8.12: Apéndice III- ODEs no homogéneas lineales generales autónomas

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También podemos resolver ODEs lineales no homogéneas generales autónomas de la forma\[{d^n\! x\over dt^n} + a\nd_{n-1}\,{d^{n-1} x\over dt^{n-1}}+ \ldots + a\nd_1\,{dx\over dt} + a\nd_0\,x=\xi(t)\ .\] Podemos escribir esto como\[{\cal L}\nd_t\,x(t)=\xi(t)\ , \label{Leqn}\] donde\({\cal L}\nd_t\) está el operador diferencial de\(n^\ssr{th}\) orden\[{\cal L}\nd_t={d^n\over dt^n} + a\nd_{n-1}\,{d^{n-1}\over dt^{n-1}} + \ldots + a\nd_1\,{d\over dt}+a\nd_0\ .\] La solución general a la ecuación no homogénea viene dada por\[x(t)=x\nd_{h}(t)+\!\impi dt'\>G(t,t')\,\xi(t')\ ,\label{time}\] donde\(G(t,t')\) está la función del Verde. Tenga en cuenta que\({\cal L}\nd_t\,x\nd_{h}(t)=0\). Así, a fin de eqns. [Leqn] y [tiempo] para ser verdad, debemos tener\[{\cal L}\nd_t\, x(t)=\stackrel

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{\overbrace

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+\impi dt'\>{\cal L}\nd_t\,G(t,t')\,\xi(t')=\xi(t)\ ,\] lo que significa que\[{\cal L}\nd_t\,G(t,t')=\delta(t-t')\ ,\] dónde\(\delta(t-t')\) está la\(\delta\) función Dirac.

Si la ecuación diferencial\({\cal L}\nd_t\,x(t)=\xi(t)\) se define sobre algún\(t\) intervalo finito o semi-infinito con condiciones de límite prescritas\(x(t)\) en los puntos finales, entonces\(G(t,t')\) dependerá de\(t\) y\(t'\) por separado. Para el caso que ahora estamos considerando, que el intervalo sea toda la línea real\(t\in (-\infty,\infty)\). Entonces\(G(t,t')=G(t-t')\) es una función de la variable única\(t-t'\).

Tenga en cuenta que\({\cal L}\nd_t={\cal L}\big(\frac{d}{dt}\big)\) puede considerarse una función del operador diferencial\(\frac{d}{dt}\). Si ahora transformamos Fourier la ecuación\({\cal L}\nd_t\,x(t)=\xi(t)\), obtenemos\[\begin{split} \impi\!dt\,e^{i\omega t}\,\xi(t)&=\impi dt\,e^{i\omega t}\,\bigg\{{d^n\over dt^n} + a\nd_{n-1}\,{d^{n-1}\over dt^{n-1}} +\ldots + a\nd_1\,{d\over dt}+a\nd_0\bigg\}\,x(t)\\ &=\impi dt\,e^{i\omega t}\,\Bigg\{(-i\omega)^n + a\nd_{n-1}\,(-i\omega)^{n-1} + \ldots + a\nd_1\,(-i\omega)+a\nd_0\bigg\}\,x(t)\ . \end{split}\] Así, si definimos\[{\hat{\cal L}}(\omega)=\sum_{k=0}^n a\nd_k\,(-i\omega)^k\ ,\] entonces tenemos\[{\hat{\cal L}}(\omega)\,{\hat x}(\omega)={\hat\xi}(\omega)\ ,\] dónde\(a\nd_n\equiv 1\). Según el Teorema Fundamental del Álgebra, el polinomio\(n^\ssr{th}\) grado\({\hat{\cal L}}(\omega)\) puede ser factorizado de manera única sobre el\(\omega\) plano complejo en un producto sobre\(n\) raíces:\[{\hat{\cal L}}(\omega)=(-i)^n\, (\omega-\omega_1)(\omega-\omega_2) \cdots(\omega-\omega_n)\ .\] Si los\(\{a\nd_k\}\) son todos reales, entonces, por lo tanto\(\big[{\hat{\cal L}}(\omega)\big]^*={\hat{\cal L}}(-\omega^*)\), si\(\Omega\) es una raíz entonces así es \(-\Omega^*\). Así, las raíces aparecen en parejas que son simétricas alrededor del eje imaginario. si\(\Omega=a+ib\) es una raíz, entonces así es\(-\Omega^*=-a+ib\).

