2.3: Demonio de Maxwell, información y computación

Antes de proceder a otras distribuciones estadísticas, me gustaría hacer un desvío para abordar una preocupación más popular sobre la Ecuación (\(2.2.5 - 2.2.6\)) —la relación directa entre la entropía y la información. Algunos físicos siguen inquietos con que la entropía no sea otra cosa que el (déficit de) información, aunque a mi entender, nadie ha podido sugerir ninguna diferencia experimentalmente verificable entre estas dos nociones. Permítanme dar un ejemplo de su relación directa. ²⁹ Considera un cilindro que contiene solo una molécula (considerada como una partícula puntual), y separado en dos mitades por una partición móvil con una puerta que puede abrirse y cerrarse a voluntad, sin costo de energía — ver Figura\(\PageIndex{1a}\). Si la puerta está abierta y el sistema está en equilibrio termodinámico, no sabemos de qué lado de la partición se encuentra la molécula. Aquí el trastorno, es decir, la entropía tiene el mayor valor, y no hay manera de obtener, de un gran conjunto de tales sistemas en equilibrio, ninguna energía mecánica útil.

Figura\(\PageIndex{1}\): El motor Szilard: un cilindro con una sola molécula y un tabique móvil: (a) antes y (b) después de cerrar la puerta, y (c) después de abrir la puerta al final de la etapa de expansión.

Ahora, consideremos que sabemos (según lo instruido, en la formulación de Lord Kelvin, un omnisciente Maxwell's Demon) en qué lado de la partición se encuentra actualmente la molécula. Entonces podemos cerrar la puerta, atrapando la molécula, de manera que sus repetidos impactos en la partición creen, en promedio, una fuerza de presión\(\pmb{\mathscr{F}}\) dirigida hacia la parte vacía del volumen (en la Figura\(\PageIndex{1b}\), la derecha). Ahora podemos obtener de la molécula algún trabajo mecánico, digamos al permitir que la fuerza\(\pmb{\mathscr{F}}\) mueva la partición hacia la derecha, y recogiendo la energía mecánica resultante por algún mecanismo externo determinista (entropía cero). Después de que la partición se haya movido al extremo derecho del volumen, podemos volver a abrir la puerta (Figura\(\PageIndex{1c}\)), igualando la presión promedio de la molécula en ambos lados de la partición, y luego mover lentamente la partición de nuevo a la mitad del volumen, sin su resistencia, es decir, sin hacer ninguna trabajo sustancial. Con la ayuda continua del Demonio de Maxwell, podemos repetir el ciclo una y otra vez, y de ahí hacer que el sistema realice un trabajo mecánico ilimitado, alimentado “solo” por el movimiento térmico de la molécula, y la información sobre su posición —implementando así la máquina de movimiento perpetuo del\(2^{nd}\) tipo— ver Sec. 1.6. El hecho de que tales motores térmicos no existan significa que obtener información nueva, a una temperatura distinta de cero (es decir, a una agitación térmica sustancial de partículas) tiene un costo de energía distinto de cero.

Para evaluar este costo, calculemos el trabajo máximo por ciclo que puede realizar el motor Szilard (Figura\(\PageIndex{1}\)), asumiendo que se encuentra constantemente en el equilibrio térmico con un baño térmico de temperatura\(T\). Fórmula. (\(2.2.2\)) nos dice que la información suministrada por el demonio (sobre qué exactamente la mitad del volumen contiene la molécula) es exactamente un bit,\(I (2) = 1\). Según Equation (\(2.2.5 - 2.2.6\)), esto significa que al obtener esta información estamos cambiando la entropía de nuestro sistema al

\[ \Delta S_I = − \ln 2 . \label{50}\]

Ahora bien, sería un error tapar este cambio de entropía (negativo) a Equation (\(1.3.6\)). En primer lugar, esa relación sólo es válida para procesos lentos y reversibles. Además (y lo más importante), esta ecuación, así como su versión irreversible (\(1.4.18\)), sólo es válida para un conjunto estadístico fijo. El cambio\(\Delta S_I\) no pertenece a esta categoría y puede ser descrito formalmente por el cambio del conjunto estadístico —desde el que consiste en todos los sistemas similares (experimentos) con una ubicación desconocida de la molécula, hasta un nuevo conjunto constituido por los sistemas con la molécula en su cierto (en Figura\(\PageIndex{1}\), izquierda) mitad. ³⁰

