4.6: Problemas de ejercicio

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Comparar el tercer coeficiente virial\(C(T)\) que se desprende de la ecuación de van der Waals, con su valor para el modelo hardball de interacciones de partículas (cuyo cálculo fue objeto del Problema 3.28), y comentar.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Calcular la entropía y la energía interna del gas van der Waals, y discutir los resultados.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Utilice dos enfoques diferentes para calcular el denominado coeficiente de Joule-Thomson\((\partial E/\partial V)_T\) para el gas van der Waals, y el cambio de temperatura de dicho gas, con una temperatura independiente\(C_V\), en su rápida expansión.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Calcula la diferencia\(C_P – C_V\) para el gas van der Waals, y compara el resultado con el de un gas clásico ideal.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Calcular la dependencia de temperatura de la presión de equilibrio de fase\(P_0(T)\) y el calor latente\(\Lambda (T)\), para el modelo de van der Waals, en el límite de baja temperatura\(T << T_c\).

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Realice las mismas tareas que en el problema anterior en el límite opuesto, en las proximidades del punto crítico\(T_c\).

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

\[P+\frac{a}{V(V+Nb)T^{1/2}}=\frac{NT}{V-Nb},\nonumber\]

con parámetros constantes\(a\) y\(b\).

Pista: Esté preparado para resolver una ecuación cúbica con coeficientes particulares (numéricos).

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

\[P=\frac{NT}{V-b} \text{exp}\left\{-\frac{a}{NTV}\right\},\nonumber\]

con parámetros constantes\(a\) y\(b\). Comparar el valor del factor adimensional\(P_cV_c/NT_c\) con los dados por los modelos van der Waals y Redlich-Kwong.

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

En el boceto crudo mostrado en la Figura\(4.1.3b\), los derivados\(dP/dT\) de las transiciones de fase gas líquido (“vaporización”) y sólido-gas (“sublimación”), en el punto triple, son diferentes, con

\[\left(\frac{d P_{\mathrm{v}}}{d T}\right)_{T=T_{\mathrm{t}}}<\left(\frac{d P_{\mathrm{s}}}{d T}\right)_{T=T_{\mathrm{t}}}.\nonumber\]

¿Esto es ocasional? ¿Qué relación entre estos derivados se puede obtener de la termodinámica?

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Utilizar la fórmula Clapeyron-Clausius (\(4.1.17\)) para calcular el calor latente\(\Lambda\) de la condensación de Bose-Einstein, y comparar el resultado con el obtenido en la solución del Problema 3.21.

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

(i) Escribir el hamiltoniano efectivo para que la ecuación de Schrödinger estacionaria de partícula única habitual coincida con la ecuación de Gross-Pitaevski (\(4.3.19\)).

(ii) Utilizar este Hamiltoniano Gross-Pitaevskii, con el potencial de atrapamiento\(U(\mathbf{r}) = m\omega^2r^2/2\), para calcular la energía\(E\) de las partículas\(N >> 1\) atrapadas, asumiendo la solución de prueba\(\psi \propto \text{exp}\{–r^2/2r_0^2\}\), en función del parámetro\(r_0\). ⁵⁴

(iii) Explorar la función\(E(r_0)\) para valores positivos y negativos de la constante\(b\), e interpretar los resultados.

(iv) Para pequeñas\(b < 0\), estime el mayor número\(N\) de partículas que pueden formar un condensado de Bose Einstein metaestable.

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

La superconductividad puede ser suprimida por un campo magnético suficientemente fuerte. En el caso más simple de una muestra cilíndrica larga y voluminosa de un superconductor tipo I, colocada en un campo magnético externo\(\pmb{\mathscr{H}}_{ext}\) paralelo a su superficie, esta supresión toma una forma simple de una transición simultánea de toda la muestra del estado superconductor al “normal” (no superconductor) estado a un cierto valor\(\mathscr{H}_c(T)\) de la magnitud del campo. Este campo crítico disminuye gradualmente con la temperatura desde su valor máximo\(\mathscr{H}_c(0)\)\(T \rightarrow 0\) a cero a la temperatura crítica\(T_c\). Suponiendo que la función\(\mathscr{H}_c(T)\) es conocida, calcule el calor latente de esta transición de fase en función de la temperatura, y deletree sus valores a\(T \rightarrow 0\) y\(T = T_c\).

