4.5: Modelo Ising - Resultados exactos y numéricos

Para evaluar la predicción principal (\(4.4.14\)) de la teoría de Weiss, discutamos ahora los resultados exactos (analíticos) y cuasi-exactos (numéricos) obtenidos para el modelo de Ising, pasando del valor más bajo de dimensionalidad\(d = 0\), a sus valores más altos. Dimensionalidad cero significa que el giro no tiene vecinos más cercanos en absoluto, por lo que el primer término de la ecuación (\(4.2.3\)) se desvanece. De ahí que la ecuación (\(4.4.6\)) sea exacta, con\(h_{ef} = h\), y también lo es su solución (\(4.4.11\)). Ahora podemos simplemente usar Equation (\(4.4.18\)), con\(J = 0\), es decir\(T_c = 0\), reducir este resultado a la llamada ley Curie:

Ley Curie:

\[\boxed{\chi = \frac{1}{T}. } \label{77}\]

Demuestra que el sistema es paramagnético a cualquier temperatura. Se puede decir que para\(d = 0\) la teoría del campo molecular de Weiss es exacta — o incluso trivial. (Sin embargo, en cierto sentido es más general que el modelo de Ising, porque como sabemos del Capítulo 2, da el resultado exacto para un tratamiento mecánico completamente cuántico de cualquier sistema de dos niveles, incluido el spin-1/2.) Experimentalmente, la ley Curie es aproximadamente válida para muchos de los llamados materiales paramagnéticos, es decir, sistemas 3D con interacción suficientemente débil entre los espines de partículas.

El caso\(d = 1\) es más complejo pero tiene una solución analítica exacta. Un simple (¡aunque no el más simple!) manera de obtenerlo es utilizar el llamado enfoque de matriz de transferencia. ⁴⁰ Para ello, en primer lugar, podemos argumentar que la mayoría de las propiedades de un sistema 1D de\(N >> 1\) giros (digamos, poner a distancias iguales en línea recta) no deberían cambiar notablemente si doblamos esa línea suavemente en un anillo cerrado (Figura\(\PageIndex{1}\)), asumiendo que gira\(s_1\) y\(s_N\) interactuar exactamente como todos los demás pares de vecino siguiente. Entonces la energía (\(4.2.3\)) se convierte en

\[E_m = -(Js_1s_2+Js_2s_3+...+Js_Ns_1) - (hs_1+hs_2+...+hs_N). \label{78}\]

Figura\(\PageIndex{1}\): La versión de anillo cerrado del sistema 1D Ising.

Reagruparemos los términos de esta suma de la siguiente manera:

\[E_{m}=-\left[\left(\frac{h}{2} s_{1}+J s_{1} s_{2}+\frac{h}{2} s_{2}\right)+\left(\frac{h}{2} s_{2}+J s_{2} s_{3}+\frac{h}{2} s_{3}\right)+\ldots+\left(\frac{h}{2} s_{N}+J_{N} s_{1}+\frac{h}{2} s_{1}\right)\right],\label{79}\]

de manera que el grupo dentro de cada par de paréntesis dependa únicamente del estado de dos giros adyacentes. La suma estadística correspondiente,

\[Z=\sum_{s_{k}=\pm 1, f_{k} r \atop k=1,2, \ldots N} \exp \left\{h \frac{s_{1}}{2 T}+J \frac{s_{1} s_{2}}{T}+h \frac{s_{2}}{2 T}\right\} \exp \left\{h \frac{s_{2}}{2 T}+J \frac{s_{2} s_{3}}{T}+h \frac{s_{3}}{2 T}\right\} \ldots \exp \left\{h \frac{s_{N}}{2 T}+J \frac{s_{N} s_{1}}{T}+h \frac{s_{1}}{2 T}\right\}, \label{80}\]

todavía tiene\(2^N\) términos, cada uno correspondiente a una cierta combinación de signos de\(N\) giros. Sin embargo, cada operando del producto bajo la suma podrá tomar solo cuatro valores, correspondientes a cuatro combinaciones diferentes de sus dos argumentos:

\[\exp \left\{h \frac{s_{k}}{2 T}+J \frac{s_{k} s_{k+1}}{T}+h \frac{s_{k+1}}{2 T}\right\}= \begin{cases}\exp \{(J+h) / T\}, & \text { for } s_{k}=s_{k+1}=+1, \\ \exp \{(J-h) / T\}, & \text { for } s_{k}=s_{k+1}=-1 ,\\ \exp \{-J / T\}, & \text { for } s_{k}=-s_{k+1}=\pm 1.\end{cases}\label{81}\]

