8.6: Ecuación Linealizada de Boltzmann

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Linealización de la integral de colisión

Ahora volvemos a la ecuación clásica de Boltzmann y consideramos un tratamiento más formal del término de colisión en la aproximación lineal. Asumiremos simetría de inversión de tiempo, en cuyo caso\[\coll=\int\!\!d^3\!p\ns_1\!\!\int\!\!d^3\!p'\!\!\int\!\!d^3\!p'_1 \ w(\Bp',\Bp'_1\,|\,\Bp,\Bp\ns_1)\> \Big\{f(\Bp')\,f(\Bp'_1)-f(\Bp)\,f(\Bp\ns_1)\Big\}\ .\] La integral de colisión es no lineal en la distribución\(f\). Linealizamos escribiendo\[f(\Bp)=f^0(\Bp) + f^0(\Bp)\,\psi(\Bp)\ ,\] donde suponemos que\(\psi(\Bp)\) es pequeño. Entonces tenemos, a primer orden en\(\psi\),\[\coll=f^0(\Bp)\,\HL\psi + \CO(\psi^2)\ ,\] donde la acción del operador de colisión linealizado viene dada por\[\begin{split} \HL\psi&=\int\!\!d^3\!p\ns_1\!\!\int\!\!d^3\!p'\!\!\int\!\!d^3\!p'_1 \ w(\Bp',\Bp'_1\,|\,\Bp,\Bp\ns_1)\>f^0(\Bp\ns_1)\, \Big\{\psi(\Bp')+\psi(\Bp'_1)-\psi(\Bp)-\psi(\Bp\ns_1)\Big\}\\ &=\int\!\!d^3\!p\ns_1\!\int\!\!d\Omega\, |\Bv-\Bv\ns_1| \,{\pz\sigma\over\pz\Omega}\,f^0(\Bp\ns_1)\, \Big\{\psi(\Bp')+\psi(\Bp'_1)-\psi(\Bp)-\psi(\Bp\ns_1)\Big\}\ , \end{split}\] donde hemos invocado la Ecuación [beSIG] para escribir el RHS en términos de la sección transversal de dispersión diferencial. Al derivar el resultado anterior, hemos hecho uso de la relación de equilibrio detallado, También\[f^0(\Bp)\,f^0(\Bp\ns_1)= f^0(\Bp')\,f^0(\Bp'_1)\ .\] hemos suprimido la\(\Br\) dependencia por escrito\(f(\Bp)\),\(f^0(\Bp)\), y\(\psi(\Bp)\).

De la Ecuación [bwig], tenemos entonces la ecuación linealizada\[\bigg(\HL-{\pz\over\pz t}\bigg) \psi = Y , \label{LBE}\] donde, para partículas puntuales,\[Y={1\over\kT}\Bigg\{ {\ve(\Bp)-c\ns_p T\over T}\>\Bv\cdot\bnabla T+ m \, v\ns_\alpha v\ns_\beta \, \CQ\ns_{\alpha\beta} - {k\ns_\RB\,\ve(\Bp)\over c\ns_V}\,\bnabla\ncdot\BV-\BF\cdot\Bv\Bigg\}\ .\] la ecuación [LBE] es una ecuación lineal no homogénea, que puede resolverse invirtiendo el operador\(\HL-{\pz\over\pz t}\).

Propiedades algebraicas lineales de\(\HL\)

Aunque\(\HL\) es un operador integral, comparte muchas propiedades con otros operadores lineales con los que está familiarizado, como matrices y operadores diferenciales. Podemos definir un producto interno ⁹,\[\sbraket{\psi\ns_1}{\psi\ns_2}\equiv\int\!\! d^3\!p \,f^0(\Bp)\,\psi\ns_1(\Bp)\,\psi\ns_2(\Bp)\ .\] Tenga en cuenta que este no es el producto interno habitual del espacio Hilbert de la mecánica cuántica, ya que el factor\(f^0(\Bp)\) está incluido en la métrica. Esto es necesario para que\(\HL\) sean autoadherentes:\[\sbraket{\psi\ns_1}{\HL\psi\ns_2}=\sbraket{\HL\psi\ns_1}{\psi\ns_2}\ .\]

