5.3: Volumen y Temperatura

¿Cuáles son las fluctuaciones r.m.s. de otras variables termodinámicas — como\(V\)\(T\), etc.? Nuevamente, la respuesta depende de condiciones específicas. Por ejemplo, si el volumen\(V\) ocupado por un gas está fijado externamente (digamos, por paredes rígidas), evidentemente no fluctúa en absoluto:\(\delta V = 0\). Por otro lado, el volumen puede fluctuar en la situación cuando la presión promedio es fija — ver, por ejemplo, la Figura\(1.4.1\). Un cálculo formal de estas fluctuaciones, utilizando el enfoque aplicado en la última sección, se complica por el hecho de que es físicamente impracticable fijar su variable conjugada, es decir\(P\), suprimir sus fluctuaciones. Por ejemplo, la fuerza\(\mathscr{F}(t)\) ejercida por un gas clásico ideal sobre la pared de un contenedor (cuya medida es la presión) es el resultado de impactos individuales e independientes de la pared por partículas (Figura\(\PageIndex{1}\)), con la escala de tiempo\(\tau_c \sim r_B/\langle v^2\rangle^{1/2} \sim r_B/(T/m)^{1/2} \sim 10^{-16}\) s, de manera que su espectro de frecuencia se extiende a muy alto frecuencias, prácticamente imposibles de controlar.

Figura\(\PageIndex{1}\): La fuerza ejercida por las partículas de gas sobre la pared de un contenedor, en función del tiempo (esquemáticamente).

Sin embargo, podemos usar el siguiente truco, muy típico para la teoría de las fluctuaciones. Es casi evidente que las fluctuaciones r.m.s. del volumen de gas son independientes de la forma del contenedor. Consideremos una situación particular similar a la que se muestra en la Figura\(1.4.1\), con el contenedor de forma cilíndrica, con el área base\(A\). ⁸ Entonces la coordenada del pistón es justa\(q = V/A\), mientras que la fuerza promedio ejercida por el gas sobre el cilindro es\(\mathscr{F} = PA\) — ver Figura\(\PageIndex{2}\). Ahora bien, si el pistón es suficientemente masivo, su frecuencia de oscilación libre\(\omega\) cerca de la posición de equilibrio es lo suficientemente pequeña como para satisfacer las siguientes tres condiciones.

Primero, además de equilibrar la fuerza promedio\(\langle \mathscr{F} \rangle\) y así sostener la presión promedio\(\langle P\rangle = \langle \mathscr{F} \rangle /A\) del gas, la interacción entre el pistón pesado y las partículas relativamente ligeras del gas es débil, debido a una duración relativamente corta de los impactos de partículas (Figura\(\PageIndex{1}\)). Como resultado, la energía total del sistema puede representarse como una suma de las de las partículas y el pistón, con una contribución cuadrática a la energía potencial del pistón por pequeñas desviaciones del equilibrio:

\[U_p = \frac{\kappa}{2} \tilde{q}^2 , \quad \text{ where } \tilde{q} \equiv q - \langle q \rangle = \frac{\tilde{V}}{A}, \label{34}\]

y\(\kappa\) es la constante de resorte efectiva que surge de la compresibilidad finita del gas.

Figura\(\PageIndex{2}\): Ecuación Derivante (\ ref {37a} -\ ref {37b}).

Segundo, at\(\omega \rightarrow 0\), esta constante de resorte puede calcularse al igual que para las variaciones constantes del volumen, permaneciendo el gas en cuasi-equilibrio en todo momento:

\[\kappa = - \frac{\partial \langle \mathscr{F}\rangle}{\partial q} = A^2 \left( - \frac{\partial \langle P \rangle }{\partial \langle V \rangle } \right). \label{35}\]

Esta derivada parcial ⁹ debe calcularse en cualquiera que sean las condiciones térmicas dadas, por ejemplo, con\(S =\) const para condiciones adiabáticas (es decir, un gas aislado térmicamente), o con\(T =\) const para condiciones isotérmicas (incluyendo un buen contacto térmico entre el gas y un baño de calor). etc. con esa constante denotada como\(X\), Eqs. (\ ref {34}) - (\ ref {35}) dar

\[U_p = \frac{1}{2} \left( - A^2 \frac{\partial \langle P \rangle }{\partial \langle V \rangle }\right)_X \left(\frac{\tilde{V}}{A}\right)^2 \equiv \frac{1}{2} \left(-\frac{\partial \langle P \rangle}{\partial \langle V \rangle}\right)_X \tilde{V}^2. \label{36}\]