\[M \equiv \begin{pmatrix} \text{exp}\{(J+h)/T\} & \text{exp} \{-J/T\} \\ \text{exp}\{-J/T\} & \text{exp} \{ (J-h)/T\}\end{pmatrix},\label{82}\]

para que toda la suma estadística (\ ref {80}) pueda ser refundido como un producto:

\[ Z=\sum_{j_{k}=1,2} M_{j_{1} j_{2}} M_{j_{2} j_{3}} \ldots M_{j_{N-1} j_{N}} M_{j_{N} j_{1}} .\label{83}\]

Según la regla básica de la multiplicación matricial, esta suma es justa

\[ Z = \text{Tr}(\mathrm{M}^N). \label{84}\]

El álgebra lineal nos dice que esta traza puede ser representada igual que

\[ Z = \lambda_+^N+\lambda^N_-,\label{85}\]

donde\(\lambda \pm\) están los valores propios de la matriz de transferencia\(\mathrm{M}\), es decir, las raíces de su ecuación característica,

\[\begin{vmatrix}\text{exp}\{(J+h)/T\}-\lambda & \text{exp} \{-J/T\} \\ \text{exp}\{-J/T\} & \text{exp} \{ (J-h)/T\}-\lambda \end{vmatrix} = 0. \label{86}\]

Un cálculo sencillo rinde

\[\lambda_{\pm}=\exp \left\{\frac{J}{T}\right\}\left[\cosh \frac{h}{T} \pm\left(\sinh^{2} \frac{h}{T}+\exp \left\{-\frac{4 J}{T}\right\}\right)^{1 / 2}\right]. \label{87}\]

La última simplificación viene de la condición\(N >> 1\) —que necesitamos de todos modos, para hacer que el modelo de anillo se acerque lo suficientemente al sistema lineal infinito 1D. En este límite, incluso una pequeña diferencia de los exponentes,\(\lambda_+ > \lambda_-\), hace que el segundo término en la Ecuación (\ ref {85}) sea insignificante, de manera que finalmente conseguimos

\[Z = \lambda^N_{+}=\exp \left\{\frac{NJ}{T}\right\}\left[\cosh \frac{h}{T} + \left(\sinh ^{2} \frac{h}{T}+\exp \left\{-\frac{4 J}{T}\right\}\right)^{1 / 2}\right]^N. \label{88}\]

A partir de aquí, podemos encontrar la energía libre por partícula:

\[\frac{F}{N} = \frac{T}{N} \ln \frac{1}{Z} = - J - T \ln \left[\cosh \frac{h}{T} + \left(\sinh ^{2} \frac{h}{T}+\exp \left\{-\frac{4 J}{T}\right\}\right)^{1 / 2}\right], \label{89}\]

y luego usar la termodinámica para calcular variables como la entropía — ver la primera de Eqs. (\(1.4.12\)).

Sin embargo, nos interesa principalmente el parámetro de orden definido por la ecuación (\(4.2.5\)):\(\eta \equiv \langle s_j \rangle \). El enfoque conceptualmente más simple para el cálculo de este promedio estadístico sería utilizar la suma (\(2.1.7\)), con las probabilidades de Gibbs\(W_m = Z^{-1}\exp\{-E_m/T\}\). No obstante, el número de términos en esta suma es\(2^N\), por lo que para\(N >> 1\) este enfoque es completamente impracticable. Aquí la analogía entre el par canónico\(\{–P, V\}\) y otros pares generalizados de fuerza-coordenadas\(\{\mathscr{F}, q\}\), en particular\(\{\mu_0\mathscr{H}(\mathbf{r}_k), \mathscr{m}_k\}\) para el campo magnético, discutido en las Secs. 1.1 y 1.4, se vuelve invaluable —véase en particular la Ecuación (\(1.1.5\)). (En nuestra normalización (\(4.2.2\)), y para un campo uniforme, el par\(\{\mu_0\mathscr{H}(\mathbf{r}_k), \mathscr{m}_k\}\) se vuelve\(\{h, s_k\}\).) En efecto, en esta analogía el último término de la Ecuación (\(4.2.3\)), es decir, la suma de\(N\) productos\((–hs_k)\) para todos los espines\((–Nh\eta )\), con el promedio estadístico, es similar al producto\(PV\), es decir, la diferencia entre los potenciales termodinámicos\(F\) y\(G \equiv F + PV\) en el habitual “\(P-V\)termodinámica”. Por lo tanto, la energía libre\(F\) dada por la Ecuación (\ ref {89}) puede entenderse como la energía Gibbs del sistema Ising en el campo externo, y el valor de equilibrio del parámetro de orden se puede encontrar a partir de la última de las Eq. (\(1.4.16\)) con los reemplazos\(–P \rightarrow h, V \rightarrow N\eta \):