En realidad, la discusión de otro tema estrechamente relacionado con el Demonio de Maxwell, a saber, del consumo de energía en los cálculos numéricos, se inició antes, en la década de 1960. Fue motivado por el avance exponencial (Ley de Moore) de los circuitos integrados digitales, lo que ha llevado en particular, a una rápida reducción de la energía\(\Delta E\) “gastada” (convertida en calor) por una operación lógica binaria. En las últimas generaciones de circuitos integrados digitales semiconductores, lo típico todavía\(\Delta E\) está por encima de\(10^{-17}\) J, es decir, aún supera el valor de temperatura ambiente de\(T\ln 2 \approx 4\times 10^{-21}\) J en varios órdenes de magnitud. Aún así, algunos ingenieros creen que la termodinámica impone este importante límite inferior\(\Delta E\) y, por lo tanto, presenta un obstáculo insuperable para el futuro progreso de la computación. Desafortunadamente, en la década de 2000 este engaño resultó en un cambio sustancial e injustificado de los recursos de investigación de dispositivos electrónicos hacia el uso de “grados de libertad sin carga” como el giro (¡como si no obedecieran las leyes generales de la física estadística!) , para que el tema merezca por lo menos una breve discusión.

Déjame creer que el lector de estas notas entiende que, a diferencia de la charla popular ingenua, las computadoras no crean ninguna nueva información; lo único que pueden hacer es remodelar (“procesar”) la información de entrada, perdiendo la mayor parte sobre la marcha. De hecho, cualquier algoritmo de computación digital puede descomponerse en operaciones lógicas simples y binarias, cada una de ellas realizada por un circuito llamado puerta lógica. Algunas de estas puertas (por ejemplo, la lógica NO realizada por los inversores, así como las operaciones de memoria LEER y ESCRITURA) no cambian la cantidad de información en la computadora. Por otro lado, tales puertas lógicas irreversibles de información como NAND de dos entradas (o NOR, o XOR, etc.) borran un bit en cada operación, porque convierten dos bits de entrada en un bit de salida — ver Figura\(\PageIndex{2a}\).

En 1961, Rolf Landauer argumentó que cada operación lógica debería convertirse en calor al menos energía

Cálculo irreversible: costo de energía

\[\boxed{ \Delta E_{min} = T \ln 2 \equiv k_B T_K \ln 2. } \label{51}\]

Este resultado se puede ilustrar con el motor Szilard (Figura\(\PageIndex{1}\)), operado en ciclo invertido. En la primera etapa, con la puerta cerrada, utiliza trabajo mecánico externo\(\Delta E = T\ln 2\) para reducir el volumen en que la molécula está confinada, de\(V\) a\(V/2\), bombeando calor\(\Delta Q = \Delta E\) al baño de calor. Para modelar una puerta lógica lógicamente irreversible, abramos ahora la puerta en la partición, y así perdamos un poco de información sobre la posición de la molécula. Entonces nunca\(T\ln 2\) recuperaremos el trabajo, porque mover la partición hacia la derecha, con la puerta abierta, se lleva a cabo a presión promedio cero. De ahí que la Ecuación (\ ref {51}) da un límite fundamental para la pérdida de energía (por bit) en el cálculo lógicamente irreversible.

Figura\(\PageIndex{2}\): Ejemplos simples de (a) circuitos lógicos irreversibles y (b) potencialmente reversibles. Cada rectángulo denota un circuito que almacena un bit de información.

Antes de dejar atrás a Maxwell's Demon, permítanme usarlo para revisar, por una vez más, la relación entre la reversibilidad de la mecánica clásica y cuántica de los sistemas hamiltonianos y la irreversibilidad posible en la termodinámica y la física estadística. En el experimento gedanken mostrado en la Figura\(\PageIndex{1}\), las leyes de la mecánica que rigen el movimiento de la molécula son reversibles en todo momento. Aún así, en el movimiento de partición hacia la derecha, impulsado por impactos moleculares, la entropía crece, porque la molécula recoge el calor\(\Delta Q > 0\), y por lo tanto la entropía\(\Delta S = \Delta Q/T > 0\), del baño de calor. El mecanismo físico de este crecimiento de entropía irreversible (léase: trastorno) es la interacción de la molécula con componentes incontrolables del baño de calor, y la consiguiente pérdida de información sobre el movimiento de la molécula. Filosóficamente, tal emergencia de irreversibilidad en grandes sistemas es un argumento fuerte contra el reduccionismo, una creencia ingenua de que conociendo las leyes exactas de la Naturaleza en el nivel más bajo y fundamental de su complejidad, podemos entender fácilmente todos los fenómenos en los niveles superiores de su organización. En realidad, la irreversibilidad macroscópica de los grandes sistemas es un buen ejemplo ³⁵ de una nueva ley (en este caso, la\(2^{nd}\) ley de la termodinámica) que adquiere relevancia en un nivel sustancialmente nuevo y superior de complejidad —sin desafiar las leyes de nivel inferior—. Sin tales nuevas leyes, muy poco de la organización de nivel superior de la Naturaleza puede ser entendida.