Ahora podemos definir el espectro de funciones propias normalizadas de\(\HL\), que escribimos como\(\phi\ns_n(\Bp)\). Las funciones propias satisfacen la ecuación de valor propio,\[\HL\phi\ns_n=-\lambda\ns_n\,\phi\ns_n\ ,\] y pueden elegirse para ser ortonormales, Por\[\sbraket{\phi\ns_m}{\phi\ns_n}=\delta\ns_{mn}\ .\] supuesto, para obtener las funciones propias\(\phi\ns_n\) debemos tener un conocimiento detallado de la función\(w(\Bp',\Bp'_1\,|\,\Bp,\Bp\ns_1)\).

Recordemos que existen cinco invariantes colisionales, que son el número de partículas, los tres componentes del momento total de la partícula y la energía de las partículas. A cada invariante colisional, hay una función propia asociada\(\phi\ns_n\) con el valor propio\(\lambda\ns_n=0\). Se puede comprobar que estas funciones propias normalizadas son\[\begin{aligned} \phi\ns_n(\Bp)&={1\over\sqrt{n}}\\ \phi\ns_{p\ns_\alpha}(\Bp)&={p\ns_\alpha\over\sqrt{nm\kT}}\\ \phi\ns_\ve(\Bp)&=\sqrt{2\over 3n}\>\bigg({\ve(\Bp)\over\kT}-{3\over 2}\bigg)\ .\end{aligned}\]

Si no hay gradientes de temperatura, potencial químico o velocidad aparente, y no hay fuerzas externas, entonces\(Y=0\) y los únicos cambios en la distribución son por colisiones. La ecuación linealizada de Boltzmann se convierte En consecuencia,\[{\pz\psi\over\pz t}=\HL\psi\ .\] podemos escribir la solución más general en la forma\[\psi(\Bp,t)={\sum_n}' C\ns_n\,\phi\ns_n(\Bp)\,e^{-\lambda\ns_n t}\ ,\] donde el primo sobre la suma nos recuerda que los invariantes colisionales deben ser excluidos. Todos los valores propios\(\lambda\ns_n\), aparte de los cinco valores propios cero para los invariantes colisionales, deben ser positivos. Cualquier valor propio negativo\(\psi(\Bp,t)\) provocaría un aumento sin límite, y una distribución inicial de no equilibrio no se relajaría al equilibrio\(f^0(\Bp)\), que consideramos no físico. En adelante bajaremos el prime sobre la suma pero recuerda eso\(C\ns_n=0\) para los cinco invariantes colisionales.

Recordemos también las corrientes de partículas, energía y térmicas (calor),\[\begin{split} \Bj&=\int\!\! d^3\!p \>\Bv\,f(\Bp) = \int\!\! d^3\!p \>f^0(\Bp)\,\Bv\,\psi(\Bp)=\sbraket{\Bv}{\psi}\\ \Bj\ns_\ve&=\int\!\! d^3\!p \>\Bv\,\ve\,f(\Bp) =\int\!\! d^3\!p \>f^0(\Bp)\,\Bv\,\ve\,\psi(\Bp)= \sbraket{\Bv\,\ve}{\psi}\\ \Bj\ns_q&=\int\!\! d^3\!p \>\Bv\,(\ve-\mu)\,f(\Bp) =\int\!\! d^3\!p \>f^0(\Bp)\,\Bv\,(\ve-\mu)\,\psi(\Bp)= \sbraket{\Bv\,(\ve-\mu)}{\psi}\ . \end{split}\] Nota\(\Bj\ns_q=\Bj\ns_\ve-\mu\Bj\).

