5.5: Fluctuaciones y disipación

Una suposición más importante de esta teoría es que el movimiento del sistema no viola el equilibrio térmico del ambiente —bien cumplido en muchos casos—. (Piense, por ejemplo, en un péndulo mecánico típico: su movimiento no sobrecalienta el aire que lo rodea en ninguna medida notable). En este caso, el promedio sobre un conjunto estadístico de entornos similares, a un movimiento fijo y específico del sistema de interés, puede realizarse asumiendo su equilibrio térmico. ²⁴ Voy a denotar tal “primaria” promediando por los paréntesis angulares habituales\(\langle ...\rangle \). En una etapa posterior, podemos llevar a cabo un promedio adicional, “secundario”, sobre un conjunto de muchos sistemas similares de interés, acoplados a entornos similares. Cuando lo hagamos, tal doble promedio se denotará con corchetes de doble ángulo\(\langle \langle ...\rangle \rangle \).

Permítanme partir de un sistema clásico simple, un oscilador armónico 1D cuya ecuación de evolución puede representarse como

\[m\ddot{q} + \kappa q = \mathscr{F}_{det}(t) + \mathscr{F}_{env}(t) \equiv \mathscr{F}_{det}(t)+\langle \mathscr{F} \rangle + \tilde{\mathscr{F}}(t), \quad \text{ with } \langle \tilde{\mathscr{F}}(t) \rangle = 0, \label{63}\]

donde\(q\) está la coordenada (generalizada) del oscilador,\(\mathscr{F}_{det}(t)\) es la fuerza externa determinista, mientras que ambas componentes de la fuerza\(\mathscr{F}_{env}(t)\) representan el impacto del ambiente sobre el movimiento del oscilador. Nuevamente, en la escala de tiempo de los componentes ambientales de rápido movimiento, el movimiento del oscilador es lento. El componente promedio\(\langle F \rangle\) de la fuerza ejercida por el entorno sobre un objeto que se mueve lentamente es frecuentemente independiente de su coordenada\(q\) pero sí depende de su velocidad\(\dot{q} \). Para la mayoría de estos sistemas, la expansión Taylor de la fuerza en velocidad pequeña tiene un término lineal distinto de cero:

\[\langle \mathscr{F} \rangle = −\eta \dot{q} , \label{64}\]

donde la constante generalmente\(\eta\) se llama coeficiente de arrastre (o “fricción cinemática”, o “amortiguación”), de modo que la ecuación (\ ref {63}) puede ser reescrita como

Ecuación de Langevin para oscilador clásico:

\[\boxed{ m \ddot{q} + \eta \dot{q} + \kappa q = \mathscr{F}_{det} (t) + \tilde{\mathscr{F}}(t).} \label{65}\]

Conectando a la Ecuación (\ ref {65}) la representación de ambas variables en la forma de Fourier similar a la Ecuación (\(5.4.7\)), y requiriendo que los coeficientes antes de la misma\(\exp\{-i\omega t\}\) sean iguales en ambos lados de la ecuación, para sus imágenes de Fourier obtenemos la siguiente relación:

\[ − m \omega^2 q_{\omega} − i \omega \eta q_{\omega} + \kappa q_{\omega} =\mathscr{F}_{\omega} , \label{66}\]

lo que inmediatamente nos da\(q_{\omega }\), es decir, la amplitud compleja (aleatoria) de las fluctuaciones de coordenadas:

\[q_{\omega} = \frac{\mathscr{F}_{\omega}}{(\kappa - m\omega^2) - i \eta \omega} \equiv \frac{\mathscr{F}_{\omega}}{m(\omega^2_0 - \omega^2 ) - i \eta \omega}. \label{67}\]

\[S_q (w) = \frac{1}{m^2 (\omega^2_0 - \omega^2)^2 + \eta^2 \omega^2} S_{\mathscr{F}} ( \omega ). \label{68}\]

