3.6: Problemas de ejercicio

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Utilice la distribución Maxwell para un cálculo alternativo (estadístico) del trabajo mecánico realizado por el motor Szilard discutido en la Sec. 2.3.

Sugerencia: Puede asumir la geometría más simple del motor — ver Figura\(2.3.1\).

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Utilice la distribución Maxwell para calcular el coeficiente de arrastre\(\eta \equiv –\partial \langle \mathscr{F}\rangle /\partial u\), donde\(\mathscr{F}\) se encuentra la fuerza ejercida por un gas clásico ideal sobre un pistón que se mueve a baja velocidad\(u\), en la geometría más simple que se muestra en la figura de la derecha, asumiendo que colisiones de partículas de gas con los pistones son elásticos.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Derivar la ecuación de estado del gas clásico ideal a partir de la gran distribución canónica.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Demostrar que la ecuación (\(3.1.23\)),

\[\Delta S = N_1 \ln \frac{V_1+V_2}{V_1} + N_2 \ln \frac{V_1+V_2}{V_2},\nonumber\]

derivado para el cambio de entropía en la mezcla de dos gases clásicos ideales de partículas completamente distinguibles (que inicialmente tenían densidades\(N/V\) y temperaturas iguales\(T\)), también es válido si las partículas en cada uno de los volúmenes iniciales son indistinguibles entre sí pero diferentes de las en el volumen de contraparte. Por simplicidad, se puede suponer que las masas y los factores de degeneración interna de todas las partículas son iguales.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Un cilindro redondo de radio\(R\) y longitud\(L\), que contiene un gas clásico ideal de\(N >> 1\) partículas de masa\(m\) cada una, gira alrededor de su eje de simetría con velocidad angular\(\omega \). Suponiendo que el gas en su conjunto gira con el cilindro, y se encuentra en equilibrio térmico a temperatura\(T\),

(i) calcular la distribución de la presión del gas a lo largo de su radio y analizar su dependencia de la temperatura, y

(ii) descuidar los grados internos de libertad de las partículas, calcular la energía total del gas y su capacidad calorífica en los límites de alta y baja temperatura.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

\(N >> 1\)las partículas de masa clásicas, no interactuantes e indistinguibles\(m\) están confinadas en un pozo de potencial parabólico, esféricamente simétrico\(U(\mathbf{r}) = \kappa r^2/2\). Utilice dos enfoques diferentes para calcular todas las características termodinámicas principales del sistema, en equilibrio térmico a temperatura\(T\), incluyendo su capacidad calorífica. ¿Cuál de los resultados se debe cambiar si las partículas son distinguibles, y cómo?

Sugerencia: Sugerir una sustitución de las nociones de volumen y presión, apropiadas para este sistema.

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

En el modelo más simple de equilibrio termodinámico entre las fases líquida y gaseosa de las mismas moléculas, la temperatura y la presión no afectan la energía de condensación de la molécula\(\Delta \). Calcular la concentración y presión de dicho vapor saturado, asumiendo que se comporta como un gas ideal de partículas clásicas.

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Un gas clásico ideal de\(N >> 1\) partículas está confinado en un contenedor de volumen\(V\) y superficie de pared\(A\). Las partículas pueden condensarse en las paredes del recipiente, liberando energía\(\Delta\) por partícula y formando un gas 2D ideal. Calcular el número de equilibrio de partículas condensadas y la presión del gas, y discutir sus dependencias de temperatura.

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Las superficies internas de las paredes de un recipiente cerrado de volumen\(V\), lleno de\(N >> 1\) partículas, tienen trampas\(N_S >> 1\) similares (pequeños pozos potenciales). Cada trampa puede contener solo una partícula, a energía potencial\(–\Delta < 0\). Suponiendo que el gas de las partículas en el volumen es ideal y clásico, derivar una ecuación para el potencial químico\(\mu\) del sistema en equilibrio, y utilizarla para calcular el potencial y la presión del gas en los límites de valores pequeños y grandes de la\(N/N_S\) relación.

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Calcular la respuesta magnética (el paramagnetismo Pauli) de un gas ideal degenerado de partículas spin-1/2 a un campo magnético externo débil, debido a una alineación parcial del giro con el campo.