Solución de estado estacionario a la ecuación linealizada de Boltzmann

Bajo condiciones de estado estacionario, no hay dependencia del tiempo, y la ecuación linealizada de Boltzmann toma la forma\[\HL\psi=Y\ .\] Podemos expandirnos\(\psi\) en las funciones propias\(\phi\ns_n\) y escribir\(\psi=\sum_n C\ns_n\,\phi\ns_n\). Aplicando\(\HL\) y tomando el producto interno con\(\phi\ns_j\), tenemos\[C\ns_j=-{1\over\lambda\ns_j}\,\sbraket{\phi\ns_j}{Y}\ .\] Así, la solución formal a la ecuación linealizada de Boltzmann es\[\psi(\Bp)=-\sum_n{1\over\lambda\ns_n}\>\sbraket{\phi\ns_n}{Y}\>\phi\ns_n(\Bp)\ .\] Esta solución es aplicable siempre\(\sket{Y}\) que sea ortogonal a los cinco invariantes colisionales.

Conductividad térmica

Para la conductividad térmica, tomamos\(\bnabla T=\pz\ns_z T\,\xhat\), y\[Y={1\over \kB T^2}\,{\pz T\over\pz x}\cdot X\ns_\kappa \ ,\] dónde\(X\ns_\kappa\equiv (\ve-c\ns_p T)\,v\ns_x\). Bajo las condiciones de no flujo de partículas (\(\Bj=0\)), tenemos\(\Bj\ns_q=-\kappa\,\pz\ns_x T\,\xhat\). Entonces tenemos\[\sbraket{X\ns_\kappa}{\psi}=-\kappa\>{\pz T\over\pz x}\ .\]

Viscosidad

Para la viscosidad, tomamos\[Y={m\over\kT}\,{\pz V\ns_x\over\pz y} \cdot X\ns_\eta \ ,\] con\(X\ns_\eta=v\ns_x\, v\ns_y\). Nosotros entonces\[\RPi\ns_{xy}=\sbraket{m\, v\ns_x \, v\ns_y}{\psi}=-\eta\,{\pz V\ns_x\over\pz y}\ .\] Así,\[\sbraket{X\ns_\eta}{\psi}=-{\eta\over m}\,{\pz V\ns_x\over\pz y}\ .\]

Enfoque variacional

Siguiendo el tratamiento en el capítulo 1 de Smith y Jensen, definir\(\HH\equiv -\HL\). Tenemos que\(\HH\) es un operador semidefinito positivo, cuyos únicos valores propios cero corresponden a los invariantes colisionales. Entonces tenemos la desigualdad Schwarz,\[\sexpect{\psi}{\HH}{\psi} \cdot \sexpect{\phi}{\HH}{\phi} \ge \sexpect{\phi}{\HH}{\psi}^2\ ,\] para dos vectores espaciales Hilbert\(\sket{\psi}\) y cualesquiera\(\sket{\phi}\). Consideremos ahora el cálculo anterior de la conductividad térmica. Tenemos\[\HH\psi=-{1\over\kB T^2}\,{\pz T\over\pz x}\>X\ns_\kappa\] y por lo tanto\[\kappa = {\kB T^2\over (\pz T/\pz x)^2} \> \sexpect{\psi}{\HH}{\psi} \ge {1\over\kB T^2}\> {\sbraket{\phi}{X\ns_\kappa}^2\over\sexpect{\phi}{\HH}{\phi}}\ .\] Del mismo modo, para la viscosidad, tenemos\[\HH\psi=-{m\over\kT}\,{\pz V\ns_x\over\pz y}\>X\ns_\eta\ ,\] de la que derivamos\[\eta={\kT\over (\pz V\ns_x/\pz y)^2}\>\sexpect{\psi}{\HH}{\psi} \ge {m^2\over\kB T}\> {\sbraket{\phi}{X\ns_\eta}^2\over\sexpect{\phi}{\HH}{\phi}}\ .\]

