8.3: Gas débilmente inhomogéneo

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Consideremos un gas que sólo está débilmente fuera de equilibrio. Seguimos el tratamiento en Lifshitz y Pitaevskii, §6. Como el gas solo está ligeramente fuera de equilibrio, buscamos una solución a la ecuación de Boltzmann de la forma\(f=f^0+\delf\), donde\(f^0\) se describe un equilibrio local. Recordemos que tal función de distribución es aniquilada por el término de colisión en la ecuación de Boltzmann pero no por el término streaming, de ahí que se\(\delf\) debe agregar una corrección para obtener una solución.

La forma más general de equilibrio local se describe por la distribución\[f^0(\Br,\Gamma)=C\exp\bigg({\mu-\ve(\Gamma)+\BV\!\cdot\Bp\over \kT}\bigg)\ ,\] donde\(\mu=\mu(\Br,t)\),\(T=T(\Br,t)\), y\(\BV=\BV(\Br,t)\) varían tanto en el espacio como en el tiempo. Obsérvese que\[\begin{split} df^0&=\Bigg(d\mu+ \Bp\cdot d\BV+ (\ve-\mu-\BV\!\cdot\Bp)\>{dT\over T} -d\ve\Bigg)\,\bigg(\!-{\pz f^0\over \pz \ve}\bigg)\\ &=\Bigg( {1\over n} \> dp+ \Bp\cdot d\BV+ (\ve-h)\>{dT\over T}-d\ve\Bigg)\,\bigg(\!-{\pz f^0\over \pz \ve}\bigg) \end{split}\] donde hemos asumido\(\BV=0\) en promedio, y usado\[\begin{split} d\mu&=\pabc{\mu}{T}{p}dT + \pabc{\mu}{p}{T}dp\\ &= -s\,dT + {1\over n}\,dp\ , \end{split}\] donde\(s\) está la entropía por partícula y\(n\) es la densidad numérica. Hemos escrito además\(h=\mu+Ts\), que es la entalpía por partícula. Aquí,\(c\ns_p\) es la capacidad calorífica por partícula a presión constante ⁵. Por último, señalar que cuando\(f^0\) es la distribución de Maxwell-Boltzmann, tenemos\[-{\pz f^0\over\pz\ve}={f^0\over k\ns_\RB T}\ .\]

Se escribe la ecuación de Boltzmann\[\bigg({\pz \over\pz t} + {\Bp\over m}\cdot{\pz\over\pz\Br}+\BF\cdot{\pz \over\pz\Bp} \bigg) \big(f^0+\delf\big)=\coll\ .\] El RHS de esta ecuación debe ser de orden\(\delf\) porque la distribución de equilibrio local\(f^0\) es aniquilada por la integral de colisión. Por lo tanto, deseamos evaluar una de las contribuciones al LHS de esta ecuación,\[\begin{split} {\pz f^0\over\pz t} + {\Bp\over m}\cdot{\pz f^0\over\pz\Br} + \BF\cdot{\pz f^0\over\pz\Bp}&=\bigg(\!-{\pz f^0\over\pz \ve}\bigg) \Bigg\{{1\over n}\,{\pz p\over\pz t} + {\ve - h\over T}\,{\pz T\over\pz t} + m\Bv\ncdot\Big[(\Bv\ncdot\bnabla)\,\BV\Big] \label{LHSA}\\ &\qquad+\Bv\cdot\bigg(m\,{\pz \BV\over\pz t} + {1\over n}\,\bnabla p\bigg) + {\ve - h\over T}\>\Bv\cdot\bnabla T - \BF\cdot\Bv\Bigg\}\ . \end{split}\] Para simplificar esto, primero señalar que las leyes de Newton aplicadas a un fluido ideal dan\(\rho {\dot\BV}=-\bnabla p\), donde\(\rho=mn\) está la densidad de masa. Las correcciones a este resultado, por ejemplo, la viscosidad y la no linealidad en\(\BV\), son de orden superior.

A continuación, la continuidad para el número de partículas significa\({\dot n} + \bnabla\ncdot (n\BV)=0\). Suponemos que\(\BV\) es cero en promedio y que todos los derivados son pequeños, de ahí\(\bnabla\ncdot (n\BV)=\BV\ncdot \bnabla n + n\,\bnabla\ncdot \BV\approx n\,\bnabla\ncdot \BV\). Así,\[{\pz\ln n\over\pz t}={\pz\ln p\over\pz t} - {\pz\ln T\over\pz t} = -\bnabla\ncdot \BV\ , \label{ptea}\] donde hemos invocado la ley de gas ideal\(n=p/\kT\) arriba.