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Calcular la respuesta magnética (el diamagnetismo Landau) de un gas ideal degenerado de fermiones cargados eléctricamente a un campo magnético externo débil, debido a su movimiento orbital.

Ejercicio\(\PageIndex{12}^*\)

Explora el modelo Thomas-Fermi de un átomo pesado, con carga nuclear\(Q = Ze >> e\), en el que los electrones son tratados como un gas Fermi degenerado, interactuando entre sí solo a través de su contribución al potencial electrostático común\(\phi (\mathbf{r})\). En particular, derivar la ecuación diferencial ordinaria obedecida por la distribución radial del potencial, y utilizarla para estimar el radio efectivo del átomo. ⁵⁰

Ejercicio\(\PageIndex{13}^*\)

Utilice el modelo Thomas-Fermi, explorado en el problema anterior, para calcular la energía de unión total de un átomo pesado. Compare el resultado con el de un modelo más simple, en el sentido de que la interacción electrón-electrón de Coulomb de los electrones es completamente ignorada.

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

Calcular la longitud característica de Thomas-Fermi\(\lambda_{TF}\) del cribado de campo eléctrico débil por electrones de conducción en un metal, modelando su conjunto como un gas Fermi ideal, degenerado e isotrópico.

Sugerencia: Supongamos que\(\lambda_{TF}\) es mucho más grande que el radio de Bohr\(r_B\).

Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

Para un gas Fermi 3D ideal degenerado de\(N\) partículas, confinadas en una caja de volumen de pared rígida\(V\), calcular las dependencias de temperatura de su presión\(P\) y la diferencia de capacidad calorífica\((C_P – C_V)\), en la aproximación principal en\(T << \varepsilon_F\). Compara los resultados con los del gas clásico ideal.

Sugerencia: Es posible que desee utilizar la solución del Problema 1.9.

Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

¿Cómo afectarían las estadísticas de Fermi de un gas ideal a la fórmula barométrica (\(3.1.29\))?

Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

Derivar expresiones generales para la energía\(E\) y el potencial químico\(\mu\) de un gas Fermi\(N >> 1\) uniforme de partículas ultra relativistas, indistinguibles, no interactuantes. ⁵¹ Calcular\(E\), y también la presión del gas\(P\) explícitamente en el límite de gas degenerado\(T \rightarrow 0\). En particular, ¿la Ecuación (\(3.2.19\)) es válida en este caso?

Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

Utilice la Ecuación (\(3.2.20\)) para calcular la presión de un gas ideal de partículas cuánticas ultrarrelativistas e indistinguibles, para una temperatura arbitraria, en función de la energía total\(E\) del gas, y su volumen\(V\). Comparar el resultado con las relaciones correspondientes para la radiación electromagnética de cuerpo negro y para un gas ideal de partículas no relativistas.

Ejercicio\(\PageIndex{19}^*\)

Calcular la velocidad del sonido en un gas ideal de fermiones ultrarrelativistas de densidad\(n\) a temperatura insignificante.

Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

Calcular las características termodinámicas básicas, incluyendo todos los potenciales termodinámicos relevantes, el calor específico y la tensión superficial de un gas de electrones 2D uniforme no relativista con una densidad de área dada\(n \equiv N/A\):

(i) en\(T = 0\), y

Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

Calcular el calor latente efectivo\(\Lambda_{ef} \equiv –N(\partial Q/\partial N_0)_{N,V}\) de evaporación del condensado de Bose-Einstein espacialmente uniforme en función de la temperatura\(T\). Aquí\(Q\) está el calor absorbido por el sistema (condensado + gas) de\(N >> 1\) partículas como un todo, mientras que\(N_0\) es el número de partículas en el condensado solo.

Ejercicio\(\PageIndex{22}^*\)

Para un gas Bose ideal y espacialmente uniforme, calcule la ley de la desaparición del potencial químico en\(T \rightarrow T_c\), y use el resultado para probar que la capacidad calorífica\(C_V\) es una función continua de la temperatura en el punto crítico\(T = T_c\).

Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

En el Capítulo 1 de estas notas, se han discutido varias relaciones termodinámicas que involucran entropía, incluyendo la primera de Eq. (\(1.4.16\)):

\[S = - ( \partial G / \partial T)_p.\nonumber\]

Si combinamos esta expresión con Equation (\(1.5.7\))\(G = \mu N\), parece que para el condensado de Bose-Einstein, cuyo potencial químico\(\mu\) es igual a cero a temperaturas por debajo del punto crítico\(T_c\), la entropía debería desaparecer también. Por otro lado, dividiendo ambas partes de la Ecuación (\(1.3.6\)) por\(dT\), y asumiendo que a este cambio de temperatura el volumen se mantiene constante, obtenemos

\[C_V = T(\partial S / \partial T)_V.\nonumber\]

(Esta igualdad también se mencionó en el Capítulo 1.) Si\(C_V\) se conoce como una función de la temperatura, la última relación se puede integrar sobre\(T\) para calcular\(S\):

\[S = \int_{V = const} \frac{C_V (T)}{T} dT+const.\nonumber\]

Según la Ecuación (\(3.4.11\)), el calor específico para el condensado de Bose-Einstein es proporcional al\(T^{3/2}\), de manera que la integración da una entropía distinta de cero\(S \propto T^{3/2}\). Resolver esta aparente contradicción, y calcular la verdadera entropía en\(T = T_c\).

Ejercicio\(\PageIndex{24}\)

El análisis estándar de la condensación de Bose-Einstein, descrito en la Sec. 4, puede parecer ignorar la cuantificación de energía de las partículas confinadas en volumen\(V\). Utilizar el caso particular de un volumen de confinamiento cúbico\(V = a\times a\times a\) con paredes rígidas para analizar si las principales conclusiones de la teoría estándar, en particular la Ecuación (\(3.4.1\)) para la temperatura crítica del sistema de\(N >> 1\) partículas, se ven afectadas por dicha cuantificación.

Ejercicio\(\PageIndex{25}^*\)

\(N >> 1\)Los bosones que no interactúan están confinados en un pozo de potencial esféricamente simétrico blando\(U(\mathbf{r}) = m\omega^2r^2/2\). Desarrollar la teoría de la condensación de Bose-Einstein en este sistema; en particular, probar la ecuación (\(3.4.5\)), y calcular la temperatura crítica\(T_c^*\). Mirando la solución, ¿cuál es la forma más sencilla de detectar la condensación en el experimento?

Ejercicio\(\PageIndex{26}\)

Calcular el potencial químico de un gas 2D ideal y uniforme de partículas de Bose espin-0 en función de su densidad de área\(n\) (el número de partículas por unidad de área), y averiguar si dicho gas puede condensarse a bajas temperaturas. Revise su resultado para el caso de un número grande (\(N >> 1\)) pero finito de partículas.

Ejercicio\(\PageIndex{27}\)

¿Se puede lograr la condensación de Bose-Einstein en un sistema 2D de bosones\(N >> 1\) no interactuantes colocados en un pozo de potencial suave y axialmente simétrico, cuyo potencial puede aproximarse como\(U(\mathbf{r}) = m\omega^2\rho^2/2\)\(\rho^2 \equiv x^2 + y^2\), dónde y\(\{x, y\}\) son las coordenadas cartesianas en el plano de confinamiento de partículas? En caso afirmativo, calcule la temperatura crítica de la condensación.

Ejercicio\(\PageIndex{28}\)

Use Eqs. (\(3.5.29\)) y (\(3.5.34\)) para calcular el tercer coeficiente virial\(C(T)\) para el modelo hardball de interacciones de partículas.

Ejercicio\(\PageIndex{29}\)

Suponiendo el modelo hardball, con volumen\(V_0\) por molécula, para la fase líquida, describir cómo cambian los resultados del Problema 3.7 si el líquido forma gotas esféricas de radio\(R >> V_0^{1/3}\). Discutir brevemente las implicaciones del resultado para la formación de nubes de agua.