En el llamado límite de amortiguación baja (\(\eta << m\omega_0\)), la fracción en el lado derecho de la Ecuación (\ ref {68}) tiene un pico agudo cerca de la propia frecuencia del oscilador\(\omega_0\) (describiendo el bien conocido efecto de alta\(Q\) resonancia), y puede aproximarse bien en esa vecindad como

\[\frac{1}{m^2(\omega^2_0 - \omega^2)^2 + (\eta \omega )^2} \approx \frac{1}{\eta^2 \omega^2_0 (\xi^2 + 1)}, \quad \text{ with } \xi \equiv \frac{2m(\omega - \omega_0 )}{\eta}. \label{69}\]

\[\langle\langle \tilde{q}^2\rangle\rangle = 2\int^{\infty}_0 S_q (\omega ) d \omega \approx 2 \int_{\omega \approx \omega_0} S_q (\omega ) d\omega = 2S_{\mathscr{F}}(\omega_0) \frac{1}{\eta^2 \omega^2_0} \frac{\eta}{2m} \int^{+\infty}_{-\infty} \frac{d\xi}{\xi^2 +1} . \label{70}\]

Esta es una integral de mesa bien conocida, ³¹ igual a\(\pi \), de manera que, finalmente:

\[\langle\langle \tilde{q}^2\rangle\rangle = 2S_{\mathscr{F}} (\omega_0 ) \frac{1}{\eta^2 \omega^2_0} \frac{\eta}{2m} \pi \equiv \frac{\pi}{m\omega^2_0 \eta} S_{\mathscr{F}} (\omega_0) \equiv \frac{\pi}{\kappa \eta} S_{\mathscr{F}}(\omega_0). \label{71}\]

Pero por otro lado, la débil interacción con el entorno debería mantener al oscilador en equilibrio termodinámico a la misma temperatura\(T\). Dado que nuestro análisis se ha basado en la ecuación clásica de Langevin (\ ref {65}), solo podemos usarla en el límite clásico\(\hbar \omega_0 << T\), en el que podemos usar el teorema de equipartición (\(2.2.30\)). En nuestra notación actual, rinde

\[\frac{\kappa}{2} \langle \langle \tilde{q}^2 \rangle \rangle = \frac{T}{2}. \label{72}\]

Comparando Eqs. (\ ref {71}) y (\ ref {72}), vemos que la densidad espectral de la fuerza aleatoria ejercida por el entorno tiene que estar fundamentalmente relacionada con la amortiguación que proporciona:

\[S_{\mathscr{F}} ( \omega_0 ) = \frac{\eta}{\pi} T. \label{73a}\]

Ahora podemos argumentar (de manera bastante convincente: -) que dado que esta relación no depende de los parámetros del oscilador\(m\) y\(\kappa \), y de ahí su propia frecuencia\(\omega_0 = (\kappa /m)^{1/2}\), debería ser válida a cualquier frecuencia relativamente baja\((\omega \tau_c << 1)\). Usando Equation (\(5.4.13\)) with\(\omega \rightarrow 0\), también se puede reescribir como una fórmula para el coeficiente de arrastre efectivo de baja frecuencia:

Sin disipación sin fluctuaciones:

\[\boxed{\eta = \frac{1}{T} \int^{\infty}_0 K_{\mathscr{F}} (\tau ) d\tau \equiv \frac{1}{T} \int^{\infty}_0 \langle \tilde{\mathscr{F}}(0) \tilde{\mathscr{F}}(\tau)\rangle d\tau .} \label{73b}\]

Las fórmulas (\ ref {73a} -\ ref {73b}) revelan una relación íntima y fundamental entre las fluctuaciones y la disipación proporcionada por un ambiente de equilibrio térmico. Al lorar la famosa consigna política, “no hay disipación sin fluctuación” —y viceversa. Esto significa en particular que la descripción fenomenológica de la disipación apenas por la fuerza de arrastre en la mecánica clásica ³² es (aproximadamente) válida sólo cuando la escala de energía del proceso es mucho mayor que\(T\). A mi entender, este hecho fue reconocido por primera vez en 1905 por A. Einstein, ³³ para el siguiente caso particular.

Apliquemos nuestro resultado (\ ref {73a} -\ ref {73b}) a una partícula browniana 1D libre, tomando\(\kappa = 0\) y\(\mathscr{F}_{det}(t) = 0\). En este caso, tanto las relaciones (\ ref {71}) como (\ ref {72}) dan infinidades. Para entender la razón de esa divergencia, volvamos a la ecuación de Langevin (\ ref {65}) con no sólo\(\kappa = 0\) y\(\mathscr{F}_{det}(t)= 0\), sino también\(m \rightarrow 0\) — solo por el bien de la simplicidad. (Esta última aproximación, frecuentemente llamada límite de sobreamortiguación, es bastante apropiada, por ejemplo, para el movimiento de pequeñas partículas en fluidos viscosos, como en los experimentos de R. Brown). En esta aproximación, la Ecuación (\ ref {65}) se reduce a una ecuación simple,

\[\eta \dot{q} = \tilde{\mathscr{F}} (t), \quad \text{ with } \langle \tilde{\mathscr{F}}(t)\rangle =0 , \label{74}\]

que pueden integrarse fácilmente para dar el desplazamiento de la partícula durante un intervalo de tiempo finito\(t\):

\[\Delta q(t) \equiv q(t) - q(0) = \frac{1}{\eta} \int^t_0 \tilde{\mathscr{F}} (t') dt'. \label{75}\]

