8.3: Distribución Fermi-Dirac
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El conteo de arreglos distintos para fermiones es incluso más sencillo que para el caso Bose-Einstein, ya que cada estado puede tener un número de ocupación de cero o 1. Por lo tanto, considera\(g\) estados con\(n\) partículas que se distribuirán entre ellos. Hay\(n\) estados que están ocupados individualmente y estos se pueden elegir de\(\frac{g!}{(n!(g − n)!)}\) maneras. Por lo tanto, el número total de arreglos distintos viene dado por
\[W(\{n_{\alpha}\}) = \prod_{\alpha} \frac{g_{\alpha}}{n_{\alpha}!(g_{\alpha} - n_{\alpha})} \]
Por lo tanto, la función a maximizar para identificar la distribución de equilibrio viene dada por
\[\frac{S}{k} − βU + βµN = - n_α \log n_α - (g_α - n_α) \log (g_α - n_α) - \beta (\epsilon_{\alpha} - \mu)n_α + \text{constant} \]
La condición de extremización dice
\[\log \left[ \frac{(g_α - n_α)}{n_α} \right] = \beta (\epsilon_{\alpha} - \mu) \]
con la solución
\[n_α = \frac{g_α}{e^{\beta(\epsilon_{\alpha} - \mu)} + 1} \]
Entonces, para los fermiones en equilibrio, podemos tomar el número de ocupación que se dará por
\[n = \frac{1}{e^{\beta(\epsilon - \mu)} + 1} \]
con el factor de degeneración derivado de la suma sobre estados de una misma energía. Esta es la distribución Fermi-Dirac. Las condiciones de normalización son nuevamente,
\[\sum \int \frac{d^3xd^3p}{(2 \pi ħ)^3} \frac{1}{e^{\beta(\epsilon - \mu)} + 1} = N \\ \sum \int \frac{d^3xd^3p}{(2 \pi ħ)^3} \frac{\epsilon }{e^{\beta(\epsilon - \mu)} + 1} = U \]
Como en el caso de la distribución Bose-Einstein, podemos anotar la función de partición para fermiones libres como
\ [\ begin {ecuación}
\ begin {split}
\ log Z & =\ sum\ log\ left (1 + e^ {-\ beta (\ épsilon -\ mu)}\ derecha)\ [0.125in]
Z & =\ prod\ frac {1} {1 + e^ {-\ beta (\ épsilon -\ mu)}}\ end {split}
\ end {ecuación}
\ end {ecuación}\]
Observe que, aquí también, la función de partición para cada estado es\(\sum_n e^{-n \beta (\epsilon - \mu)}\); es solo que, en el presente caso, sólo\(n\) puede ser cero o 1.