Consejo: Los efectos superficiales en volúmenes macroscópicos de líquidos pueden describirse bien atribuyendo una energía adicional\(\gamma\) (igual a la tensión superficial) a la superficie de la unidad de área. ⁵³

---

1. En casos más realistas cuando las partículas sí tienen grados internos de libertad, pero todas están en cierto estado cuántico (digamos, suelo), la Ecuación (\(3.1.3\)) también es válida, con\(\varepsilon_k\) referencia a la energía interna del estado fundamental. El efecto de la excitación térmica de los grados de libertad internos se discutirá brevemente al final de esta sección.
2. Esta fórmula había sido sugerida por J. C. Maxwell ya en 1860, es decir, mucho antes de que se desarrollaran las distribuciones de Boltzmann y Gibbs. Tenga en cuenta también que el término “distribución de Maxwell” a menudo se asocia con la distribución de la magnitud del momento (o velocidad) de la partícula,\[dW = 4\pi Cp^2 \text{exp}\left\{-\frac{p^2}{2mT}\right\}dp=4\pi Cm^3v^2 \text{exp}\left\{-\frac{mv^2}{2T}\right\}dv , \quad \text{ with } 0 \leq p, v < \infty, \nonumber\] que inmediatamente se desprende de la primera forma de la ecuación (\(3.1.5\)), combinada con la expresión\(d^3p = 4\pi p^2dp\) debido a la simetría esférica de la distribución en el espacio de momento/velocidad.
3. Véase, por ejemplo, la Ecuación MA (6.9b).
4. Véase, por ejemplo, la Ecuación MA (6.9c).
5. Dado que, por nuestra suposición inicial, cada partícula pertenece a la misma porción de gas, es decir, no puede distinguirse de otras por su posición espacial, esto requiere alguna “marca de lápiz” interna para cada partícula —por ejemplo, una estructura específica o un estado cuántico específico de sus grados internos de libertad.
6. Como recordatorio, ya hemos utilizado esta regla (dos veces) en la Sec. 2.6, con valores particulares de\(g\).
7. Para el límite opuesto cuando\(N = g = 1\), la Ecuación (\(3.1.15\)) arroja los resultados obtenidos, por dos métodos alternativos, en las soluciones de Problemas 2.8 y 2.9. En efecto, para\(N = 1\), el factor de “conteo correcto de Boltzmann”\(N!\) equivale a 1, de manera que los efectos de distinguibilidad de las partículas desaparecen —naturalmente.
8. El resultado representado por la Ecuación (\(3.1.21\)), con la función\(f\) dada por la Ecuación (\(3.1.17\)), fue obtenido independientemente por O. Sackur y H. Tetrode ya en 1911, es decir, mucho antes de la formulación final de la mecánica cuántica a fines de la década de 1920.
9. Por cierto, si un gas clásico ideal consiste en partículas de varios tipos diferentes, su presión total es una suma de presiones parciales independientes ejercidas por cada componente —la llamada ley Dalton —. Si bien este hecho fue un descubrimiento experimental importante a principios del siglo XIX, para la física estadística esto es solo un corolario directo de la Ecuación (\(3.1.19\)), porque en un gas ideal, las partículas componentes no interactúan.
10. Curiosamente, la mecánica estadística de las soluciones débiles es muy similar a la de los gases ideales, con la ecuación (\(3.1.19\)) refundido en la siguiente fórmula (derivada en 1885 por J. van 't Hoff)\(PV = cNT\),, para la presión parcial del soluto. Uno de sus corolarios es que la fuerza neta (llamada presión osmótica) ejercida sobre una membrana semipermeable es proporcional a la diferencia de las concentraciones de soluto que está soportando.
11. Desafortunadamente, no tengo tiempo para ni siquiera una breve introducción a este importante campo, y tengo que referir al lector interesado a libros de texto especializados —por ejemplo, P. A. Rock, Química Termodinámica, Libros de Ciencias Universitarias, 1983; o P. Atkins, Química Física,\(5^{th}\) ed., Freeman, 1994; o G. M. Barrow, Physical Chemistry,\(6^{th}\) ed., McGraw-Hill, 1996.