Para conseguir un buen límite inferior, queremos\(\phi\) en cada caso tener un buen solapamiento con\(X\ns_{\kappa,\eta}\). Un enfoque entonces es tomar\(\phi=X\ns_{\kappa,\eta}\), lo que garantiza que el solapamiento será finito (y no cero debido a la simetría, por ejemplo). Ilustramos este método con el cálculo de la viscosidad. Tenemos\[\eta\ge{m^2\over\kT}\,{\sbraket{v\ns_x v\ns_y}{v\ns_x v\ns_y}^2\over \sexpect{v\ns_x v\ns_y}{\HH}{v\ns_x v\ns_y}}\ . \label{varvisc}\] Ahora el operador de colisión linealizado\(\HL\) actúa como\[\sexpect{\phi}{\HL}{\psi}=\int\!\!d^3\!p \, g^0(\Bp) \,\phi(\Bp) \!\! \int\!\!d^3\!p\ns_1\!\!\int \!\! d\Omega\,{\pz\sigma\over\pz\Omega}\> |\Bv-\Bv\ns_1| \,f^0(\Bp\ns_1) \Big\{\psi(\Bp)+\psi(\Bp\ns_1) - \psi(\Bp') - \psi(\Bp'_1) \Big\}\ .\] Aquí la cinemática de la colisión garantiza la energía total y la conservación del momento, así\(\Bp'\) y\(\Bp'_1\) se determinan como en la Ecuación [finalpes].

Ahora tenemos\[d\Omega=\sin\chi \,d\chi\,d\vphi\ ,\] donde\(\chi\) está el ángulo de dispersión representado en la Fig. [scat_impact] y\(\vphi\) es el ángulo azimutal de la dispersión. La sección transversal de dispersión diferencial se obtiene mediante mecánica elemental y se sabe que es\[{\pz\sigma\over\pz\Omega}=\bigg|{d(b^2/2)\over d\sin\chi}\bigg|\ ,\] donde\(b\) está el parámetro de impacto. El ángulo de dispersión es\[\chi(b,u)=\pi-2\!\int\limits_{r_\Rp}^\infty \!dr\,{b\over\sqrt{r^4-b^2 r^2 - {2U(r)r^4\over {\tilde m} u^2}}}\ ,\] donde\({\tilde m}=\half m\) está la masa reducida, y\(r\ns_\Rp\) es la separación de coordenadas relativas en periapsis, la distancia de aproximación más cercana, que ocurre cuando\(\Dr=0\),\[\half {\tilde m} u^2 = {\ell^2\over 2 {\tilde m} r_\Rp^2} + U(r\ns_\Rp)\ ,\] donde\(\ell={\tilde m} u b\) está el momento angular de coordenadas relativas.

[scat_impact] Dispersión en el marco CM. O es el centro de fuerza y\(P\) es el punto de periapsis. El parámetro de impacto es\(b\), y\(\chi\) es el ángulo de dispersión. \(\phi_0\)es el ángulo a través del cual la coordenada relativa se mueve entre la periapsis y el infinito.

Trabajamos en coordenadas de centro de masa, por lo que las velocidades son\[\begin{aligned} &&\Bv&= \BV+\half\Bu & \Bv'&=\BV+\half\Bu' && \\ &&\Bv\ns_1&=\BV-\half\Bu & \Bv'_1&=\BV-\half\Bu' && \ ,\end{aligned}\] con\(|\Bu|=|\Bu'|\) y\({\hat\Bu}\cdot{\hat\Bu'}=\cos\chi\). Entonces si\(\psi(\Bp)=v\ns_x v\ns_y\), tenemos\[\RDelta(\psi)\equiv \psi(\Bp)+\psi(\Bp\ns_1) - \psi(\Bp') - \psi(\Bp'_1) = \half\big(u\ns_x u\ns_y - u'_x u'_y\big)\ .\] Podemos escribir\[\Bu'=u \, \Big(\!\sin\chi\cos\vphi \> \ehat\ns_1 + \sin\chi\sin\vphi \> \ehat\ns_2 + \cos\chi \> \ehat\ns_3 \Big)\ ,\] donde\(\ehat\ns_3={\hat\Bu}\). Con esta parametrización, tenemos\[\int\limits_0^{2\pi}\!\!d\vphi \> \half\big(u\ns_\alpha u\ns_\beta - u'_\alpha u'_\beta\big) = -\pi\sin^2\!\chi \> \big( u^2\,\delta\ns_{\alpha\beta}-3u\ns_\alpha u\ns_\beta\big)\ .\] Nota que hemos utilizado aquí la relación\[e\ns_{1\alpha}\,e\ns_{1\beta} + e\ns_{2\alpha}\,e\ns_{2\beta} + e\ns_{3\alpha}\,e\ns_{3\beta} = \delta\ns_{\alpha\beta}\ ,\] que mantiene ya que el LHS es un proyector\(\sum_{i=1}^3 \tket{\ehat\ns_i}\tbra{\ehat\ns_i}\).