La solución general a la ecuación homogénea es la\[x\nd_{h}(t)=\sum_{\sigma=1}^n A\ns_\sigma\,e^{-i\omega_\sigma t}\ ,\] que involucra constantes complejas\(n\) arbitrarias\(A_i\). La susceptibilidad, o función de Green en el espacio de Fourier,\({\hat G}(\omega)\) es entonces\[{\hat G}(\omega)={1\over{\hat{\cal L}}(\omega)}={i^n\over (\omega-\omega_1)(\omega-\omega_2)\cdots(\omega-\omega_n)}\ ,\] Note eso\(\big[{\hat G}(\omega)\big]^*={\hat G}(-\omega)\), que es equivalente a la afirmación que\(G(t-t')\) es una función real de su argumento. La solución general a la ecuación no homogénea es entonces\[x(t)=x\nd_{h}(t)+\impi \! dt'\>G(t-t')\,\xi(t')\ ,\] dónde\(x\nd_{h}(t)\) está la solución a la ecuación homogénea, con forzamiento cero, y\[\begin{split} G(t-t')&=\int\limits_{-\infty}^\infty\!\! {d\omega\over 2\pi}\,e^{-i\omega (t-t')}\,{\hat G}(\omega)\\ &=i^n\!\impi \, {d\omega\over 2\pi}\,{e^{-i\omega (t-t')}\over (\omega-\omega_1) (\omega-\omega_2)\cdots(\omega-\omega_n)}\\ &=\sum_{\sigma=1}^n {e^{-i\omega\nd_\sigma (t-t')}\over i\,{\cal L}'(\omega\nd_\sigma)}\,{\RTheta}(t-t')\ , \label{gfun} \end{split}\] donde suponemos que\({Im}\,\omega\nd_\sigma <0\) para todos\(\sigma\). Esto garantiza la causalidad —la respuesta\(x(t)\) a la influencia\(\xi(t')\) es distinta de cero sólo para\(t > t'\).

Como ejemplo, considere el caso familiar\[\begin{aligned} {\hat{\cal L}}(\omega)&=-\omega^2-i\gamma\omega+\omega_0^2\nonumber\\ &=-(\omega-\omega\nd_+)\,(\omega-\omega\nd_-)\ ,\end{aligned}\] con\(\omega\nd_\pm=-\frac{i}{2}\gamma\pm \beta\), y\(\beta=\sqrt{\omega_0^2-\fourth\gamma^2\,}\). Esto rinde\[{\cal L}'(\omega\nd_\pm)=\mp(\omega_+-\omega_-)=\mp 2\beta\ .\] Entonces según la ecuación [gfun],\[\begin{split} G(s)&=\Bigg\{ {e^{-i\omega\nd_+ s}\over i {\cal L}'(\omega\nd_+)} + {e^{-i\omega\nd_- s}\over i {\cal L}'(\omega\nd_-)} \Bigg\}\,{\RTheta}(s)\\ &=\bigg\{ {e^{-\gamma s/2}\,e^{-i\beta s}\over -2i\beta} + {e^{-\gamma s/2}\,e^{i\beta s}\over 2i\beta} \bigg\}\bvph\,{\RTheta}(s)\\ &=\beta^{-1}\,e^{-\gamma s/2}\,\sin(\beta s)\,{\RTheta}(s)\ . \end{split}\]

Ahora vamos a evaluar la función de correlación de dos puntos\(\big\langle x(t)\,x(t') \big\rangle\), asumiendo que el ruido se correlaciona de acuerdo con\(\big\langle \xi(s)\,\xi(s') \big\rangle=\phi(s-s')\). Suponemos\(t,t'\to\infty\) que la contribución transitoria\(x\ns_{h}\) es insignificante. Entonces tenemos\[\begin{split} \big\langle x(t)\,x(t')\big\rangle & = \impi ds\!\impi ds'\>G(t-s)\,G(t'-s')\,\big\langle \xi(s)\,\xi(s') \big\rangle\\ &=\impi{d\omega\over 2\pi}\>{\hat\phi}(\omega)\, \big|{\hat G}(\omega)\big|^2 \,e^{i\omega(t-t')}\ . \end{split}\]

ODEs de orden superior

Tenga en cuenta que cualquier\(n^\ssr{th}\) orden ODE, de la forma general\[{d^n\! x\over dt^n}=F\bigg(x\,,\,{dx\over dt}\,,\,\ldots\,,\,{d^{n-1}\!x\over dt^{n-1}}\bigg)\ ,\] puede ser representada por el sistema de primer orden\({\dot\Bvphi}=\BV(\Bvphi)\). Para ver esto, definir\(\varphi\nd_k=d^{k-1}\!x/dt^{k-1}\), con\(k=1,\ldots,n\). Así, pues\(k<n\) tenemos\({\dot\varphi}\nd_k=\varphi\nd_{k+1}\), y\({\dot\varphi}\nd_n=F\). En otras palabras,\[\stackrel