A continuación, invocamos la conservación de la entropía. Si\(s\) es la entropía por partícula, entonces\(ns\) es la entropía por unidad de volumen, en cuyo caso tenemos la ecuación de continuidad\[{\pz (ns)\over\pz t} + \bnabla\cdot(ns\BV)=n\bigg({\pz s\over\pz t} + \BV\ncdot\bnabla s\bigg) + s\bigg( {\pz n\over\pz t} + \bnabla\cdot (n\BV)\bigg)=0\ .\] El segundo término entre corchetes en el RHS desaparece debido a la continuidad de la partícula, dejándonos con\({\dot s} + \BV\ncdot\bnabla s\approx {\dot s}=0\) (ya que\(\BV=0\) en promedio, y cualquier gradiente es primero orden en pequeñez). Ahora la termodinámica dice\[\begin{split} ds&=\pabc{s}{T}{p}dT + \pabc{s}{p}{T}dp \\ &={c\ns_p\over T} \> dT - {\kB\over p}\>dp\ , \end{split}\] desde\(T\big({\pz s\over\pz T}\big)\nd_p=c\ns_p\) y\(\big({\pz s\over\pz p}\big)\nd_T=\big({\pz v\over\pz T}\big)\nd_p\), dónde\(v=V/N\). Así, ahora\[{c\ns_p\over\kB}\,{\pz \ln T\over\pz t} - {\pz\ln p\over\pz t}=0\ . \label{pteb}\] tenemos en eqns. [ptea] y [pteb] dos ecuaciones en las dos incógnitas\({\pz\ln T\over\pz t}\) y\({\pz\ln p\over\pz t}\), dando\[\begin{aligned} {\pz\ln T\over\pz t}&=-{\kB\over c\ns_V}\>\bnabla\ncdot \BV\\ {\pz\ln p\over\pz t}&=-{c\ns_p\over c\ns_V}\>\bnabla\ncdot \BV\ .\end{aligned}\] así la ecuación [LHSA] se convierte en\[\begin{split} {\pz f^0\over\pz t} + {\Bp\over m}\cdot{\pz f^0\over\pz\Br} + \BF\cdot{\pz f^0\over\pz\Bp}&=\bigg(\!-{\pz f^0\over\pz \ve}\bigg) \Bigg\{ {\ve(\Gamma)-h\over T}\>\Bv\cdot\bnabla T + m \, v\ns_\alpha v\ns_\beta \, \CQ\ns_{\alpha\beta} \\ &\qquad + {h-T c\ns_p-\ve(\Gamma)\over c\ns_V/k\ns_\RB}\,\bnabla\ncdot \BV -\BF\cdot\Bv\Bigg\}\ , \end{split}\] donde\[\CQ\ns_{\alpha\beta}={1\over 2}\,\bigg({\pz V\ns_\alpha\over\pz x\ns_\beta} + {\pz V\ns_\beta\over\pz x\ns_\alpha} \bigg)\ .\]

Por lo tanto, la ecuación de Boltzmann toma la forma\[\Bigg\{ {\ve(\Gamma)-h\over T}\>\Bv\cdot\bnabla T+ m \, v\ns_\alpha v\ns_\beta \, \CQ\ns_{\alpha\beta} - {\ve(\Gamma)-h+T c\ns_p\over c\ns_V/k\ns_\RB}\,\bnabla\ncdot\BV -\BF\cdot\Bv\Bigg\}\,{f^0\over\kT} + {\pz\,\delf\over\pz t}=\coll\ . \label{bwig}\] Aviso hemos bajado los términos\(\Bv\cdot{\pz\,\delf\over\pz\Br}\) y\(\BF\cdot{\pz\,\delf\over\pz\Bp}\), puesto que ya\(\delf\) deben ser de primer orden en pequeñez, y tanto el\({\pz\over\pz\Br}\) operador como\(\BF\) sumar un segundo orden de pequeñez, que es despreciable. Normalmente\({\pz\,\delf\over\pz t}\) es distinto de cero si la fuerza\(\BF(t)\) aplicada depende del tiempo. Utilizamos la convención de sumar sobre índices repetidos. Tenga en cuenta que\(\delta\ns_{\alpha\beta}\,\CQ\ns_{\alpha\beta}=\CQ\ns_{\alpha\alpha}=\bnabla\ncdot\BV\). Para gases ideales en los que solo se excitan los grados de libertad de traslación y rotación,\(h=c\ns_\Rp T\).