Sugerencia: En este contexto, “muestra masiva” significa una muestra mucho mayor que las escalas de longitud intrínseca del superconductor (como la profundidad de penetración de Londres\(\delta_L\) y la longitud de coherencia\(\xi \)). ⁵⁵ Para tales superconductores a granel, las propiedades magnéticas de la fase superconductora pueden describirse bien como el diamagnetismo perfecto, con\(\pmb{\mathscr{B}} = 0\) su interior.

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

En algunos libros de texto, se inicia la discusión de la termodinámica de la superconductividad mostrando, como evidente, la siguiente fórmula:

\[F_n(T)-F_s(T)=\frac{\mu_0\mathscr{H}_c^2(T)}{2}V,\nonumber\]

donde\(F_s\) y\(F_n\) son los valores de energía libre en las fases superconductoras y no superconductoras (“normales”), y\(\mathscr{H}_c(T)\) es el valor crítico del campo magnético externo. ¿Es correcta esta fórmula, y de no ser así, qué calificación es necesaria para hacerla válida? Supongamos que se satisfacen todas las condiciones de la transición de fase inducida por campo simultáneo en toda la muestra, explicadas en el problema anterior.

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

En la Sec. 4, hemos discutido el enfoque de campo molecular de Weiss para el modelo de Ising, en el que el promedio\(\langle s_j\rangle\) juega el papel del parámetro de orden\(\eta \). Utilizar los resultados de ese análisis para calcular los coeficientes\(a\) y\(b\) en la expansión Landau correspondiente (\(4.3.6\)) de la energía libre. Enumerar los exponentes críticos\(\alpha\) y\(\beta \), definidos por Eqs. (\(4.2.6\)) y (\(4.2.8\)), dentro de este enfoque.

Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

Considera un anillo de\(N = 3\) Ising “spins” (\(s_k = \pm 1\)), con acoplamiento ferromagnético similar\(J\) entre todos los sitios, en equilibrio térmico.

(i) Calcular el parámetro de orden\(\eta\) y la susceptibilidad de campo bajo\(\chi \equiv \partial \eta /\partial h|_{h=0}\).

(ii) Utilice el límite de baja temperatura del resultado\(\chi\) para predecirlo para un anillo con una arbitraria\(N\), y verificar su predicción mediante un cálculo directo (en este límite).

(iii) Discutir la relación entre el último resultado, en el límite\(N \rightarrow \infty \), y la Ecuación (\(4.5.15\)).

Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

Calcular la energía promedio, la entropía y la capacidad calorífica de un anillo de tres sitios de “espines” tipo ISING (\(s_k = \pm 1\)), con acoplamiento antiferromagnético (de magnitud\(J\)) entre los sitios, en equilibrio térmico a temperatura\(T\), sin campo magnético externo. Encontrar el comportamiento asintótico de su capacidad calorífica para temperaturas bajas y altas, y dar una interpretación de los resultados.

Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

Utilizando los resultados discutidos en la Sec. 5, se calcula la energía promedio, la energía libre, la entropía y la capacidad calorífica (todas por giro) como funciones de temperatura\(T\) y campo externo\(h\), para el modelo infinito 1D Ising. Esbozar la dependencia de la temperatura de la capacidad calorífica para diversos valores de relación\(h/J\), y dar una interpretación física del resultado.

Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

Emplear la teoría del campo molecular para calcular la temperatura crítica y la susceptibilidad de campo bajo de una celosía cúbica\(d\) dimensional de espines, descrita por el llamado modelo clásico de Heisenberg: ⁵⁶

\[E_m = -J \sum_{\{k,,k'\}} \mathbf{s}_k \cdot \mathbf{s}_{k'} - \sum_k \mathbf{h} \cdot \mathbf{s}_k. \nonumber\]

Aquí, en contraste con el (por lo demás, muy similar) modelo de Ising (\(4.2.3\)), el giro de cada sitio es modelado por un vector 3D clásico\(\mathbf{s}_k = \{s_{xk}, s_{yk}, s_{zk}\}\) de longitud unitaria:\(s^2_k = 1\).