Evidentemente, en el promedio estadístico completo del desplazamiento, los efectos de fluctuación desaparecen, pero esto no significa que la partícula no se mueva —solo que tiene iguales probabilidades de ser desplazada en cualquiera de las dos direcciones posibles. Para ver eso, calculemos la varianza del desplazamiento:

\[\left\langle\left\langle\Delta \tilde{q}^{2}(t)\right\rangle\right)=\frac{1}{\eta^{2}} \int_{0}^{t} d t^{\prime} \int_{0}^{t} d t^{\prime \prime}\left(\widetilde{\mathscr{F}}\left(t^{\prime}\right), \widetilde{\mathscr{F}}\left(t^{\prime \prime}\right)\right\rangle \equiv \frac{1}{\eta^{2}} \int_{0}^{t} d t^{\prime} \int_{0}^{t} d t^{\prime \prime} K_{\mathscr{F}}\left(t^{\prime}-t^{\prime \prime}\right). \label{76} \]

Como ya sabemos, a veces\(\tau >> \tau_c\), la función de correlación puede ser bien aproximada por la función delta — ver Ecuación (\(5.4.17\)). En esta aproximación, con\(S_{\mathscr{F}}(0)\) expresado por Ecuación (\ ref {73a}), obtenemos

\[\left\langle\left\langle\Delta \widetilde{q}^{2}(t)\right\rangle\right\rangle=\frac{2 \pi}{\eta^{2}} S_{\mathscr{F}}(0) \int_{0}^{t} d t^{\prime} \int_{0}^{\prime} d t^{\prime \prime} \delta\left(t^{\prime \prime}-t^{\prime}\right)=\frac{2 \pi}{\eta^{2}} \frac{\eta T}{\pi} \int_{0}^{t} d t^{\prime}=\frac{2 T}{\eta} t \equiv 2 D t, \label{77}\]

con

La relación de Einstein:

\[ \boxed{D = \frac{T}{\eta}.} \label{78}\]

La forma final de la Ecuación (\ ref {77}) describe la conocida ley de difusión (“paseo aleatorio”) de un sistema 1D, con la desviación r.m.s. desde el punto de origen creciendo como\((2Dt)^{1/2}\). El coeficiente\(D\) es esta relación se llama el coeficiente de difusión, y la Ecuación (\ ref {78}) describe la extremadamente simple e importante ³⁴ relación de Einstein entre ese coeficiente y el coeficiente de arrastre. A menudo esta relación se reescribe, en las unidades SI de temperatura, como\(D = \mu k_BT_K\), donde\(\mu \equiv 1/\eta\) está la movilidad de la partícula. El sentido físico de\(\mu\) queda claro a partir de la expresión para la velocidad determinista (“deriva” de la partícula), que se desprende del promedio de ambos lados de la Ecuación (\ ref {74}) después de la restauración del término\(\mathscr{F}_{det}(t)\) en ella:

\[\nu_{drift} \equiv \langle \langle \dot{q}(t)\rangle\rangle = \frac{1}{\eta} \mathscr{F}_{det}(t) \equiv \mu \mathscr{F}_{det}(t), \label{79}\]

Otra realización famosa de la Ecuación general (\ ref {73a} -\ ref {73b}) es el ruido térmico (o “Johnson”, o “Johnson Nyquist”, o simplemente “Nyquist”) en dispositivos de electrones resistivos. Consideremos un circuito de “sonda” de dos terminales, libre de disipación, que desempeña el papel del oscilador armónico en nuestro análisis realizado anteriormente, conectado a un dispositivo resistivo (Figura\(\PageIndex{1}\)), desempeñando el papel del entorno del circuito sonda. (El ruido es generado por el movimiento térmico de numerosos electrones, moviéndose aleatoriamente dentro del dispositivo resistivo). Para este sistema, una elección conveniente de las variables conjugadas (la coordenada generalizada y la fuerza generalizada) es, respectivamente, la carga eléctrica\(Q \equiv \int I(t)dt\) que ha pasado por el circuito “sonda” por el tiempo\(t\), y el voltaje\(\mathscr{V}\) a través de sus terminales, con la polaridad mostrada en Figura\(\PageIndex{1}\). (De hecho, el producto\(\mathscr{V}dQ\) es el trabajo elemental\(d\mathscr{W}\) realizado por el entorno en el circuito de sonda).