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{\overbrace{ {d\over dt}\begin{pmatrix} \varphi\nd_1\\ \vdots \\ \varphi\nd_{n-1}\\ \varphi\nd_n \end{pmatrix}}}= \stackrel{\BV(\Bvphi)}{\overbrace{\begin{pmatrix}\varphi\nd_2\\ \vdots \\ \varphi\nd_n \\F\big(\varphi\nd_1,\ldots,\varphi\nd_p\big)\end{pmatrix}}}\ .\]

Una ODE de\(n^\ssr{th}\) orden lineal no homogénea,\[{d^n\!x\over dt^n} + a\nd_{n-1}\,{d^{n-1}\!x\over dt^{n-1}} + \ldots + a\nd_1\, {dx\over dt} + a\nd_0\,x=\xi(t) \label{ILODE}\] puede escribirse en forma de matriz, como\[{d\over dt}\begin{pmatrix} \varphi\nd_1\\ \varphi\nd_2 \\ \vdots \\ \varphi\nd_n \end{pmatrix}= \stackrel{Q}{\overbrace{\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ -a\nd_0 & -a\nd_1 & -a\nd_2 & \cdots & -a\nd_{n-1} \end{pmatrix} }} \begin{pmatrix} \varphi\nd_1\\ \varphi\nd_2 \\ \vdots \\ \varphi\nd_n \end{pmatrix} + \stackrel{\Bxi}{\overbrace{\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ \vdots \\ \xi(t) \end{pmatrix} }} \ . \label{Qxieqn}\] Así,\[{\dot\Bvphi}=Q\,\Bvphi + \Bxi\ , \label{phiQeqn}\] y si los coeficientes\(c\nd_k\) son independientes del tiempo, la ODE es autónoma.

Para el caso homogéneo donde\(\xi(t)=0\), la solución se obtiene exponenciando la matriz constante\(Qt\):\[\Bvphi(t)=\exp(Qt)\,\Bvphi(0)\ ;\] la exponencial de una matriz puede ser dada significado por su expansión de la serie Taylor. Si la ODE no es autónoma, entonces\(Q=Q(t)\) depende del tiempo, y la solución viene dada por el exponencial ordenado por ruta,\[\Bvphi(t)={\textsf P}\exp\Bigg\{\int\limits_0^t\!\!dt'\,Q(t')\Bigg\}\,\Bvphi(0)\ ,\] donde\({\textsf P}\) está el operador de orden de ruta que coloca tiempos anteriores a la derecha. Según se define, la ecuación\({\dot\Bvphi}=\BV(\Bvphi)\) es autónoma, ya que el mapeo\(t\) -advance\(g\nd_t\) depende únicamente de\(t\) y de ninguna otra variable de tiempo. Sin embargo, al extender el espacio\({\mathbb M}\ni\Bvphi\) de fase desde\({\mathbb M} \to {\mathbb M}\times{\mathbb R}\), que es de dimensión\(n+1\), se pueden describir ODE arbitrarias dependientes del tiempo.

En general, los exponenciales ordenados por ruta son difíciles de calcular analíticamente. En adelante consideraremos el caso autónomo donde\(Q\) se encuentra una matriz constante en el tiempo. Supondremos que la matriz\(Q\) es real, pero aparte de eso no tiene simetrías útiles. Sin embargo, podemos descomponerlo en vectores propios izquierdo y derecho:\[Q\ns_{ij}=\sum_{\sigma=1}^n\,\nu\ns_\sigma\, R\ns_{\sigma,i}\,L\ns_{\sigma,j}\ .\] O, en notación bra-ket,\(Q=\sum_\sigma \nu\ns_\sigma \,\tket{R_\sigma}\tbra{L_\sigma}\). La condición de normalización que utilizamos es\[\braket{L\ns_\sigma}{R\ns_{\sigma'}}=\delta\ns_{\sigma\sigma'},\] donde\(\big\{\nu\ns_\sigma\big\}\) están los valores propios de\(Q\). Los valores propios pueden ser reales o imaginarios. Dado que el polinomio característico\(P(\nu)=\textsf{det}\,(\nu\,{\mathbb I}-Q)\) tiene coeficientes reales, sabemos que los valores propios de\(Q\) son reales o vienen en pares conjugados complejos.