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1. La fase plasmática, en la que los átomos están parcial o completamente ionizados, se menciona frecuentemente en una fase más, en igualdad de condiciones con las tres fases enumeradas anteriormente, pero hay que recordar que a diferencia de ellas, un plasma electroneutral típico consiste en partículas de dos tipos muy diferentes: iones positivos y electrones.
2. Dichos esquemas de clasificación, iniciados por Paul Ehrenfest a principios de la década de 1930, se han modificado repetidamente para acomodar nuevos resultados para sistemas particulares, y por ahora solo la “transición de fase de primer orden” sigue siendo un término generalmente aceptado, pero con una definición diferente a la original.
3. Por ejemplo, para el agua el calor latente de vaporización a presión ambiente es tan alto como\(\sim 2.2 \times 10^6\) J/kg, es decir\(\sim 0.4\) eV por molécula, lo que hace que este líquido ubicuo sea indispensable para una efectiva lucha contra incendios. (El calor latente del derretimiento del hielo de agua es un orden de magnitud menor).
4. Debido al carácter fenomenológico del modelo de van der Waals, no se puede decir con certeza si la fase condensada que predice corresponde a un líquido o a un sólido. Sin embargo, en la mayoría de las sustancias reales en condiciones ambientales, el gas coexiste con el líquido, de ahí el nombre.
5. La elección especial de los coeficientes numéricos en la Ecuación (\(4.1.3\)) hace que el borde entre estas dos regiones tenga lugar exactamente a\(t = 1\), es decir, a la temperatura igual a\(T_c\), con las coordenadas del punto crítico iguales a\(P_c\) y\(V_c\).
6. En realidad, esta suposición no es crucial para nuestro análisis de la estabilidad mecánica, ya que si se produce una fluctuación en una pequeña parte del volumen total\(V\), sus otras partes desempeñan el papel de ambiente de fijación de presión.
7. Frecuentemente,\(P_0(T)\) se llama la presión de vapor saturado.
8. Una pregunta natural: ¿es el estado bifásico con\(P = P_0(T)\) el único estado existente entre los puntos 1 y 2? De hecho, las ramas 1-1' y 2-2' de la isoterma monofásica también tienen derivados negativos\((\partial P/\partial V)_T\) y por lo tanto son mecánicamente estables con respecto a pequeñas perturbaciones. Sin embargo, estas ramas son realmente metaestables, es decir, tienen mayor energía de Gibbs por partícula (es decir\(\mu \)) que la fase homóloga y, por lo tanto, son inestables a perturbaciones más grandes, como micropartículas extrañas (por ejemplo, polvo), protuberancias en las paredes de confinamiento, etc. condiciones controladas, estos estados monofásicos “sobrecalentado” y “sobreenfriado” pueden sobrevivir casi todo el camino hasta los puntos de derivada cero 1' y 2', lo que lleva a saltos repentinos del sistema a la fase homóloga. (A presión fija, tales saltos van como se muestra mediante líneas discontinuas en la Figura)\(4.1.2\). En particular, a la presión atmosférica, el agua purificada puede sobreenfriarse a casi —50\(^{\circ}\) C y sobrecalentar a casi +270\(^{\circ}\) C. Sin embargo, en condiciones más realistas, las perturbaciones dan como resultado la formación de coexistencia bifásica cercana a los puntos 1 y 2.
9. Esta regla de área igual de Maxwell (también llamada “construcción de Maxwell”) fue sugerida por J. C. Maxwell en 1875 usando razonamientos más complejos.
10. Es fascinante lo bien que está este exponente Arrhenius escondido en la ecuación polinómica de van der Waals (\(4.1.2\))!
11. \(\ce{(CH3-CH2)-O-(CH2-CH3)}\), históricamente el primer anestésico general popular.