Fluctuaciones de\(V\):

\[\boxed{ \langle \tilde{V}^2 \rangle_X = T \left( - \frac{\partial \langle V \rangle }{\partial \langle P \rangle} \right)_X. } \label{37a}\]

Dado que este resultado es válido para cualquiera\(A\) y\(\omega \), no debe depender de la geometría del sistema y de la masa del pistón, siempre que sea grande en comparación con la masa efectiva de un solo componente del sistema (digamos, una molécula de gas), condición que se cumple naturalmente en la mayoría de los experimentos. Para el caso particular de fluctuaciones a temperatura constante\((X = T)\), ¹¹ podemos usar la definición (\(3.3.7\)) de la compresibilidad aparente isotérmica\(K_T\) del gas para reescribir la Ecuación (\ ref {37a}) como

\[\langle \tilde{V}^2 \rangle_T = \frac{TV}{K_T}. \label{37b}\]

Para un gas clásico ideal de\(N\) partículas, con la ecuación de estado\(\langle V\rangle = NT/\langle P\rangle \), es más fácil usar directamente Ecuación (\ ref {37a}), nuevamente con\(X = T\), para obtener

\[\langle \tilde{V}^2 \rangle_T = -T \left( - \frac{NT}{\langle P \rangle^2} \right) = \frac{\langle V \rangle^2}{N}, \quad \text{ i.e. } \frac{\delta V_T}{\langle V \rangle } = \frac{1}{N^{1/2}}, \label{38}\]

en total acuerdo con la tendencia general dada por la Ecuación (\(5.1.13\)).

Ahora pasemos a las fluctuaciones de temperatura, por simplicidad centrándonos en el caso\(V =\) const. Supongamos nuevamente que el sistema que estamos considerando está débilmente acoplado a un baño de calor de temperatura\(T_0\), en el sentido de que el tiempo\(\tau\) de equilibrio de temperatura entre los dos es mucho mayor que el tiempo de equilibrado interno, llamado termalización. Entonces podemos suponer que, en la escala de tiempo anterior,\(T\) cambia virtualmente simultáneamente en todo el sistema, y considerarlo una función del tiempo solo:

\[T = \langle T \rangle + \tilde{T} (t). \label{39}\]

Además, debido a la (relativamente) grande\(\tau \), podemos usar la relación estacionaria entre pequeñas fluctuaciones de temperatura y la energía interna del sistema:

\[\tilde{T} (t) = \frac{\tilde{E}(t)}{C_V}, \text{ so that } \delta T = \frac{\delta E}{C_V}. \label{40}\]

Con esos supuestos, Equation (\(5.2.6\)) inmediatamente produce la famosa expresión de las llamadas fluctuaciones termodinámicas de temperatura:

Fluctuaciones de\(T\):

\[\boxed{\delta T = \frac{\delta E}{C_V} = \frac{\langle T \rangle}{C_V^{1/2}}. } \label{41}\]

La aplicación más directa de este resultado es el análisis de los llamados bolómetros, detectores de banda ancha de radiación electromagnética en bandas de frecuencias de microondas e infrarrojos. (En particular, se utilizan para mediciones de la radiación CMB, la cual se discutió en la Sec. 2.6). En dicho detector (Figura\(\PageIndex{3}\)), la radiación entrante se enfoca en un pequeño sensor (por ejemplo, ya sea una pequeña pieza de un cristal de germanio o una película delgada superconductora a temperatura\(T \approx T_c\), etc.), que está bien aislada térmicamente del ambiente. Como resultado, la absorción de una potencia de radiación incluso pequeña\(\mathscr{P}\) conduce a un cambio notable\(\Delta T\) de la temperatura promedio del sensor\(\langle T\rangle\) y por lo tanto de su resistencia eléctrica\(R\), que es sondeada por electrónica externa de bajo ruido. ¹² Si la potencia no cambia en el tiempo demasiado rápido,\(\Delta T\) es una cierta función de\(\mathscr{P}\), volviéndose a 0 en\(\mathscr{P} = 0\). De ahí que si\(\Delta T\) es muy inferior a la temperatura ambiente\(T_0\), podemos mantener solo el término principal y lineal en su expansión Taylor en\(\mathscr{P}\):

\[ \Delta T \equiv \langle T \rangle −T_0 = \frac{\mathscr{P}}{\mathscr{G}}, \label{42}\]

donde el coeficiente\(\mathscr{G} \equiv \partial \mathscr{P}/\partial T\) se llama la conductancia térmica del acoplamiento térmico (quizás pequeño pero inevitable) entre el sensor y el baño de calor — ver Figura\(\PageIndex{3}\).