\[N\eta = - \left( \frac{\partial F}{\partial h} \right)_T, \quad \text{ i.e.} \eta = -\left[ \frac{\partial (F/N)}{\partial h}\right]_T. \label{90}\]

Obsérvese que esta fórmula es válida para cualquier modelo de ferromagnetismo, de cualquier dimensionalidad, si tiene la misma forma de interacción con el campo externo que el modelo Ising.

Para el anillo Ising 1D con\(N >> 1\), Eqs. (\ ref {89}) y (\ ref {90}) rendimiento

\[\eta=\sinh \frac{h}{T} /\left(\sinh ^{2} \frac{h}{T}+\exp \left\{-\frac{4 J}{T}\right\}\right)^{1 / 2}, \quad \text { giving }\left.\chi \equiv \frac{\partial \eta}{\partial h}\right|_{h=0}=\frac{1}{T} \exp \left\{\frac{2 J}{T}\right\}. \label{91}\]

Este resultado significa que el modelo 1D Ising no presenta una transición de fase, es decir, en este modelo\(T_c = 0\). Sin embargo, su susceptibilidad crece, a\(T \rightarrow 0\), mucho más rápido que la ley Curie (\ ref {77}). Esto nos da una pista de que a bajas temperaturas el sistema es “virtualmente ferromagnético”, es decir, tiene el orden ferromagnético con algunas raras violaciones aleatorias. (Tales violaciones se denominan comúnmente excitaciones a baja temperatura). Esta interpretación podrá ser confirmada por el siguiente cálculo aproximado. Es casi evidente que la excitación de menor energía del estado ferromagnético de una cadena Ising 1D de extremo abierto en\(h = 0\) es la inversión de los signos de todos los espines en una de sus partes — ver Figura\(\PageIndex{2}\).

Figura\(\PageIndex{2}\): Una pared Bloch en un sistema Ising 1D de extremo abierto.

En efecto, tal excitación (llamada pared Bloch ⁴²) implica el cambio de signo de un solo producto\(s_ks_{k'}\), de manera que según la Ecuación (\(4.2.3\)), su energía\(E_W\) (definida como la diferencia entre los valores de\(E_m\) con y sin la excitación) es igual \(2J\), independientemente de la posición del muro. ⁴³ Ya que en el modelo ferromagnético de Ising, el parámetro\(J\) es positivo,\(E_W > 0\). Si el sistema “intentara” minimizar su energía interna, tener cualquier pared en el sistema sería desventajoso energéticamente. Sin embargo, la termodinámica nos dice que at\(T \neq 0\), el equilibrio térmico del sistema corresponde al mínimo de la energía libre\(F \equiv E – TS\), en lugar de solo energía\(E\). ⁴⁴ De ahí que tengamos que calcular la contribución del muro de Bloch\(F_W\) a la energía libre. Dado que en una cadena lineal de\(N >> 1\) espines abiertos, la pared puede tomar\((N – 1) \approx N\) posiciones con la misma energía\(E_W\), podemos afirmar que la entropía\(S_W\) asociada a esta excitación es\(\ln N\), de manera que

\[F_W \equiv E_W − TS_W \approx 2J − T \ln N . \label{92}\]

Este resultado nos dice que en el límite\(N \rightarrow \infty \), y en\(T \neq 0\), las paredes son siempre beneficiosas para la energía libre, explicando así la ausencia del orden ferromagnético perfecto en el sistema 1D Ising. Obsérvese, sin embargo, que dado que la función logarítmica cambia extremadamente lentamente a valores grandes de su argumento, se puede argumentar que un sistema 1D grande pero finito aún debería presentar una temperatura cuasicrítica

\["T_c" = \frac{2J}{\ln N}, \label{93}\]

por debajo del cual estaría en un orden ferromagnético prácticamente completo. (La susceptibilidad exponencialmente grande (\ ref {91}) es otra manifestación de este hecho.)