Figura\(\PageIndex{1}\): Un dispositivo resistivo como entorno disipativo de un circuito de sonda de dos terminales.

Haciendo los reemplazos correspondientes,\(q \rightarrow Q\) y\(\mathscr{F} \rightarrow \mathscr{V}\) en Ecuación (\ ref {64}), vemos que se convierte

\[\langle \mathscr{V} \rangle = -\eta \dot{Q} \equiv - \eta I. \label{80}\]

Comparando esta relación con la ley de Ohm\(\mathscr{V} = R(-I)\),, ³⁶ vemos que en este caso, el coeficiente\(\eta\) tiene el sentido físico de la resistencia óhmica habitual\(R\) de nuestro dispositivo disipativo, ³⁷ por lo que la Ecuación (\ ref {73a}) se convierte

\[S_{\mathscr{V}} (\omega ) = \frac{R}{\pi}T. \label{81a}\]

Usando la última igualdad en la ecuación (\(5.4.16\)), y transfiriendo a las unidades de temperatura SI (\(T = k_BT_K\)), podemos llevar esta famosa fórmula Nyquist ³⁸ a su forma más popular:

Fórmula Nyquist:

\[\boxed{\left\langle \tilde{\mathscr{V}}^2 \right\rangle_{\Delta \nu} = 4k_BT_K R \Delta \nu. } \label{81b}\]

Obsérvese que de acuerdo con la Ecuación (\ ref {65}), este resultado solo es válido a una velocidad de cambio insignificante de la coordenada\(q\) (en nuestro caso actual, corriente insignificante\(I\)), es decir, la Ecuación (\ ref {81a} -\ ref {81c}) expresa las fluctuaciones de voltaje como serían medidas por un virtualmente ideal voltímetro, con su resistencia de entrada mucho mayor que\(R\).

Por otro lado, usando una elección diferente de coordenada generalizada y fuerza,\(q \rightarrow \Phi \),\(\mathscr{F} \rightarrow I\) (donde\(\Phi \equiv \int \mathscr{V}(t)dt\) está el flujo magnético generalizado, de manera que\(d\mathscr{W} = I\mathscr{V}(t)dt \equiv Id\Phi \)), obtenemos\(\eta \rightarrow 1/R\), y la Ecuación (\ ref {73a} -\ ref {73b}) produce las fluctuaciones térmicas de la corriente a través del dispositivo resistivo, medido por un amperímetro prácticamente ideal, es decir, a\(\mathscr{V} \rightarrow 0\):

\[S_I (\omega ) = \frac{1}{\pi R} T, \quad \text{ i.e. } \left\langle \tilde{I}^2 \right\rangle_{\Delta \nu} = \frac{4k_BT_K}{R} \Delta \nu . \label{81c}\]

La naturaleza de las Eqs. (\ ref {81a} -\ ref {81c}) es tan fundamental que pueden ser utilizados, en particular, para la llamada termometría de ruido Johnson. ³⁹ Obsérvese, sin embargo, que estas relaciones son válidas únicamente para el ruido en equilibrio térmico. En los circuitos eléctricos que pueden ser fácilmente expulsados del equilibrio por una tensión aplicada\(\mathscr{V}\), otros tipos de ruido son frecuentemente importantes, notablemente el ruido de disparo, que surge en conductores cortos, por ejemplo, uniones de túnel, a tensiones aplicadas con\(|\mathscr{V} | >> T /q\), debido a la discreción de transportistas de carga. ⁴⁰ Un análisis sencillo (dejado para el ejercicio del lector) muestra que este ruido puede caracterizarse por fluctuaciones actuales con la siguiente densidad espectral de baja frecuencia:

