_p(\sigma)=\big\langle\lambda_p(\sigma)\big\rangle + \delta\lambda_p(\sigma)\ ,\] y abreviamos\(\labar_p=\big\langle\lambda_p(\sigma)\big\rangle\), el promedio termodinámico de\(\lambda_p(\sigma)\) en cualquier sitio dado. Entonces tenemos\[\begin{split} \lambda_p(\sigma)\,\lambda_p(\sigma')&=\labar_p^2 + \labar_p\,\delta\lambda_p(\sigma) +\labar_p\,\delta\lambda_p(\sigma')+\delta\lambda_p(\sigma)\,\delta\lambda_p(\sigma')\vph\\ &=-\labar_p^2 + \labar_p\,\big(\lambda_p(\sigma)+\lambda_p(\sigma')\big) +\delta\lambda_p(\sigma)\,\delta\lambda_p(\sigma')\ . \end{split}\] El producto\(\delta\lambda_p(\sigma)\,\delta\lambda_p(\sigma')\) es de segundo orden en fluctuaciones, y lo descuidamos. Esto nos lleva al campo medio Hamiltoniano,\[\HH\ns_\ssr{MF}=+\half N \jhz\sum_p A_p\,\labar_p^2 -\sum_i \bigg[\jhz\sum_p A_p\,\labar_p\,\lambda_p(\sigma_i) + \RPhi(\sigma_i)\bigg]\ .\] La energía libre es entonces\[f\big(\{\labar_p\},\theta\big)=\half\sum_p A_p\,\labar_p^2 - \theta\,\ln\sum_\alpha \exp\Bigg\{ {1\over \theta}\bigg[\sum_p A_p\,\labar_p\,\lambda_p(s\ns_\alpha) + \vphi(s\ns_\alpha)\bigg] \Bigg\}\ .\] Los parámetros variacionales son los valores medios de campo\(\big\{\labar_p\big\}\).

Las probabilidades de sitio único\(\{x\ns_\alpha\}\) son entonces\[x\ns_\alpha={1\over Z}\,\exp\Bigg\{{1\over \theta}\,\bigg[\sum_p A_p\,\labar_p\, \lambda_p(s\ns_\alpha) + \vphi(s\ns_\alpha) \bigg]\Bigg\}\ ,\]\(Z\) implícitas por la normalización\(\sum_\alpha x_\alpha=1\). Estos resultados reproducen exactamente lo que encontramos en la Ecuación [nonla], ya que la ecuación de campo medio aquí,\(\pz f/\pz\labar_p=0\),\[\labar_p=\sum_{\alpha=1}^K \lambda_p(s\ns_\alpha)\,x\ns_\alpha\ .\] rinde La energía libre se encuentra de inmediato que es la\[f(\theta)=\half\sum_p A_p\,\labar_p^2 - \theta\,\ln Z\ ,\] que nuevamente concuerda con lo que encontramos usando la matriz de densidad variacional.

De esta manera, ya sea que se extreme con respecto al conjunto\(\{x\ns_1,\ldots,x\ns_K,\zeta\}\), o con respecto al conjunto\(\{\labar_p\}\), los resultados son los mismos, en términos de todos estos parámetros, así como de la energía libre\(f(\theta)\). De manera genérica, ambos enfoques pueden denominarse 'teoría de campo media' ya que la matriz de densidad variacional corresponde a un campo medio que actúa sobre cada sitio independientemente ²¹.