Ahora apliquemos un enfoque similar a la estimación\(T_c\) de un modelo de Ising 2D, con bordes abiertos. Aquí el muro Bloch es una línea de cierta longitud total\(L\) — ver Figura\(\PageIndex{3}\). (Para el ejemplo presentado en esa figura, contando de izquierda a derecha, periodos de\(L = 2 + 1 + 4 + 2 + 3 = 12\) celosía.) Evidentemente, la energía adicional asociada a tal pared es\(E_W = 2JL\), mientras que la entropía de la pared\(S_W\) puede estimarse utilizando el siguiente razonamiento. Que el muro se forme a lo largo del camino de un “peatón de Manhattan” viajando entre sus nodos. (La línea discontinua en la Figura\(\PageIndex{3}\) es un ejemplo de tal ruta.) En cada cruce, el peatón puede seleccionar 3 opciones de 4 direcciones posibles (excepto la que conduce hacia atrás), de manera que hay aproximadamente\(3^{(L-1)} \approx 3^L\) opciones para una caminata a partir de un punto determinado. Ahora tomando en cuenta que los bordes abiertos de una celosía de forma cuadrada con\(N\) giros tienen una longitud del orden de\(N^{1/2}\), y el muro de Bloch puede partir de cualquiera de ellos, hay aproximadamente\(M \sim N^{1/2}3^L\) diferentes paseos entre dos bordes. Otra vez estimando\(S_W\) como\(\ln M\), obtenemos

\[ F_W = E_W - TS_W \approx 2JL - T \ln (N^{1/2}3^L) \equiv L (2J - T \ln 3 ) - (T / 2) \ln N. \label{94}\]

(En realidad, ya que\(L\) escalas como\(N^{1/2}\) o superiores, en\(N \rightarrow \infty\) el último término en la Ecuación (\ ref {94}) es despreciable.) Vemos que el signo de la derivada\(\partial F_W /\partial L\) depende de si la temperatura es mayor o menor que el siguiente valor crítico:

\[T_c = \frac{2J}{\ln 3} \approx 1.82 \ J. \label{95}\]

At\(T < T_c\), el mínimo de energía libre corresponde a\(L \rightarrow 0\), es decir, las paredes de Bloch son perjudiciales para la energía libre, y el sistema se encuentra en la fase puramente ferromagnética.

Figura\(\PageIndex{3}\): Una pared Bloch en un sistema Ising 2D.

Entonces, para\(d = 2\) las estimaciones predecir una temperatura crítica distinta de cero del mismo orden que la teoría de Weiss (según la ecuación (\(4.4.14\)), en este caso\(T_c = 4J\)). La mayor aproximación implícita en nuestro cálculo que conduce a la Ecuación (\ ref {95}) es ignorar posibles autocruces de la “caminata de Manhattan”. El conteo preciso de tales autocruces es bastante difícil. Había sido realizado en 1944 por L. Onsager; desde entonces sus cálculos han sido rehechos de varias maneras más fáciles, pero incluso son bastante engorrosos, y no voy a tener tiempo para discutirlos. ⁴⁵ El resultado final, sin embargo, es sorprendentemente sencillo:

Resultado exacto de Onsager:

\[\boxed{ T_c = \frac{2J}{\ln(1+\sqrt{2})} \approx 2.269 \ J,} \label{96}\]

es decir, mostrando que la estimación simple (\ ref {95}) está fuera de marca solo en\(\sim\) un 20%.

La solución Onsager, así como todas las soluciones alternativas del problema que se encontraron posteriormente, son tan “artificiales” (2D-específicas) que no dan un camino claro hacia su generalización a otras dimensiones (superiores). Como resultado, el problema de Ising 3D sigue sin resolverse analíticamente. Sin embargo, sí lo conocemos\(T_c\) con una precisión extremadamente alta —al menos hasta el\(6^{th}\) decimal. Esto se ha logrado por métodos numéricos; merecen una discusión a fondo por su importancia para la solución de otros problemas similares también.