Fórmula de Schottky:

\[ \boxed{ S_I (\omega ) = \frac{\left| q \tilde{I}\right|}{2\pi}, \quad \text{ i.e. } \left\langle \tilde{I}^2 \right\rangle_{\Delta \nu} = 2 \left| q \tilde{I} \right\rangle \Delta \nu , } \label{82}\]

donde\(q\) está la carga eléctrica de un solo portador de corriente. Esta es la fórmula de Schottky, ⁴¹ válida para cualquier relación entre la media\(I\) y\(\mathscr{V}\). La comparación de las Eqs. (\ ref {81c}) y (\ ref {82}) para un dispositivo que obedece a la ley Ohm muestra que el ruido de disparo tiene la misma intensidad que el ruido térmico con la temperatura efectiva

\[T_{ef} = \frac{\left|q \bar{\mathscr{V}}\right|}{2} >> T. \label{83}\]

Esta relación puede interpretarse como resultado del sobrecalentamiento del portador de carga por el campo eléctrico aplicado, y explica por qué la fórmula de Schottky (\ ref {82}) solo es válida en conductores mucho más cortos que la longitud\(l_e\) de relajación de energía de los portadores de carga. ⁴² (Otro mecanismo de supresión de ruido de disparo, que puede hacerse notable en dispositivos de nanoescala altamente conductores, es la estadística de electrones de Fermi-Dirac. ⁴³)

Ahora volvamos por un minuto al radiómetro bolométrico Dicke (ver Figs. \(5.3.3-5.3.4\)y su discusión en la Sec. 4), y utilizar el formalismo langevin para finalizar su análisis. Para este sistema, la ecuación de Langevin es una extensión de la ecuación habitual del balance térmico:

\[C_V \frac{dT}{dt} + \mathscr{G} (T-T_0)=\mathscr{P}_{det}(t)+ \tilde{\mathscr{P}}(t), \label{84}\]

donde se\(\mathscr{P}_{det} \equiv \langle \mathscr{P}\rangle\) describe la potencia (determinista) de la radiación absorbida y\(\tilde{\mathscr{P}}\) representa la fuente efectiva de fluctuaciones de temperatura. Ahora podemos usar la Ecuación (\ ref {84}) para realizar un cálculo de la densidad espectral de las fluctuaciones\(S_T(\omega )\) de temperatura de manera absolutamente similar a como se hizo esto con la Ecuación (\ ref {65}), asumiendo que el espectro de frecuencia de la fuente de fluctuación es mucho más amplio que el ancho de banda intrínseco \(1/\tau = \mathscr{G}/C_V\)del bolómetro, de manera que su densidad espectral a frecuencias\(\omega \tau \sim 1\) pueda aproximarse bien por su valor de baja frecuencia\(S_{\mathscr{P}}(0)\):

\[S_T (\omega ) = \left| \frac{1}{-i\omega C_V + \mathscr{G}}\right|^2 S_{\mathscr{P}} (0). \label{85}\]

Luego, requiriendo la varianza de las fluctuaciones de temperatura, calculada a partir de esta fórmula y la Ecuación (\(5.4.15\)),

\ [\ begin {align} & (\ delta T) ^ {2}\ equiv\ izquierda\ langle\ Widetilde {T} ^ {2}\ derecha\ rangle=2\ int_ {0} ^ {\ infty} S_ {T} (\ omega) d\ omega=2 S_ {\ mathscr {P}} (0)\ int_ {0} ^ {inf\ ty}\ izquierda|\ frac {1} {-i\ omega C_ {V} +\ mathscr {G}}\ derecha|^ {2} d\ omega\ nonumber\\
&\ equiv 2 S_ {\ mathscr {P}} (0)\ frac {1} {C_ {V} ^ {2}}\ int _ {0} ^ {\ infty}\ frac {d\ omega} {\ omega^ {2} +\ izquierda (\ mathscr {G}/C_ {V}\ derecha) ^ {2}} =\ frac {\ pi S_ {\ mathscr {P}} (0)} {\ mathscr {G} S C_ {V}},\ etiqueta {86}\ end {align}\]

para coincidir con nuestro resultado anterior de “fluctuación termodinámica” (\(5.3.9\)), obtenemos

\[S_{\mathscr{P}}(0) = \frac{\mathscr{G}}{\pi} T^2_0. \label{87}\]

El valor r.m.s. del “ruido de potencia” dentro de un ancho de banda\(\Delta \nu << 1/\tau\) (ver Figura\(5.3.4\)) se vuelve igual a la potencia de la señal determinista\(\mathscr{P}_{det}\) (o más exactamente, el armónico principal de su ley de modulación) en

\[\mathscr{P} = \mathscr{P}_{min} \equiv \left( \left\langle \tilde{\mathscr{P}}^2 \right\rangle_{\Delta \nu} \right)^{1/2} = (2S_{\mathscr{P}} (0) \Delta \omega )^{1/2} = 2 (\mathscr{G} \Delta \nu )^{1/2} T_0 . \label{88}\]

