3.3: Consecuencias de la Segunda Ley
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Una vez que tomamos la segunda ley como axioma de la termodinámica, hay algunas consecuencias importantes e inmediatas. El primer resultado es sobre la eficiencia del ciclo de Carnot, capturada como el siguiente teorema.
Teorema\(\PageIndex{1}\): Carnot Theorem
Ningún motor que funcione entre dos depósitos de calor especificados puede ser más eficiente que un motor Carnot.
La prueba es fácil, con base en la segunda ley. Considera dos motores, digamos un motor Carnot\(E_1\) y otro motor que llamamos\(E_2\), y dos depósitos, a temperaturas\(T_H\) y\(T_L\). El motor Carnot es reversible, por lo que podemos operarlo como refrigerador. Por lo que podemos hacer arreglos para que tome cierta cantidad de calor\(Q_1\) del reservorio más frío y entregue una cantidad\(Q_2 > Q_1\) al reservorio más caliente. Esto, por supuesto, requerirá trabajo\(W = Q_2 − Q_1\) para conducir el motor Carnot. Ahora podemos hacer arreglos\(E_2\) para tomar\(Q_2\) del depósito más caliente, y hacer una cantidad de trabajo\(W^\prime = Q_2 − Q^\prime_1\), entregando calor\(Q^\prime_1\) al depósito más frío. Las eficiencias vienen dadas por
\[η_1 = \frac{W}{Q_2} , \;\;\;\;\;η_2 = \frac{W^\prime}{Q_2}\]
Supongamos que E2 es más eficiente. Entonces\(η_2 > η_1\), o\(W^\prime > W\). Así\(Q_1 > Q^\prime_1\) La cantidad neta de calor extraído del reservorio más caliente es cero, la cantidad neta de calor extraído del reservorio más frío es\(Q_1 − Q^\prime_1\). Esto se convierte enteramente en trabajo (igual a\(W^\prime − W\)) contradiciendo la declaración Kelvin de la segunda ley. De ahí que nuestra suposición de\(η_2 > η_1\) debe ser falsa, demostrando el teorema de Carnot. Por lo tanto, debemos tener\(η_2 ≤ η_1\).
También tenemos un corolario inmediato al teorema:
Proposición 1
Todos los motores perfectamente reversibles que operan entre dos temperaturas dadas tienen la misma eficiencia.
Esto también se demuestra fácilmente. Considera\(E_2\) que el motor es un motor Carnot. De lo que ya hemos mostrado, lo tendremos\(η_2 < η_1\). Dado que\(E_2\) es reversible, podemos cambiar los roles de\(E_1\) y\(E_2\), funcionando\(E_2\) como refrigerador y\(E_1\) como el motor que produce trabajo. En este caso, el argumento anterior conduciría a\(η_1 ≤ η_2\). Terminamos con dos declaraciones,\(η_1 ≤ η_2\) y\(η_2 ≤ η_1\). La única solución es\(η_1 = η_2\). Observe que esto aplica a cualquier motor reversible, ya que no hemos utilizado ninguna propiedad específica del motor Carnot excepto la reversibilidad.
Si un motor es irreversible, los argumentos anteriores se mantienen, mostrando\(η_2 ≤ η_1\), pero no podemos conseguir la otra desigualdad porque no\(E_2\) es reversible. Por lo tanto, los motores irreversibles son menos eficientes que el motor Carnot.
Un segundo corolario del teorema es el siguiente:
Proposición 2
La eficiencia de un motor Carnot es independiente del material de trabajo del motor.
Los argumentos hasta el momento no utilizaron ninguna propiedad específica del material del motor Carnot, y dado que todos los motores Carnot entre dos reservorios dados tienen la misma eficiencia, esto claro. Ahora señalamos otra consecuencia importante de la segunda ley
Proposición 3
Los adiabáticos de un sistema termodinámico no se cruzan.
Volvemos a probar por reductio ad absurdum. Supongamos que los adiabáticos pueden cruzarse, como se muestra en la Fig. 3.3.1. Entonces podemos considerar un proceso que va desde\(A\) el\(B\) cual es adiabático y de ahí que no se absorba ni se dé por vencido ningún calor, luego un proceso desde\(B\) el\(C\) cual absorbe algo de calor\(\Delta Q\), y luego vuelve a A a lo largo de otro adiabático. Ya que se restablece el estado termodinámico en A, la temperatura y la energía interna son las mismas al final que al principio, así que eso\(\Delta U = 0\). Así por la primera ley,\(\Delta Q = ∆W\), lo que significa que una cierta cantidad de calor es absorbida y convertida enteramente para trabajar sin otro cambio en el sistema. Esto contradice la declaración Kelvin de la segunda ley. De ello se deduce que los adiabáticos no pueden cruzarse.