Conceptualmente, esta tarea es bastante simple: simplemente computar, con la precisión deseada, la suma estadística del sistema (\(4.2.3\)):

\[Z =\sum_{s_{k}=\pm 1, for \atop k=1,2, \ldots N} \exp \left\{\frac{J}{T} \sum_{\{k,k'\}} s_{k}s_{k'} + \frac{h}{T} \sum_k s_k \right\}.\label{97}\]

Tan pronto como esto se haya hecho para un número suficiente de valores de los parámetros adimensionales\(J/T\) y\(h/T\), todo se vuelve fácil; en particular, podemos calcular la función adimensional

\[ F /T = −\ln Z , \label{98}\]

y luego encontrar la relación\(J/T_c\) como el valor más pequeño del parámetro\(J/T\) en el que la relación\(F/T\) (en función de\(h/T\)) tiene un campo mínimo en cero. Sin embargo, para cualquier sistema de un tamaño razonable\(N\), el cálculo “exacto” de la suma estadística (\ ref {97}) es imposible, porque contiene demasiados términos para que cualquier supercomputadora los maneje. Por ejemplo, tomemos una celosía 3D relativamente pequeña con\(N = 10 \times 10 \times 10 = 10^3\) espines, que aún presentan artefactos de límite sustanciales incluso usando las condiciones de límite periódicas, de modo que su transición de fase se mancha aproximadamente\(T_c\) en\(\sim\) un 3%. Aún así, incluso para un modelo tan crudo,\(Z\) incluiría\(2^{1,000} \equiv (2^{10})^{100} \approx (10^3)^{100} \equiv 10^{300}\) términos. Supongamos que estamos utilizando una moderna supercomputadora a escala exaflops que realiza operaciones de\(10^{18}\) coma flotante por segundo, es decir,\(\sim 10^{26}\) tales operaciones por año. Con esos recursos, el cálculo de una sola suma estadística requeriría\(\sim 10^{(300-26)} = 10^{274}\) años. Llamar a tal número “astronómico” sería un eufemismo fuerte. (Como recordatorio, la edad de nuestro Universo es cercana a los\(1.3 \times 10^{10}\) años, un número muy humilde en comparación).

Esta situación puede mejorarse drásticamente si se observa que cualquier suma estadística,

\[Z = \sum_m \exp \left\{ - \frac{E_m}{T}\right\}, \label{99}\]

está dominado por términos con valores menores de\(E_m\). Para encontrar esos estados de menor energía, podemos usar el siguiente enfoque poderoso (perteneciente a una amplia clase de técnicas numéricas de Montecarlo), que esencialmente imita un camino (seleccionado aleatoriamente) de la evolución del sistema en el tiempo. Se podría argumentar que para eso necesitaríamos conocer las leyes exactas de evolución de los sistemas estadísticos, ⁴⁶ que pueden diferir de un sistema a otro, aunque sus espectros de energía\(E_m\) sean los mismos. Esto es cierto, pero dado que el valor genuino de\(Z\) debe ser independiente de estos detalles, puede evaluarse utilizando cualquier modelo cinético razonable que satisfaga ciertas reglas generales. Para revelar estas reglas, partimos de un sistema con sólo dos estados, con energías\(E_m\) y\(E_{m'} = E_m + \Delta\) — ver Figura\(\PageIndex{4}\).

Figura\(\PageIndex{4}\): Derivando la relación de balance detallada.

En ausencia de coherencia cuántica entre los estados (ver Sec. 2.1), las ecuaciones para la evolución temporal de las probabilidades correspondientes\(W_m\) y\(W_{m'}\) deben depender únicamente de las probabilidades (más ciertos coeficientes constantes). Además, dado que las ecuaciones de la mecánica cuántica son lineales, estas ecuaciones maestras también deben ser lineales. De ahí que sea natural esperar que tengan la siguiente forma,

Ecuaciones maestras:

\[\boxed{ \frac{dW_m}{dt} = W_{m'} \Gamma_{\downarrow} - W_m \Gamma_{\uparrow}, \quad \frac{dW_{m'}}{dt} = W_m \Gamma_{\uparrow} - W_{m'} \Gamma_{\downarrow}, } \label{100}\]