12. Es interesante que muy cerca del punto crítico la sustancia de repente se vuelve opaca —en el caso del éter, blanquecina. La explicación cualitativa de este efecto, llamada opalescencia crítica, es simple: en este punto, la diferencia de las energías de Gibbs por partícula (es decir, los potenciales químicos) de las dos fases se vuelve tan pequeña que las inevitables fluctuaciones térmicas conducen a la aparición espontánea y desaparición de regiones monofásicas relativamente grandes (\(\mu\)a escala de unos pocos m) en todo el volumen. Una gran concentración de límites de tales regiones de forma aleatoria conduce a una fuerte dispersión de la luz.
13. Tenga en cuenta que para el agua,\(P_t\) es mucho menor que la presión atmosférica normal (101.325 kPa).
14. Obsérvese la reciente redefinición (2018) del kelvin “legal” vía joule (ver, apéndice CA: Constantes físicas seleccionadas); sin embargo, la nueva definición es compatible, dentro de la precisión experimental, con la mencionada anteriormente.
15. Quizás el ejemplo más importante prácticamente es el sistema aire/agua. Para su discusión detallada, basada en la Ecuación (\(4.1.19\)), el lector puede ser referido, por ejemplo, a la Sec. 3.9 en F. Schwabl, Statistical Mechanics, Springer (2000). Otras aplicaciones importantes incluyen soluciones líquidas y aleaciones metálicas, soluciones sólidas de elementos metálicos.
16. Para los ferroimanes, este punto suele denominarse a la temperatura de Curie, y para los antiferroimanes, como la temperatura de Néel.
17. Desafortunadamente, no tendré tiempo/espacio para estas generalizaciones interesantes (y prácticamente importantes), y tendré que referir al lector interesado a la famosa monografía de R. Stratonovich, Temas en la teoría del ruido aleatorio, en 2 vols., Gordon y Breach, 1963 y 1967, y/o los influyentes revisión de H. Haken, Ferstkörperprobleme 10, 351 (1970).
18. Véase, por ejemplo, QM Sec. 4.4.
19. En\(J < 0\), el primer término de la Ecuación (\(4.2.1\)) da un modelo razonable de un antiferroimán, pero en este caso, los efectos del campo magnético externo son más sutiles; no voy a tener tiempo para discutirlos.
20. Véase, por ejemplo, la Ecuación QM (4.163).
21. El nombre de Ernst Ising, quien exploró la versión 1D del modelo en detalle en 1925, aunque un modelo similar fue discutido anteriormente (en 1920) por Wilhelm Lenz.
22. Para discusiones más detalladas sobre las teorías de transición de fase (incluyendo otros modelos populares de la transición de fase ferromagnética, por ejemplo, el modelo Potts), véase, por ejemplo, H. Stanley, Introduction to Phase Transitions and Critical Phenomena, Oxford U. Press, 1971; o A. Patashinskii y V. Pokrovskii, Teoría de la fluctuación de las transiciones de fase, Pérgamo, 1979; o B. McCoy, Mecánica Estadística Avanzada, Oxford U. Press, 2010. Para un texto muy conciso, puedo recomendar a J. Yeomans, Mecánica estadística de transiciones de fase, Clarendon, 1992.
23. Las formas de esta y otras funciones de\(\tau\) se seleccionan para hacer que todos los exponentes críticos no sean negativos.
24. En la mayoría de los modelos de transiciones de fase ferromagnéticas, esta variable es proporcional a la susceptibilidad magnética genuina\(\chi_m\) de campo bajo del material — véase, por ejemplo, Ecuación EM (5.111).
25. Como ya se discutió en las Secs. 1.4 y 2.4, existe alguna dicotomía de terminología para las energías libres en la literatura. En los modelos (\(4.2.1\)) y (\(4.2.3\)), los efectos del campo magnético se contabilizan a nivel microscópico, mediante la inclusión del término correspondiente en cada valor particular\(E_m\). Desde este punto de vista, la lista de variables macroscópicas en estos sistemas no incluye ni\(V\) ni\(P\) sus análogos magnéticos, por lo que podemos tomar\(G \equiv F + PV = F +\) const, y el equilibrio (a fijo\(h\),\(T\) y\(N\)) corresponde al mínimo de la Energía libre de Helmholtz\(F\).