Este resultado muestra que nuestra predicción anterior (\(5.3.13\)) puede mejorarse por un factor sustancial del orden de\((\Delta \nu /\nu )^{1/2}\), donde la reducción del ancho de banda de salida está limitada solo por el tiempo de acumulación de señal\(\Delta t \sim 1/\Delta \nu \), mientras que el aumento de\(\nu\) está limitado por la velocidad de (típicamente, mecánicos) que realizan la modulación de potencia. En sistemas prácticos este factor puede mejorar la sensibilidad en un par de órdenes de magnitud, permitiendo la observación de radiación extremadamente débil. Quizás el ejemplo más espectacular son las mediciones recientes de la radiación CMB, que corresponde a la temperatura del cuerpo negro\(T_K \approx 2.726\) K, con precisión\(\delta T_K \sim 10^{-6}\) K, utilizando receptores de microondas con la temperatura física de todos sus componentes muy superior a la\(\delta T\). La anisotropía débil (\(\sim 10^{-5}\)K) observada de la radiación CMB es una base experimental importante de toda la cosmología moderna. ⁴⁴

Volviendo a la discusión de nuestro resultado principal, Ecuación (\ ref {73a} -\ ref {73b}), permítanme señalar que puede generalizarse fácilmente al caso cuando la respuesta del entorno es diferente de la forma óhmica (\ ref {64}). Esta oportunidad es prácticamente evidente a partir de la Ecuación (\ ref {66}): por su derivación, el segundo término en su lado izquierdo es solo el componente de Fourier de la respuesta promedio del entorno al desplazamiento del sistema:

\[\langle \mathscr{F}_{\omega} \rangle = i \omega \eta q_{\omega} . \label{89}\]

Ahora que la respuesta siga siendo lineal, pero tenga una dispersión de frecuencia arbitraria,

\[\langle \mathscr{F}_{\omega} \rangle = \chi (\omega ) q_{\omega} . \label{90}\]

donde la función\(\chi (\omega )\), llamada la susceptibilidad generalizada (en nuestro caso, del entorno) puede ser compleja, es decir, tener tanto las partes imaginarias como las reales:

\[ \chi (\omega ) = \chi '(\omega ) + i\chi^{\prime\prime}(\omega ). \label{91}\]

\[S_{\mathscr{F}} (\omega ) = \frac{\chi^{\prime\prime} (\omega )}{\pi \omega } T. \label{92}\]

Esta relación fundamental ⁴⁶ puede ser utilizada no sólo para calcular la intensidad de fluctuación a partir de la responsabilidad generalizada conocida (es decir, la respuesta determinista del sistema a una pequeña perturbación), sino también a la inversa —para calcular dicha respuesta lineal a partir de las fluctuaciones conocidas. Este último uso es especialmente atractivo en simulaciones numéricas de sistemas complejos, por ejemplo, aquellos basados en enfoques de dinámica molecular, porque elude la necesidad de extraer una respuesta débil a una pequeña perturbación de un fondo ruidoso.

Ahora vamos a discutir qué generalización de la Ecuación (\ ref {92}) es necesaria para que ese resultado fundamental sea adecuado para temperaturas arbitrarias,\(T \sim \hbar \omega \). Los cálculos que habíamos realizado se basaron en la ecuación aparentemente clásica del movimiento, Ecuación (\ ref {63}). Sin embargo, la mecánica cuántica muestra ⁴⁷ que una ecuación similar es válida para los operadores de imagen Heisenberg correspondientes, de manera que repitiendo todos los argumentos que conducen a la ecuación de Langevin (\ ref {65}), podemos escribir su versión cuántico-mecánica

Ecuación de Heisenberg-Langevin:

\[\boxed{m \ddot{\hat{q}} + \eta \dot{\hat{q}} + \kappa \hat{q} = \hat{\mathscr{F}}_{det} + \hat{\tilde{\mathscr{F}}}. } \label{93}\]

Esta es la llamada ecuación de Heisenberg-Langevin (o “Langevin cuántica”) —en este caso particular, para un oscilador armónico.