donde los coeficientes\(\Gamma_{\uparrow}\) y\(\Gamma_{\downarrow}\) tienen el sentido físico de las tasas de las transiciones correspondientes (ver Figura\(\PageIndex{4}\)); por ejemplo,\(\Gamma_{\uparrow} dt\) es la probabilidad de la transición del sistema al estado\(m'\) durante un intervalo de tiempo infinitesimal\(dt\), siempre que al inicio de ese intervalo estuviera en el estado\(m\) con plena certeza:\(W_m = 1, W_{m'} = 0\). ⁴⁷ Ya que para el sistema con apenas dos niveles de energía, las derivadas de tiempo de las probabilidades tienen que ser iguales y opuestas, Eqs. (\ ref {100}) describen una redistribución (irreversible) de las probabilidades manteniendo su suma\(W = W_m + W_{m'}\) constante. Según las Eqs. (\ ref {100}), a\(t \rightarrow \infty\) las probabilidades se asientan a sus valores estacionarios relacionados como

\[\frac{W_{m'}}{W_m} = \frac{\Gamma_{\uparrow}}{\Gamma_{\downarrow}}. \label{101}\]

Ahora requerimos que estos valores estacionarios obedezcan la distribución de Gibbs (\(2.4.7\)); a partir de ella

\[\frac{W_{m'}}{W_m} = \exp \left\{ \frac{E_m - E_{m'}}{T}\right\} = \exp \left\{-\frac{\Delta}{T}\right\} < 1. \label{102}\]

Comparando estas dos expresiones, vemos que las tarifas tienen que satisfacer la siguiente relación de balance detallada:

Saldo detallado:

\[\boxed{ \frac{\Gamma_{\uparrow}}{\Gamma_{\downarrow}} =\exp \left\{-\frac{\Delta}{T}\right\} .} \label{103}\]

Ahora viene el paso final: dado que las tasas de transición entre dos estados particulares no deben depender de otros estados y su ocupación, la Ecuación (\ ref {103}) tiene que ser válida para cada par de estados de cualquier sistema multiestatal. (Por cierto, esta relación puede servir como una importante comprobación de cordura: las tasas calculadas utilizando cualquier modelo razonable de un sistema cuántico tienen que satisfacerla).

El balance detallado arroja solo una ecuación para dos tasas\(\Gamma_{\uparrow}\) y\(\Gamma_{\downarrow}\); si nuestro único objetivo es el cálculo de\(Z\), la elección de la otra ecuación no es demasiado importante. Una elección muy sencilla es

\[\Gamma (\Delta) \propto \gamma (\Delta ) \equiv \begin{cases} 1, && \text{ if } \Delta < 0, \\ \exp \{-\Delta / T\}, && \text{ otherwise,} \end{cases} \label{104}\]

donde\(\Delta\) está el cambio energético resultante de la transición. Este modelo, que evidentemente satisface la relación de equilibrio detallada (\ ref {103}), es muy popular (a pesar de la cúspide poco física que esta función tiene en\(\Delta = 0\)), ya que habilita el siguiente algoritmo simple de Metrópolis (Figura\(\PageIndex{5}\)).

Figura\(\PageIndex{5}\): Un esquema crudo del algoritmo Metrópolis para la simulación del modelo de Ising.

El cálculo comienza estableciendo un cierto estado inicial del sistema. A temperaturas relativamente altas, el estado puede generarse aleatoriamente; por ejemplo, en el sistema Ising, el estado inicial de cada giro\(s_k\) puede seleccionarse independientemente, con una probabilidad del 50%. A bajas temperaturas, iniciar los cálculos a partir del estado de menor energía (en particular, para el modelo de Ising, a partir de la\(s_k = \text{sgn}(h) =\) const de estado ferromagnético) puede dar la convergencia más rápida. Ahora un giro se voltea al azar, se calcula el cambio correspondiente\(\Delta\) de la energía, ⁴⁸ y se conecta a la Ecuación (\ ref {104}) para calcular\(\gamma (\Delta )\). A continuación, se utiliza un generador de números pseudoaleatorios para generar un número aleatorio\(\xi \), siendo la densidad de probabilidad constante en el segmento [0, 1]. (Tales funciones están disponibles en prácticamente cualquier biblioteca numérica.) Si el resultante\(\xi\) es menor que\(\gamma (\Delta )\), se acepta la transición, mientras que si\(\xi > \gamma (\Delta )\), se rechaza. Físicamente, esto significa que siempre\((\Delta < 0)\) se acepta cualquier transición hacia abajo del espectro energético, mientras que los que suben el perfil energético\((\Delta > 0)\) son aceptados con la probabilidad proporcional a\(\exp\{–\Delta /T\}\). ⁴⁹ Después de suficientes pasos de este tipo, la suma estadística (\ ref {99}) puede calcularse aproximadamente como una suma parcial sobre los estados pasados por el sistema. (Puede ser mejor descartar las contribuciones desde unos primeros pasos, para evitar los efectos de la elección inicial de estado).