Consideremos, por ejemplo, el\(n=2\) sistema que estudiamos anteriormente. Entonces\[Q=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\omega_0^2 & -\gamma \end{pmatrix}\ .\] Los valores propios son como antes:\(\nu\ns_\pm=-\half\gamma\pm\sqrt{\fourth\gamma^2-\omega_0^2\,}\). Los vectores propios izquierdo y derecho son\[L\ns_\pm={\pm 1\over\nu\ns_+-\nu\ns_-}\,\begin{pmatrix} -\nu\ns_\mp & 1 \end{pmatrix} \qquad,\qquad R\ns_\pm=\begin{pmatrix} 1 \\ \nu\ns_\pm \end{pmatrix}\ .\]

La utilidad de trabajar en una base propia izquierda-derecha es evidente una vez que reflexionamos sobre el resultado\[f(Q)=\sum_{\sigma=1}^n f(\nu\ns_\sigma)\,\,\ket{R_\sigma}\,\bra{L_\sigma}\] para cualquier función\(f\). Así, la solución al caso homogéneo autónomo general es\[\begin{aligned} \ket{\Bvphi(t)}&=\sum_{\sigma=1}^n e^{\nu\ns_\sigma t}\,\ket{R\ns_\sigma}\, \braket{L\ns_\sigma}{\Bvphi(0)}\\ \varphi\ns_i(t)&=\sum_{\sigma=1}^n e^{\nu\ns_\sigma t}\, R\ns_{\sigma,i}\,\sum_{j=1}^n L\ns_{\sigma,j}\,\varphi\ns_j(0)\ .\end{aligned}\] Si\(\textsf{Re}\,(\nu\ns_\sigma)\le 0\) para todos\(\sigma\), entonces las condiciones iniciales\(\Bvphi(0)\) se olvidan en escalas de tiempo\(\tau\ns_\sigma=\nu^{-1}_\sigma\). La fisicalidad exige que así sea.

Ahora consideremos el caso no homogéneo donde\(\xi(t)\ne 0\). Comenzamos refundiendo la Ecuación [PHIqEQN] en la forma\[{d\over dt}\big(e^{-Qt}\,\Bvphi\big)=e^{-Qt}\,\Bxi(t)\ .\] Podemos integrar esto directamente:\[\Bvphi(t)=e^{Qt}\,\Bvphi(0) + \int\limits_0^t\!\!ds\,e^{Q(t-s)}\,\Bxi(s)\ .\] En notación de componentes,\[\varphi\ns_i(t)=\sum_{\sigma=1}^n e^{\nu\ns_\sigma t}\, R\ns_{\sigma,i}\,\braket{L\ns_\sigma}{\Bvphi(0)} +\sum_{\sigma=1}^n R\ns_{\sigma,i} \int\limits_0^t\!\!ds\>e^{\nu\ns_\sigma(t-s)}\, \braket{L\ns_\sigma}{\Bxi(s)} . \label{CNsoln}\] Tenga en cuenta que el primer término sobre el RHS es la solución a la ecuación homogénea, como debe ser el caso cuando\(\Bxi(s)=0\).

La solución en la Ecuación [CNSoln] se mantiene para general\(Q\) y\(\Bxi(s)\). Para la forma particular de\(Q\) y\(\xi(s)\) en la Ecuación [Qxieqn], podemos continuar. Para empezar,\(\tbraket{L\ns_\sigma}{\Bxi(s)}=L\ns_{\sigma,n}\,\xi(s)\). Podemos explotar aún más una característica especial de la\(Q\) matriz para determinar analíticamente todos sus vectores propios izquierdo y derecho. Aplicando\(Q\) al vector propio derecho\(\tket{R\ns_\sigma}\), obtenemos\[R\ns_{\sigma,j}=\nu\ns_\sigma \, R\ns_{\sigma,j-1} \qquad (j > 1)\ .\] Somos libres de elegir\(R\ns_{\sigma,1}=1\) para todos\(\sigma\) y aplazar el tema de la normalización a la derivación de los vectores propios izquierdos. Así, obtenemos el resultado agradablemente sencillo,\[R\ns_{\sigma,k}=\nu_\sigma^{k-1}\ .\] Aplicando\(Q\) al vector propio izquierdo\(\tbra{L\ns_\sigma}\), obtenemos\[\begin{aligned} -a\ns_0\,L\ns_{\sigma,n}&=\nu\ns_\sigma\,L\ns_{\sigma,1}\\ L\ns_{\sigma,j-1} - a\ns_{j-1}\,L\ns_{\sigma,n}&=\nu\ns_\sigma\,L\ns_{\sigma,j}\qquad (j>1)\ .\end{aligned}\] De estas ecuaciones podemos derivar\[L\ns_{\sigma,k}=-{L\ns_{\sigma,n}\over\nu\ns_\sigma}\sum_{j=0}^{k-1} a\ns_j\,\nu_\sigma^{j-k-1} ={L\ns_{\sigma,n}\over\nu\ns_\sigma}\sum_{j=k}^n a\ns_j\,\nu^{j-k-1}_\sigma\ .\] La igualdad en la ecuación anterior se deriva utilizando el resultado\(P(\nu\ns_\sigma)=\sum_{j=0}^n a\ns_j\,\nu_\sigma^j=0\). Recordemos también eso\(a\ns_n\equiv 1\). Ahora imponemos la condición de normalización,\[\sum_{k=1}^n L\ns_{\sigma,k}\,R\ns_{\sigma,k}=1\ .\] Esta condición determina nuestra última cantidad desconocida restante (para un dado\(\sigma\)),\(L\ns_{\sigma,p}\>\):\[\braket{L\ns_\sigma}{R\ns_\sigma}=L\ns_{\sigma,n}\sum_{k=1}^n k\,a\ns_k\,\nu_\sigma^{k-1}=P'(\nu\ns_\sigma)\, L\ns_{\sigma,n}\ ,\] donde\(P'(\nu)\) está la primera derivada del polinomio característico. Así, obtenemos otro resultado pulcro,\[L\ns_{\sigma,n}={1\over P'(\nu\ns_\sigma)}\ .\]