26. Históricamente, el último término pertenece a la extensión posterior (1950) de la teoría de V. Ginzburg y L. Landau — ver más abajo.
27. De acuerdo con la Ecuación (\(4.2.10\)), el radio de correlación puede interpretarse como la distancia a la que el parámetro de orden se\(\eta\) relaja a su valor de equilibrio, si se desvía de ese valor en algún momento. Dado que la ley de tal cambio espacial puede obtenerse mediante una diferenciación variacional de\(F\), para la ley de relajación real, todos los términos principales de (\(4.3.6\)) tienen que ser comparables.
28. Como una comprobación elemental inmediata de la cordura de esta relación, resultante de la analogía de las Eq. (\(1.1.1\)) y (\(1.1.5\)), la minimización de\(\Delta g\) en ausencia de superconductividad (\(\psi = 0\)) da el resultado correcto\(\pmb{\mathscr{B}} = \mu_0\pmb{\mathscr{H}}\). Tenga en cuenta que esta cuenta de la diferencia entre\(\Delta f\) y\(\Delta g\) es necesaria aquí porque (a diferencia de las Eqs. (\(4.2.1\)) y (\(4.2.3\))), la energía libre de Ginzburg Landau (\(4.3.16\)) no toma en cuenta el efecto del campo sobre cada partícula directamente.
29. Se discute en EM Sec. 6.5.
30. Véase, por ejemplo, QM Sec. 3.1.
31. Véase, por ejemplo, EM Sec. 6.5.
32. Véase, por ejemplo, M. Tinkham, Introducción a la Superconductividad,\(2^{nd}\) ed., McGraw-Hill, 1996. Una breve discusión sobre los efectos Josephson y los vórtices de Abrikosov se puede encontrar en QM Sec. 1.6 y EM Sec. 6.5 de esta serie.
33. Véase, por ejemplo, Sec. 45 en E. Lifshitz y L. Pitaevskii, Statistical Physics, Parte 2, Pérgamo, 1980.
34. Dado que en este enfoque ingenuo descuidamos las fluctuaciones del giro, es decir, su desorden, la suposición de un ordenamiento completo implica\(S = 0\), de modo que\(F \equiv E – TS = E\), y podemos usar cualquiera de las dos notación para la energía del sistema.
35. El hecho de que los estados estables siempre correspondan\(\eta = \pm 1\), en parte justifica el tratamiento, en esta aproximación cruda, del parámetro de orden\(\eta\) como variable continua.
36. Dado que estos saltos de magnetización van acompañados de saltos (negativos) de la energía libre\(F\), a veces se les llama transiciones de fase de primer orden. Tenga en cuenta, sin embargo, que en esta teoría simple, estas transiciones se encuentran entre dos fases físicamente similares completamente ordenadas.
37. Para mí, siempre fue impactante lo poco que mis alumnos de posgrado sabían sobre este fascinante (y muy importante) campo de la ingeniería moderna, que involucra tanta física interesante y fantástica tecnología electromecánica. Para conocerlo, puedo recomendar, por ejemplo, la monografía de C. Mee y E. Daniel, Magnetic Recording Technology,\(2^{nd}\) ed., McGraw-Hill, 1996.
38. En algunos textos, esta aproximación se llama la “teoría del campo medio”. Esta terminología puede conducir a confusión, porque la teoría del campo molecular pertenece a un nivel diferente y profundo de la jerarquía teórica que, por ejemplo, las teorías de campo medio (más fenomenológicas) de estilo Landauu. Por ejemplo, para un modelo microscópico dado, se puede utilizar el enfoque de campo molecular para el cálculo (aproximado) de los parámetros\(a\)\(b\), y\(T_c\) participar en la Ecuación (\(4.3.6\)), el punto de partida de la teoría de Landau.
39. El nombre de Pierre Curie, en lugar de su (más famosa) esposa Marie Skłodowska-Curie.