Este algoritmo es extremadamente eficiente. Incluso con modestas computadoras disponibles en la década de 1980, ha permitido simular un sistema 3D Ising de\((128)^3\) giros para obtener el siguiente resultado:\(J/T_c \approx 0.221650 \pm 0.000005\). A todos los efectos prácticos, este resultado es exacto —de manera que quizás el mayor beneficio de la posible solución analítica futura del infinito problema de Ising 3D sea un Premio Nobel prácticamente cierto para su autor. Cuadro\(\PageIndex{1}\) resume los valores de\(T_c\) para el modelo de Ising. Muy visible es la rápida mejora de la precisión de predicción de la teoría del campo molecular, que es asintóticamente correcta en\(d \rightarrow \infty \).

Tabla\(\PageIndex{1}\): La temperatura crítica\(T_c\) (en las unidades de\(J\)) del modelo Ising de un ferroimán\((J > 0)\), para varios valores de dimensionalidad\(d\)

\(d\)	Teoría de campos moleculares — Ecuación (\(4.4.14\))	Valor exacto	Fuente del valor exacto
0	0	0	Distribución Gibbs
1	2	0	Teoría de la matriz de transferencia
2	4	2.269...	Solución Onsager
3	6	4.513...	Simulación numérica

Por último, debo mencionar el enfoque del grupo de renormalización (“RG”), ⁵⁰ a pesar de su baja eficiencia para los problemas de tipo ISING. La idea básica de este enfoque deriva de la ley de escalado (\(4.2.10\)) - (\(4.2.11\)): en\(T = T_c\) el radio de correlación\(r_c\) diverge. Por lo tanto, la temperatura crítica se puede encontrar a partir del requisito de que el sistema sea espacialmente autosimilar. A saber, formemos grupos cada vez más grandes (“bloques”) de espines adyacentes, y requerimos que todas las propiedades del sistema resultante de los bloques se acerquen a las del sistema inicial, a medida que\(T\) se aproxime\(T_c\).

Veamos cómo funciona esta idea para el caso no trivial (1D) más simple, descrito por la suma estadística (\ ref {80}). Suponiendo\(N\) ser par (lo que no importa en\(N \rightarrow \infty \)), y agregando una constante intrascendente\(C\) a cada exponente (para el propósito que pronto quedará claro), podemos reescribir esta expresión como

\[Z=\sum_{s_{k}=\pm 1} \prod_{k=1,2, \ldots_{N}} \exp \left\{\frac{h}{2 T} s_{k}+\frac{J}{T} s_{k} s_{k+1}+\frac{h}{2 T} s_{k+1}+C\right\} . \label{105}\]

Agrupemos cada par de exponentes adyacentes para reformular esta expresión como un producto sobre solo números pares\(k\),

\[Z=\sum_{s_{k}=\pm 1} \prod_{k=2,4, \ldots N} \exp \left\{\frac{h}{2 T} s_{k-1}+s_{k}\left[\frac{J}{T}\left(s_{k-1}+s_{k+1}\right)+\frac{h}{T}\right]+\frac{h}{2 T} s_{k+1}+2 C\right\}, \label{106}\]

y llevar a cabo la suma sobre dos posibles estados del giro interno\(s_k\) explícitamente:

\ [\ begin {align}
Z &=\ sum_ {s_ {k} =\ pm 1}\ prod_ {k=2,4,\ ldots N}\ left [\ begin {array} {c}
\ exp\ left\ {\ frac {h} {2 T} s_ {k-1} +\ frac {J} {T}\ left (s_ {k-1} +s_ {k_ +1}\ derecha) +\ frac {h} {T} +\ frac {h} {2 T} s_ {k+1} +2 C\ derecha\}\\
+\ exp\ izquierda\ {\ frac {h} {2 T} s_ {k-1} -\ frac {J} {T}\ izquierda (s_ {k- 1} +s_ {k+1}\ derecha) -\ frac {h} {T} +\ frac {h} {2 T} s_ {k+1} +2 C\ derecha\}
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\\
&\ equiv\ suma_ {s_ {i} =+1}\ prod_ {k=2.4,\ ldots N} 2\ cosh izquierda\\ {\ frac {J} {T}\ izquierda (s_ {k-1} +s_ {k+1}\ derecha) +\ frac {h} {T}\ derecha\}\ exp\ izquierda\ {\ frac {h} {2 T}\ izquierda (s_ {k-1} +s_ {k+1}\ derecha) +2 C\ derecha\}.
\ label {107}\ end {align}\]