12. Véase, por ejemplo, el Capítulo 6 en A. Bard y L. Falkner, Electrochemical Methods,\(2^{nd}\) ed., Wiley, 2000 (que es una buena introducción a la electroquímica en su conjunto); o Sec. II.8.3.1 en F. Scholz (ed.), Métodos Electroanalíticos,\(2^{nd}\) ed., Springer, 2010.
13. Cuantitativamente, la distancia efectiva de variaciones sustanciales del potencial\(T/|\boldsymbol{\nabla} U(\mathbf{r})|\), tiene que ser mucho mayor que la trayectoria libre media de las partículas\(l\) de gas, es decir, la distancia promedio que una partícula pasa por sus sucesivas colisiones con sus contrapartes. (Para más información sobre esta noción, véase el Capítulo 6 infra.)
14. En algunos libros de texto, Equation (\(3.1.27\)) también se llama la distribución de Boltzmann, aunque ciertamente debería distinguirse de Equation (\(2.8.1\)).
15. Véase, por ejemplo, ya sea la solución modelo del Problema 2.12 (y sus referencias), o QM Secs. 3.6 y 5.6.
16. Este resultado se puede obtener fácilmente nuevamente a partir del último término de la Ecuación (\(3.1.31\)) tratándolo exactamente como lo fue el primero y luego aplicando la Ecuación general (\(1.4.27\)).
17. Véase, por ejemplo, CM Sec. 4.1.
18. Esta conclusión de la teoría cuántica puede interpretarse como la indistinguibilidad de las rotaciones alrededor del eje de simetría de la molécula.
19. En la mecánica cuántica, el parámetro\(r_c\) así definido se denomina frecuentemente la longitud de correlación — véase, por ejemplo, QM Sec. 7.2 y en particular la Ecuación (7.37).
20. Véase, por ejemplo, la Ecuación MA (6.7a).
21. Solo para la referencia del lector: para el signo superior, la integral en la Ecuación (\(3.2.11\)) es una forma particular (para\(s = 1/2\)) de una función especial llamada integral completa Fermi-Dirac\(F_s\), mientras que para el signo inferior, es un caso particular (para\(s = 3/2\)) de otra especial llamada el polilogaritmo\(Li_s\). (En lo que sigue, no voy a utilizar estas anotaciones.)
22. Para gases de moléculas diatómicas y poliatómicas a temperaturas relativamente altas, cuando algunos de sus grados internos de libertad se excitan térmicamente, la ecuación (\(3.2.19\)) es válida solo para la energía de movimiento traslacional.
23. Tenga en cuenta que en la literatura de ingeniería electrónica,\(\mu\) suele llamarse el nivel Fermi, para cualquier temperatura.
24. Para una discusión general de esta noción, véase, por ejemplo, CM Eqs. (7.32) y (7.36).
25. Recientemente, también se han formado gases casi degenerados (con\(\varepsilon_F \sim 5T\)) de átomos Fermi que interactúan débilmente; véase, por ejemplo, K. Aikawa et al., Phys. Rev. 112, 010404 (2014), y referencias en ellas. Otro ejemplo interesante del sistema que puede tratarse aproximadamente como un gas Fermi degenerado es el conjunto de\(Z >> 1\) electrones en un átomo pesado. Sin embargo, en este sistema es importante el relato de la interacción electrónica a través del campo electrostático que crean. Dado que para este modelo de átomos Thomas-Fermi, los efectos térmicos no son importantes, ya se discutió en la parte cuántico-mecánica de esta serie (ver QM Capítulo 8). Sin embargo, su análisis puede ser racionalizado utilizando la noción del potencial químico, introducida sólo en este curso, el problema que dejó para el ejercicio del lector.
26. Véase, p. ej., QM Sec. 8.4.