40. Fue desarrollado en 1941 por H. Kramers y G. Wannier. Estoy siguiendo este método aquí porque es muy cercano al que se usa en la mecánica cuántica (ver, por ejemplo, QM Sec. 2.5), y puede aplicarse también a otros problemas. Para un enfoque más sencillo del problema de Ising 1D, que da una solución explícita incluso para un sistema de “extremo abierto” con un número finito de giros, consulte la solución modelo del Problema 5.5.
41. Esto es resultado de la simetría “traslacional” (o más bien rotacional) del sistema, es decir, su invarianza al reemplazo del índice\(k \rightarrow k + 1\) en todos los términos de la ecuación (\(4.5.2\)).
42. El nombre de Felix Bloch quien fue el primero en discutir tales excitaciones en el ferromagnetismo.
43. Para el modelo de anillo cerrado (Figura\(4.5.1\)) dicho análisis da una predicción casi similar, con la diferencia de que en ese sistema, las paredes de Bloch pueden aparecer sólo en pares, así que\(E_W = 4J\), y\(S_W = \ln [N(N – 1)] \approx 2\ln N\).
44. Esta es una aplicación muy vívida de uno de los resultados centrales de la termodinámica. Si el lector aún se siente incómodo con él, se le recomienda encarecidamente que vuelva a visitar Equation (\(1.4.19\)) y su discusión.
45. Para ello, se podrá remitir al lector interesado ya sea a la Sec. 151 en el libro de texto de Landau y Lifshitz, o al Capítulo 15 en el texto de Huang, ambos citados anteriormente.
46. Discusión de tales leyes en la tarea de la cinética física, las cuales serán brevemente revisadas en el Capítulo 6.
47. El cálculo de estas tasas para varios casos particulares se describe en QM Secs. 6.6, 6.7 y 7.6 — véase, por ejemplo, la Ecuación QM (7.196), que es válida para un modelo muy general de un sistema cuántico.
48. Tenga en cuenta que un giro de un solo giro cambia los signos de solo\((2d + 1)\) términos en la suma (\(4.2.3\)), es decir, no requiere el recálculo de todos los\((2d +1)N\) términos de la suma, por lo que el cálculo de\(\Delta\) toma solo unas pocas operaciones multiplicar-y acumular incluso en\(N >> 1\).
49. Este último paso es necesario para evitar que el sistema atrape en mínimos locales su perfil energético multidimensional\(E_m(s_1, s_2,..., s_N)\).
50. Inicialmente desarrollada en la teoría cuántica de campos en la década de 1950, fue adaptada a la estadística por L. Kadanoff en 1966, con una solución espectacular del llamado problema de Kubo por K. Wilson en 1972, posteriormente galardonado con el Premio Nobel.
51. Esto podría esperarse porque físicamente\(C\) es solo una cierta adición constante a la energía del sistema. Sin embargo, la introducción de esa constante es matemáticamente necesaria, porque las Eqs. (\(4.5.31\)) y (\(4.5.32\)) sólo podrán conciliarse si\(C' \neq C\).
52. Esta ecuación de estado, sugerida en 1948, describe la mayoría de los gases reales mejor que no solo el modelo original de van der Waals, sino también otras alternativas de dos parámetros, como los modelos Berthelot, Modified-Berthelot y Dieterici, aunque algunas aproximaciones con más los parámetros de ajuste (como el modelo Soave-Redlich-Kwong) funcionan aún mejor.
53. Este modelo es actualmente menos popular que el de Redlich-Kwong (también con dos parámetros de ajuste), cuyo análisis fue la tarea del problema anterior.
54. Esta tarea es esencialmente el primer paso del método variacional de la mecánica cuántica — véase, por ejemplo, QM Sec. 2.9.
55. Una discusión de estos parámetros, así como de la diferencia entre la superconductividad tipo I y tipo II, se puede encontrar en EM Secs. 6.4-6.5. Sin embargo, esos detalles no son necesarios para la solución de este problema.
56. Este modelo clásico es formalmente similar a la generalización del modelo genuino (cuántico) de Heisenberg (\(4.2.1\)) al giro arbitrario\(s\), y sirve como su límite de espín infinito.