8.5: La difusión y el modelo de Lorentz

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Fallo de la aproximación del tiempo de relajación

Como señalamos anteriormente, la aproximación del tiempo de relajación no logra conservar ninguno de los invariantes colisionales. Por lo tanto, no es adecuado para describir fenómenos hidrodinámicos como la difusión. Para ver esto, deja\(f(\Br,\Bv,t)\) ser la función de distribución, aquí escrita en términos de posición, velocidad y tiempo en lugar de posición, impulso y tiempo como antes de ⁷. En ausencia de fuerzas externas, la ecuación de Boltzmann en la aproximación del tiempo de relajación es\[{\pz f\over\pz t} + \Bv\cdot {\pz f\over\pz\Br} = - {f-f^0\over\tau}\ .\] La densidad de partículas en el espacio de velocidad viene dada por\[{\tilde n}(\Bv,t)=\int\!\!d^3\!r\>f(\Br,\Bv,t)\ .\] En equilibrio, esta es la distribución de Maxwell multiplicada por el número total de partículas:\({\tilde n}\ns_0(\Bv)=N P\ns_\ssr{M}(\Bv)\). El número de partículas en función del tiempo,\(N(t)=\int\!d^3\!v\,{\tilde n}(\Bv,t)\), debe ser una constante.

Integrando la ecuación de Boltzmann uno tiene\[{\pz {\tilde n}\over\pz t} = - {{\tilde n}-{\tilde n}\ns_0\over\tau}\ .\] Así, con\(\delta {\tilde n}(\Bv,t)={\tilde n}(\Bv,t)-{\tilde n}\ns_0(\Bv)\), tenemos\[\delta {\tilde n}(\Bv,t)=\delta {\tilde n}(\Bv,0)\,e^{-t/\tau}\ .\] Así,\({\tilde n}(\Bv,t)\) decae exponencialmente a cero con constante de tiempo\(\tau\), de lo cual se deduce que el número total de partículas se relaja exponencialmente a\(N\ns_0\). Esto es físicamente incorrecto; las perturbaciones de densidad local no pueden simplemente desvanecerse. Más bien, se difunden.

Ecuación de Boltzmann modificada y su solución

Para remediar este aspecto antifísico, consideremos la ecuación modificada de Boltzmann,\[{\pz f\over\pz t} + \Bv\cdot {\pz f\over\pz\Br} = {1\over\tau}\bigg[- f + \int\!{d{\hat\Bv}\over 4\pi}\> f \bigg] \equiv {1\over\tau}\big(\,\MP\,-1\big) f\ , \label{Lormod}\] donde\(\,\MP\,\) se encuentra un proyector sobre un espacio de funciones isotrópicas de\(\Bv\):\(\,\MP\, F = \int\!{d{\hat\Bv}\over 4\pi}\, F(\Bv)\) para cualquier función\(F(\Bv)\). Tenga en cuenta que\(\,\MP\, F\) es una función de la velocidad\(v=|\Bv|\). Para esta ecuación modificada, conocida como el modelo de Lorentz, se encuentra\(\pz\ns_t{\tilde n}=0\).