27. Obsérvese también una gran diferencia entre el módulo volumétrico muy alto de los metales (\(K \sim 10^{11}\)Pa) y sus valores muy bajos en los gases atómicos habituales (para ellos, en condiciones ambientales,\(K \sim 10^5\) Pa). Alrededor de cuatro órdenes de magnitud de esta diferencia se debe a eso en la densidad de partículas\(N/V\), pero el equilibrio se debe a la degeneración del gas electrónico. En efecto, en un gas clásico ideal,\(K = P = T(N/V)\), de manera que el factor\((2/3)\varepsilon_F\) en la Ecuación (\(3.3.7\)), del orden de unos pocos eV en metales, debe compararse con el factor\(T \approx 25\) MeV en el gas clásico a temperatura ambiente.
28. Datos de N. Ashcroft y N. D. Mermin, Física del Estado Sólido, W. B. Saunders, 1976.
29. El nombre de Arnold Sommerfeld, quien fue el primero (en 1927) en aplicar la mecánica cuántica para degenerar los gases Fermi, en particular a los electrones en los metales, y puede ser acreditado por la mayoría de los resultados discutidos en esta sección.
30. Véase, por ejemplo, MA Eqs. (6.8c) y (2.12b), con\(n = 1\).
31. Los sólidos, con sus bajos coeficientes de expansión térmica, proporcionan un confinamiento de volumen virtualmente fijo para el gas electrónico, de manera que el calor específico medido en condiciones ambientales puede compararse legítimamente con el calculado\(c_V\).
32. Véase, por ejemplo, la Ecuación MA (6.8b) con\(s = 3/2\), y luego las Ecuaciones (2.7b) y (6.7e).
33. Esta es, por supuesto, solo otra forma de Ecuación (\(3.4.1\)).
34. Para la integral adimensional involucrada ver, e.g., MA Eqs. (6.8b) con\(s = 5/2\), y luego (2.7b) y (6.7c).
35. Tal controlabilidad de la descripción teórica ha motivado el uso de BEC de gas diluido para modelar problemas renombrados de la física de muchos cuerpos — véase, por ejemplo, la revisión de I. Bloch et al., Rev. Mod. Phys. 80, 885 (2008). Estos esfuerzos son asistidos por el desarrollo de mejores técnicas para alcanzar las temperaturas sub-\(\mu \) K necesarias — véase, por ejemplo, el trabajo reciente de J. Hu et al., Science 358, 1078 (2017). Para una discusión más general y detallada véase, e.g., C. Pethick y H. Smith, Bose-Einstein Condensation in Diluir Gases,\(2^{nd}\) ed., Cambridge U. Press, 2008.
36. Véase, p. ej., QM Sec. 8.3.
37. Véase, por ejemplo, la Ecuación QM (3.28).
38. Este es el efecto Meissner-Ochsenfeld (o simplemente “Meissner”) que también puede explicarse fácilmente usando la Ecuación (\(3.4.15\)) combinada con las ecuaciones de Maxwell; véase, por ejemplo, EM Sec. 6.4.
39. Ver EM Secs. 6.4-6.5, y QM Secs. 1.6 y 3.1.
40. Una discusión concisa sobre los efectos de las interacciones débiles sobre las propiedades de los gases cuánticos se puede encontrar, por ejemplo, en el Capítulo 10 del libro de texto de K. Huang, Statistical Mechanic s,\(2^{nd}\) ed., Wiley, 2003.
41. Uno de los efectos más significativos descuidados por la Ecuación (\(3.5.1\)) es la influencia de las orientaciones angulares atómicas/moleculares en sus interacciones.
42. El término “virial”, del latín viris (que significa “fuerza”), fue introducido a la física molecular por R. Clausius. La motivación para el adjetivo “segundo” para\(B(T)\) es evidente a partir de la última forma de la Ecuación (\(3.5.8\)), con el “primer coeficiente virial”, de pie antes de la\(N/V\) relación y a veces denotado\(A(T)\), igual a 1 — véase también la Ecuación (\(3.5.14\)) a continuación.
43. De hecho, los componentes independientes inducidos por fluctuaciones\(\mathbf{p}(t)\) y\(\mathbf{p}'(t)\) de los momentos dipolares de dos partículas tienen orientación mutua aleatoria, de manera que el promedio de tiempo de su energía de interacción\(\mathbf{p}(t) \cdot \mathbf{p}'(t)/r^3\), proporcional a, desaparece. Sin embargo, el campo eléctrico\(\pmb{\mathscr{E}}\) de cada dipolo\(\mathbf{p}\), proporcional a\(r^{-3}\), induce un componente correlacionado de\(\mathbf{p}'\), también proporcional a\(r^{-3}\), dando energía de interacción proporcional a\(\mathbf{p}' \cdot \pmb{\mathscr{E}} \propto r^{-6}\), con un promedio estadístico distinto de cero. Las discusiones cuantitativas sobre este efecto, dentro de varios modelos, se pueden encontrar, por ejemplo, en los Capítulos 3, 5 y 6 de QM.