Las operaciones adicionales, sin embargo, requieren cierta precaución, ya que el lado derecho de la ecuación es ahora un operador, y tiene algunas propiedades no triviales. Por ejemplo, los “valores” del operador Heisenberg, que representan la misma variable f (t) en diferentes momentos, no necesariamente conmutan:

\[\hat{\tilde{f}}(t) \hat{\tilde{f}}(t') \neq \hat{\tilde{f}}(t') \hat{\tilde{f}}(t), \quad \text{ if } t' \neq t . \label{94}\]

\[K_f ( \tau ) \equiv \frac{1}{2} \left\langle \hat{\tilde{f}}(t) \hat{\tilde{f}}(t+\tau ) + \hat{\tilde{f}}(t+\tau ) \hat{\tilde{f}}(t) \right\rangle \equiv \frac{1}{2} \left\langle \left\{ \hat{\tilde{f}}(t), \hat{\tilde{f}}(t+\tau ) \right\} \right\rangle , \label{95}\]

(donde\(\{...,...\}\) denota el anticonmutador de los dos operadores), y, de manera similar, la densidad espectral simétrica\(S_f(\omega )\), definida por la siguiente relación:

\[S_f ( \omega ) \delta (\omega - \omega' ) \equiv \frac{1}{2} \left\langle \hat{f}_{\omega} \hat{f}^*_{\omega'} + \hat{f}^*_{\omega'}\hat{f}_{\omega} \right\rangle \equiv \frac{1}{2} \left\langle \left\{ \hat{f}_{\omega}, \hat{f}^*_{\omega'} \right\} \right\rangle , \label{96}\]

con\(K_f(\tau )\) y\(S_f(\omega )\) aún relacionado por la transformada de Fourier (\(5.4.14\)).

Ahora podemos repetir todo el análisis que se realizó para el caso clásico, y obtener nuevamente la Ecuación (\ ref {71}), pero ahora esta expresión tiene que ser comparada no con el teorema de equipartición, sino con su generalización cuántico-mecánica (\(5.1.15\)), que, en nuestra notación actual, dice

\[\langle\langle \tilde{q}^2 \rangle\rangle = \frac{\hbar \omega_0}{2\kappa} \coth \frac{\hbar \omega_0}{2T}. \label{97}\]

Como resultado, obtenemos la siguiente generalización cuántico-mecánica de la ecuación (\ ref {92}):

FDT:

\[\boxed{ S_{\mathscr{F}} (\omega ) = \frac{\hbar \chi^{\prime\prime} (\omega )}{2\pi} \coth \frac{\hbar \omega}{2T}. } \label{98}\]

Este es el tan célebre teorema de fluctuación-disipación, generalmente referido justamente como el FDT, derivado por primera vez en 1951 por Herbert Bernard Callen y Theodore A. Welton —de una manera algo diferente.

Por natural que parezca, esta generalización de la relación entre fluctuaciones y disipación plantea un dilema conceptual muy interesante. Que, en aras de la claridad, la temperatura sea relativamente baja,\(T << \hbar \omega \); entonces la Ecuación (\ ref {98}) da un resultado independiente de la temperatura

Ruido cuántico:

\[\boxed{S_{\mathscr{F}} (\omega ) = \frac{\hbar \chi^{\prime\prime} (\omega )}{2\pi } , } \label{99}\]

que describe lo que frecuentemente se llama ruido cuántico. Según la ecuación cuántica de Langevin (\ ref {93}), nada más que la fuerza aleatoria ejercida por el entorno, con la densidad espectral (\ ref {99}) proporcional a la parte imaginaria de susceptibilidad (es decir, amortiguamiento), es la fuente de las “fluctuaciones” del estado fundamental de la coordenada y el impulso de un cuántico oscilador armónico, con los valores r.m.s.

\[\delta q \equiv \langle\langle \tilde{q}^2 \rangle \rangle^{1/2} = \left( \frac{\hbar}{2m\omega_0}\right)^{1/2}, \quad \delta p \equiv \langle\langle \tilde{p}^2 \rangle \rangle^{1/2} = \left( \frac{\hbar m\omega_0}{2}\right)^{1/2}, \label{100}\]

y la energía total\(\hbar \omega_0/2\). Por otro lado, la mecánica cuántica básica nos dice que exactamente estas fórmulas describen el estado fundamental de un oscilador libre de disipación, no acoplado a ningún entorno, y son un corolario directo de la relación básica de conmutación

\[ [ \hat{q}, \hat{p} ] = i\hbar . \label{101}\]

Entonces, cuál es la fuente genuina de la incertidumbre descrita por las Eq. (\ ref {100})?