Es conveniente definir la siguiente integral:\[R(u)\equiv \izpi db \> b \>\sin^2\!\chi(b,u)\ .\] Desde el jacobiano\[\bigg| \det{(\pz \Bv,\pz\Bv\ns_1)\over(\pz \BV ,\pz\Bu)} \bigg| = 1\ ,\] tenemos\[\sexpect{v\ns_x v\ns_y}{\HL}{v\ns_x v\ns_y}= n^2 \bigg({m\over 2\pi\kT}\bigg)^{\!\!3}\int\!\!d^3 V \!\! \int\!\!d^3\!u \> e^{-m\BV^2/k\ns_\RB T}\,e^{-m\Bu^2/4 k\ns_\RB T} \cdot u \cdot\frac{3\pi}{2} u\ns_x u\ns_y \cdot R(u) \cdot v\ns_x v\ns_y \ .\] Este rinde\[\sexpect{v\ns_x v\ns_y}{\HL}{v\ns_x v\ns_y}=\frac{\pi}{40}\,n^2\,\big\langle u^5\, R(u) \big\rangle \ ,\] donde\[\big\langle F(u) \big\rangle \equiv \izpi du \, u^2 \, e^{-mu^2/4k\ns_\RB T} \, F(u) \bigg/ \izpi du \, u^2 \, e^{-mu^2/4k\ns_\RB T} \ .\]

Es fácil calcular el término en el numerador de la Ecuación [varvisc]:\[\sbraket{v\ns_x v\ns_y}{v\ns_x v\ns_y} = n\,\bigg({m\over 2\pi\kT}\bigg)^{\!\!3/2}\int\!\!d^3\!v\> e^{-m\Bv^2/2k\ns_\RB T}\,v_x^2 \, v_y^2 =n\bigg({\kT\over m}\bigg)^{\!\!2}\ .\] Poniéndolo todo junto, encontramos\[\eta\ge {40\,(\kT)^3\over\pi\,m^2} \bigg/\big\langle u^5\, R(u) \big\rangle\ .\]

El cálculo para\(\kappa\) es un poco más tedioso. Se tiene\(\psi(\Bp)=(\ve-c\ns_p T)\,v\ns_x\), en cuyo caso En\[\RDelta(\psi)=\half m \Big[(\BV\cdot\Bu)\,u\ns_x - (\BV\cdot\Bu')\,u'_x\Big]\ .\] última instancia, se obtiene el límite inferior\[\kappa \ge {150\,\kB\,(\kT)^3\over\pi\,m^3} \bigg/\big\langle u^5\, R(u) \big\rangle\ .\] Así, independientemente del potencial, este cálculo variacional produce un número Prandtl del\[{Pr}={\nu\over a}={\eta\,c\ns_p\over m\,\kappa} = \frac{2}{3}\ ,\] cual está muy cerca de lo que se observa en los gases monoatómicos diluidos (ver Tab. [Prandtl]).

Si bien las expresiones variacionales para\(\eta\) y\(\kappa\) son funciones complicadas del potencial, para la dispersión de esfera dura el cálculo es simple, porque\(b=d\sin\phi\ns_0=d\cos(\half\chi)\), dónde\(d\) está el diámetro de la esfera dura. Así, el parámetro de impacto\(b\) es independiente de la velocidad relativa\(u\), y uno encuentra\(R(u)=\third d^3\). Entonces\[\big\langle u^5\,R(u) \big\rangle = \third d^3 \big\langle u^5\big\rangle = {128\over\sqrt{\pi}}\bigg({\kT\over m}\bigg)^{\!\!5/2} d^2\] y uno encuentra\[\eta\ge{5\,(m\kT)^{1/2}\over 16\sqrt{\pi}\,d^2}\qquad,\qquad \kappa\ge {75\, \kB\over 64\sqrt{\pi}\,d^2}\bigg({\kT\over m}\bigg)^{\!\!1/2}\ .\]