Ahora vamos a exigir que esta suma estadística (y por lo tanto todas las propiedades estadísticas del sistema de bloques de 2-spin) sea idéntica a la del sistema Ising de\(N/2\) espines, numerados por impar\(k\):

\[Z^{\prime}=\sum_{s_{k}=1} \prod_{k=2,4, \ldots, N} \exp \left\{\frac{J^{\prime}}{T} s_{k-1} s_{k+1}+\frac{h^{\prime}}{T} s_{k+1}+C^{\prime}\right\}, \label{108}\]

con algunos parámetros diferentes\(h'\),\(J'\), y\(C'\), para los cuatro valores posibles de\(s_{k-1} = \pm 1\) y\(s_{k+1} = \pm 1\). Dado que el lado derecho de la Ecuación (\ ref {107}) depende solo de la suma\((s_{k-1} + s_{k+1})\), este requisito arroja solo tres (en lugar de cuatro) ecuaciones independientes para encontrar\(h'\),\(J'\), y\(C'\). De ellas, las ecuaciones para\(h'\) y\(J'\) dependen únicamente de\(h\) y\(J\) (pero no de\(C\)), ⁵¹ y pueden representarse en una forma especialmente simple,

Ecuaciones RG para el modelo 1D Ising:

\[\boxed{x^{\prime}=\frac{x(1+y)^{2}}{(x+y)(1+x y)}, \quad y^{\prime}=\frac{y(x+y)}{1+x y}}, \label{109}\]

si se utiliza la siguiente notación:

\[x \equiv \exp \left\{-4 \frac{J}{T}\right\}, \quad y \equiv \exp \left\{-2 \frac{h}{T}\right\}. \label{110}\]

Ahora se puede repetir el procedimiento de agrupación, con el mismo resultado (\ ref {109}) - (\ ref {110}). Por lo tanto, estas ecuaciones pueden considerarse como relaciones de recurrencia que describen la duplicación repetida del tamaño del bloque de giro. La figura\(\PageIndex{6}\) muestra (esquemáticamente) las trayectorias de este sistema dinámico en el plano de fase\([x, y]\). (Cada trayectoria se define por la siguiente propiedad: para cada uno de sus puntos\(\{x, y\}\), el punto\(\{x', y'\}\) definido por la Ecuación de “mapeo” (\ ref {109}) también está en la misma trayectoria.) Para el acoplamiento ferromagnético\((J > 0)\) y\(h > 0\), podemos limitar el análisis a la unidad cuadrada\(0 \leq x, y \leq 1\). Si este diagrama de flujo tuviera un punto fijo estable con\(x' = x = x_{\infty} \neq 0\) (i.e.\(T/J < \infty \)) y\(y' = y = 1\) (i.e.\(h = 0\)), entonces el primero de Eqs. (\ ref {110}) nos daría inmediatamente la temperatura crítica de la transición de fase en el sistema sin campo:

\[T_c = \frac{4J}{\ln (1/x_{\infty})}. \label{111}\]

Sin embargo, la Figura\(\PageIndex{6}\) muestra que el único punto fijo del sistema 1D es\(x = y = 0\), que (a un acoplamiento finito\(J\)) debe interpretarse como\(T_c = 0\). Esto, por supuesto, está de acuerdo con el resultado exacto del análisis de matriz de transferencia, pero no proporciona ninguna información adicional.

Figura\(\PageIndex{6}\): Diagrama de flujo RG del sistema 1D Ising (esquemáticamente).

Desafortunadamente, para dimensionalidades más altas, el enfoque de grupo de renormalización rápidamente se vuelve bastante engorroso y requiere ciertas aproximaciones, cuya precisión no se puede controlar fácilmente. Para el sistema 2D Ising, tales aproximaciones conducen a la predicción\(T_c \approx 2.55 \ J\), es decir, a una diferencia sustancial con respecto al resultado exacto (\ ref {96}).