La mejor resolución de esta paradoja que puedo ofrecer es que ya sea interpretación de Eqs. (\ ref {100}) es legítimo, con su relativa conveniencia dependiendo de la aplicación en particular. Se puede decir que dado que el lado derecho de la ecuación cuántica de Langevin (\ ref {93}) es un operador cuántico-mecánico, más que una fuerza clásica, “lleva la relación de incertidumbre dentro de sí misma”. Sin embargo, esta (sin duda, oportunista: -) resolución deja abierta la siguiente pregunta: ¿es el ruido cuántico (\ ref {99}) del entorno observable\(\mathscr{F}\) directamente, sin ningún oscilador sonda sometido a él? Una resolución experimental de este dilema no es del todo simple, porque los instrumentos científicos habituales tienen su propia incertidumbre del estado fundamental, es decir, sus propias fluctuaciones cuánticas, que pueden confundirse fácilmente con las del sistema en estudio. Afortunadamente, esta dificultad puede superarse, por ejemplo, utilizando propiedades únicas de mezcla de frecuencia (“conversión descendente”) de las uniones Josephson. Experimentos especiales de baja temperatura usando tal conversión descendente ⁴⁹ han confirmado que el ruido (\ ref {99}) es real y medible.

\[\left\langle \left[ \hat{\tilde{\mathscr{F}}}(t), \hat{\tilde{\mathscr{F}}}(t+\tau ) \right]\right\rangle = i\hbar \mathscr{G} (\tau ), \label{102}\]

donde\(\mathscr{G}(\tau )\) está la función temporal del Verde del entorno, definida por la siguiente relación:

\[\langle \mathscr{F}(t)\rangle = \int^{\infty}_0 \mathscr{G}(\tau ) q (t - \tau ) d \tau \equiv \int^t_{-\infty} \mathscr{G} (t-t') q(t')dt'. \label{103}\]

Conectando las transformaciones de Fourier de las tres funciones del tiempo que participan en la Ecuación (\ ref {103}) en esta relación, es sencillo verificar que esta función de Green es solo la imagen de Fourier de la susceptibilidad compleja\(\chi (\omega )\) definida por la Ecuación (\ ref {90}):

\[\int^{\infty}_0 \mathscr{G}(\tau ) e^{i\omega \tau} d\tau = \chi (\omega ); \label{104}\]

aquí 0 se usa como el límite inferior en lugar de (\(–\infty \)) solo para enfatizar que debido al principio de causalidad, la función de Green tiene que ser igual a cero para\(\tau < 0\). ⁵¹

Para revelar la verdadera belleza de la ecuación (\ ref {102}), podemos usar el teorema de Wiener-Khinchin (\(5.4.14\)) para reescribir el teorema de fluctuación-disipación (\ ref {98}) en una forma similar en el dominio del tiempo:

\[\left\langle \left\{ \hat{\tilde{\mathscr{F}}}(t), \hat{\tilde{\mathscr{F}}}(t+\tau ) \right\} \right\rangle = 2K_{\mathscr{F}}(\tau ). \label{105}\]

donde la función de correlación simétrica\(K_{\mathscr{F}}(\tau )\) se describe más simplemente por su transformada de Fourier, que es, según la ecuación (\(5.4.13\)), igual a\(\pi S_{\mathscr{F}}(\omega )\), de modo que usando el FDT, obtenemos

\[\int^{\infty}_{0} K_{\mathscr{F}} (\tau ) \cos \omega \tau d \tau = \frac{\hbar \chi^{\prime\prime} (\omega )}{2} \coth \frac{\hbar \omega }{2T}. \label{106}\]

La comparación de las Eqs. (\ ref {102}) y (\ ref {104}), por un lado, y Eqs (\ ref {105}) - (\ ref {106}), por otro lado, muestra que tanto las propiedades de conmutación como anticonmutación del operador de fuerza Heisenberg-Langevin en diferentes momentos del tiempo están determinadas por la misma susceptibilidad generalizada\(\chi (\omega )\) del ambiente. Sin embargo, el anticonmutador promedio también depende de la temperatura, mientras que el conmutador promediado no, al menos explícitamente, porque la susceptibilidad compleja de un ambiente también puede ser dependiente de la temperatura.