Figura\(\PageIndex{3}\): El esquema conceptual de un bolómetro.

La potencia puede detectarse si la señal eléctrica del sensor, que resulta del cambio\(\Delta T\), no se ahoga en fluctuaciones espontáneas. En los sistemas prácticos, estas fluctuaciones son aportadas por varias fuentes incluyendo amplificadores electrónicos. Sin embargo, en los sistemas modernos, estas contribuciones “técnicas” al ruido se suprimen con éxito, ¹³ y la fuente de ruido dominante son las fluctuaciones fundamentales de temperatura del sensor, descritas por la Ecuación (\ ref {41}). En este caso, la denominada potencia equivalente al ruido (“NEP”), definida como el nivel de\(\mathscr{P}\) que produce la señal igual al valor r.m.s. del ruido, puede calcularse equiparando las expresiones (\ ref {41}) (con\(\langle T\rangle = T_0\)) y (\ ref {42}):

\[\text{NEP} \equiv \left. \mathscr{P} \right|_{\Delta T = \delta T} = \frac{T_0 \mathscr{G}}{C_V^{1/2}}. \label{43}\]

Esta expresión muestra que para disminuir la NEP, es decir, mejorar la sensibilidad del detector, se\(\mathscr{G}\) debe reducir\(T_0\) tanto la temperatura ambiente como la conductancia térmica. En los receptores modernos de radiación, sus valores típicos son del orden de 0.1 K y\(10^{-10}\) W/K, respectivamente.

Por otro lado, la Ecuación (\ ref {43}) implica que para aumentar la sensibilidad del bolómetro, es decir, para reducir la NEP, se debe aumentar la\(C_V\) del sensor, y por ende su masa. Esta conclusión es válida solo en cierta medida, ya que por razones técnicas (derivas de parámetros y el llamado\(1/f\) ruido del sensor y electrónica externa), la potencia entrante tiene que modularse con la frecuencia más alta técnicamente\(\omega\) posible (en receptores prácticos , la frecuencia cíclica\(\nu = \omega /2\pi\) de la modulación está entre 10 y 1,000 Hz), de manera que la señal eléctrica podría ser captada del sensor a esa frecuencia. Como resultado, el\(C_V\) puede aumentarse solo hasta la constante térmica del sensor,

\[ \tau = \frac{C_V}{\mathscr{G}}, \label{44}\]

se acerca a\(1/\omega \), porque a\(\omega \tau >> 1\) la señal útil cae más rápido que el ruido. Entonces, los valores más bajos (es decir, los mejores) de la NEP,

\[(\text{NEP})_{min} = \alpha T_0 \mathscr{G}^{1/2} v^{1/2}, \quad \text{ with } \alpha \sim 1, \label{45}\]

se alcanzan a las\(\nu\tau \approx 1\). (Los valores exactos del producto óptimo\(\omega \tau \), y de la constante numérica\(\alpha \sim 1\) en la Ecuación (\ ref {45}), dependen de la ley exacta de la modulación de potencia en el tiempo, y del procedimiento de procesamiento de la señal de lectura.) Con los parámetros citados anteriormente, esta estimación produce\((\text{NEP})_{min}/\nu^{1/2} \sim 3 \times 10^{-17} \) W/Hz\(^{1/2}\) —una potencia muy baja en verdad.

Sin embargo, quizás de manera contraria a la intuición, la modulación de potencia permite que los receptores bolométricos (y otros de banda ancha) registren radiación con una potencia mucho menor que esta NEP! En efecto, recogiendo la señal del sensor a la frecuencia de modulación\(\omega \), podemos utilizar las etapas electrónicas posteriores para filtrar todo el ruido además de sus componentes dentro de una banda muy estrecha, de ancho\(\Delta \nu << \nu\), alrededor de la frecuencia de modulación (Figura\(\PageIndex{4}\)). Esta es la idea de un radiómetro de microondas, ¹⁴ actualmente utilizado en todos los receptores sensibles de banda ancha de radiación.

Figura\(\PageIndex{4}\): La idea básica del radiómetro Dicke.

Para analizar esta oportunidad, necesitamos desarrollar herramientas teóricas para una descripción cuantitativa de la distribución espectral de las fluctuaciones. Otra motivación para esa descripción es la necesidad de analizar variables dominadas por componentes rápidos (de alta frecuencia), como la presión; por favor, eche un vistazo más a la Figura\(\PageIndex{1}\). Finalmente, durante dicho análisis, nos encontraremos con la relación fundamental entre las fluctuaciones y la disipación, que es uno de los principales resultados de la física estadística en su conjunto.