El modelo en la Ecuación [Lormod] se conoce como el modelo Lorentz ⁸. Para resolverlo, consideramos la transformación de Laplace,\[\Hf(\Bk,\Bv,s)=\izpi dt \> e^{-st} \!\int\!\!d^3\!r\>e^{-i\Bk\cdot\Br}\> f(\Br,\Bv,t)\ .\] Tomando la transformación de Laplace de la Ecuación [Lormod],\[\big(s+i\Bv\cdot\Bk + \tau^{-1}\big)\,\Hf(\Bk,\Bv,s) = \tau^{-1}\,\MP\, \Hf(\Bk,\Bv,s) + f(\Bk,\Bv,t=0)\ .\] encontramos Ahora resolvemos para\(\,\MP\,\Hf(\Bk,\Bv,s)\): lo\[\Hf(\Bk,\Bv,s)={\tau^{-1}\over s + i\Bv\cdot\Bk + \tau^{-1}}\,\,\MP\,\Hf(\Bk,\Bv,s) + {f(\Bk,\Bv,t=0)\over s + i\Bv\cdot\Bk + \tau^{-1}}\ ,\] que implica\[\,\MP\,\Hf(\Bk,\Bv,s) = \left[ \int\!\!{d{\hat\Bv}\over 4\pi}\>{\tau^{-1}\over s + i\Bv\cdot\Bk + \tau^{-1}} \right] \,\MP\,\Hf(\Bk,\Bv,\Bs) + \int\!\!{d{\hat\Bv}\over 4\pi}\> {f(\Bk,\Bv,t=0)\over s + i\Bv\cdot\Bk + \tau^{-1}}\ .\] Ahora\[\,\MP\, f(\Bk,\Bv,s)=\Bigg[ 1 - {1\over vk\tau}\tan^{-1}\!\bigg({vk\tau\over 1 + \tau s}\bigg) \Bigg]^{-1} \!\! \int\!\!{d{\hat\Bv}\over 4\pi}\> {f(\Bk,\Bv,t=0)\over s + i\Bv\cdot\Bk + \tau^{-1}}\ .\] tenemos\[\begin{split} \int\!\!{d{\hat\Bv}\over 4\pi}\>{\tau^{-1}\over s + i\Bv\cdot\Bk + \tau^{-1}} &= \int\limits_{-1}^1\!\!dx\> {\tau^{-1}\over s + ivkx + \tau^{-1}} \\ &={1\over vk}\tan^{-1}\!\bigg({vk\tau\over 1 + \tau s}\bigg)\ . \end{split}\] Así, Ahora tenemos la solución a Lorentz's modificado Ecuación de Boltzmann:\[\begin{split} \Hf(\Bk,\Bv,s)&={\tau^{-1}\over s + i\Bv\cdot\Bk + \tau^{-1}} \Bigg[ 1 - {1\over vk\tau}\tan^{-1}\!\bigg({vk\tau\over 1 + \tau s}\bigg) \Bigg]^{-1} \!\! \int\!\!{d{\hat\Bv}\over 4\pi}\> {f(\Bk,\Bv,t=0)\over s + i\Bv\cdot\Bk + \tau^{-1}} \\ &\hskip1.0in + {f(\Bk,\Bv,t=0)\over s + i\Bv\cdot\Bk + \tau^{-1}} \ . \end{split}\]

Supongamos una distribución inicial que está perfectamente localizada en ambos\(\Br\) y\(\Bv\):\[f(\Br,\Bv,t=0)=\delta(\Bv-\Bv\ns_0)\ .\] Para estas condiciones iniciales, nos encontramos además\[\int\!\!{d{\hat\Bv}\over 4\pi}\> {f(\Bk,\Bv,t=0)\over s + i\Bv\cdot\Bk + \tau^{-1}} = {1\over s + i\Bv\ns_0\cdot\Bk + \tau^{-1}}\cdot{\delta(v-v\ns_0)\over 4\pi v_0^2}\ .\] tenemos eso\[1 - {1\over vk\tau}\tan^{-1}\!\bigg({vk\tau\over 1 + \tau s}\bigg) = s\tau + \third k^2 v^2 \tau^2 + \ldots\ ,\] y por lo tanto\[\begin{split} \Hf(\Bk,\Bv,s)&={\tau^{-1}\over s + i\Bv\cdot\Bk + \tau^{-1}} \cdot {\tau^{-1}\over s + i\Bv\ns_0\cdot\Bk + \tau^{-1}}\cdot{1\over s + {1\over 3} v_0^2\, k^2 \, \tau + \ldots} \cdot{\delta(v-v\ns_0)\over 4\pi v_0^2}\\ &\hskip 1.0in + {\delta(\Bv-\Bv\ns_0)\over s+i\Bv\ns_0\cdot\Bk+\tau^{-1}}\ . \end{split}\] Nos interesa el límite de tiempo largo\(t\gg\tau\) para\(f(\Br,\Bv,t)\). Esto está dominado por\(s\sim t^{-1}\), y asumimos que\(\tau^{-1}\) es dominante sobre\(s\) y\(i\Bv\cdot\Bk\). Luego tenemos\[\Hf(\Bk,\Bv,s)\approx {1\over s + {1\over 3} v_0^2\, k^2 \, \tau} \cdot{\delta(v-v\ns_0)\over 4\pi v_0^2}\ .\] Realizando las transformaciones inversas de Laplace y Fourier, obtenemos\[f(\Br,\Bv,t)=(4\pi Dt)^{-3/2} \, e^{-r^2/4Dt}\cdot {\delta(v-v\ns_0)\over 4\pi v_0^2}\ ,\] donde está la constante de difusión\[D=\third v_0^2\,\tau\ .\] Las unidades están\([D]=L^2/T\). Integrando sobre velocidades, tenemos la densidad\[n(\Br,t)=\int\!\!d^3\!v\>f(\Br,\Bv,t) = (4\pi Dt)^{-3/2}\,e^{-r^2/4Dt}\ .\] Tenga en cuenta que\[\int\!\!d^3\!r\>n(\Br,t) = 1\] para siempre. ¡Se conserva el número total de partículas!