Ahora vamos a evaluar la función general de correlación de dos puntos,\[C\ns_{jj'}(t,t')\equiv \big\langle \varphi\ns_j(t)\,\varphi\ns_{j'}(t') \big\rangle - \big\langle \varphi\ns_j(t)\big\rangle\, \big\langle \varphi\ns_{j'}(t')\big\rangle\ .\] Escribimos\[\big\langle \xi(s)\,\xi(s') \big\rangle = \phi(s-s')=\!\!\int\limits_{-\infty}^\infty \!\!{d\omega\over 2\pi}\>{\hat\phi}(\omega)\,e^{-i\omega(s-s')}\ .\] Cuando\({\hat\phi}(\omega)\) es constante, tenemos\(\big\langle \xi(s)\,\xi(s') \big\rangle = {\hat\phi}(t)\,\delta(s-s')\). Este es el caso del llamado ruido blanco, cuando todas las frecuencias contribuyen por igual. El caso más general cuando depende de la frecuencia\({\hat\phi}(\omega)\) se conoce como ruido coloreado. Apelando a la Ecuación [CNSoln], tenemos\[\begin{aligned} C\ns_{jj'}(t,t')&=\sum_{\sigma,\sigma'} {\nu_{\!\sigma\ns}^{j-1}\over P'(\nu\nd_{\!\sigma\ns})}\,{\nu_{\!\sigma'}^{j'-1}\over P'(\nu\nd_{\!\sigma'})} \int\limits_0^t \!\! ds \> e^{\nu\ns_\sigma(t-s)} \!\!\int\limits_0^{t'} \!\! ds' \> e^{\nu_{\!\sigma'}(t'-s')}\,\phi(s-s')\\ &=\sum_{\sigma,\sigma'} {\nu_\sigma^{j-1}\over P'(\nu\nd_{\!\sigma\ns})}\,{\nu_{\sigma'}^{j'-1}\over P'(\nu\nd_{\!\sigma'})} \int\limits_{-\infty}^\infty\!\!{d\omega\over 2\pi}\> { {\hat\phi} (\omega)\, ( e^{-i\omega t} - e^{\nu\ns_\sigma t} ) ( e^{i\omega t'} - e^{\nu_{\!\sigma'} t'} ) \over (\omega - i\nu\ns_{\!\sigma}) (\omega + i\nu\nd_{\!\sigma'}) }\ .\end{aligned}\] En el límite\(t,t'\to \infty\), asumiendo\(\textsf{Re}\,(\nu\ns_\sigma)<0\) para todos\(\sigma\) (sin difusión), los exponenciales\(e^{\nu\ns_\sigma t}\) y\(e^{\nu_{\!\sigma'} t'}\) pueden ser descuidados, y luego tenemos\[C\ns_{jj'}(t,t')=\sum_{\sigma,\sigma'} {\nu_{\!\sigma\ns}^{j-1}\over P'(\nu\nd_{\!\sigma\ns})}\,{\nu_{\!\sigma'}^{j'-1}\over P'(\nu\nd_{\!\sigma'})} \int\limits_{-\infty}^\infty\!\!{d\omega\over 2\pi}\> { {\hat\phi} (\omega)\, e^{-i\omega (t-t')} \over (\omega - i\nu\ns_{\!\sigma}) (\omega + i\nu\nd_{\!\sigma'}) }\ .\]