44. Nótese que la forma particular del primer término en la aproximación\(U(r) = a/r^{12} – b/r^6\) (llamada ya sea el potencial de Lennard-Jones o el “potencial 12-6"), que se había sugerido en 1924, carece de justificación física, y en la física profesional pronto fue reemplazada por otras aproximaciones, entre ellas la el llamado modelo exp-6, que se ajusta mucho mejor a la mayoría de los datos experimentales. Sin embargo, el potencial de Lennard-Jones sigue arrastrándose de un libro de texto de pregrado a otro, aparentemente por una razón no mejor que permitir un simple cálculo analítico de la distancia de equilibrio entre las partículas en\(T \rightarrow 0\).
45. La fuerte desigualdad\(|U| << T \) en este modelo es necesaria no sólo para simplificar los cálculos. Una razón más profunda es que si\((–U_{min})\) se vuelve comparable con\(T\), las partículas pueden quedar atrapadas en este pozo potencial, formando una fase diferente, un líquido o un sólido. En tales fases, la probabilidad de encontrar más de dos partículas interactuando simultáneamente es alta, por lo que la Ecuación (\(3.5.6\)), sobre la que Eqs. (\(3.5.7\)) - (\(3.5.8\)) y Eqs. (\(3.5.12\)) - (\(3.5.13\)) se basan, se vuelve inválida.
46. L. Boltzmann ha utilizado esa forma para calcular los coeficientes\(3^{rd}\) y\(4^{th}\) viriales para el modelo de hardball, tanto como se puede hacer analíticamente.
47. Este método fue desarrollado en 1937-38 por J. Mayer y colaboradores para el gas clásico, y generalizado a los sistemas cuánticos en 1938 por B. Kahn y G. Uhlenbeck.
48. En realidad, el hecho de que en ese caso\(Z = \langle N\rangle\) podría haberse notado antes —con sólo comparar la Ecuación (\(3.5.18\)) con la Ecuación (\(3.2.1-3.2.2\)).
49. Mirando la Ecuación (\(3.5.23\)), se puede pensar que dado que\(\xi = Z + Z^2I_2/2 +...\) es del orden de al menos\(Z \sim \langle N\rangle >> 1\), la expansión (\(3.5.27\)), que converge sólo si\(| \xi | < 1\), es ilegítima. No obstante, la expansión se justifica por su resultado (\(3.5.28\)), en el que el\(n^{th}\) término es del orden de\(\langle N\rangle^n(V_0/V)^{n-1}/n!\), de manera que la serie sí converge si la densidad del gas es suficientemente baja:\(\langle N\rangle /V << 1/V_0\), i.e\(r_{ave} >> r_0\). Esta es la belleza misma de la expansión del racimo, cuyos pocos primeros términos, de manera bastante inesperada, dan una buena aproximación incluso para un gas con\(\langle N\rangle >> 1\) partículas.
50. Dado que este problema, y el siguiente, son importantes para la física atómica, y en su solución, los efectos térmicos pueden ser ignorados, también se dieron en el Capítulo 8 de la parte QM de la serie, en beneficio de lectores que no tomarían esta parte SM. Obsérvese, sin embargo, que la argumentación en sus soluciones puede ser racionalizada utilizando la noción del potencial químico\(\mu\), la cual se introdujo sólo en este curso.
51. Se trata, por ejemplo, de un modelo aproximado pero razonable para electrones en estrellas enanas blancas, cuya interacción Coulomb es compensada principalmente por la carga de núcleos de átomos de helio totalmente ionizados.
52. Esta condición puede abordarse razonablemente bien, por ejemplo, en gases de electrones 2D formados en heteroestructuras semiconductoras (ver, por ejemplo, la discusión en QM Sec. 1.6, y la solución del Problema 3.2 de ese curso), debido a la compensación del campo electrónico por átomos ionizados de fondo, y su cribado por altamente a granel de semiconductores dopados.
53. Véase, por ejemplo, CM Sec. 8.2.